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01 Apresentação Cónicas e Quádricas

Cónicas e Quádricas Regiões de IR^2 e de IR^3 Análise Matemática 2. Para obter os ficheiros em LaTeX envie email para sandra.gaspar.martins@gmail.com ... eu envio com todo o gosto!

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Apresenta¸˜o;
          ca
  Revis˜es:
        o
  C´nicas,
    o
 Qu´dricas,
    a
     etc.

Apresenta¸˜o
         ca

R2
Rectas
                     An´lise Matem´tica 2
                       a          a
Parabolas
Circunferˆncias
         e
Elipses
Hip´rboles
    e
Outras
                           Apresenta¸˜o;
                                     ca
R3                Revis˜es: C´nicas, Qu´dricas, etc.
                       o     o         a
Paraboloide
Cone
Cilindro
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
                        2o Semestre 2011/12
Resumo 1
Descentradas
El´
  ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos




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  C´nicas,
    o
 Qu´dricas,
    a
     etc.
                            Professora: Sandra Gaspar Martins
Apresenta¸˜o
         ca

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Rectas                       email: sandra.martins@adm.isel.pt
Parabolas
Circunferˆncias
         e
Elipses
Hip´rboles
    e                             P´gina de apoio:
                                    a
Outras

R3
                  http://moodle.isel.pt/dec/course/view.php?id=7
Paraboloide
Cone
Cilindro
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                                    Hor´rio de d´vidas:
                                       a        u
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Resumo 1
                   2a s - das 9h30 `s 11h; depois das 12h30.
                                   a
Descentradas
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Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
                   5a s - depois das 12h30.
Rectas
Planos             6a s - depois das 11h00.
                   sala C.2.4

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  C´nicas,
    o
 Qu´dricas,
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     etc.

Apresenta¸˜o
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Rectas
Parabolas
Circunferˆncias
         e
                  1   Introdu¸˜o aos campos escalares e vectoriais.
                             ca
Elipses
Hip´rboles
    e             2   C´lculo diferencial em Rn .
                       a
Outras

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                  3   C´lculo integral em Rn .
                       a
Paraboloide
Cone                    1   Integrais m´ltiplos.
                                        u
Cilindro
Hiperb.1 folha          2   Integrais de linha.
Hiperb.2 folhas
Esfera
                        3   Integrais de superf´ıcie.
Resumo 1
Descentradas
El´
  ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos




                                                                      3/45
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  Revis˜es:
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                                                          Bibliografia
  C´nicas,
    o
 Qu´dricas,
    a
     etc.

Apresenta¸˜o
         ca

R2                1   J. Marsden, A. Tromba, Vector Calculus, 4th Edition,
Rectas
Parabolas
                      W.H. Freeman and Company, 1996.
Circunferˆncias
         e
Elipses           2   McCallum, Hughes-Hallett, et al., Multivariable Calculus,
Hip´rboles
    e
Outras                5th Ed., Wiley, 2009
R3
Paraboloide
                  3   A. Azenha, M. Am´lia Ger´nimo, C´lculo Diferencial e
                                         e     o         a
Cone
Cilindro              Integral em IR e IRn, McGraw- Hill, 1995.
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas
Esfera
                  4   J. Stewart, C´lculo, Vol.1 e 2, Thomson Learning, 2002.
                                   a
Resumo 1
Descentradas
                  5   O. Baptista, Integrais duplos, triplos, de linha e de
El´
  ıpticas
Outro eixo            superf´
                            ıcie, S´
                                   ılabo, 2001.
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos




                                                                                  4/45
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  Revis˜es:
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                                                           Sitegrafia
  C´nicas,
    o
 Qu´dricas,
    a
     etc.         1   http://www.wolframalpha.com/
Apresenta¸˜o
         ca       2   Integrais duplos (applet)
R2                    http://www.flashandmath.com/mathlets/
Rectas
Parabolas             multicalc/doubint/double_integrals.html
Circunferˆncias
         e
Elipses
Hip´rboles
    e
                  3   Integrais duplos e triplos (applet- MIT)
Outras                http://www.flashandmath.com/mathlets/
R3
Paraboloide
                      multicalc/doubint/double_integrals.html
Cone
Cilindro          4   V´rios applets http://www.flashandmath.com/
                       a
Hiperb.1 folha
Hiperb.2 folhas       mathlets/multicalc/index.html
Esfera
Resumo 1
Descentradas
                  5   Aulas (tudo) MIT
El´
  ıpticas
Outro eixo
                      http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/
Resumo 2
Outras sup.
                      18-02-multivariable-calculus-fall-2007/
Rectas
Planos            6   Tutorial
                      http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/CalcIII.aspx

                                                                                5/45
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                                                                 ca
  C´nicas,
    o
 Qu´dricas,
    a
     etc.

