![AM2
Revis˜oes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Coordenadas esf´ericas
Teorema (Coordenadas esf´ericas R3
−→ R3
)
Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas
(x, y, z) e esf´ericas (ρ, θ, ϕ)
x = ρ cos(θ) sin(ϕ)
y = ρ sin(θ) sin(ϕ)
z = ρ cos(ϕ)
, θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+
J = ρ2sinϕ
Para cada ponto P:
ρ ´e a distˆancia de P `a origem.
θ ´e o ˆangulo entre o eixo positivo do x e o raio que ´e
formado entre a projec¸c˜ao de P no plano-xy e a origem.
ϕ ´e o ˆangulo entre o eixo positivo do z e o raio entre a
origem e P.
34/40](https://image.slidesharecdn.com/04b-integraistriplos-140605121619-phpapp01/75/04bintegrais-triplos-34-2048.jpg?cb=1670379734)
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Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integrais
triplos
Volume
Cil´ındricas
Esf´ericas
Applets
Coordenadas esf´ericas
generalizadas
Teorema (Coordenadas esf´ericas generalizadas R3
−→ R3
)
Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas
(x, y, z) e esf´ericas generalizadas (ρ, θ, ϕ)
x−a
d = ρ cos(θ) sin(ϕ)
y−b
e = ρ sin(θ) sin(ϕ)
z−c
f = ρ cos(ϕ)
, θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+
J = def ρ2 sin(ϕ)
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Integrais triplos Volume Cilndricas Esfericas Applets Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
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- 1. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Integrais Triplos An´alise Matem´atica II – C´alculo II Sandra Gaspar Martins 2o Semestre 2013/14 Vers˜ao de 19 de Maio de 2014 sandra.martins@adm.isel.pt 1/40
- 2. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Revis˜oes de R3 2/40
- 3. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Paraboloide x2 + y2 = z 3/40
- 4. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Superf´ıcie C´onica - Cone x2 + y2 = z2 4/40
- 5. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Superf´ıcie cil´ındrica - Cilindro x2 + y2 = R2 , R ∈ R 5/40
- 6. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Hiperboloide de 1 folha x2 + y2 = z2 + A, A ∈ R+ 6/40
- 7. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Hiperboloide de 2 folhas x2 + y2 = z2 − A, A ∈ R+ 7/40
- 8. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Esfera x2 + y2 + z2 = R2 8/40
- 9. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Resumo x2 + y2 = z paraboloide x2 + y2 = z2 cone x2 + y2 = R2 cilindro x2 + y2 = z2 + A hiperboloide de 1 folha x2 + y2 = z2 − A hiperboloide de 2 folhas x2 + y2 + z2 = R2 esfera 9/40
- 10. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Descentradas Todas estas superf´ıcies podem ser descentradas, ou seja, n˜ao terem o centro na origem: (x − a)2 + (y − b)2 = z (x − a)2 + (y − b)2 = z2 (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (x − a)2 + (y − b)2 = z2 + A (x − a)2 + (y − b)2 = z2 − A (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 10/40
- 11. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets El´ıpticas Todas estas superf´ıcies podem ser el´ıpticas em vez de circulares: x c 2 + y d 2 = z x c 2 + y d 2 = z2 x c 2 + y d 2 = R2 x c 2 + y d 2 = z2 + A x c 2 + y d 2 = z2 − A x c 2 + y d 2 + z e 2 = R2 11/40
- 12. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Outro eixo Todas estas superf´ıcies se podem desenvolver ao longo de outro eixo, por exemplo o eixo dos xx’s: z2 + y2 = x paraboloide z2 + y2 = x2 cone z2 + y2 = R2 cilindro z2 + y2 = x2 + A hiperboloide de 1 folha z2 + y2 = x2 − A hiperboloide de 2 folhas 12/40
- 13. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Resumo generalizadas y − a c 2 + z − b d 2 = x y − a c 2 + z − b d 2 = x2 y − a c 2 + z − b d 2 = R2 y − a c 2 + z − b d 2 = x2 + A y − a c 2 + z − b d 2 = x2 − A y − a c 2 + z − b d 2 + x − e f 2 = R2 13/40
- 14. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Planos Ax + By + Cz + D = 0, A, B, C, D ∈ R 14/40
- 15. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Cilindro parab´olico z = x2 15/40
- 16. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Cilindro hiperb´olico x2 − y2 = R2 16/40
- 17. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Paraboloide hiperb´olico x2 − y2 = z 17/40
- 18. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets outras... z = sin(x) y = √ x y = x z = −x ... 18/40
- 19. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Integrais Triplos 19/40
- 20. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Integral triplo de Riemann R f (x, y, z) dx dy dz = lim n,m,p→+∞ n i=1 m j=1 p k=1 f (xi , yj , zk)∆xi ∆yj ∆zk 20/40
