01 regioesir2eir3
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O documento apresenta os principais tópicos de Cálculo 2 em duas e três dimensões, incluindo equações de retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles e suas propriedades, além de superfícies no espaço como paraboloides, cones, esferas e hipérboles, concluindo com exercícios sobre essas curvas e superfícies.
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01 regioesir2eir3
- 1. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Regi˜oes de R2 e R3 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 2013/14 - Semestre de Ver˜ao 1/45
- 2. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Regi˜oes em R2 2/45
- 3. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios 3/45
- 4. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Retas 4/45
- 5. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Retas y = mx + b m, b ∈ R 4/45
- 6. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Retas y = mx + b m, b ∈ R m declive b ordenada na origem 4/45
- 7. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Par´abolas 5/45
- 8. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Par´abolas y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R 5/45
- 9. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Par´abolas y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R zeros: 5/45
- 10. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Par´abolas y = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R zeros: x = −b ± √ b2 − 4ac 2a a > 0 ∪ a < 0 ∩ 5/45
- 11. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Circunferˆencias 6/45
- 12. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Circunferˆencias (x − a)2 + (y − b)2 = r2 a, b, r ∈ R 6/45
- 13. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Circunferˆencias (x − a)2 + (y − b)2 = r2 a, b, r ∈ R (a, b) centro r raio 6/45
- 14. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Elipses 7/45
- 15. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Elipses x − a c 2 + y − b d 2 = 1 a, b, c, d ∈ R c = 0 ∧ d = 0 7/45
- 16. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Elipses x − a c 2 + y − b d 2 = 1 a, b, c, d ∈ R c = 0 ∧ d = 0 (a, b) centro c, d semi-eixos 7/45
- 17. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Hip´erboles (curiosidade) 8/45
- 18. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Hip´erboles (curiosidade) x − a c 2 − y − b d 2 = 1 a, b, c, d ∈ R c = 0 ∧ d = 0 8/45
- 19. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Hip´erboles (curiosidade) x − a c 2 − y − b d 2 = 1 a, b, c, d ∈ R c = 0 ∧ d = 0 (a, b) centro c distˆancia ao centro d c abertura dos arcos 8/45
- 20. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios x3 y = ax3 + bx2 + cx + d a, b, c, d ∈ R 9/45
- 21. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios x3 y = ax3 + bx2 + cx + d a, b, c, d ∈ R 9/45
- 22. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios M´odulo y = |x| 10/45
- 23. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios M´odulo y = |x| |x| = x se x ≥ 0 −x se x < 0 10/45
- 24. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Raiz y = √ x 11/45
- 25. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Raiz y = √ x 11/45
- 26. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios 1 x y = 1 x 12/45
- 27. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios 1 x y = 1 x 12/45
- 28. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Exponenciais y = ax , a ∈ R+ 13/45
- 29. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Exponenciais y = ax , a ∈ R+ a > 1 a < 1 13/45
- 30. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Logaritmos y = loga(x), a ∈ R+ 14/45
- 31. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Logaritmos y = loga(x), a ∈ R+ a > 1 a < 1 14/45
- 32. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Seno y = sin(x) 15/45
- 33. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Seno y = sin(x) 15/45
- 34. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Cosseno y = cos(x) 16/45
- 35. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Cosseno y = cos(x) 16/45