Apresenta¸˜o
         ca

R2                    Regime de Avalia¸˜o Cont´
                                      ca       ınua: Um teste global realizado
Rectas
Parabolas             em duas partes ao longo do semestre.
Circunferˆncias
         e
Elipses
Hip´rboles
    e
                      Regime de Exame: Um exame final.
Outras

R3
Paraboloide
Cone              Ser´ disponibilizada tabela com derivadas e primitivas nas
                     a
Cilindro
Hiperb.1 folha    avalia¸˜es.
                        co
Hiperb.2 folhas
Esfera
Resumo 1
Descentradas      Inscrever no Moodle para todos os momentos de avalia¸˜o.
                                                                      ca
El´
  ıpticas
Outro eixo
Resumo 2
Outras sup.
Rectas
Planos




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01 Apresentação Cónicas e Quádricas

  • 1. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas An´lise Matem´tica 2 a a Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras Apresenta¸˜o; ca R3 Revis˜es: C´nicas, Qu´dricas, etc. o o a Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera 2o Semestre 2011/12 Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 1/45
  • 2. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Bem vindo! C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Professora: Sandra Gaspar Martins Apresenta¸˜o ca R2 Rectas email: sandra.martins@adm.isel.pt Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e P´gina de apoio: a Outras R3 http://moodle.isel.pt/dec/course/view.php?id=7 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hor´rio de d´vidas: a u Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 2a s - das 9h30 `s 11h; depois das 12h30. a Descentradas El´ ıpticas 3a s - depois das 11h00. Outro eixo Resumo 2 Outras sup. 5a s - depois das 12h30. Rectas Planos 6a s - depois das 11h00. sala C.2.4 2/45
  • 3. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Programa C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e 1 Introdu¸˜o aos campos escalares e vectoriais. ca Elipses Hip´rboles e 2 C´lculo diferencial em Rn . a Outras R3 3 C´lculo integral em Rn . a Paraboloide Cone 1 Integrais m´ltiplos. u Cilindro Hiperb.1 folha 2 Integrais de linha. Hiperb.2 folhas Esfera 3 Integrais de superf´ıcie. Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 3/45
  • 4. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Bibliografia C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 1 J. Marsden, A. Tromba, Vector Calculus, 4th Edition, Rectas Parabolas W.H. Freeman and Company, 1996. Circunferˆncias e Elipses 2 McCallum, Hughes-Hallett, et al., Multivariable Calculus, Hip´rboles e Outras 5th Ed., Wiley, 2009 R3 Paraboloide 3 A. Azenha, M. Am´lia Ger´nimo, C´lculo Diferencial e e o a Cone Cilindro Integral em IR e IRn, McGraw- Hill, 1995. Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera 4 J. Stewart, C´lculo, Vol.1 e 2, Thomson Learning, 2002. a Resumo 1 Descentradas 5 O. Baptista, Integrais duplos, triplos, de linha e de El´ ıpticas Outro eixo superf´ ıcie, S´ ılabo, 2001. Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 4/45
  • 5. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Sitegrafia C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 1 http://www.wolframalpha.com/ Apresenta¸˜o ca 2 Integrais duplos (applet) R2 http://www.flashandmath.com/mathlets/ Rectas Parabolas multicalc/doubint/double_integrals.html Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e 3 Integrais duplos e triplos (applet- MIT) Outras http://www.flashandmath.com/mathlets/ R3 Paraboloide multicalc/doubint/double_integrals.html Cone Cilindro 4 V´rios applets http://www.flashandmath.com/ a Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas mathlets/multicalc/index.html Esfera Resumo 1 Descentradas 5 Aulas (tudo) MIT El´ ıpticas Outro eixo http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/ Resumo 2 Outras sup. 18-02-multivariable-calculus-fall-2007/ Rectas Planos 6 Tutorial http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/CalcIII.aspx 5/45
  • 6. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Avalia¸˜o ca C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Regime de Avalia¸˜o Cont´ ca ınua: Um teste global realizado Rectas Parabolas em duas partes ao longo do semestre. Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Regime de Exame: Um exame final. Outras R3 Paraboloide Cone Ser´ disponibilizada tabela com derivadas e primitivas nas a Cilindro Hiperb.1 folha avalia¸˜es. co Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas Inscrever no Moodle para todos os momentos de avalia¸˜o. ca El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 6/45
  • 7. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca Para fazer revis˜es da mat´ria do secund´rio... o e a R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e http://modulos.math.ist.utl.pt/ Outras ou R3 Paraboloide Cone Cilindro http://cmup.fc.up.pt/cmup/apoiomat/index.html Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 7/45
  • 8. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas C´nicas e outras regi˜es... o o Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro em R2 Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 8/45
  • 9. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 9/45
  • 10. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Rectas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 10/45
  • 11. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Rectas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = mx + b m, b ∈ R Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 10/45
