SlideShare uma empresa Scribd logo

L hopital

Limites Regra de L´hopital

1 de 7
Baixar para ler offline
FORMAS INDETERMINADAS E A REGRA DE L’HˆOPITAL
RICARDO MAMEDE
Consideremos o limite
lim
x→a
f(x)
g(x)
.
Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x → a,
digamos α e β, e β = 0, ent˜ao pela ´algebra dos limites sabemos que
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
α
β
.
Mas o que acontece quando ambas as fun¸c˜oes tendem para zero? Neste caso, n˜ao
podemos garantir `a partida qual o valor do limite. De facto, nem podemos garantir que
este limite exista, como se pode comprovar nos exemplos seguintes:
lim
x→0
x2
x
= lim
x→0
x = 0 lim
x→0
x
x2
= lim
x→0
1
x
= ∞
lim
x→0
2x
x
= lim
x→0
2 = 2 lim
x→0
−x
x2
= lim
x→0
−1
x
= −∞
lim
x→0
x
sin2
(x)
n˜ao existe lim
x→0
sin2
(x)
x
= 0
Todos estes casos s˜ao exemplos de indetermina¸c˜oes do tipo (0
0
). Veremos que a regra
de L’Hˆopital, que demonstraremos a seguir, ´e um instrumento muito ´util para tratar
indetermina¸c˜oes do tipo (0
0
) ou (∞
∞
). Para outras formas indeterminadas – 0×∞, ∞−∞,
1∞
, 00
e ∞0
–, existem t´ecnicas que podem ser aplicadas de modo a transform´a-las em
indetermina¸c˜oes do tipo (0
0
) ou (∞
∞
), de modo que a regra de L’Hˆopital pode igualmente
ser usada.
Existem v´arias demonstra¸c˜oes da regra de L’Hˆopital, e mesmo diferentes vers˜oes desta
regra. A demonstra¸c˜ao mais usual da regra ´e devida a Cauchy e faz uso do chamado
Teorema do Valor M´edio de Cauchy, tamb´em conhecido por Teorema do Valor M´edio
Generalizado. Neste texto, no entanto, opt´amos por apresentar uma demonstra¸c˜ao alter-
nativa que evita o uso deste teorema.
Teorema 1 (Regra de L’Hˆopital). Sejam f, g : [a, b) → R fun¸c˜oes diferenci´aveis em (a, b)
e tais que
lim
x→a+
f(x) = lim
x→a+
g(x) = 0 ou lim
x→a+
f(x) = lim
x→a+
g(x) = ±∞.
Se g (x) = 0 para todo o x ∈ (a, b), ent˜ao
lim
x→a+
f(x)
g(x)
= lim
x→a+
f (x)
g (x)
,
desde que este ´ultimo limite exista (ou seja igual a ±∞).
O mesmo resultado ´e v´alido quando:
• se consideram limites `a esquerda limx→a− e f e g diferenci´aveis no intervalo (d, a);
1
2 RICARDO MAMEDE
• se consideram limites limx→a e f e g s˜ao diferenci´aveis nos intervalos (d, a) e
(a, b);
• se consideram os limites limx→∞ ou limx→−∞ e f e g s˜ao diferenci´aveis no inter-
valo (b, ∞) ou (−∞, b).
Demonstra¸c˜ao. Comecemos por mostrar que todas estas vers˜oes podem ser reduzidas ao
caso x → 0−
com f(x), g(x) → 0 ou f(x), g(x) → +∞, atrav´es de mudan¸cas de vari´avel
adequadas e outras manipula¸c˜oes.
(1) Quando x → +∞, a mudan¸ca de vari´avel u = 1/x permite escrever
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= lim
u→0+
f(1/u)
g(1/u)
L H
= lim
u→0+
f (1/u)(−1)/u2
g (1/u)(−1)/u2
= lim
x→+∞
f (x)
g (x)
.
(2) Quando x → −∞, efectuamos a mudan¸ca de vari´avel u = −1/x e procedemos
como em (1).
(3) Quando x → 0, consideramos os limites x → 0−
e x → 0+
separadamente e
tratamos este ´ultimo limite usando a substitui¸c˜ao u = −x.
(4) O caso x → a reduz-se ao anterior atrav´es da substitui¸c˜ao u = x − a.
(5) Se f(x) → −∞ ou g(x) → −∞ substitu´ımos f por −f ou g por −g.
(6) Finalmente, quando lim f(x)/g(x) = −∞, substitu´ımos f por −f ou g por −g
para reduzir este caso ao limite lim f(x)/g(x) = ∞. De seguida aplicamos a regra
de L’Hˆopital a lim g(x)/f(x).
Temos ent˜ao dois casos a tratar: (a) x → 0−
, f(x) → 0, g(x) → 0 e (b) x →
0−
, f(x) → ∞, g(x) → +∞.
Caso (a). Podemos definir (se necess´ario) f(0) = g(0) = 0 e considerar g (x) > 0 (caso
contr´ario utilizamos a fun¸c˜ao −g(x)). Suponhamos que limx→0− f (x)/g (x) = , com
0 ≤ < ∞. Ent˜ao, dado > 0 temos
− ≤
f (x)
g (x)
≤ + ,
para x suficientemente pr´oximos de 0, `a esquerda. Como estamos a supor g (x) > 0,
obtemos
( − )g (x) ≤ f (x) ≤ ( + )g (x).
De seguida, integrando os membros desta express˜ao no intervalo (x, 0) temos
−( − )g(x) ≤ −f(x) ≤ −( + )g(x).
Notemos que uma vez que g(x) → 0 e g (x) > 0, temos g(x) < 0 no intervalo (x, 0).
Assim, podemos escrever
− ≤
f(x)
g(x)
≤ + ,
ou seja,
lim
x→0−
f(x)
g(x)
= .