- 36. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Tangente y = tan(x) 17/45
- 37. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Tangente y = tan(x) 17/45
- 38. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Fa¸ca um esbo¸co das regi˜oes: 1 (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x + 1, x ≥ 2 2 (x, y) ∈ R2 : y ≤ x2, y ≥ 0, −2 ≤ x ≤ 2 3 (x, y) ∈ R2 : y ≥ sin(x), y ≤ 10, π ≤ x ≤ 2π 4 (x, y) ∈ R2 : y ≥ x, y ≤ −x2 + 2 5 (x, y) ∈ R2 : y ≥ 1 x , −3 ≤ x ≤ −1 6 (x, y) ∈ R2 : −x ≤ y ≤ √ x, x ≤ 4 7 (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ |x|, −3 ≤ x ≤ 2 8 (x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 2, |y| ≤ 3 9 (x, y) ∈ R2 : y ≥ |x − 1|, y ≤ 2 10 (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ ex 11 (x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, y ≥ −ex , y ≤ 0 18/45
- 39. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Fa¸ca um esbo¸co das regi˜oes: 1 (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 2 (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0 3 (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ √ 1 − x2 4 (x, y) ∈ R2 : y ≥ − √ 9 − x2, y ≤ x, x ≤ 3 5 (x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + (y − 3)2 ≤ 16 6 (x, y) ∈ R2 : (x − 2)2 + (y − 1)2 ≥ 4 7 (x, y) ∈ R2 : (x + 3)2 + (y − 2)2 ≥ 2, y ≥ 2 8 (x, y) ∈ R2 : (x + 5)2 + y2 ≤ 1, x ≤ −5 9 (x, y) ∈ R2 : (x − 4)2 + (y − 3)2 = 9 19/45
- 40. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Fa¸ca um esbo¸co das regi˜oes: 1 (x, y) ∈ R2 : x 3 2 + y 2 2 ≤ 1 2 (x, y) ∈ R2 : x 5 2 + y 3 2 ≥ 1 3 (x, y) ∈ R2 : x 3 2 + y 5 2 ≤ 4 4 (x, y) ∈ R2 : x 2 2 + y 3 2 ≤ 9 5 (x, y) ∈ R2 : x 5 2 + y2 ≥ 16 6 (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 16 ≤ 4 7 (x, y) ∈ R2 : x−1 3 2 + y−2 4 2 ≤ 1 8 (x, y) ∈ R2 : x+5 4 2 + y−1 3 2 = 4 20/45
- 41. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Regi˜oes em R3 . Os gr´aficos desta sec¸c˜ao foram retirados de Wolfram|Alpha http://www.wolframalpha.com/ 21/45
- 42. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z Fa¸ca a interse¸c˜ao com os planos: z=4 z=3 z=2 z=1 z=0 z=-1 z=-2 e x=0 e y=0 Qual a figura que obt´em? 22/45
- 43. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Paraboloide (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z 23/45
- 44. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 Fa¸ca a interse¸c˜ao com os planos: z=4 z=3 z=2 z=1 z=0 z=-1 z=-2 e x=0 e y=0 Qual a figura que obt´em? 24/45
- 45. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Superf´ıcie C´onica - Cone (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 25/45
- 46. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 4 Fa¸ca a interse¸c˜ao com os planos: z=4 z=3 z=2 z=1 z=0 z=-1 z=-2 e x=0 e y=0 Qual a figura que obt´em? 26/45
- 47. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Superf´ıcie cil´ındrica - Cilindro (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = R2 , R ∈ R 27/45
- 48. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 4 Fa¸ca a interse¸c˜ao com os planos: z=4 z=3 z=2 z=1 z=0 z=-1 z=-2 e x=0 e y=0 Qual a figura que obt´em? 28/45
- 49. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Esfera (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = R2 29/45
- 50. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Hiperboloide de 1 folha (curiosidade) (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 + A, A ∈ R+ 30/45
- 51. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Hiperboloide de 2 folhas (curiosidade) (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 − A, A ∈ R+ 31/45
- 52. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Resumo x2 + y2 = z paraboloide x2 + y2 = z2 cone x2 + y2 = R2 cilindro x2 + y2 + z2 = R2 esfera 32/45
- 53. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Exerc´ıcios: Fa¸ca um esbo¸co das regi˜oes: 1 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z, z ≤ 9 2 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z2, −4 ≤ z ≤ 25 3 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 5, −3 ≤ z ≤ 6 4 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0 5 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ −z, −9 ≤ z 6 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z, z ≤ 4, y ≥ 0 7 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ 25, x ≤ 0 8 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 6, x ≥ 0, y ≤ 0 9 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2, z ≤ 0, y ≤ 0, x ≤ 0 33/45