- 21. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Volume Seja V uma regi˜ao limitada de R3 ent˜ao volume de V = V 1 dV 21/40
- 22. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios I Indique R f (x, y, z) dV usando a proje¸c˜ao nos planos xOy, yOz e xOz. 1 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 4 2 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ − x2 + y2, z ≥ −3 3 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≤ 0 4 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 16, −3 ≤ z ≤ 5 5 R = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 Calcule no caso de f (x, y, z) = x e f (x, y, z) = 1. 6 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 9, x ≤ 0 7 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 5, x ≤ 0, y ≤ 0 22/40
- 23. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios II 8 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, z ≤ x2 + y2, z ≥ 0 9 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, 2 − z ≥ x2 + y2 10 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1 − x2, −1 ≤ y ≤ 1, z ≥ 0 11 R = (x, y, z) ∈ R3 : y ≥ 2x, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 5, y ≤ 4 12 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≤ − x2 + y2, y ≤ 0 13 R = ... ∈ R3 : (x − 1)2 + (z + 3)2 ≤ y, (x − 1)2 + (z + 3)2 ≤ (y − 3)2 23/40
- 24. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Coordenadas cil´ındricas Teorema (Coordenadas cil´ındricas R3 −→ R3 ) Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e cil´ındricas (ρ, θ, z) x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) z = z , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+ J = ρ Para cada ponto P: (ρ, θ) ´e a representa¸c˜ao em coordenadas polares da projec¸c˜ao de P no plano-xy. z ´e a cota do ponto P. 24/40
- 25. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios I Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas. 1 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 9 2 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 3, y ≥ 0 3 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ 0, y ≥ 0 4 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 9, −1 ≤ z ≤ 5, x ≤ 0 5 R = (x, y, z) ∈ R3 : −z ≥ x2 + y2, z ≥ −4, x ≤ 0 6 * R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, −z ≤ x2 + y2, z ≤ 1 7 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, 2 − z ≥ x2 + y2 25/40
- 26. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios II 8 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1 − x2 − y2, x2 + y2 ≤ z2, z ≥ 0 9 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y2, z ≤ 2 − x2 + y2 10 * R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2, x2 + y2 ≥ z2, z ≥ 0 11 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, x2 + y2 ≤ 1, z ≥ 0 26/40
- 27. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Coordenadas cil´ındricas generalizadas Teorema (Coordenadas cil´ındricas generalizadas R3 −→ R3 ) Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e cil´ındricas generalizadas (ρ, θ, z) x−a c = ρ cos(θ) y−b d = ρ sin(θ) z = z , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+ J = cdρ Para cada ponto P: (ρ, θ) ´e a representa¸c˜ao em coordenadas polares generalizadas da projec¸c˜ao de P no plano-xy. z ´e a cota do ponto P. 27/40
- 28. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios A I Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas. 1 R = (x, y, z) ∈ R3 : y ≥ x2 + z2, y ≤ 4 2 R = (x, y, z) ∈ R3 : x ≥ z2 + y2, x ≤ 5 3 R = (x, y, z) ∈ R3 : z2 + y2 ≤ 9, 1 ≤ x ≤ 5, y ≤ 0 4 R = (x, y, z) ∈ R3 : −y ≥ x2 + z2, y ≥ −1, x ≤ 0 5 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 1, −z ≤ x2 + z2, y ≤ 0 6 R = (x, y, z) ∈ R3 : x ≥ z2 + y2, 2 − x ≥ z2 + y2 7 R = (x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 1 − z2 − y2, z2 + y2 ≤ x2, x ≥ 0 28/40
- 29. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios A II 8 R = (x, y, z) ∈ R3 : y ≥ √ x2 + z2, y ≤ 2 − √ x2 + z2 9 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2, z2 + y2 ≥ x2, x ≥ 0 10 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, z2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0 29/40
- 30. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios B I Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas. 1 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ (x − 1)2 + (y + 3)2, z ≤ 9 2 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ (x − 1)2 + y2, z ≤ 3 3 R = (x, y, z) ∈ R3 : (x + 2)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 ≤ 4, z ≥ 1, y ≥ 2 4 R = (x, y, z) ∈ R3 : (x − 4)2 + y2 ≤ 9, −1 ≤ z ≤ 5, x ≤ 4 5 R = (x, y, z) ∈ R3 : −z ≥ (x − 2)2 + (y + 1)2 , z ≥ −4, x ≤ 2 6 * R = (x, y, z) ∈ R3 : (z − 1)2 + (y + 3)2 ≤ 1, −x ≤ (z − 1)2 + (y + 3)2 , z ≤ 1 7 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ (x + 3)2 + (y − 1)2, 2 − z ≥ (x + 3)2 + (y − 1)2 8 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1 − (x + 2)2 − (y − 3)2, (x + 2)2 + (y − 3)2 ≤ z2 , z ≥ 0 30/40
