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Integrais duplos e triplos, Integrais múltiplos, Análise Matemática 2 Para obter os ficheiros em LaTeX envie email para sandra.gaspar.martins@gmail.com ... eu envio com todo o gosto!

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Integrais                                Integrais M´ltiplos
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duplos
Defini¸˜o
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Areas e volumes
                               (Integrais Duplos e Integrais Triplos)
Propriedades
Fubini                                         An´lise Matem´tica 2
                                                 a          a
Aplica¸˜es
       co
Mudan¸a de
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vari´veis
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Polares
Applets                                        Sandra Gaspar Martins
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Resumo 1
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Integrais
triplos                                        2o Semestre 2011/12
Volume
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   ındricas
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    e
Applets



                                                                       Vers˜o de 16 de Maio de 2012
                                                                           a



                  sandra.martins@adm.isel.pt



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Integrais                           y = mx + b   m, b ∈ R
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Defini¸˜o
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Areas e volumes
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Propriedades
Fubini
                  b ordenada na origem
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Integrais                       y = ax 2 + bx + c   a, b, c ∈ R
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Defini¸˜o
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                             −b ± b 2 − 4ac
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Propriedades
                  zeros: x =
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                                                                 e
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Integrais
duplos                            (x − a)2 + (y − b)2 = r 2   a, b, r ∈ R
Defini¸˜o
      ca
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Areas e volumes
Propriedades      (a, b) centro
Fubini
Aplica¸˜es
       co         r raio
Mudan¸a de
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Integrais                    2              2
duplos               x −a            y −b
Defini¸˜o
      ca                         +              = 1 a, b, c, d ∈ R    c =0∧d =0
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Areas e volumes        c               d
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
       co         (a, b) centro
Mudan¸a de
        c
vari´veis
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Polares
Applets

Revis˜es R3
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Resumo 1
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Integrais
triplos
Volume
Cil´
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Esf´ricas
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04 integrais multiplos

  • 1. AM2 Revis˜es R2 o Integrais Integrais M´ltiplos u duplos Defini¸˜o ´ ca Areas e volumes (Integrais Duplos e Integrais Triplos) Propriedades Fubini An´lise Matem´tica 2 a a Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Sandra Gaspar Martins Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos 2o Semestre 2011/12 Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets Vers˜o de 16 de Maio de 2012 a sandra.martins@adm.isel.pt 1/61
  • 2. AM2 Revis˜es R2 o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Revis˜es de R2 Mudan¸a de c o vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 2/61
