AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc.Apresenta¸˜o         caR2Rectas   ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                     Bem vindo!  C´nicas, ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                          Programa  C´nica...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                          Bibliografia  C´n...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                           Sitegrafia  C´ni...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                           Avalia¸˜o      ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc.Apresenta¸˜o         ca           ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc.Apresenta¸˜o         caR2Rectas   ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc.Apresenta¸˜o         caR2RectasPar...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Rectas  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc.Apresenta¸...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                          Rectas  C´nicas,    o Qu´dricas,...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                            Rectas  C´nica...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Par´bolas                     a  C´nicas,    o Qu´dricas...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                           Par´bolas                      ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                         Par´bolas        ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Circunferˆncias                           e  C´nicas,   ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                        Circunferˆncias                   ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                        Circunferˆncias   ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Elipses  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc.Apresenta...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                                 Elipses  ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                                     Elips...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Hip´rboles                     e  C´nicas,    o Qu´drica...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                         Hip´rboles       ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                            Hip´rboles    ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                          x3  C´nicas,    ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                          x3  C´nicas,    ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                            M´dulo                             o  C´nicas,...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                     M´dulo               ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                               Raiz  C´nicas,    o Qu´dricas,    a        ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                               Raiz  C´nicas,    o Qu´dricas,    a        ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca                           1  Revis˜es:        o                  x  C´nicas,    o Qu´dricas, ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca                           1  Revis˜es:        o                  x  C´nicas,    o Qu´dricas, ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                Exponenciais  C´nicas,    o Qu´dricas,    ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                      Exponenciais  C´nicas,    o Qu´drica...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                     Logaritmos  C´nicas,    o Qu´dricas, ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                           Logaritmos  C´nicas,    o Qu´dr...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                               Seno  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                               Seno  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                               Co-seno  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                               Co-seno  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                               Tangente  C´nicas,    o Qu´dricas,    a    ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                               Tangente  C´nicas,    o Qu´dricas,    a    ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc.Apresenta¸˜o         caR2RectasPar...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                Paraboloide  C´nicas,    o Qu´dricas,    a...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                Paraboloide  C´nicas,    o Qu´dricas,    a...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Superf´ C´nica - Cone                        ıcie o  C´n...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Superf´ C´nica - Cone                        ıcie o  C´n...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Superf´ cil´                        ıcie ındrica - Cilin...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Superf´ cil´                        ıcie ındrica - Cilin...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                         Hiperboloide de 1 folha  C´nicas,    o Qu´dricas,...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                         Hiperboloide de 1 folha  C´nicas,    o Qu´dricas,...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                        Hiperboloide de 2 folhas  C´nicas,    o Qu´dricas,...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                        Hiperboloide de 2 folhas  C´nicas,    o Qu´dricas,...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                       Esfera  C´nicas,    o Qu´dricas,   ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                       Esfera  C´nicas,    o Qu´dricas,   ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                                Resumo  C´...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                      Descentradas  C´nica...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                              El´         ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                          Outro eixo  C´ni...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                      Resumo generalizadas  C´nicas,    o ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                   Cilindro parab´lico                                 o  ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                   Cilindro parab´lico                                 o  ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                      Cilindro hiperb´lico                                ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                      Cilindro hiperb´lico                                ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Paraboloide hiperb´lico                                 ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                  Paraboloide hiperb´lico                                 ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                               outras...  C´nicas,    o Qu´dricas,    a   ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                           Rectas em R3  C...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o  C´nicas,    o Qu´dricas,    a             donde     etc.                ...
AM2          Notas:Apresenta¸˜o;          ca          (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) ´ o vector director da recta.        ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o                                                                       Pla...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o  C´nicas,    o             Equa¸˜o param´trica do plano:                 ...
AM2Apresenta¸˜o;          ca  Revis˜es:        o  C´nicas,    o Qu´dricas,    a     etc.Apresenta¸˜o         caR2RectasPar...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

01 Apresentação Cónicas e Quádricas

3.859 visualizações

Publicada em

Cónicas e Quádricas
Regiões de IR^2 e de IR^3
Análise Matemática 2.

Para obter os ficheiros em LaTeX envie email para sandra.gaspar.martins@gmail.com ... eu envio com todo o gosto!