Caso (b). A demonstra¸c˜ao que efectu´amos pode ser adaptada para tratar o caso (b).
Suponhamos limx→0− f (x)/g (x) = , com 0 ≤ < ∞, e g (x) > 0. Ent˜ao, dado > 0
podemos escrever, tal como no caso anterior,
( − )g (x) ≤ f (x) ≤ ( + )g (x),
3
para x suficientemente pr´oximos de 0, `a esquerda. Consideremos a segunda desigualdade.
Considerando y < x, integrando ambos os membros desta desigualdade sobre o intervalo
(y, x) , obtemos
f(x) − f(y) ≤ ( + )[g(x) − g(y)].
Notemos que uma vez que g (x) > 0 e g(x) → ∞, podemos concluir que g(x) > 0. Assim,
podemos escrever
f(x)
g(x)
− ( + ) ≤
f(y) − ( + )g(y)
g(x)
.
Fixemos y. Ent˜ao, para x suficientemente pr´oximo de 0, `a esquerda, o segundo membro
desta desigualdade ´e inferior a , pelo que
f(x)
g(x)
− ≤ 2 .
De modo an´alogo obtemos −2 ≤
f(x)
g(x)
− , para x suficientemente pr´oximo de 0, `a
esquerda, donde se conclui que limx→0− f(x)/g(x) = .
Notemos que pode acontecer que, nas condi¸c˜oes deste teorema, tamb´em as fun¸c˜oes
f (x) e g (x) tendam para zero (ou infinito). Neste caso, o limite de f (f)/g (x) n˜ao
pode ser calculado directamente, mas podemos voltar a usar a regra de L’Hˆopital para
calcular este limite analisando o quociente f (x)/g (x). Mais geralmente, se as fun¸c˜oes
f, f , . . . , fk−1
, g, g , . . . , gk−1
tendem para zero quando x tende para a+
ou a−
, ou a, ou
±∞, e fk
(x)/gk
(x) → , ent˜ao tamb´em f(x)/g(x) → .
Exemplo 1. Calculemos o limite lim
x→0
sin x
x
. Estamos perante uma indetermina¸c˜ao do
tipo 0
0
. As fun¸c˜oes f(x) = sin(x) e g(x) = x est˜ao nas condi¸c˜oes do teorema anterior,
pois ambas as fun¸c˜oes s˜ao diferenci´aveis numa vizinhan¸ca de zero e g (x) = 1, para todo
o x = 0. Como limx→0
f (x)
g (x)
= limx→0 cos(x) = 0, pela regra de L’Hˆopital conclu´ımos que
lim
x→0
sin x
x
= 0.
Exemplo 2. Consideremos agora o seguinte limite: lim
x→1
x5
− 5x + 4
(x − 1)2
. Trata-se de uma
indetermina¸c˜ao 0
0
e as fun¸c˜oes f(x) = x5
− 5x + 4 e g(x) = (x − 1)2
satisfazem as
condi¸c˜oes da regra de L’Hˆopital. No entanto, o limite lim
x→1
f (x)
g (x)
= lim
x→1
5x − 5
2(x − 1)
ainda ´e
uma indetermina¸c˜ao 0
0
. As fun¸c˜oes f (x) e g (x) tamb´em satisfazem as condi¸c˜oes da regra
e lim
x→1
f (x)
g (x)
= lim
x→1
5
2
=
5
2
. Conclu´ımos assim que
lim
x→1
x5
− 5x + 4
(x − 1)2
= lim
x→1
5x − 5
2(x − 1)
=
5
2
.
Exemplo 3. Calculemos o limite limx→∞
x2
1+ex . Trata-se de uma indetermina¸c˜ao ∞
∞
; as
fun¸c˜oes f(x) = x2
e g(x) = 1 + ex
s˜ao diferenci´aveis em R e g (x) = ex
= 0 para
4 RICARDO MAMEDE
todo o x ∈ R. Como limx→∞
f (x)
g (x)
= limx→∞
2x
ex ´e novamente uma indetermina¸c˜ao ∞
∞
,
consideramos o limx→∞
f (x)
g (x)
= limx→∞
2
ex = 0. Podemos ent˜ao concluir que
lim
x→∞
x2
1 + ex
= lim
x→∞
f (x)
g (x)
= lim
x→∞
f (x)
g (x)
= 0.
Antes de apresentarmos mais exemplos, conv´em chamar a aten¸c˜ao para a importˆancia
de se verificarem as hip´oteses da regra antes de a utilizar. Em primeiro lugar a regra n˜ao
funciona se o limite f(x)/g(x) n˜ao for uma indetermina¸c˜ao do tipo (0
0
) ou (∞
∞
), como se
pode verificar no exemplo seguinte.
Exemplo 4. O limite lim
x→0
x + 1
x
n˜ao existe, mas se tentarmos aplicar a regra de L’Hˆopital
obtemos uma resposta errada:
lim
x→0
x + 1
x
= lim
x→0
1
1
= 1.
A raz˜ao reside no facto do limite inicial n˜ao ser uma indetermina¸c˜ao do tipo (0
0
) ou (∞
∞
).
Outro ponto a ter em conta ao usarmos a regra de L’Hˆopital, ´e o facto de s´o podermos
assegurar a igualdade
lim
x→a+
f(x)
g(x)
= lim
x→a+
f (x)
g (x)
quando o segundo limite existe. Apesar da existˆencia do limite limx→a+
f (x)
g (x)
ser uma
condi¸c˜ao suficiente para a existˆencia de limx→a+
f(x)
g(x)
(se as fun¸c˜oes estiverem nas condi¸c˜oes
do teorema 1), esta n˜ao ´e uma condi¸c˜ao necess´aria. Ou seja, se o limite limx→a+
f (x)
g (x)
n˜ao
existir n˜ao podemos tirar qualquer conclus˜ao acerca da existˆencia do limite limx→a+
f(x)
g(x)
,
como se pode comprovar nos pr´oximos exemplos.
Exemplo 5. (Indetermina¸c˜oes do tipo 0
0
)
Se f(x) = x2
sin(1/x) e g(x) = sin(x), ent˜ao o limite limx→0
f (x)
g (x)
n˜ao existe, enquanto
que limx→0
f(x)