  • 12. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Rectas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = mx + b m, b ∈ R Apresenta¸˜o ca m declive R2 Rectas b ordenada na origem Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 10/45
  • 13. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Par´bolas a C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 11/45
  • 14. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Par´bolas a C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 11/45
  • 15. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Par´bolas a C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R √ Apresenta¸˜o ca −b ± b 2 − 4ac R2 zeros: x = Rectas 2a Parabolas a>0 ∪ Circunferˆncias e Elipses a<0 ∩ Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 11/45
  • 16. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Circunferˆncias e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 12/45
  • 17. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Circunferˆncias e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ R Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 12/45
  • 18. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Circunferˆncias e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ R Apresenta¸˜o ca R2 (a, b) centro Rectas Parabolas r raio Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 12/45
  • 19. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Elipses C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 13/45
  • 20. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Elipses C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 2 2 x −a y −b Apresenta¸˜o ca + = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 c d R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 13/45
  • 21. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Elipses C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 2 2 x −a y −b Apresenta¸˜o ca + = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 c d R2 Rectas Parabolas (a, b) centro Circunferˆncias e Elipses c, d semi-eixos Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 13/45
  • 22. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hip´rboles e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 14/45
  • 23. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hip´rboles e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 2 2 x −a y −b Apresenta¸˜o ca − = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 c d R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 14/45
  • 24. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hip´rboles e C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 2 2 x −a y −b Apresenta¸˜o ca − = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 c d R2 Rectas (a, b) centro Parabolas Circunferˆncias e c distˆncia ao centro a Elipses d Hip´rboles e c abertura dos arcos Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 14/45
  • 25. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o x3 C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = ax 3 + bx 2 + cx + d a, b, c, d ∈ R Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 15/45
  • 26. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o x3 C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = ax 3 + bx 2 + cx + d a, b, c, d ∈ R Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 15/45
  • 27. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o M´dulo o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = |x| Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 16/45
  • 28. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o M´dulo o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = |x| Apresenta¸˜o ca R2 x se x ≥0 Rectas |x| = Parabolas −x se x <0 Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 16/45
  • 29. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Raiz C´nicas, o Qu´dricas, a √ etc. y= x Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 17/45
  • 30. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Raiz C´nicas, o Qu´dricas, a √ etc. y= x Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 17/45
  • 31. AM2 Apresenta¸˜o; ca 1 Revis˜es: o x C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 1 y= Apresenta¸˜o ca x R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 18/45
  • 32. AM2 Apresenta¸˜o; ca 1 Revis˜es: o x C´nicas, o Qu´dricas, a etc. 1 y= Apresenta¸˜o ca x R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 18/45
  • 33. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Exponenciais C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca y = ax , a ∈ R+ R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 19/45
  • 34. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Exponenciais C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca y = ax , a ∈ R+ R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras a>1 a<1 R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 19/45
  • 35. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Logaritmos C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = loga (x), a ∈ R+ Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 20/45
  • 36. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Logaritmos C´nicas, o Qu´dricas, a etc. y = loga (x), a ∈ R+ Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses a>1 a<1 Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 20/45
  • 37. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Seno C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas y = sin(x) Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 21/45
  • 38. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Seno C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas y = sin(x) Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 21/45
  • 39. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Co-seno C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas y = cos(x) Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 22/45