  • 3. AM2 Rectas 2 Revis˜es R o Integrais y = mx + b m, b ∈ R duplos Defini¸˜o ´ ca Areas e volumes m declive Propriedades Fubini b ordenada na origem Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 3/61
  • 4. AM2 Par´bolas a 2 Revis˜es R o Integrais y = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R duplos √ Defini¸˜o ´ ca −b ± b 2 − 4ac Areas e volumes Propriedades zeros: x = Fubini 2a Aplica¸˜es co a>0 ∪ Mudan¸a de c vari´veis a a<0 ∩ Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 4/61
  • 5. AM2 Circunferˆncias e 2 Revis˜es R o Integrais duplos (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ R Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades (a, b) centro Fubini Aplica¸˜es co r raio Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 5/61
  • 6. AM2 Elipses 2 Revis˜es R o Integrais 2 2 duplos x −a y −b Defini¸˜o ca + = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 ´ Areas e volumes c d Propriedades Fubini Aplica¸˜es co (a, b) centro Mudan¸a de c vari´veis a c, d semi-eixos Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 6/61
  • 7. AM2 Hip´rboles e 2 Revis˜es R o 2 2 Integrais duplos x −a y −b − = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0 Defini¸˜o ´ ca Areas e volumes c d Propriedades Fubini (a, b) centro Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a c distˆncia ao centro a d Polares Applets c abertura dos arcos Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 7/61
  • 8. AM2 x3 Revis˜es R2 o Integrais y = ax 3 + bx 2 + cx + d a, b, c, d ∈ R duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 8/61
  • 9. AM2 M´dulo o 2 Revis˜es R o Integrais y = |x| duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades x se x ≥0 Fubini |x| = Aplica¸˜es co −x se x <0 Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 9/61
  • 10. AM2 Raiz 2 Revis˜es R o √ Integrais y= x duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 10/61
  • 11. AM2 1 x Revis˜es R2 o 1 Integrais duplos y= Defini¸˜o ca x ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 11/61
  • 12. AM2 Exponenciais 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca y = ax , a ∈ R+ ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets a>1 a<1 Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 12/61
  • 13. AM2 Logaritmos 2 Revis˜es R o Integrais y = loga (x), a ∈ R+ duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a a>1 a<1 Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 13/61
  • 14. AM2 Seno 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini y = sin(x) Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 14/61
  • 15. AM2 Coseno 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini y = cos(x) Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 15/61
  • 16. AM2 Tangente 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini y = tan(x) Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 16/61
  • 17. AM2 Arco-seno 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades y = arcsin(x) Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c D = [−1, 1] CD = − π , π 2 2 vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 17/61
  • 18. AM2 Arco-coseno 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes y = arccos(x) Propriedades Fubini Aplica¸˜es co D = [−1, 1] Mudan¸a de c vari´veis a Polares CD = [0, π] Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 18/61
  • 19. AM2 Arco-tangente 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes y = arctan(x) Propriedades Fubini Aplica¸˜es co D=R Mudan¸a de c vari´veis a Polares CD = − π , π 2 2 Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 19/61
  • 20. AM2 Revis˜es R2 o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets 3 Integrais Duplos Revis˜es R o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 20/61
  • 21. AM2 Revis˜o de integrais simples a 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets b n f (t) dt = lim f (xi )∆xi a n→+∞ i=1 21/61
  • 22. AM2 Integral duplo de Riemann 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e 1 Applets n m f (x, y ) dx dy = lim f (xi , yj )∆xi ∆yj R n,m→+∞ i=1 j=1 1 http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/ Sec15-1fig8.html 22/61