g(x)
= 0.
Por outro lado, se f(x) = x sin(1/x) e g(x) = sin(x), nenhum dos limites limx→0
f (x)
g (x)
e
limx→0
f(x)
g(x)
existe.
Exemplo 6. (Indetermina¸c˜oes do tipo ∞
∞
)
Se f(x) = x(2 + sin x) e g(x) = x2
+ 1, ent˜ao o limite limx→0
f (x)
g (x)
n˜ao existe, enquanto
que limx→0
f(x)
g(x)
= 0.
Por outro lado, se f(x) = x(2 + sin x) e g(x) = x2
+ 1, nenhum dos limites limx→0
f (x)
g (x)
e limx→0
f(x)
g(x)
existe.
Existe ainda um terceiro factor a ter em conta: a existˆencia de zeros de g (x) numa
vizinhan¸ca (a, b) do ponto a. Se a fun¸c˜ao g (x) se anula em qualquer intervalo aberto da
forma (a, b), ent˜ao f (x)/g (x) n˜ao se encontra definido em (a, b) e podemos afirmar que
o limite limx→a+
f (x)
g (x)
n˜ao existe. Existe, contudo, a possibilidade de f e g possu´ırem
um factor comum: f (x) = s(x)ψ(x) e g (x) = s(x)ω(x), tal que o limite ψ(x)/ω(x)
existe. ´E natural cancelar o factor s(x), mas pode acontecer que limx→a+
ψ(x)
ω(x)
exista mas
5
limx→a+
f(x)
g(x)
n˜ao exista, como se pode verificar no exemplo seguinte (onde consideramos
o caso a = ∞).
Exemplo 7. Sejam f(x) = 1
2
(x+cos(x) sin(x)) e g(x) = f(x)esin(x)
. Temos limx→∞ f(x) =
∞ e limx→∞ g(x) = ∞. Tentemos aplicar a regra de L’Hˆopital ao quociente f(x)/g(x).
Temos de considerar f (x)/g (x), onde
f (x) = cos2
(x)
e
g (x) = cos2
(x)esin(x)
+ f(x) cos(x)esin(x)
.
Segue que g (x) = 0 sempre que cos(x) = 0, isto ´e, a fun¸c˜ao g tem zeros em todos
os intervalos da forma (b, ∞), e portanto, n˜ao podemos aplicar a regra de L’Hˆopital.
Calculemos, todavia, o limite de f (x)/g (x). Ap´os cancelarmos um dos factores cos(x),
obtemos
f (x)
g (x)
=
cos x
cos(x)esin(x) + f(x)esin(x)
,
e podemos verificar que limx→∞
f (x)
g (x)
= 0, pois os termos cos(x), cos(x)esin(x)
e esin(x)
, s˜ao
limitados e f(x) → ∞. No entanto,
f(x)
g(x)
=
1
esin(x)
n˜ao se pode aproximar de zero quando x → ∞ uma vez que esin(x)
´e uma fun¸c˜ao limitada.
Vamos de seguida descrever m´etodos para, mediante manipula¸c˜oes alg´ebricas, transfor-
mar qualquer uma das restantes formas indeterminadas – 0 × ∞, ∞ − ∞, 1∞
, 00
e ∞0
–
numa indetermina¸c˜ao do tipo 0
0
ou ∞
∞
, sobre as quais podemos usar a regra de L’Hˆopital.
Com as nota¸c˜oes ´obvias, temos:
(0 × ∞) lim
x→a
(f(x) × g(x)) = lim
x→a
f(x) ×
1
1
g(x)
= lim
x→a
f(x)
1
g(x)
(0
0
)
(∞ − ∞) lim
x→a
(f(x) − g(x)) = lim
x→a
1
1
f(x)
−
1
1
g(x)
= lim
x→a
1
g(x)
− 1
f(x)
1
f(x)g(x)
(0
0
)
(1∞
) lim
x→a
(f(x))g(x)
= lim
x→a
eln[(f(x))g(x)]
= eg(x)×ln f(x)
(∞ × 0)
(00
) lim
x→a
(f(x))g(x)
= lim
x→a
eln[(f(x))g(x)]
= eg(x)×ln f(x)
(0 × ∞)
(∞0
) lim
x→a
(f(x))g(x)
= lim
x→a
eln[(f(x))g(x)]
= eg(x)×ln f(x)
(0 × ∞)
6 RICARDO MAMEDE
Exemplo 8. Calculemos lim
x→0+
x ln x. Trata-se de uma indetermina¸c˜ao 0 × ∞. Seguindo
a tabela anterior, fazemos
lim
x→0+
x ln x = lim
x→0+
ln x
1
x
(∞/∞)
= lim
x→0+
(ln x)
(1
x
)
= lim
x→0+
1/x
−1/x2
= lim
x→0+
−x = 0.
Exemplo 9. Consideremos agora o limite lim
x→0+
(
1
x
−
1
sin(x)
). Estamos perante uma inde-
termina¸c˜ao do tipo ∞ − ∞. Assim, temos:
lim
x→0+
(
1
x
−
1
sin(x)
) = lim
x→0+
sin(x) − x
x sin(x)
(0/0)
= lim
x→0+
(sin(x) − x)
(x sin(x))
= lim
x→0+
cos(x) − 1
sin(x) + x cos(x)
(0/0)
= lim
x→0+
(cos(x) − 1)
(sin(x) + x cos(x))
= lim
x→0+
− sin(x)
2 cos(x) − x sin(x)
= 0.
Exemplo 10. O limite lim
x→∞
1 +
1
x
x
´e um exemplo de uma indetermina¸c˜ao 1∞
. Come-
cemos por escrever
lim
x→∞
1 +
1
x
x
= lim
x→∞
ex ln(1+ 1
x ).
O expoente representa uma indetermina¸c˜ao ∞ × 0. Temos:
lim
x→∞
x ln 1 +
1
x
= lim
x→∞
ln(1 + 1
x
)
1
x
(0/0)
= lim
x→∞
(ln(1 + 1
x
))
(1
x
)
= lim
x→∞
1
1 + 1
x
= 1.
Portanto, lim
x→∞
1 +
1
x
x
= e1
= e.
Exemplo 11. Consideremos agora o limite lim
x→0+
xx
. Trata-se de uma indetermina¸c˜ao 00
.
Seguindo a informa¸c˜ao da tabela anterior, podemos escrever:
lim
x→0+
xx
= lim
x→0+
ex ln x
.
No exemplo 8 vimos que limx→0+ x ln(x) = 0, donde se conclui que
lim
x→0+
xx
= e0
= 1.
Exemplo 12. Consideremos por fim um exemplo de uma indetermina¸c˜ao ∞0
. Calculemos
o limite lim
x→∞
(ex
+ 7)
1
x . Temos
lim
x→∞
(ex
+ 7)
1
x = lim
x→∞
e
1
x
ln(ex+7)
.
Anúncio