2 comentários
3 gostaram
Estatísticas
Notas
Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
3.859
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
109
Comentários
2
Gostaram
3
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

01 Apresentação Cónicas e Quádricas

  1. 1. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2Rectas An´lise Matem´tica 2 a aParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutras Apresenta¸˜o; caR3 Revis˜es: C´nicas, Qu´dricas, etc. o o aParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsfera 2o Semestre 2011/12Resumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 1/45
  2. 2. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Bem vindo! C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Professora: Sandra Gaspar MartinsApresenta¸˜o caR2Rectas email: sandra.martins@adm.isel.ptParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles e P´gina de apoio: aOutrasR3 http://moodle.isel.pt/dec/course/view.php?id=7ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folha Hor´rio de d´vidas: a uHiperb.2 folhasEsferaResumo 1 2a s - das 9h30 `s 11h; depois das 12h30. aDescentradasEl´ ıpticas 3a s - depois das 11h00.Outro eixoResumo 2Outras sup. 5a s - depois das 12h30.RectasPlanos 6a s - depois das 11h00. sala C.2.4 2/45
  3. 3. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Programa C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias e 1 Introdu¸˜o aos campos escalares e vectoriais. caElipsesHip´rboles e 2 C´lculo diferencial em Rn . aOutrasR3 3 C´lculo integral em Rn . aParaboloideCone 1 Integrais m´ltiplos. uCilindroHiperb.1 folha 2 Integrais de linha.Hiperb.2 folhasEsfera 3 Integrais de superf´ıcie.Resumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 3/45
  4. 4. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Bibliografia C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2 1 J. Marsden, A. Tromba, Vector Calculus, 4th Edition,RectasParabolas W.H. Freeman and Company, 1996.Circunferˆncias eElipses 2 McCallum, Hughes-Hallett, et al., Multivariable Calculus,Hip´rboles eOutras 5th Ed., Wiley, 2009R3Paraboloide 3 A. Azenha, M. Am´lia Ger´nimo, C´lculo Diferencial e e o aConeCilindro Integral em IR e IRn, McGraw- Hill, 1995.Hiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsfera 4 J. Stewart, C´lculo, Vol.1 e 2, Thomson Learning, 2002. aResumo 1Descentradas 5 O. Baptista, Integrais duplos, triplos, de linha e deEl´ ıpticasOutro eixo superf´ ıcie, S´ ılabo, 2001.Resumo 2Outras sup.RectasPlanos 4/45
  5. 5. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Sitegrafia C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 1 http://www.wolframalpha.com/Apresenta¸˜o ca 2 Integrais duplos (applet)R2 http://www.flashandmath.com/mathlets/RectasParabolas multicalc/doubint/double_integrals.htmlCircunferˆncias eElipsesHip´rboles e 3 Integrais duplos e triplos (applet- MIT)Outras http://www.flashandmath.com/mathlets/R3Paraboloide multicalc/doubint/double_integrals.htmlConeCilindro 4 V´rios applets http://www.flashandmath.com/ aHiperb.1 folhaHiperb.2 folhas mathlets/multicalc/index.htmlEsferaResumo 1Descentradas 5 Aulas (tudo) MITEl´ ıpticasOutro eixo http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/Resumo 2Outras sup. 18-02-multivariable-calculus-fall-2007/RectasPlanos 6 Tutorial http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/CalcIII.aspx 5/45
  6. 6. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Avalia¸˜o ca C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2 Regime de Avalia¸˜o Cont´ ca ınua: Um teste global realizadoRectasParabolas em duas partes ao longo do semestre.Circunferˆncias eElipsesHip´rboles e Regime de Exame: Um exame final.OutrasR3ParaboloideCone Ser´ disponibilizada tabela com derivadas e primitivas nas aCilindroHiperb.1 folha avalia¸˜es. coHiperb.2 folhasEsferaResumo 1Descentradas Inscrever no Moodle para todos os momentos de avalia¸˜o. caEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 6/45
  7. 7. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca Para fazer revis˜es da mat´ria do secund´rio... o e aR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles e http://modulos.math.ist.utl.pt/Outras ouR3ParaboloideConeCilindro http://cmup.fc.up.pt/cmup/apoiomat/index.htmlHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 7/45
  8. 8. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2Rectas C´nicas e outras regi˜es... o oParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindro em R2Hiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 8/45
  9. 9. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 9/45
  10. 10. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Rectas C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 10/45
  11. 11. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Rectas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = mx + b m, b ∈ RApresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 10/45
  12. 12. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Rectas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = mx + b m, b ∈ RApresenta¸˜o ca m decliveR2Rectas b ordenada na origemParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 10/45
  13. 13. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Par´bolas a C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 11/45
  14. 14. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Par´bolas a C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ RApresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 11/45