- 54. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Descentradas (x − a)2 + (y − b)2 = z (x − a)2 + (y − b)2 = z2 (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 34/45
- 55. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios El´ıpticas Todas estas superf´ıcies podem ser el´ıpticas em vez de circulares: x c 2 + y d 2 = z x c 2 + y d 2 = z2 x c 2 + y d 2 = R2 x c 2 + y d 2 + z e 2 = 1 35/45
- 56. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Outro eixo Todas estas superf´ıcies podem ter outro eixo, por exemplo o eixo dos xx’s: z2 + y2 = x paraboloide z2 + y2 = x2 cone z2 + y2 = R2 cilindro 36/45
- 57. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Resumo generalizadas y − a c 2 + z − b d 2 = x y − a c 2 + z − b d 2 = x2 y − a c 2 + z − b d 2 = R2 y − a c 2 + z − b d 2 + x − e f 2 = 1 37/45
- 58. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Exerc´ıcios: Fa¸ca um esbo¸co das regi˜oes: 1 (x, y, z) ∈ R3 : (x − 2)2 + (y − 5)2 ≤ z, z ≤ 4 2 (x, y, z) ∈ R3 : (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ (z − 3)2, −1 ≤ z ≤ 5 3 (x, y, z) ∈ R3 : z2 + y2 ≤ x, x ≤ 4 4 (x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 4, −3 ≤ y ≤ 6 5 (x, y, z) ∈ R3 : x 2 2 + y 4 2 ≤ z, z ≤ 5 6 (x, y, z) ∈ R3 : x−3 5 2 + y−1 2 2 ≤ z2, −3 ≤ z ≤ 3 7 (x, y, z) ∈ R3 : x+2 5 2 + y−1 3 2 ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 4 8 (x, y, z) ∈ R3 : x+3 4 2 + z−1 5 2 ≤ y2, −1 ≤ y ≤ 4 9 (x, y, z) ∈ R3 : (x − 3)2 + (y + 3)2 + (z − 1)2 ≤ 4 10 (x, y, z) ∈ R3 : (y − 1)2 + (x + 2)2 ≤ z − 3, z ≤ 7 38/45
- 59. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Cilindro parab´olico (x, y, z) ∈ R3 : z = y2 Fa¸ca a interse¸c˜ao com os planos: x=4 x=3 x=2 x=1 x=0 x=-1 x=-2 e y=0 e z=0 Qual a figura que obt´em? 39/45
- 60. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Cilindro parab´olico (x, y, z) ∈ R3 : z = y2 40/45
- 61. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Cilindro hiperb´olico (curiosidade) (x, y, z) ∈ R3 : x2 − y2 = R2 41/45
- 62. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Paraboloide hiperb´olico (curiosidade) (x, y, z) ∈ R3 : x2 − y2 = z 42/45
- 63. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios outras... (x, y, z) ∈ R3 : z = sin(x) (x, y, z) ∈ R3 : y = √ x (x, y, z) ∈ R3 : y = x (x, y, z) ∈ R3 : z = −x ... 43/45
- 64. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Exerc´ıcios: I Fa¸ca um esbo¸co das regi˜oes: 1 (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 5, −3 ≤ x ≤ 6, −1 ≤ y ≤ 2 2 (x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 2, −1 ≤ y ≤ 6, −1 ≤ z ≤ 3 3 (x, y, z) ∈ R3 : y ≥ x, 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 2 4 (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 5y, 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 1 5 (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 6 (x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2, −2 ≤ y ≤ 5, z ≤ 9 7 (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ y2, −2 ≤ x ≤ 5, z ≥ 0 44/45
- 65. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 R2 Retas Par´abolas Circunferˆencias Elipses Hip´erboles Outras Exerc´ıcios R3 Paraboloide Cone Cilindro Esfera Hiperb.1 folha Hiperb.2 folhas Resumo 1 Exerc´ıcios Descentradas El´ıpticas Outro eixo Resumo 2 Exerc´ıcios Outras sup. Exerc´ıcios Exerc´ıcios: II 8 (x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2, z ≤ 4 9 (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ − x2 + y2, z ≥ −9 10 (x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1 − x2 − y2, z ≥ 0 11 (x, y, z) ∈ R3 : y ≤ √ 1 − x2, −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ z ≤ 2, 12 (x, y, z) ∈ R3 : 4 ≥ x ≥ z2 + y2, z ≥ 0, y ≥ 0, 13 (x, y, z) ∈ R3 : 7 ≥ y ≥ 3 + √ x2 + z2 14 (x, y, z) ∈ R3 : 6 ≥ z ≥ 2 + x2 + y2 45/45