  • 23. AM2 ´ Areas e volumes usando integrais Revis˜es R2 o duplos Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Seja V = (x, y , z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f (x, y ), (x, y ) ∈ D Mudan¸a de c vari´veis a ent˜o a Polares Applets volume de V = f dA Revis˜es R3 o D Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Seja D uma regi˜o limitada de R2 ent˜o a a Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets ´rea de D = a 1 dA D 23/61
  • 24. AM2 Propriedades 2 Revis˜es R o Sejam D1 e D2 duas regi˜es de R2 : int(D1 ) ∩ int(D2 ) = ∅ o Integrais duplos e D = D1 ∪ D2 ent˜o a Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades f dA = f dA + f dA Fubini Aplica¸˜es co D D1 D2 Mudan¸a de c vari´veis a Polares Se f (x, y ) ≤ g (x, y ), ∀(x, y ) ∈ D ent˜o a Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 f dA ≤ g dA Resumo 2 D D Integrais triplos Se f (x, y ) ≥ 0, ∀(x, y ) ∈ D ent˜o a D f dA ≥ 0 Volume Cil´ ındricas Seja λ ∈ R ent˜o a Esf´ricas e Applets f + λg dA = f dA + λ g dA D D D f dA ≤ |f | dA D D 24/61
  • 25. AM2 Teorema de Fubini: 2 Suponhamos que f uma fun¸˜o que admite descontinuidades ca de 1 a esp´cie num conjunto de ´rea nula em D. e a Revis˜es R2 o Integrais Se duplos Defini¸˜o ´ ca Areas e volumes D = (x, y ) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) Propriedades Fubini Aplica¸˜es co ent˜o a Mudan¸a de c vari´veis a b g2 (x) Polares Applets f (x, y )dxdy = f (x, y )dy dx. Revis˜es R3 o D a g1 (x) Resumo 1 Resumo 2 Se Integrais D = (x, y ) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, triplos Volume h1 (y ) ≤ x ≤ h2 (y ) Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets ent˜o a d h2 (x) f (x, y )dxdy = f (x, y )dxdy . D c h1 (x) 2 http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/ Sec15.2.1-2.html 25/61
  • 26. AM2 Aplica¸oes c˜ 2 Revis˜es R o Integrais duplos Sendo ρ(x, y ) a fun¸˜o que indica a densidade em cada ponto ca Defini¸˜o ´ ca Areas e volumes de uma placa com a forma da regi˜o R. a Propriedades Fubini A massa de uma placa com a forma da regi˜o R ´ dada a e Aplica¸˜es co Mudan¸a de c por vari´veis a Polares Applets ρ(x, y ) dA Revis˜es R o 3 R Resumo 1 Resumo 2 O centro de massa de uma regi˜o R ´ (x, y ) onde a e Integrais triplos Rxρ(x, y ) dA Volume Cil´ ındricas x= Esf´ricas e R ρ(x, y ) dA Applets Ry ρ(x, y ) dA y= R ρ(x, y ) dA 26/61
  • 27. AM2 Mudan¸a de vari´veis c a 2 Revis˜es R o Integrais duplos Para mudar das coordenadas (x, y ) para (u, v ), usando a Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes fun¸˜o bijectivaϕ : R2 −→ R2 , ca Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c (x, y ) = ϕ(u, v ) = (ϕ1 (u, v ), ϕ2 (u, v )) vari´veis a Polares Applets para a qual enquanto (x, y ) percorre D, (u, v ) percorre T , ou Revis˜es R3 o Resumo 1 seja, T = ϕ−1 (D). Resumo 2 2 Integrais Supondo que ϕ ∈ C 1 (T ) ; o Jacobiano de ϕ: J = 0; e f ´ e triplos integr´vel em D, ent˜o a fun¸˜o f ◦ ϕ ´ integr´vel em T , a a ca e a Volume Cil´ ındricas tendo-se Esf´ricas e Applets f (x, y ) dx dy = f (ϕ1 (u, v ), ϕ2 (u, v )). |J| du dv D T 27/61
  • 28. AM2 Coordenadas polares 2 Revis˜es R o Teorema (Coordenadas polares R2 −→ R2 ) Integrais duplos Defini¸˜o ca Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas (x, y ) ca ´ Areas e volumes Propriedades e polares (ρ, θ) Fubini Aplica¸˜es co x = ρ cos(θ) , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+ Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets y = ρ sin(θ) Revis˜es R3 o Resumo 1 J=ρ Resumo 2 Integrais triplos ρ = x2 + y2 Volume Cil´ ındricas θ = arctan y x Esf´ricas e Applets 28/61
  • 29. AM2 Coordenadas polares generalizadas 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca Teorema (Coordenadas polares generalizadas R2 −→ R2 ) ´ Areas e volumes Propriedades Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas (x, y ) ca Fubini Aplica¸˜es co e polares generalizadas (ρ, θ) Mudan¸a de c vari´veis a Polares x−a Applets = ρ cos(θ) 3 c y −b , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+ . Revis˜es R o Resumo 1 d = ρ sin(θ) Resumo 2 Integrais J = cdρ triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e  2 Applets  x−a 2 y −b  ρ= c + d  θ = arctan  (y −b)c (x−a)d 29/61
