Desenho Técnico - Construções Geométricas sobre Tangentes

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Desenho Tecnico - Construcoes
´
Geometricas

Em´lio Eiji Kavamura
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Eng. Mecanica
Universidade Positivo

6 de fevereiro de 2009

eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´
Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

´
SUMARIO

1 Tangentes
ˆ
Tangente a uma circunferencia por um ponto dado
ˆ
Circunferencia Tangente
ˆ
Tangente a Duas Circunferencia


´
TOPICOS

1 Tangentes
ˆ
Tangente a uma circunferencia por um ponto dado
ˆ
Circunferencia Tangente
ˆ
Tangente a Duas Circunferencia


Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia
ˆ

ˆ
Dada uma circunferencia
α = {O, r } e
um ponto P fora dela.
Tracar por P a tangente
¸
`
a α.


ˆ

´ ¸˜ ´
2009-02-06 Tangentes
ˆ
α = {O, r } e
ˆ
Tangente a uma circunferencia por um ponto dado um ponto P fora dela.
Tracar por P a tangente
¸
`
a α.

ˆ

¸˜ ˆ ´
Deﬁnicao: circunferencia tangente (a uma curva) e a
ˆ
circunferencia que possui apenas um unico ponto em comum
´
com esta curva.
ˆ ˆ
Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a reta
que une os seus centros.

ˆ

ˆ
α = {O, r } e
α O Tracar por P a tangente
¸
`
a α.


ˆ

P
ˆ
α = {O, r } e
α O Tracar por P a tangente
¸
`
a α.


Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
ˆ ¸˜

P

α O


Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
ˆ ¸˜

P

M
α O


Problema no 15 - Circunferencia tangente
ˆ

ˆ
α = {O, r } e um ponto dela
qualquer A,
ˆ
Tracar uma circunferencia
¸
tangente a α que passe por
P e A.


ˆ

´ ¸˜ ´
2009-02-06 Tangentes ˆ
qualquer A,
ˆ
Circunferencia Tangente um ponto P fora dela.
ˆ
¸

P e A.
ˆ

¸˜ ˆ ´
Deﬁnicao: circunferencia tangente (a uma curva) e a
ˆ
circunferencia que possui apenas um unico ponto em comum
´
com esta curva.
ˆ ˆ
Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a reta
que une os seus centros.

ˆ

ˆ
qualquer A,
ˆ
¸
α O P e A.


ˆ

ˆ
qualquer A,
A ˆ
¸
α O P e A.


ˆ

ˆ
P
qualquer A,
A ˆ
¸
α O P e A.


Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao
ˆ ¸˜

1 OA;
P
2 PA;
3 {A, r } ∩ {P, r } =
A {M, N};
4 MN ∩ OA = {I};
α O 5 {I, IA};


ˆ ¸˜

1 OA;
P M 2 PA;
3 {A, r } ∩ {P, r } =
N
A {M, N};
4 MN ∩ OA = {I};
α O 5 {I, IA};


ˆ ¸˜

1 OA;
P M I 2 PA;
3 {A, r } ∩ {P, r } =
N
A {M, N};
4 MN ∩ OA = {I};
α O 5 {I, IA};


ˆ ¸˜

1 OA;
P I 2 PA;
3 {A, r } ∩ {P, r } =
A {M, N};
4 MN ∩ OA = {I};
α O 5 {I, IA};


Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia
ˆ

ˆ
Dadas duas circunferencia
α = {O, r } e α =
{O , r },
Tracar uma reta tangente a
¸
αeα .


ˆ

ˆ
α = {O, r } e α =
{O , r },
¸
α O αeα .


ˆ

α O

ˆ
α = {O, r } e α =
{O , r },
¸
α O αeα .


Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
ˆ ¸˜

1 OO ;
2 {O, a} ∩ {O , a} =
{M, N},
α
O a > OO /2;
3 MN ∩ OO = {I};
4 β1 = {I, IO};
5 β2 = {O, r − r };
6 β1 ∩ β2 = {P, Q};
O 7 OP ∩ α = {A};
α OQ ∩ α = {D};
8 O B//OA;
O C//OD;
9 AB;
CD;

ˆ ¸˜

1 OO ;
2 {O, a} ∩ {O , a} =
{M, N},
α
O a > OO /2;
3 MN ∩ OO = {I};
4 β1 = {I, IO};
M N 5 β2 = {O, r − r };
6 β1 ∩ β2 = {P, Q};
O 7 OP ∩ α = {A};
α OQ ∩ α = {D};
8 O B//OA;
O C//OD;
9 AB;
CD;

ˆ ¸˜

1 OO ;
2 {O, a} ∩ {O , a} =
{M, N},
α
O a > OO /2;
3 MN ∩ OO = {I};
4 β1 = {I, IO};
M I N 5 β2 = {O, r − r };
6 β1 ∩ β2 = {P, Q};
O 7 OP ∩ α = {A};
α OQ ∩ α = {D};
8 O B//OA;
O C//OD;
9 AB;
CD;

ˆ ¸˜

1 OO ;
2 {O, a} ∩ {O , a} =
{M, N},
α
O a > OO /2;
3 MN ∩ OO = {I};
4 β1 = {I, IO};
M I N 5 β2 = {O, r − r };
β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q};
O 7 OP ∩ α = {A};
α OQ ∩ α = {D};
8 O B//OA;
O C//OD;
9 AB;
CD;

ˆ ¸˜

1 OO ;
2 {O, a} ∩ {O , a} =
{M, N},
α
O a > OO /2;
3 MN ∩ OO = {I};
4 β1 = {I, IO};
I 5 β2 = {O, r − r };
β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q};
O 7 OP ∩ α = {A};
α β2 OQ ∩ α = {D};
8 O B//OA;
O C//OD;
9 AB;
CD;

ˆ ¸˜

1 OO ;
2 {O, a} ∩ {O , a} =
{M, N},
α
O a > OO /2;
3 MN ∩ OO = {I};
4 β1 = {I, IO};
I 5 β2 = {O, r − r };
β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q};
P O Q 7 OP ∩ α = {A};
α β2 OQ ∩ α = {D};
8 O B//OA;
O C//OD;
9 AB;
CD;

ˆ ¸˜

1 OO ;
2 {O, a} ∩ {O , a} =
{M, N},
α
O a > OO /2;
3 MN ∩ OO = {I};
4 β1 = {I, IO};
I 5 β2 = {O, r − r };
β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q};
A O D
P Q 7 OP ∩ α = {A};
α β2 OQ ∩ α = {D};
8 O B//OA;
O C//OD;
9 AB;
CD;

ˆ ¸˜

1 OO ;
2 {O, a} ∩ {O , a} =
{M, N},
α
O C a > OO /2;
B
3 MN ∩ OO = {I};
4 β1 = {I, IO};
5 β2 = {O, r − r };
6 β1 ∩ β2 = {P, Q};
A O D
7 OP ∩ α = {A};
α OQ ∩ α = {D};
8 O B//OA;
O C//OD;
9 AB;
CD;

Revisando

α
O

O

α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´

Revisando

α
O

M N

O


Revisando

α
O

I
M N

O


Revisando

α
O

I

β1

O


Revisando

α
O

I

β1

O

α β 2

Revisando

α
O

I

β1

P O Q

α β 2

Revisando

α
O

I

β1

A D
P O Q

α β 2

Revisando

α
O
B C

A D
O


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