  • 40. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Co-seno C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas y = cos(x) Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 22/45
  • 41. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Tangente C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas y = tan(x) Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 23/45
  • 42. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Tangente C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas y = tan(x) Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 23/45
  • 43. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Qu´dricas e outras regi˜es...1 a o Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide em R3. Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 1 Os gr´ficos desta sec¸˜o foram retirados de Wolfram|Alpha a ca http://www.wolframalpha.com/ 24/45
  • 44. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Paraboloide C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca x2 + y2 = z R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 25/45
  • 45. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Paraboloide C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca x2 + y2 = z R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 25/45
  • 46. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Superf´ C´nica - Cone ıcie o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x2 + y2 = z2 Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 26/45
  • 47. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Superf´ C´nica - Cone ıcie o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x2 + y2 = z2 Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 26/45
  • 48. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Superf´ cil´ ıcie ındrica - Cilindro C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = R 2, R∈R Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 27/45
  • 49. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Superf´ cil´ ıcie ındrica - Cilindro C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = R 2, R∈R Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 27/45
  • 50. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hiperboloide de 1 folha C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = z 2 + A, A ∈ R+ Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 28/45
  • 51. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hiperboloide de 1 folha C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = z 2 + A, A ∈ R+ Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 28/45
  • 52. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hiperboloide de 2 folhas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = z 2 − A, A ∈ R+ Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 29/45
  • 53. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Hiperboloide de 2 folhas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. x 2 + y 2 = z 2 − A, A ∈ R+ Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 29/45
  • 54. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Esfera C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca x2 + y 2 + z2 = R2 R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 30/45
  • 55. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Esfera C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca x2 + y 2 + z2 = R2 R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 30/45
  • 56. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Resumo C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e x2 + y 2 = z paraboloide Elipses Hip´rboles e x2 + y 2 = z 2 cone Outras x2 + y 2 = R 2 cilindro R3 Paraboloide x2 + y 2 = z 2 + A hiperboloide de 1 folha Cone Cilindro x2 + y 2 = z 2 − A hiperboloide de 2 folhas Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas x2 + y 2 + z 2 = R 2 esfera Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 31/45
  • 57. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Descentradas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca Todas estas superf´ ıcies podem ser descentradas, ou seja, n˜o a R2 terem o centro na origem: Rectas Parabolas Circunferˆncias Elipses e (x − a)2 + (y − b)2 = z Hip´rboles e Outras (x − a)2 + (y − b)2 = z 2 R3 (x − a)2 + (y − b)2 = R 2 Paraboloide Cone Cilindro (x − a)2 + (y − b)2 = z 2 + A Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera (x − a)2 + (y − b)2 = z 2 − A Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 32/45
  • 58. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o El´ ıpticas C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Todas estas superf´ ıcies podem ser el´ ıpticas em vez de circulares: Apresenta¸˜o ca x 2 y 2 R2 + =z Rectas c d Parabolas Circunferˆncias e x 2 y 2 Elipses + = z2 Hip´rboles e Outras c d R3 x 2 y 2 Paraboloide + = R2 Cone c d Cilindro Hiperb.1 folha x 2 y 2 Hiperb.2 folhas + = z2 + A Esfera Resumo 1 c d Descentradas x 2 y 2 El´ ıpticas Outro eixo + = z2 − A Resumo 2 c d Outras sup. Rectas x 2 y 2 z 2 Planos + + =1 c d e 33/45
  • 59. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Outro eixo C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Todas estas superf´ıcies podem ser ao longo de outro eixo, por Circunferˆncias e Elipses exemplo o eixo dos xx’s: Hip´rboles e Outras z 2 + y 2 = x paraboloide R3 z2 + y 2 = x 2 cone Paraboloide Cone z2 + y 2 = R 2 cilindro Cilindro Hiperb.1 folha z2 + y 2 = x 2 + A hiperboloide de 1 folha Hiperb.2 folhas Esfera z2 + y 2 = x 2 − A hiperboloide de 2 folhas Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 34/45