  15. 15. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Par´bolas a C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R √Apresenta¸˜o ca −b ± b 2 − 4acR2 zeros: x =Rectas 2aParabolas a>0 ∪Circunferˆncias eElipses a<0 ∩Hip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 11/45
  16. 16. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Circunferˆncias e C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 12/45
  17. 17. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Circunferˆncias e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ RApresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 12/45
  18. 18. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Circunferˆncias e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ RApresenta¸˜o caR2 (a, b) centroRectasParabolas r raioCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 12/45
  19. 19. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Elipses C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 13/45
  20. 20. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Elipses C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 2 2 x −a y −bApresenta¸˜o ca + = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 c dR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 13/45
  21. 21. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Elipses C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 2 2 x −a y −bApresenta¸˜o ca + = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 c dR2RectasParabolas (a, b) centroCircunferˆncias eElipses c, d semi-eixosHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 13/45
  22. 22. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hip´rboles e C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 14/45
  23. 23. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hip´rboles e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 2 2 x −a y −bApresenta¸˜o ca − = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 c dR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 14/45
  24. 24. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hip´rboles e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 2 2 x −a y −bApresenta¸˜o ca − = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 c dR2Rectas (a, b) centroParabolasCircunferˆncias e c distˆncia ao centro aElipses dHip´rboles e c abertura dos arcosOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 14/45
  25. 25. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o x3 C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = ax 3 + bx 2 + cx + d a, b, c, d ∈ RApresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 15/45
  26. 26. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o x3 C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = ax 3 + bx 2 + cx + d a, b, c, d ∈ RApresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 15/45
  27. 27. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o M´dulo o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = |x|Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 16/45
  28. 28. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o M´dulo o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = |x|Apresenta¸˜o caR2 x se x ≥0Rectas |x| =Parabolas −x se x <0Circunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 16/45
  29. 29. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Raiz C´nicas, o Qu´dricas, a √ etc. y= xApresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 17/45
  30. 30. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Raiz C´nicas, o Qu´dricas, a √ etc. y= xApresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 17/45
  31. 31. AM2Apresenta¸˜o; ca 1 Revis˜es: o x C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 1 y=Apresenta¸˜o ca xR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 18/45
  32. 32. AM2Apresenta¸˜o; ca 1 Revis˜es: o x C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 1 y=Apresenta¸˜o ca xR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 18/45
  33. 33. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Exponenciais C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca y = ax , a ∈ R+R2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 19/45
  34. 34. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Exponenciais C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca y = ax , a ∈ R+R2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutras a>1 a<1R3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 19/45
  35. 35. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Logaritmos C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = loga (x), a ∈ R+Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 20/45
  36. 36. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Logaritmos C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = loga (x), a ∈ R+Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipses a>1 a<1Hip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 20/45
  37. 37. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Seno C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2Rectas y = sin(x)ParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 21/45
  38. 38. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Seno C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2Rectas y = sin(x)ParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 21/45
  39. 39. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Co-seno C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2Rectas y = cos(x)ParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 22/45