  • 30. AM2 Revis˜es R2 o Integrais Confirme os seus resultados usando os applets: duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/ Mudan¸a de c vari´veis a doubint/double_integrals.html Polares Applets (ao introduzir um integral duplo mostra a regi˜o de integra¸˜o) a ca Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id= Volume f5f3cbf14f4f5d6d2085bf2d0fb76e8a#fb Cil´ ındricas Esf´ricas e (calcula o valor de um integral duplo) Applets 30/61
  • 31. AM2 Revis˜es R2 o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Revis˜es de R3 Mudan¸a de c o vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 31/61
  • 32. AM2 Paraboloide 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ´ ca Areas e volumes x2 + y2 = z Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 32/61
  • 33. AM2 Superf´ C´nica - Cone ıcie o 2 Revis˜es R o Integrais duplos x2 + y2 = z2 Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 33/61
  • 34. AM2 Superf´ cil´ ıcie ındrica - Cilindro 2 Revis˜es R o Integrais duplos x 2 + y 2 = R 2, R∈R Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 34/61
  • 35. AM2 Hiperboloide de 1 folha 2 Revis˜es R o Integrais duplos x 2 + y 2 = z 2 + A, A ∈ R+ Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 35/61
  • 36. AM2 Hiperboloide de 2 folhas 2 Revis˜es R o Integrais x 2 + y 2 = z 2 − A, A ∈ R+ duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 36/61
  • 37. AM2 Esfera 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ´ ca Areas e volumes x2 + y 2 + z2 = R2 Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 37/61
  • 38. AM2 Resumo 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c x2 + y 2 = z paraboloide vari´veis a Polares x2 + y 2 = z 2 cone Applets Revis˜es R3 o x2 + y 2 = R 2 cilindro Resumo 1 x2 + y 2 = z 2 + A hiperboloide de 1 folha Resumo 2 Integrais x2 + y 2 = z 2 − A hiperboloide de 2 folhas triplos Volume x2 + y 2 + z 2 = R 2 esfera Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 38/61
  • 39. AM2 Descentradas 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca Todas estas superf´ ıcies podem ser descentradas, ou seja, n˜o a ´ Areas e volumes Propriedades terem o centro na origem: Fubini Aplica¸˜es co (x − a)2 + (y − b)2 = z Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o (x − a)2 + (y − b)2 = z 2 Resumo 1 Resumo 2 (x − a)2 + (y − b)2 = R 2 Integrais triplos Volume (x − a)2 + (y − b)2 = z 2 + A Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets (x − a)2 + (y − b)2 = z 2 − A (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2 39/61
  • 40. AM2 El´ ıpticas 2 Revis˜es R o Integrais Todas estas superf´ ıcies podem ser el´ ıpticas em vez de circulares: duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes x 2 y 2 Propriedades + =z Fubini c d Aplica¸˜es co Mudan¸a de c x 2 y 2 vari´veis a + = z2 Polares Applets c d Revis˜es R3 o x 2 y 2 Resumo 1 + = R2 Resumo 2 c d Integrais x 2 y 2 triplos Volume + = z2 + A Cil´ ındricas c d Esf´ricas e x 2 y 2 = z2 − A Applets + c d x 2 y 2 z 2 + + = R2 c d e 40/61
  • 41. AM2 Outro eixo 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Todas estas superf´ıcies podem ser ao longo de outro eixo, por Mudan¸a de c vari´veis a exemplo o eixo dos xx’s: Polares Applets z 2 + y 2 = x paraboloide Revis˜es R3 o Resumo 1 z2 + y 2 = x 2 cone Resumo 2 z2 + y 2 = R 2 cilindro Integrais triplos z2 + y 2 = x 2 + A hiperboloide de 1 folha Volume Cil´ ındricas z2 + y 2 = x 2 − A hiperboloide de 2 folhas Esf´ricas e Applets 41/61
  • 42. AM2 Resumo generalizadas 2 Revis˜es R o 2 2 Integrais y −a z −b duplos + =x Defini¸˜o ca c d ´ Areas e volumes Propriedades 2 2 Fubini y −a z −b Aplica¸˜es co + = x2 Mudan¸a de c vari´veis a c d Polares 2 2 Applets y −a z −b Revis˜es R3 o + = R2 Resumo 1 c d Resumo 2 2 2 Integrais y −a z −b triplos + = x2 + A Volume Cil´ ındricas c d Esf´ricas e 2 2 Applets y −a z −b + = x2 − A c d 2 2 2 y −a z −b x −e + + = R2 c d f 42/61
