O documento descreve as funções trigonométricas seno e cosseno, incluindo suas definições, períodos e imagens. Também discute variações nas funções através de esticar, encolher, translações verticais e horizontais, modificando a imagem e o período.

1. P r o f.: S h yn a
Funções
Trigonométricas
Professor Elizeu

2. P r o f.: S h yn a
Função Seno
f(x) =
π/2
sen(x) = 2π
Período
π 0 Imagem = [-1, 1]
y
2π
Função Ímpar
1
3π/2
x sen 3π/2 2π
0 0 0 π/2 π x
π/2 1
π 0
3π/2 -1
-1
2π 0

3. P r o f.: S h yn a
Função Cosseno
f(x) =
π/2 Cos(x) = 2π
Período
Imagem = [-1, 1]
π 0
2π
y Função Par
1
3π/2
x cos 3π/2 2π
0 π/2 π x
0 1
π/2 0
π -1
3π/2 0
-1
2π 1

4. P r o f.: S h yn a

5. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
K•f(x) Estica K vezes
1/k•f(x) Encolhe k vezes
Variação Vertical
Modifica a Imagem

6. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = 2sen(x)
2
f(x) = sen(x)
1
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
2π
-1
f(x) = 2sen(x)
Imagem = [- 2, 2]
-2
Período = 2π

7. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
2º Caso ⇒ f(x) = b + sen(x)
f(x) = sen(x)
1+b
Imagem = [-1, 1]
1
Período = 2π
2π
-1+b
f(x) = b + sen(x)
-1
Imagem = [-1+b, 1+b]
Período = 2π

8. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
f(x) + k SOBE k UNIDADES
f(x) - k DESCE K UNIDADES
Translação Vertical
Modifica a Imagem

9. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = 1 + sen(x)
2
f(x) = sen(x)
1
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
2π
0
-1
f(x) = 1 + sen(x)
Imagem = [0, 2]
Período = 2π

10. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
3º Caso ⇒ f(x) = sen(c•x)
f(x) = sen(x)
1
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
2π/c
2π
-1
f(x) = sen(c•x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π/|c|

11. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
f(k•x) DIMINUI K VEZES
O PERÍODO
f(1/k•x) AUMENTA K VEZES
O PERÍODO
Variação Horizontal
Modifica o Período

12. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = sen(2x)
f(x) = sen(x)
1
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
π
2π
-1
f(x) = sen(2x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π/2= π

13. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
4º Caso ⇒ f(x) = sen(x + d)
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
1
Período = 2π
2π
f(x) = sen(x + d)
-1
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π

14. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
f(x-k) MOVE PARA DIREITA
K UNIDADES
f(x+k) MOVE PARA ESQUERDA
K UNIDADES
Translação Horizontal
Não Modifica o Período

15. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = sen(x + π)
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
1
Período = 2π
π π
f(x) = sen(x + d)
-1
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π

16. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
Resumo ⇒ f(x) = a + b•sen(cx + d)
Translação Vertical
a Modifica a Imagem
Eixo “y” Variação Vertical
b Modifica a Imagem
Variação horizontal
c Modifica o período
Eixo “x” Translação horizontal
d Não Modifica o Período

17. P r o f.: S h yn a
Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = 1 + sen(2x)
2
1 Período = 2π/2= π
π
2π
1º) y = sen(2x)
-1
Imagem = [- 0, 2]
2º) y = 1+ sen(2x)

18. P r o f.: S h yn a
Função tangente
f(x) = tg(x)
π/2 Período = π
Imagem = R
π 0 Função Ímpar
2π y
π π
3π/2
x tg
0 0
2π
π/2 ∃ 0 π/2 π 3π/2 x
π 0
3π/2 ∃
2π 0

19. P r o f.: S h yn a
Função Cotangente
f(x) = Crescimento
cotg(x)
cos x
Cotgx =
senx ≠ 0 Estritamente
decrescente
Domínio
Sinal
x ≠ k .π
Mesmo da
Imagem = R tangente
Período = π Função Ímpar
Cotg (− x) = −Cotg ( x)

20. P r o f.: S h yn a
Função Cossecante
f(x) = Crescimento
cossec(x)
1
Cos sec x =
senx ≠ 0 Inverso do seno
Domínio Sinal
x ≠ k .π
Mesmo do seno
Imagem = R - ]-1,1[
Função Ímpar
Período = 2π Cos sec(− x) = − Cos sec( x)

21. P r o f.: S h yn a
Função Secante
f(x) = sec(x) Crescimento
1
Secx =
cos x ≠ 0 Inverso do cosseno
Domínio Sinal
π
x ≠ + k .π
2 Mesmo do cosseno
Imagem = R - ]-1,1[ Função Par
Período = 2π Sec(− x) = Sec( x)

22. P r o f.: S h yn a
Resumão
Domínio Imagem Período
senx senx senx
R [−1,1]
cos x cos x cos x
tgx tgx
2π
π cos sec x
x ≠ + k .π R
sec x 2 cot gx sec x
cot gx tgx
cos sec x
x ≠ k .π sec x
R −] − 1,1[ cot gx π
cos sec x