  40. 40. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Co-seno C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2Rectas y = cos(x)ParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 22/45
  41. 41. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Tangente C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2Rectas y = tan(x)ParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 23/45
  42. 42. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Tangente C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2Rectas y = tan(x)ParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 23/45
  43. 43. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias e Qu´dricas e outras regi˜es...1 a oElipsesHip´rboles eOutrasR3Paraboloide em R3.ConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 1 Os gr´ficos desta sec¸˜o foram retirados de Wolfram|Alpha a ca http://www.wolframalpha.com/ 24/45
  44. 44. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Paraboloide C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca x2 + y2 = zR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 25/45
  45. 45. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Paraboloide C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca x2 + y2 = zR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 25/45
  46. 46. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Superf´ C´nica - Cone ıcie o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x2 + y2 = z2Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 26/45
  47. 47. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Superf´ C´nica - Cone ıcie o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x2 + y2 = z2Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 26/45
  48. 48. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Superf´ cil´ ıcie ındrica - Cilindro C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = R 2, R∈RApresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 27/45
  49. 49. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Superf´ cil´ ıcie ındrica - Cilindro C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = R 2, R∈RApresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 27/45
  50. 50. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hiperboloide de 1 folha C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = z 2 + A, A ∈ R+Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 28/45
  51. 51. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hiperboloide de 1 folha C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = z 2 + A, A ∈ R+Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 28/45
  52. 52. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hiperboloide de 2 folhas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = z 2 − A, A ∈ R+Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 29/45
  53. 53. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hiperboloide de 2 folhas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = z 2 − A, A ∈ R+Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 29/45
  54. 54. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Esfera C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca x2 + y 2 + z2 = R2R2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 30/45
  55. 55. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Esfera C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca x2 + y 2 + z2 = R2R2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 30/45
  56. 56. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Resumo C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias e x2 + y 2 = z paraboloideElipsesHip´rboles e x2 + y 2 = z 2 coneOutras x2 + y 2 = R 2 cilindroR3Paraboloide x2 + y 2 = z 2 + A hiperboloide de 1 folhaConeCilindro x2 + y 2 = z 2 − A hiperboloide de 2 folhasHiperb.1 folhaHiperb.2 folhas x2 + y 2 + z 2 = R 2 esferaEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 31/45
  57. 57. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Descentradas C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca Todas estas superf´ ıcies podem ser descentradas, ou seja, n˜o aR2 terem o centro na origem:RectasParabolasCircunferˆnciasElipses e (x − a)2 + (y − b)2 = zHip´rboles eOutras (x − a)2 + (y − b)2 = z 2R3 (x − a)2 + (y − b)2 = R 2ParaboloideConeCilindro (x − a)2 + (y − b)2 = z 2 + AHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsfera (x − a)2 + (y − b)2 = z 2 − AResumo 1DescentradasEl´ ıpticas (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2Outro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 32/45
  58. 58. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o El´ ıpticas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Todas estas superf´ ıcies podem ser el´ ıpticas em vez de circulares:Apresenta¸˜o ca x 2 y 2R2 + =zRectas c dParabolasCircunferˆncias e x 2 y 2Elipses + = z2Hip´rboles eOutras c dR3 x 2 y 2Paraboloide + = R2Cone c dCilindroHiperb.1 folha x 2 y 2Hiperb.2 folhas + = z2 + AEsferaResumo 1 c dDescentradas x 2 y 2El´ ıpticasOutro eixo + = z2 − AResumo 2 c dOutras sup.Rectas x 2 y 2 z 2Planos + + =1 c d e 33/45
  59. 59. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Outro eixo C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolas Todas estas superf´ıcies podem ser ao longo de outro eixo, porCircunferˆncias eElipses exemplo o eixo dos xx’s:Hip´rboles eOutras z 2 + y 2 = x paraboloideR3 z2 + y 2 = x 2 coneParaboloideCone z2 + y 2 = R 2 cilindroCilindroHiperb.1 folha z2 + y 2 = x 2 + A hiperboloide de 1 folhaHiperb.2 folhasEsfera z2 + y 2 = x 2 − A hiperboloide de 2 folhasResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 34/45