  • 43. AM2 Cilindro parab´lico o 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ z = x2 Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 43/61
  • 44. AM2 Cilindro hiperb´lico o 2 Revis˜es R o Integrais duplos x2 − y 2 = R2 Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 44/61
  • 45. AM2 Paraboloide hiperb´lico o 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca x2 − y2 = z ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 45/61
  • 46. AM2 outras... 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co z = sin(x) Mudan¸a de c √ vari´veis a Polares y= x Applets Revis˜es R3 o y =x Resumo 1 Resumo 2 z = −x Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets ... 46/61
  • 47. AM2 Rectas em R3 Revis˜es R2 o Sejam A e B dois pontos da recta: Integrais A = (x1 , x2 , x3 ) duplos Defini¸˜o ca B = (y1 , y2 , y3 ) ´ Areas e volumes Propriedades P = (x, y , z) pertence ` recta sse a Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c AP = λAB vari´veis a Polares Applets P − A = λAB 3 Revis˜es R o Resumo 1 P = A + λAB, λ∈R Resumo 2 Integrais triplos Volume Equa¸˜o vectorial da recta: ca Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets (x,y,z)=(x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ), λ∈R Equa¸˜o param´trica da recta: ca e   x=x1 + λ(x2 − x1 ) y=y1 + λ(y2 − y1 ) z=z1 + λ(z2 − z1 )  47/61
  • 48. AM2 Revis˜es R2 o donde Integrais   λ= x − x1 duplos x2 − x1    Defini¸˜o ´ ca Areas e volumes  y − y1 Propriedades λ= Fubini  y2 − y1 Aplica¸˜es co    λ=  z − z1 Mudan¸a de c vari´veis a Polares z2 − z1 Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Equa¸˜o cartesiana ou normal da recta: ca Integrais triplos x − x1 y − y1 z − z1 Volume = = Cil´ ındricas Esf´ricas e x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 Applets 48/61
  • 49. AM2 Notas: (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) ´ o vector director da recta. e Revis˜es R o 2 Se uma das coordenadas do vector director ´ nula, por e Integrais exemplo, x2 − x1 = 0, a equa¸˜o normal da recta ´ ca e duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes y − y1 z − z1 Propriedades x = x1 = Fubini Aplica¸˜es co y2 − y1 z2 − z1 Mudan¸a de c vari´veis a Polares Se duas coordenadas do vector director forem nulas, por Applets exemplo, x2 − x1 = z2 − z1 = 0 ent˜o a equa¸˜o normal a ca Revis˜es R3 o Resumo 1 da recta ´ e Resumo 2 Integrais x = x1 ∧ z = z1 triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 49/61
  • 50. AM2 Planos Revis˜es R o 2 Sejam A, B e C trˆs pontos do plano: e Integrais A = (x1 , x2 , x3 ) duplos Defini¸˜o ca B = (y1 , y2 , y3 ) ´ Areas e volumes Propriedades C = (z1 , z2 , z3 ) Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares P = (x, y , z) pertence ao plano sse Applets Revis˜es R3 o AP = λAB + µAC Resumo 1 Resumo 2 P − A = λAB + µAC Integrais triplos P = A + λAB + µAC , λ, µ ∈ R Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets Equa¸˜o vectorial do plano: ca (x, y , z) = (x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )+ +µ(x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 ) onde A ´ um ponto do plano, λ, µ ∈ R, AB e AC s˜o dois e a vectores n˜o colineares (linearmente independentes) do plano. a 50/61
  • 51. AM2 Equa¸˜o param´trica do plano:  ca e Revis˜es R2 o Integrais  x=x1 + λ(x2 − x1 ) + µ(x3 − x1 ) duplos y=y1 + λ(y2 − y1 ) + µ(y3 − y1 ) Defini¸˜o ca z=z1 + λ(z2 − z1 ) + µ(z3 − z1 ) λ, µ ∈ R ´  Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Equa¸˜o geral ou cartesiana do plano: ca Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Ax+By+Cz+D=0 Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos ax+by+cz=1 Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets onde (A, B, C ) e (a, b, c) s˜o vectores normais a (perpendiculares) ao plano; Se D = 0 o plano cont´m a origem. e 51/61
  • 52. AM2 Revis˜es R2 o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets 3 Integrais Triplos Revis˜es R o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 52/61
  • 53. AM2 Integral triplo de Riemann 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets f (x, y , z) dx dy dz = Revis˜es R3 o R Resumo 1 Resumo 2 n m p limn,m,p→+∞ i=1 j=1 k=1 f (xi , yj , zk )∆xi ∆yj ∆zk Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 53/61