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Lista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - CálculoLista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - CálculoCarlos Campani
 
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoLista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoCarlos Campani
 
Lista de exercícios 3 - Cálculo
Lista de exercícios 3 - CálculoLista de exercícios 3 - Cálculo
Lista de exercícios 3 - CálculoCarlos Campani
 
Cálculo limites, derivadas e integrais
Cálculo   limites, derivadas e integraisCálculo   limites, derivadas e integrais
Cálculo limites, derivadas e integraisMaick Henrique
 
FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃO
FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃOFUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃO
FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃOCarlos Campani
 
Limites exercicios
Limites exerciciosLimites exercicios
Limites exerciciosMarlei Bento
 
Aula de Cálculo I - Limite
Aula de Cálculo I - LimiteAula de Cálculo I - Limite
Aula de Cálculo I - LimiteLéo Gomes
 
Limites - Matemática
Limites - MatemáticaLimites - Matemática
Limites - MatemáticaMatheus Ramos
 
625639 a-teoria-dos-limites-calculo
625639 a-teoria-dos-limites-calculo625639 a-teoria-dos-limites-calculo
625639 a-teoria-dos-limites-calculoMarcos Lira
 
Funções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmicaFunções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmicaCarlos Campani
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Carlos Campani
 
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e Trigonometricas
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasAula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e Trigonometricas
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasTurma1NC
 
Assintotas e Descontinuidades
Assintotas e DescontinuidadesAssintotas e Descontinuidades
Assintotas e DescontinuidadesCarlos Campani
 
Funções trigonométricas
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
Funções trigonométricasCarlos Campani
 
Ache a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da função
Ache a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da funçãoAche a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da função
Ache a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da funçãoVinicius Loiola Beserra
 

Mais procurados (20)

Lista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - CálculoLista de exercícios 4 - Cálculo
Lista de exercícios 4 - Cálculo
 
Lista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - CálculoLista de exercícios 2 - Cálculo
Lista de exercícios 2 - Cálculo
 
Lista de exercícios 3 - Cálculo
Lista de exercícios 3 - CálculoLista de exercícios 3 - Cálculo
Lista de exercícios 3 - Cálculo
 
Cálculo limites, derivadas e integrais
Cálculo   limites, derivadas e integraisCálculo   limites, derivadas e integrais
Cálculo limites, derivadas e integrais
 
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02   Cálculo de limites - Conceitos BásicosAula 02   Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
 
FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃO
FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃOFUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃO
FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃO
 
Funções Elementares
Funções ElementaresFunções Elementares
Funções Elementares
 
Funções trigonométricas
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
Funções trigonométricas
 
Apostila limites
Apostila limitesApostila limites
Apostila limites
 
Iezzi93 109
Iezzi93 109Iezzi93 109
Iezzi93 109
 
Limites exercicios
Limites exerciciosLimites exercicios
Limites exercicios
 
Aula de Cálculo I - Limite
Aula de Cálculo I - LimiteAula de Cálculo I - Limite
Aula de Cálculo I - Limite
 
Limites - Matemática
Limites - MatemáticaLimites - Matemática
Limites - Matemática
 
625639 a-teoria-dos-limites-calculo
625639 a-teoria-dos-limites-calculo625639 a-teoria-dos-limites-calculo
625639 a-teoria-dos-limites-calculo
 
Funções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmicaFunções exponencial e logarítmica
Funções exponencial e logarítmica
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
 
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e Trigonometricas
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e TrigonometricasAula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e Trigonometricas
Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e Trigonometricas
 
Assintotas e Descontinuidades
Assintotas e DescontinuidadesAssintotas e Descontinuidades
Assintotas e Descontinuidades
 
Funções trigonométricas
Funções trigonométricasFunções trigonométricas
Funções trigonométricas
 
Ache a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da função
Ache a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da funçãoAche a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da função
Ache a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da função
 

Semelhante a L hopital (20)

Apostila de cálculo_i_2010_i
Apostila de cálculo_i_2010_iApostila de cálculo_i_2010_i
Apostila de cálculo_i_2010_i
 
Limites2
Limites2Limites2
Limites2
 
Limites2
Limites2Limites2
Limites2
 
Limites
LimitesLimites
Limites
 
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia CivilApostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
 
Limites parte1
Limites parte1Limites parte1
Limites parte1
 
Limites
LimitesLimites
Limites
 
Aula inicial física agronomia
Aula inicial física agronomiaAula inicial física agronomia
Aula inicial física agronomia
 
Cálculo Diferencial em R
Cálculo Diferencial em RCálculo Diferencial em R
Cálculo Diferencial em R
 
Teorema do confronto
Teorema do confrontoTeorema do confronto
Teorema do confronto
 
Curso de limites v1
Curso de limites v1Curso de limites v1
Curso de limites v1
 
Calculo1 aula13
Calculo1 aula13Calculo1 aula13
Calculo1 aula13
 
Calculo1 aula13 (1)
Calculo1 aula13 (1)Calculo1 aula13 (1)
Calculo1 aula13 (1)
 
Calculo1 aula13
Calculo1 aula13Calculo1 aula13
Calculo1 aula13
 
Calculo1 aula13 (1)
Calculo1 aula13 (1)Calculo1 aula13 (1)
Calculo1 aula13 (1)
 
4 l hospital
4 l hospital4 l hospital
4 l hospital
 
Calculo 1 limites
Calculo 1 limitesCalculo 1 limites
Calculo 1 limites
 
Calculo1 aula04
Calculo1 aula04Calculo1 aula04
Calculo1 aula04
 
Calculo1 aula04
Calculo1 aula04Calculo1 aula04
Calculo1 aula04
 
Calculo1 aula04
Calculo1 aula04Calculo1 aula04
Calculo1 aula04
 

Mais de Study With Us

Qa casos notáveis da multiplicação v1
Qa  casos notáveis da multiplicação v1Qa  casos notáveis da multiplicação v1
Qa casos notáveis da multiplicação v1Study With Us
 
Lingua portuguesa 12_verbos
Lingua portuguesa 12_verbosLingua portuguesa 12_verbos
Lingua portuguesa 12_verbosStudy With Us
 
3º ano ficha matematica1
3º ano ficha matematica13º ano ficha matematica1
3º ano ficha matematica1Study With Us
 
Fichas 12 b_acompanhamento_volume 1
Fichas 12 b_acompanhamento_volume 1Fichas 12 b_acompanhamento_volume 1
Fichas 12 b_acompanhamento_volume 1Study With Us
 
Analise de-graficos10
Analise de-graficos10Analise de-graficos10
Analise de-graficos10Study With Us
 

Mais de Study With Us (8)

Qa casos notáveis da multiplicação v1
Qa  casos notáveis da multiplicação v1Qa  casos notáveis da multiplicação v1
Qa casos notáveis da multiplicação v1
 
Lingua portuguesa 12_verbos
Lingua portuguesa 12_verbosLingua portuguesa 12_verbos
Lingua portuguesa 12_verbos
 
3º ano ficha matematica1
3º ano ficha matematica13º ano ficha matematica1
3º ano ficha matematica1
 
4º ano geografia
4º ano geografia4º ano geografia
4º ano geografia
 
Ficha janeiro em
Ficha janeiro emFicha janeiro em
Ficha janeiro em
 
Prova a45tf
Prova a45tfProva a45tf
Prova a45tf
 
Fichas 12 b_acompanhamento_volume 1
Fichas 12 b_acompanhamento_volume 1Fichas 12 b_acompanhamento_volume 1
Fichas 12 b_acompanhamento_volume 1
 
Analise de-graficos10
Analise de-graficos10Analise de-graficos10
Analise de-graficos10
 