  60. 60. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Resumo generalizadas C´nicas, o Qu´dricas, a 2 2 etc. y −a z −b + =xApresenta¸˜o ca c dR2 2 2Rectas y −a z −bParabolas + = x2Circunferˆncias e c dElipsesHip´rboles e 2 2Outras y −a z −bR3 + = R2Paraboloide c dConeCilindro 2 2 y −a z −b = x2 + AHiperb.1 folhaHiperb.2 folhas +Esfera c dResumo 1Descentradas 2 2El´ ıpticas y −a z −bOutro eixo + = x2 − AResumo 2Outras sup. c dRectas 2 2 2Planos y −a z −b x −e + + =1 c d f 35/45
  61. 61. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Cilindro parab´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2 z = x2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 36/45
  62. 62. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Cilindro parab´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2 z = x2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 36/45
  63. 63. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Cilindro hiperb´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca x2 − y 2 = R2R2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 37/45
  64. 64. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Cilindro hiperb´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca x2 − y 2 = R2R2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 37/45
  65. 65. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Paraboloide hiperb´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca x2 − y2 = zR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 38/45
  66. 66. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Paraboloide hiperb´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o ca x2 − y2 = zR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 38/45
  67. 67. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o outras... C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2Rectas z = sin(x)ParabolasCircunferˆncias e √Elipses y= xHip´rboles eOutrasR3 y =xParaboloideConeCilindro z = −xHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixo ...Resumo 2Outras sup.RectasPlanos 39/45
  68. 68. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Rectas em R3 C´nicas, o Qu´dricas, a Sejam A e B dois pontos da recta: etc. A = (x1 , x2 , x3 )Apresenta¸˜o ca B = (y1 , y2 , y3 )R2 P = (x, y , z) pertence ` recta sse aRectasParabolasCircunferˆncias e AP = λABElipsesHip´rboles eOutras P − A = λABR3 P = A + λAB, λ∈RParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhas Equa¸˜o vectorial da recta: caEsferaResumo 1Descentradas (x,y,z)=(x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ), λ∈REl´ ıpticasOutro eixoResumo 2 Equa¸˜o param´trica da recta: ca eOutras sup.Rectas Planos  x=x1 + λ(x2 − x1 ) y=y1 + λ(y2 − y1 ) z=z1 + λ(z2 − z1 )  40/45
  69. 69. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a donde etc.   λ= x − x1 x2 − x1   Apresenta¸˜o ca  y − y1R2 λ=Rectas  y2 − y1Parabolas    λ=  z − z1Circunferˆncias eElipses z2 − z1Hip´rboles eOutrasR3Paraboloide Equa¸˜o cartesiana ou normal da recta: caConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhas x − x1 y − y1 z − z1Esfera = =Resumo 1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 41/45
  70. 70. AM2 Notas:Apresenta¸˜o; ca (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) ´ o vector director da recta. e Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a Se uma das coordenadas do vector director ´ nula, por e etc. exemplo, x2 − x1 = 0, a equa¸˜o normal da recta ´ ca eApresenta¸˜o ca y − y1 z − z1R2 x = x1 =Rectas y2 − y1 z2 − z1ParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles e Se duas coordenadas do vector director forem nulas, porOutras exemplo, x2 − x1 = z2 − z1 = 0 ent˜o a equa¸˜o normal a caR3Paraboloide da recta ´ eConeCilindro x = x1 ∧ z = z1Hiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticasOutro eixoResumo 2Outras sup.RectasPlanos 42/45
  71. 71. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Planos C´nicas, o Qu´dricas, a Sejam A, B e C trˆs pontos do plano: e etc. A = (x1 , x2 , x3 )Apresenta¸˜o ca B = (y1 , y2 , y3 )R2 C = (z1 , z2 , z3 )RectasParabolasCircunferˆncias eElipses P = (x, y , z) pertence ao plano sseHip´rboles eOutras AP = λAB + µACR3ParaboloideCone P − A = λAB + µACCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhas P = A + λAB + µAC , λ, µ ∈ REsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticas Equa¸˜o vectorial do plano: caOutro eixoResumo 2 (x, y , z) = (x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )+Outras sup.Rectas +µ(x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 )Planos onde A ´ um ponto do plano, λ, µ ∈ R, AB e AC s˜o dois e a vectores n˜o colineares (linearmente independentes) do plano. a 43/45
  72. 72. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Equa¸˜o param´trica do plano:  ca e Qu´dricas, a etc.  x=x1 + λ(x2 − x1 ) + µ(x3 − x1 ) y=y1 + λ(y2 − y1 ) + µ(y3 − y1 )Apresenta¸˜o ca z=z1 + λ(z2 − z1 ) + µ(z3 − z1 ) λ, µ ∈ R R2RectasParabolas Equa¸˜o geral ou cartesiana do plano: caCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutras Ax+By+Cz+D=0R3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhas ax+by+cz=1EsferaResumo 1Descentradas onde (A, B, C ) e (a, b, c) s˜o vectores normais aEl´ ıpticasOutro eixo (perpendiculares) ao plano;Resumo 2Outras sup. Se D = 0 o plano cont´m a origem. eRectasPlanos 44/45
  73. 73. AM2Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc.Apresenta¸˜o caR2RectasParabolasCircunferˆncias eElipsesHip´rboles eOutrasR3ParaboloideConeCilindroHiperb.1 folhaHiperb.2 folhasEsferaResumo 1DescentradasEl´ ıpticas Autores:Outro eixoResumo 2 Sandra Gaspar MartinsOutras sup.Rectas ePlanos Nuno David Lopes 45/45

×