  • 54. AM2 Volume 2 Revis˜es R o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Seja V uma regi˜o limitada de R3 ent˜o a a Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 volume de V = 1 dV Resumo 2 V Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 54/61
  • 55. AM2 Coordenadas cil´ ındricas 2 Revis˜es R o Integrais duplos ındricas R3 −→ R3 ) Teorema (Coordenadas cil´ Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas ca Propriedades Fubini (x, y , z) e cil´ ındricas (ρ, θ, z) Aplica¸˜es co Mudan¸a de c  vari´veis a Polares  x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+ Applets Revis˜es R3 o z =z  Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos J=ρ Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Para cada ponto P: Applets (ρ, θ) ´ a representa¸˜o em coordenadas polares da e ca projec¸˜o de P no plano-xy. ca z ´ a cota do ponto P. e 55/61
  • 56. AM2 Coordenadas cil´ ındricas Revis˜es R o 2 generalizadas Integrais duplos Defini¸˜o ca Teorema (Coordenadas cil´ ındricas generalizadas ´ Areas e volumes Propriedades R3 −→ R3 ) Fubini Aplica¸˜es co Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas ca Mudan¸a de c vari´veis a Polares (x, y , z) e cil´ ındricas generalizadas (ρ, θ, z) Applets  x−a Revis˜es R3 o  c = ρ cos(θ) Resumo 1 y −b Resumo 2 = ρ sin(θ) , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+  d Integrais triplos z =z Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e J = cdρ Applets Para cada ponto P: (ρ, θ) ´ a representa¸˜o em coordenadas polares e ca generalizadas da projec¸˜o de P no plano-xy. ca z ´ a cota do ponto P. e 56/61
  • 57. AM2 Coordenadas esf´ricas e 2 Revis˜es R o Teorema (Coordenadas esf´ricas R3 −→ R3 ) e Integrais duplos Defini¸˜o ca Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas ca ´ Areas e volumes Propriedades (x, y , z) e esf´ricas (ρ, θ, ϕ) e Fubini Aplica¸˜es co  Mudan¸a de c vari´veis a  x = ρ cos(θ) sin(ϕ) Polares y = ρ sin(θ) sin(ϕ) , θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+ Applets z = ρ cos(ϕ)  Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais J = ρ2 sinφ triplos Volume Cil´ ındricas Para cada ponto P: Esf´ricas e Applets ρ ´ a distˆncia de P ` origem. e a a θ ´ o ˆngulo entre o eixo positivo do x e o raio que ´ e a e formado entre a projec¸˜o de P no plano-xy e a origem. ca ϕ ´ o ˆngulo entre o eixo positivo do z e o raio entre a e a origem e P. 57/61
  • 58. AM2 Revis˜es R2 o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais triplos Volume Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets 3 3 http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/coords/ shilmay23fin.html 58/61
  • 59. AM2 Coordenadas esf´ricas e Revis˜es R o 2 generalizadas Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c Teorema (Coordenadas esf´ricas generalizadas R3 −→ R3 ) e vari´veis a Polares Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas ca Applets Revis˜es R3 o (x, y , z) e esf´ricas generalizadas (ρ, θ, ϕ) e Resumo 1 Resumo 2  x−a Integrais  d = ρ cos(θ) sin(ϕ) y −b triplos e = ρ sin(θ) sin(ϕ) , θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+ Volume  z−c Cil´ ındricas Esf´ricas e f = ρ cos(φ) Applets J = def ρ2 sin(ϕ) 59/61
  • 60. AM2 Revis˜es R2 o Integrais duplos Confirme os seus resultados usando os applets: Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/ vari´veis a Polares (v´rios applets: coordenadas esf´ricas, superf´ a e ıcies em 3D, etc.) Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id= Integrais triplos bf8679a50a63113b582ed22679363a4 Volume Cil´ ındricas (calcula o valor de um integral triplo) Esf´ricas e Applets 60/61
  • 61. AM2 Revis˜es R2 o Integrais duplos Defini¸˜o ca ´ Areas e volumes Propriedades Fubini Aplica¸˜es co Mudan¸a de c vari´veis a Polares Applets Revis˜es R3 o Resumo 1 Resumo 2 Integrais Autora: triplos Volume Sandra Gaspar Martins Cil´ ındricas Esf´ricas e Applets Com base no trabalho de: Nuno David Lopes e Cristina Janu´rio a 61/61