Último

Discuta as principais mudanças e desafios enfrentados pelos profissionais de ...
Discuta as principais mudanças e desafios enfrentados pelos profissionais de ...Discuta as principais mudanças e desafios enfrentados pelos profissionais de ...
Discuta as principais mudanças e desafios enfrentados pelos profissionais de ...azulassessoriaacadem3
 
2. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, sabend...
2. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, sabend...2. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, sabend...
2. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, sabend...azulassessoriaacadem3
 
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...azulassessoriaacadem3
 
1. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, calcul...
1. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, calcul...1. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, calcul...
1. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, calcul...azulassessoriaacadem3
 
Quando iniciamos os estudos sobre a história da Educação de Jovens e Adultos,...
Quando iniciamos os estudos sobre a história da Educação de Jovens e Adultos,...Quando iniciamos os estudos sobre a história da Educação de Jovens e Adultos,...
Quando iniciamos os estudos sobre a história da Educação de Jovens e Adultos,...AaAssessoriadll
 
a. Cite e explique os três princípios básicos da progressão do treinamento de...
a. Cite e explique os três princípios básicos da progressão do treinamento de...a. Cite e explique os três princípios básicos da progressão do treinamento de...
a. Cite e explique os três princípios básicos da progressão do treinamento de...excellenceeducaciona
 
CRUZADINA E CAÇA-PALAVRAS SOBRE PATRIMONIO HISTÓRICO.docx
CRUZADINA  E CAÇA-PALAVRAS SOBRE PATRIMONIO HISTÓRICO.docxCRUZADINA  E CAÇA-PALAVRAS SOBRE PATRIMONIO HISTÓRICO.docx
CRUZADINA E CAÇA-PALAVRAS SOBRE PATRIMONIO HISTÓRICO.docxJean Carlos Nunes Paixão
 
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...azulassessoriaacadem3
 
c) A fosforilação oxidativa é a etapa da respiração celular que mais produz A...
c) A fosforilação oxidativa é a etapa da respiração celular que mais produz A...c) A fosforilação oxidativa é a etapa da respiração celular que mais produz A...
c) A fosforilação oxidativa é a etapa da respiração celular que mais produz A...azulassessoriaacadem3
 
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...azulassessoriaacadem3
 
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...excellenceeducaciona
 
COSMOLOGIA DA ENERGIA ESTRELAS - VOLUME 6. EDIÇÃO 2^^.pdf
COSMOLOGIA DA ENERGIA ESTRELAS - VOLUME 6. EDIÇÃO 2^^.pdfCOSMOLOGIA DA ENERGIA ESTRELAS - VOLUME 6. EDIÇÃO 2^^.pdf
COSMOLOGIA DA ENERGIA ESTRELAS - VOLUME 6. EDIÇÃO 2^^.pdfalexandrerodriguespk
 
Slides Lição 8, Betel, Família, uma Obra em permanente construção, 1Tr24.pptx
Slides Lição 8, Betel, Família, uma Obra em permanente construção, 1Tr24.pptxSlides Lição 8, Betel, Família, uma Obra em permanente construção, 1Tr24.pptx
Slides Lição 8, Betel, Família, uma Obra em permanente construção, 1Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...azulassessoriaacadem3
 
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...azulassessoriaacadem3
 
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...azulassessoriaacadem3
 
Sobre os princípios da teoria burocrática de Max Weber e com base em suas exp...
Sobre os princípios da teoria burocrática de Max Weber e com base em suas exp...Sobre os princípios da teoria burocrática de Max Weber e com base em suas exp...
Sobre os princípios da teoria burocrática de Max Weber e com base em suas exp...azulassessoriaacadem3
 
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...azulassessoriaacadem3
 
1. Solicitar ao entrevistado uma breve apresentação da organização, mencionan...
1. Solicitar ao entrevistado uma breve apresentação da organização, mencionan...1. Solicitar ao entrevistado uma breve apresentação da organização, mencionan...
1. Solicitar ao entrevistado uma breve apresentação da organização, mencionan...excellenceeducaciona
 

Último (20)

Discuta as principais mudanças e desafios enfrentados pelos profissionais de ...
Discuta as principais mudanças e desafios enfrentados pelos profissionais de ...Discuta as principais mudanças e desafios enfrentados pelos profissionais de ...
Discuta as principais mudanças e desafios enfrentados pelos profissionais de ...
 
2. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, sabend...
2. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, sabend...2. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, sabend...
2. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, sabend...
 
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
 
1. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, calcul...
1. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, calcul...1. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, calcul...
1. Considerando todas as informações que você obteve, descritas acima, calcul...
 
Quando iniciamos os estudos sobre a história da Educação de Jovens e Adultos,...
Quando iniciamos os estudos sobre a história da Educação de Jovens e Adultos,...Quando iniciamos os estudos sobre a história da Educação de Jovens e Adultos,...
Quando iniciamos os estudos sobre a história da Educação de Jovens e Adultos,...
 
a. Cite e explique os três princípios básicos da progressão do treinamento de...
a. Cite e explique os três princípios básicos da progressão do treinamento de...a. Cite e explique os três princípios básicos da progressão do treinamento de...
a. Cite e explique os três princípios básicos da progressão do treinamento de...
 
CRUZADINA E CAÇA-PALAVRAS SOBRE PATRIMONIO HISTÓRICO.docx
CRUZADINA  E CAÇA-PALAVRAS SOBRE PATRIMONIO HISTÓRICO.docxCRUZADINA  E CAÇA-PALAVRAS SOBRE PATRIMONIO HISTÓRICO.docx
CRUZADINA E CAÇA-PALAVRAS SOBRE PATRIMONIO HISTÓRICO.docx
 
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
 
c) A fosforilação oxidativa é a etapa da respiração celular que mais produz A...
c) A fosforilação oxidativa é a etapa da respiração celular que mais produz A...c) A fosforilação oxidativa é a etapa da respiração celular que mais produz A...
c) A fosforilação oxidativa é a etapa da respiração celular que mais produz A...
 
Atividade sobre o anacronismo na HIstoria
Atividade sobre o anacronismo na HIstoriaAtividade sobre o anacronismo na HIstoria
Atividade sobre o anacronismo na HIstoria
 
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
 
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
 
COSMOLOGIA DA ENERGIA ESTRELAS - VOLUME 6. EDIÇÃO 2^^.pdf
COSMOLOGIA DA ENERGIA ESTRELAS - VOLUME 6. EDIÇÃO 2^^.pdfCOSMOLOGIA DA ENERGIA ESTRELAS - VOLUME 6. EDIÇÃO 2^^.pdf
COSMOLOGIA DA ENERGIA ESTRELAS - VOLUME 6. EDIÇÃO 2^^.pdf
 
Slides Lição 8, Betel, Família, uma Obra em permanente construção, 1Tr24.pptx
Slides Lição 8, Betel, Família, uma Obra em permanente construção, 1Tr24.pptxSlides Lição 8, Betel, Família, uma Obra em permanente construção, 1Tr24.pptx
Slides Lição 8, Betel, Família, uma Obra em permanente construção, 1Tr24.pptx
 
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
4. Agora para analisar os resultados obtidos, você irá utilizar a classificaç...
 