  • 60. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Resumo generalizadas C´nicas, o Qu´dricas, a 2 2 etc. y −a z −b + =x Apresenta¸˜o ca c d R2 2 2 Rectas y −a z −b Parabolas + = x2 Circunferˆncias e c d Elipses Hip´rboles e 2 2 Outras y −a z −b R3 + = R2 Paraboloide c d Cone Cilindro 2 2 y −a z −b = x2 + A Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas + Esfera c d Resumo 1 Descentradas 2 2 El´ ıpticas y −a z −b Outro eixo + = x2 − A Resumo 2 Outras sup. c d Rectas 2 2 2 Planos y −a z −b x −e + + =1 c d f 35/45
  • 61. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Cilindro parab´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 z = x2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 36/45
  • 62. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Cilindro parab´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 z = x2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 36/45
  • 63. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Cilindro hiperb´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca x2 − y 2 = R2 R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 37/45
  • 64. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Cilindro hiperb´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca x2 − y 2 = R2 R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 37/45
  • 65. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Paraboloide hiperb´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca x2 − y2 = z R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 38/45
  • 66. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Paraboloide hiperb´lico o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca x2 − y2 = z R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 38/45
  • 67. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o outras... C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas z = sin(x) Parabolas Circunferˆncias e √ Elipses y= x Hip´rboles e Outras R3 y =x Paraboloide Cone Cilindro z = −x Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo ... Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 39/45
  • 68. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Rectas em R3 C´nicas, o Qu´dricas, a Sejam A e B dois pontos da recta: etc. A = (x1 , x2 , x3 ) Apresenta¸˜o ca B = (y1 , y2 , y3 ) R2 P = (x, y , z) pertence ` recta sse a Rectas Parabolas Circunferˆncias e AP = λAB Elipses Hip´rboles e Outras P − A = λAB R3 P = A + λAB, λ∈R Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Equa¸˜o vectorial da recta: ca Esfera Resumo 1 Descentradas (x,y,z)=(x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ), λ∈R El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Equa¸˜o param´trica da recta: ca e Outras sup. Rectas  Planos  x=x1 + λ(x2 − x1 ) y=y1 + λ(y2 − y1 ) z=z1 + λ(z2 − z1 )  40/45
  • 69. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a donde etc.   λ= x − x1 x2 − x1    Apresenta¸˜o ca  y − y1 R2 λ= Rectas  y2 − y1 Parabolas    λ=  z − z1 Circunferˆncias e Elipses z2 − z1 Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Equa¸˜o cartesiana ou normal da recta: ca Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas x − x1 y − y1 z − z1 Esfera = = Resumo 1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 41/45
  • 70. AM2 Notas: Apresenta¸˜o; ca (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) ´ o vector director da recta. e Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a Se uma das coordenadas do vector director ´ nula, por e etc. exemplo, x2 − x1 = 0, a equa¸˜o normal da recta ´ ca e Apresenta¸˜o ca y − y1 z − z1 R2 x = x1 = Rectas y2 − y1 z2 − z1 Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Se duas coordenadas do vector director forem nulas, por Outras exemplo, x2 − x1 = z2 − z1 = 0 ent˜o a equa¸˜o normal a ca R3 Paraboloide da recta ´ e Cone Cilindro x = x1 ∧ z = z1 Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Outro eixo Resumo 2 Outras sup. Rectas Planos 42/45
  • 71. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o Planos C´nicas, o Qu´dricas, a Sejam A, B e C trˆs pontos do plano: e etc. A = (x1 , x2 , x3 ) Apresenta¸˜o ca B = (y1 , y2 , y3 ) R2 C = (z1 , z2 , z3 ) Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses P = (x, y , z) pertence ao plano sse Hip´rboles e Outras AP = λAB + µAC R3 Paraboloide Cone P − A = λAB + µAC Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas P = A + λAB + µAC , λ, µ ∈ R Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Equa¸˜o vectorial do plano: ca Outro eixo Resumo 2 (x, y , z) = (x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )+ Outras sup. Rectas +µ(x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 ) Planos onde A ´ um ponto do plano, λ, µ ∈ R, AB e AC s˜o dois e a vectores n˜o colineares (linearmente independentes) do plano. a 43/45
  • 72. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Equa¸˜o param´trica do plano:  ca e Qu´dricas, a etc.  x=x1 + λ(x2 − x1 ) + µ(x3 − x1 ) y=y1 + λ(y2 − y1 ) + µ(y3 − y1 ) Apresenta¸˜o ca z=z1 + λ(z2 − z1 ) + µ(z3 − z1 ) λ, µ ∈ R  R2 Rectas Parabolas Equa¸˜o geral ou cartesiana do plano: ca Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras Ax+By+Cz+D=0 R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas ax+by+cz=1 Esfera Resumo 1 Descentradas onde (A, B, C ) e (a, b, c) s˜o vectores normais a El´ ıpticas Outro eixo (perpendiculares) ao plano; Resumo 2 Outras sup. Se D = 0 o plano cont´m a origem. e Rectas Planos 44/45
  • 73. AM2 Apresenta¸˜o; ca Revis˜es: o C´nicas, o Qu´dricas, a etc. Apresenta¸˜o ca R2 Rectas Parabolas Circunferˆncias e Elipses Hip´rboles e Outras R3 Paraboloide Cone Cilindro Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Esfera Resumo 1 Descentradas El´ ıpticas Autores: Outro eixo Resumo 2 Sandra Gaspar Martins Outras sup. Rectas e Planos Nuno David Lopes 45/45