- 31. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios B II 9 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ (x + 5)2 + y2, z ≤ 2 − (x + 5)2 + y2 10 * R = (x, y, z) ∈ R3 : (x − 2)2 + y2 + z2 ≤ 2, (x − 2)2 + y2 ≥ z2 , z ≥ 0 11 R = (x, y, z) ∈ R3 : (x − 1)2 + y2 + z2 ≤ 9, (x − 1)2 + y2 ≤ 1, z ≥ 0 31/40
- 32. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios C I Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas. 1 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x 3 2 + y 5 2 , z ≤ 4 2 R = (x, y, z) ∈ R3 : x ≥ y 4 2 + z 3 2 , x ≤ 5 3 R = (x, y, z) ∈ R3 : x 2 2 + y 8 2 ≤ 1, −z ≤ x 2 2 + y 8 2 , z ≤ 0 4 R = (x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 1 − z 3 2 − y 5 2 , z 3 2 + y 5 2 ≤ x2 5 R = (x, y, z) ∈ R3 : y ≥ x2 + z 5 2 , y ≤ 2 − x2 + z 5 2 32/40
- 33. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios D I Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas cil´ındricas. 1 R = (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x−2 3 2 + y−3 5 2 , z ≤ 4 2 R = (x, y, z) ∈ R3 : x ≤ − y−1 4 2 + z+3 3 2 , x ≥ −5 3 R = (x, y, z) ∈ R3 : x−1 2 2 + y 8 2 ≤ 1, −z ≤ x−1 2 2 + y 8 2 , z ≤ 0 4 R = (x, y, z) ∈ R3 : x ≤ 1 − z+2 3 2 − y 5 2 , z+2 3 2 + y 5 2 ≤ x2 5 R = (x, y, z) ∈ R3 : y ≥ x2 + z−2 5 2 , y ≤ 2 − x2 + z−2 5 2 33/40
- 34. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Coordenadas esf´ericas Teorema (Coordenadas esf´ericas R3 −→ R3 ) Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e esf´ericas (ρ, θ, ϕ) x = ρ cos(θ) sin(ϕ) y = ρ sin(θ) sin(ϕ) z = ρ cos(ϕ) , θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+ J = ρ2sinϕ Para cada ponto P: ρ ´e a distˆancia de P `a origem. θ ´e o ˆangulo entre o eixo positivo do x e o raio que ´e formado entre a projec¸c˜ao de P no plano-xy e a origem. ϕ ´e o ˆangulo entre o eixo positivo do z e o raio entre a origem e P. 34/40
- 35. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets 1 1 http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/coords/ shilmay23fin.html 35/40
- 36. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios A I Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas esf´ericas. 1 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4 2 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, z ≤ 0 3 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 16, y ≥ 0 4 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≤ 0, x ≥ 0 5 R = (x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 9, x ≤ 0 6 R = (x, y, z) ∈ R3 : 4 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 9, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0 7 * R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 9, x2 + y2 < z2, z ≥ 0 8 * R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 > z2, z ≤ 0 36/40
- 37. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Coordenadas esf´ericas generalizadas Teorema (Coordenadas esf´ericas generalizadas R3 −→ R3 ) Tem-se a seguinte rela¸c˜ao entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e esf´ericas generalizadas (ρ, θ, ϕ) x−a d = ρ cos(θ) sin(ϕ) y−b e = ρ sin(θ) sin(ϕ) z−c f = ρ cos(ϕ) , θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+ J = def ρ2 sin(ϕ) 37/40
- 38. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Exerc´ıcios B I Indique R f (x, y, z) dV usando coordenadas esf´ericas. 1 R = (x, y, z) ∈ R3 : x−1 2 2 + y+3 2 2 + z−1 3 2 ≤ 4 2 R = (x, y, z) ∈ R3 : x−2 3 2 + y+1 5 2 + z2 ≤ 9, y ≤ −1 3 R = (x, y, z) ∈ R3 : x−1 2 2 + y−3 8 2 + z 2 2 ≤ 1, z ≤ 0, x ≥ 1 4 R = (x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y+2 2 2 + z2 ≤ 9, x ≤ 0 5 R = (x, y, z) ∈ R3 : x−1 2 2 + y2 + z−5 2 2 ≤ 1, x−1 2 2 + y2 < z−5 2 2 , z ≥ 5 6 R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z−1 2 2 ≤ 4, x2 + y2 > z−1 2 2 , z ≤ 1 38/40
- 39. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Confirme os seus resultados usando os applets: http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/ (v´arios applets: coordenadas esf´ericas, superf´ıcies em 3D, etc.) http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id= bf8679a50a63113b582ed22679363a4 (calcula o valor de um integral triplo) 39/40
- 40. AM2 Revis˜oes R3 Resumo 1 Resumo 2 Outras sup. Integrais triplos Volume Cil´ındricas Esf´ericas Applets Autora: Sandra Gaspar Martins Com base no trabalho de: Nuno David Lopes e Cristina Janu´ario 40/40