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
ATIVIDADE PROPOSTA: Considerando o "estudo de caso" apresentado na disciplina...
 
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
01. Considerando as informações da imagem acima, explique de formas simples e...
 
Sobre os princípios da teoria burocrática de Max Weber e com base em suas exp...
Sobre os princípios da teoria burocrática de Max Weber e com base em suas exp...Sobre os princípios da teoria burocrática de Max Weber e com base em suas exp...
Sobre os princípios da teoria burocrática de Max Weber e com base em suas exp...
 
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
 
1. Solicitar ao entrevistado uma breve apresentação da organização, mencionan...
1. Solicitar ao entrevistado uma breve apresentação da organização, mencionan...1. Solicitar ao entrevistado uma breve apresentação da organização, mencionan...
1. Solicitar ao entrevistado uma breve apresentação da organização, mencionan...
 

L hopital

  • 1. FORMAS INDETERMINADAS E A REGRA DE L’HˆOPITAL RICARDO MAMEDE Consideremos o limite lim x→a f(x) g(x) . Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x → a, digamos α e β, e β = 0, ent˜ao pela ´algebra dos limites sabemos que lim x→a f(x) g(x) = α β . Mas o que acontece quando ambas as fun¸c˜oes tendem para zero? Neste caso, n˜ao podemos garantir `a partida qual o valor do limite. De facto, nem podemos garantir que este limite exista, como se pode comprovar nos exemplos seguintes: lim x→0 x2 x = lim x→0 x = 0 lim x→0 x x2 = lim x→0 1 x = ∞ lim x→0 2x x = lim x→0 2 = 2 lim x→0 −x x2 = lim x→0 −1 x = −∞ lim x→0 x sin2 (x) n˜ao existe lim x→0 sin2 (x) x = 0 Todos estes casos s˜ao exemplos de indetermina¸c˜oes do tipo (0 0 ). Veremos que a regra de L’Hˆopital, que demonstraremos a seguir, ´e um instrumento muito ´util para tratar indetermina¸c˜oes do tipo (0 0 ) ou (∞ ∞ ). Para outras formas indeterminadas – 0×∞, ∞−∞, 1∞ , 00 e ∞0 –, existem t´ecnicas que podem ser aplicadas de modo a transform´a-las em indetermina¸c˜oes do tipo (0 0 ) ou (∞ ∞ ), de modo que a regra de L’Hˆopital pode igualmente ser usada. Existem v´arias demonstra¸c˜oes da regra de L’Hˆopital, e mesmo diferentes vers˜oes desta regra. A demonstra¸c˜ao mais usual da regra ´e devida a Cauchy e faz uso do chamado Teorema do Valor M´edio de Cauchy, tamb´em conhecido por Teorema do Valor M´edio Generalizado. Neste texto, no entanto, opt´amos por apresentar uma demonstra¸c˜ao alter- nativa que evita o uso deste teorema. Teorema 1 (Regra de L’Hˆopital). Sejam f, g : [a, b) → R fun¸c˜oes diferenci´aveis em (a, b) e tais que lim x→a+ f(x) = lim x→a+ g(x) = 0 ou lim x→a+ f(x) = lim x→a+ g(x) = ±∞. Se g (x) = 0 para todo o x ∈ (a, b), ent˜ao lim x→a+ f(x) g(x) = lim x→a+ f (x) g (x) , desde que este ´ultimo limite exista (ou seja igual a ±∞). O mesmo resultado ´e v´alido quando: • se consideram limites `a esquerda limx→a− e f e g diferenci´aveis no intervalo (d, a); 1
  • 2. 2 RICARDO MAMEDE • se consideram limites limx→a e f e g s˜ao diferenci´aveis nos intervalos (d, a) e (a, b); • se consideram os limites limx→∞ ou limx→−∞ e f e g s˜ao diferenci´aveis no inter- valo (b, ∞) ou (−∞, b). Demonstra¸c˜ao. Comecemos por mostrar que todas estas vers˜oes podem ser reduzidas ao caso x → 0− com f(x), g(x) → 0 ou f(x), g(x) → +∞, atrav´es de mudan¸cas de vari´avel adequadas e outras manipula¸c˜oes. (1) Quando x → +∞, a mudan¸ca de vari´avel u = 1/x permite escrever lim x→+∞ f(x) g(x) = lim u→0+ f(1/u) g(1/u) L H = lim u→0+ f (1/u)(−1)/u2 g (1/u)(−1)/u2 = lim x→+∞ f (x) g (x) . (2) Quando x → −∞, efectuamos a mudan¸ca de vari´avel u = −1/x e procedemos como em (1). (3) Quando x → 0, consideramos os limites x → 0− e x → 0+ separadamente e tratamos este ´ultimo limite usando a substitui¸c˜ao u = −x. (4) O caso x → a reduz-se ao anterior atrav´es da substitui¸c˜ao u = x − a. (5) Se f(x) → −∞ ou g(x) → −∞ substitu´ımos f por −f ou g por −g. (6) Finalmente, quando lim f(x)/g(x) = −∞, substitu´ımos f por −f ou g por −g para reduzir este caso ao limite lim f(x)/g(x) = ∞. De seguida aplicamos a regra de L’Hˆopital a lim g(x)/f(x). Temos ent˜ao dois casos a tratar: (a) x → 0− , f(x) → 0, g(x) → 0 e (b) x → 0− , f(x) → ∞, g(x) → +∞. Caso (a). Podemos definir (se necess´ario) f(0) = g(0) = 0 e considerar g (x) > 0 (caso contr´ario utilizamos a fun¸c˜ao −g(x)). Suponhamos que limx→0− f (x)/g (x) = , com 0 ≤ < ∞. Ent˜ao, dado > 0 temos − ≤ f (x) g (x) ≤ + , para x suficientemente pr´oximos de 0, `a esquerda. Como estamos a supor g (x) > 0, obtemos ( − )g (x) ≤ f (x) ≤ ( + )g (x). De seguida, integrando os membros desta express˜ao no intervalo (x, 0) temos −( − )g(x) ≤ −f(x) ≤ −( + )g(x). Notemos que uma vez que g(x) → 0 e g (x) > 0, temos g(x) < 0 no intervalo (x, 0). Assim, podemos escrever − ≤ f(x) g(x) ≤ + , ou seja, lim x→0− f(x) g(x) = . Caso (b). A demonstra¸c˜ao que efectu´amos pode ser adaptada para tratar o caso (b). Suponhamos limx→0− f (x)/g (x) = , com 0 ≤ < ∞, e g (x) > 0. Ent˜ao, dado > 0 podemos escrever, tal como no caso anterior, ( − )g (x) ≤ f (x) ≤ ( + )g (x),
  • 3. 3 para x suficientemente pr´oximos de 0, `a esquerda. Consideremos a segunda desigualdade. Considerando y < x, integrando ambos os membros desta desigualdade sobre o intervalo (y, x) , obtemos f(x) − f(y) ≤ ( + )[g(x) − g(y)]. Notemos que uma vez que g (x) > 0 e g(x) → ∞, podemos concluir que g(x) > 0. Assim, podemos escrever f(x) g(x) − ( + ) ≤ f(y) − ( + )g(y) g(x) . Fixemos y. Ent˜ao, para x suficientemente pr´oximo de 0, `a esquerda, o segundo membro desta desigualdade ´e inferior a , pelo que f(x) g(x) − ≤ 2 . De modo an´alogo obtemos −2 ≤ f(x) g(x) − , para x suficientemente pr´oximo de 0, `a esquerda, donde se conclui que limx→0− f(x)/g(x) = . Notemos que pode acontecer que, nas condi¸c˜oes deste teorema, tamb´em as fun¸c˜oes f (x) e g (x) tendam para zero (ou infinito). Neste caso, o limite de f (f)/g (x) n˜ao pode ser calculado directamente, mas podemos voltar a usar a regra de L’Hˆopital para calcular este limite analisando o quociente f (x)/g (x). Mais geralmente, se as fun¸c˜oes f, f , . . . , fk−1 , g, g , . . . , gk−1 tendem para zero quando x tende para a+ ou a− , ou a, ou ±∞, e fk (x)/gk (x) → , ent˜ao tamb´em f(x)/g(x) → . Exemplo 1. Calculemos o limite lim x→0 sin x x . Estamos perante uma indetermina¸c˜ao do tipo 0 0 . As fun¸c˜oes f(x) = sin(x) e g(x) = x est˜ao nas condi¸c˜oes do teorema anterior, pois ambas as fun¸c˜oes s˜ao diferenci´aveis numa vizinhan¸ca de zero e g (x) = 1, para todo o x = 0. Como limx→0 f (x) g (x) = limx→0 cos(x) = 0, pela regra de L’Hˆopital conclu´ımos que lim x→0 sin x x = 0. Exemplo 2. Consideremos agora o seguinte limite: lim x→1 x5 − 5x + 4 (x − 1)2 . Trata-se de uma indetermina¸c˜ao 0 0 e as fun¸c˜oes f(x) = x5 − 5x + 4 e g(x) = (x − 1)2 satisfazem as condi¸c˜oes da regra de L’Hˆopital. No entanto, o limite lim x→1 f (x) g (x) = lim x→1 5x − 5 2(x − 1) ainda ´e uma indetermina¸c˜ao 0 0 . As fun¸c˜oes f (x) e g (x) tamb´em satisfazem as condi¸c˜oes da regra e lim x→1 f (x) g (x) = lim x→1 5 2 = 5 2 . Conclu´ımos assim que lim x→1 x5 − 5x + 4 (x − 1)2 = lim x→1 5x − 5 2(x − 1) = 5 2 . Exemplo 3. Calculemos o limite limx→∞ x2 1+ex . Trata-se de uma indetermina¸c˜ao ∞ ∞ ; as fun¸c˜oes f(x) = x2 e g(x) = 1 + ex s˜ao diferenci´aveis em R e g (x) = ex = 0 para
  • 4. 4 RICARDO MAMEDE todo o x ∈ R. Como limx→∞ f (x) g (x) = limx→∞ 2x ex ´e novamente uma indetermina¸c˜ao ∞ ∞ , consideramos o limx→∞ f (x) g (x) = limx→∞ 2 ex = 0. Podemos ent˜ao concluir que lim x→∞ x2 1 + ex = lim x→∞ f (x) g (x) = lim x→∞ f (x) g (x) = 0. Antes de apresentarmos mais exemplos, conv´em chamar a aten¸c˜ao para a importˆancia de se verificarem as hip´oteses da regra antes de a utilizar. Em primeiro lugar a regra n˜ao funciona se o limite f(x)/g(x) n˜ao for uma indetermina¸c˜ao do tipo (0 0 ) ou (∞ ∞ ), como se pode verificar no exemplo seguinte. Exemplo 4. O limite lim x→0 x + 1 x n˜ao existe, mas se tentarmos aplicar a regra de L’Hˆopital obtemos uma resposta errada: lim x→0 x + 1 x = lim x→0 1 1 = 1. A raz˜ao reside no facto do limite inicial n˜ao ser uma indetermina¸c˜ao do tipo (0 0 ) ou (∞ ∞ ). Outro ponto a ter em conta ao usarmos a regra de L’Hˆopital, ´e o facto de s´o podermos assegurar a igualdade lim x→a+ f(x) g(x) = lim x→a+ f (x) g (x) quando o segundo limite existe. Apesar da existˆencia do limite limx→a+ f (x) g (x) ser uma condi¸c˜ao suficiente para a existˆencia de limx→a+ f(x) g(x) (se as fun¸c˜oes estiverem nas condi¸c˜oes do teorema 1), esta n˜ao ´e uma condi¸c˜ao necess´aria. Ou seja, se o limite limx→a+ f (x) g (x) n˜ao existir n˜ao podemos tirar qualquer conclus˜ao acerca da existˆencia do limite limx→a+ f(x) g(x) , como se pode comprovar nos pr´oximos exemplos. Exemplo 5. (Indetermina¸c˜oes do tipo 0 0 ) Se f(x) = x2 sin(1/x) e g(x) = sin(x), ent˜ao o limite limx→0 f (x) g (x) n˜ao existe, enquanto que limx→0 f(x) g(x) = 0. Por outro lado, se f(x) = x sin(1/x) e g(x) = sin(x), nenhum dos limites limx→0 f (x) g (x) e limx→0 f(x) g(x) existe. Exemplo 6. (Indetermina¸c˜oes do tipo ∞ ∞ ) Se f(x) = x(2 + sin x) e g(x) = x2 + 1, ent˜ao o limite limx→0 f (x) g (x) n˜ao existe, enquanto que limx→0 f(x) g(x) = 0. Por outro lado, se f(x) = x(2 + sin x) e g(x) = x2 + 1, nenhum dos limites limx→0 f (x) g (x) e limx→0 f(x) g(x) existe. Existe ainda um terceiro factor a ter em conta: a existˆencia de zeros de g (x) numa vizinhan¸ca (a, b) do ponto a. Se a fun¸c˜ao g (x) se anula em qualquer intervalo aberto da forma (a, b), ent˜ao f (x)/g (x) n˜ao se encontra definido em (a, b) e podemos afirmar que o limite limx→a+ f (x) g (x) n˜ao existe. Existe, contudo, a possibilidade de f e g possu´ırem um factor comum: f (x) = s(x)ψ(x) e g (x) = s(x)ω(x), tal que o limite ψ(x)/ω(x) existe. ´E natural cancelar o factor s(x), mas pode acontecer que limx→a+ ψ(x) ω(x) exista mas
  • 5. 5 limx→a+ f(x) g(x) n˜ao exista, como se pode verificar no exemplo seguinte (onde consideramos o caso a = ∞). Exemplo 7. Sejam f(x) = 1 2 (x+cos(x) sin(x)) e g(x) = f(x)esin(x) . Temos limx→∞ f(x) = ∞ e limx→∞ g(x) = ∞. Tentemos aplicar a regra de L’Hˆopital ao quociente f(x)/g(x). Temos de considerar f (x)/g (x), onde f (x) = cos2 (x) e g (x) = cos2 (x)esin(x) + f(x) cos(x)esin(x) . Segue que g (x) = 0 sempre que cos(x) = 0, isto ´e, a fun¸c˜ao g tem zeros em todos os intervalos da forma (b, ∞), e portanto, n˜ao podemos aplicar a regra de L’Hˆopital. Calculemos, todavia, o limite de f (x)/g (x). Ap´os cancelarmos um dos factores cos(x), obtemos f (x) g (x) = cos x cos(x)esin(x) + f(x)esin(x) , e podemos verificar que limx→∞ f (x) g (x) = 0, pois os termos cos(x), cos(x)esin(x) e esin(x) , s˜ao limitados e f(x) → ∞. No entanto, f(x) g(x) = 1 esin(x) n˜ao se pode aproximar de zero quando x → ∞ uma vez que esin(x) ´e uma fun¸c˜ao limitada. Vamos de seguida descrever m´etodos para, mediante manipula¸c˜oes alg´ebricas, transfor- mar qualquer uma das restantes formas indeterminadas – 0 × ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00 e ∞0 – numa indetermina¸c˜ao do tipo 0 0 ou ∞ ∞ , sobre as quais podemos usar a regra de L’Hˆopital. Com as nota¸c˜oes ´obvias, temos: (0 × ∞) lim x→a (f(x) × g(x)) = lim x→a f(x) × 1 1 g(x) = lim x→a f(x) 1 g(x) (0 0 ) (∞ − ∞) lim x→a (f(x) − g(x)) = lim x→a 1 1 f(x) − 1 1 g(x) = lim x→a 1 g(x) − 1 f(x) 1 f(x)g(x) (0 0 ) (1∞ ) lim x→a (f(x))g(x) = lim x→a eln[(f(x))g(x)] = eg(x)×ln f(x) (∞ × 0) (00 ) lim x→a (f(x))g(x) = lim x→a eln[(f(x))g(x)] = eg(x)×ln f(x) (0 × ∞) (∞0 ) lim x→a (f(x))g(x) = lim x→a eln[(f(x))g(x)] = eg(x)×ln f(x) (0 × ∞)
  • 6. 6 RICARDO MAMEDE Exemplo 8. Calculemos lim x→0+ x ln x. Trata-se de uma indetermina¸c˜ao 0 × ∞. Seguindo a tabela anterior, fazemos lim x→0+ x ln x = lim x→0+ ln x 1 x (∞/∞) = lim x→0+ (ln x) (1 x ) = lim x→0+ 1/x −1/x2 = lim x→0+ −x = 0. Exemplo 9. Consideremos agora o limite lim x→0+ ( 1 x − 1 sin(x) ). Estamos perante uma inde- termina¸c˜ao do tipo ∞ − ∞. Assim, temos: lim x→0+ ( 1 x − 1 sin(x) ) = lim x→0+ sin(x) − x x sin(x) (0/0) = lim x→0+ (sin(x) − x) (x sin(x)) = lim x→0+ cos(x) − 1 sin(x) + x cos(x) (0/0) = lim x→0+ (cos(x) − 1) (sin(x) + x cos(x)) = lim x→0+ − sin(x) 2 cos(x) − x sin(x) = 0. Exemplo 10. O limite lim x→∞ 1 + 1 x x ´e um exemplo de uma indetermina¸c˜ao 1∞ . Come- cemos por escrever lim x→∞ 1 + 1 x x = lim x→∞ ex ln(1+ 1 x ). O expoente representa uma indetermina¸c˜ao ∞ × 0. Temos: lim x→∞ x ln 1 + 1 x = lim x→∞ ln(1 + 1 x ) 1 x (0/0) = lim x→∞ (ln(1 + 1 x )) (1 x ) = lim x→∞ 1 1 + 1 x = 1. Portanto, lim x→∞ 1 + 1 x x = e1 = e. Exemplo 11. Consideremos agora o limite lim x→0+ xx . Trata-se de uma indetermina¸c˜ao 00 . Seguindo a informa¸c˜ao da tabela anterior, podemos escrever: lim x→0+ xx = lim x→0+ ex ln x . No exemplo 8 vimos que limx→0+ x ln(x) = 0, donde se conclui que lim x→0+ xx = e0 = 1. Exemplo 12. Consideremos por fim um exemplo de uma indetermina¸c˜ao ∞0 . Calculemos o limite lim x→∞ (ex + 7) 1 x . Temos lim x→∞ (ex + 7) 1 x = lim x→∞ e 1 x ln(ex+7) .
  • 7. 7 Calculemos o limite do expoente, o qual se trata de uma indetermina¸c˜ao ∞/∞: lim x→∞ ln(ex + 7) x = lim x→∞ (ln(ex + 7)) x = lim x→∞ ex ex + 7 (∞/∞) = lim x→∞ (ex ) (ex + 7) = lim x→∞ ex ex = 1. Deste modo, lim x→∞ (ex + 7) 1 x = e1 = e. Referˆencias [1] T.M. Apostol, Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 2, John Wiley & Sons Inc., 1967. [2] R.P. Boas, Counterexamples to L’Hopital’s Rule, Amer. Math. Monthly 93, 644-645, 1986. [3] R.P. Boas, Indeterminate Forms Revisited, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 3 (Jun., 1990), pp. 155-159.