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Desenho Tecnico - Construcoes
              ´
        Geometricas

         Em´lio Eiji Kavamura
           ı

                           ˆ
                 Eng. Mecanica
              Universidade Positivo


       6 de fevereiro de 2009




      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
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SUMARIO




  1   Tangentes
                                ˆ
        Tangente a uma circunferencia por um ponto dado
                 ˆ
        Circunferencia Tangente
                                  ˆ
         Tangente a Duas Circunferencia




                  eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                       Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
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TOPICOS




  1   Tangentes
                                ˆ
        Tangente a uma circunferencia por um ponto dado
                 ˆ
        Circunferencia Tangente
                                  ˆ
         Tangente a Duas Circunferencia




                  eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                       Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia
                                         ˆ




                                                           ˆ
                                        Dada uma circunferencia
                                        α = {O, r } e
                                        um ponto P fora dela.
                                        Tracar por P a tangente
                                           ¸
                                        `
                                        a α.




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia
                                                                                                                 ˆ

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             Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
2009-02-06      Tangentes
                                                                                                                            ˆ
                                                                                                         Dada uma circunferencia
                                                                                                         α = {O, r } e
                                            ˆ
                    Tangente a uma circunferencia por um ponto dado                                      um ponto P fora dela.
                                                                                                         Tracar por P a tangente
                                                                                                            ¸
                                                                                                         `
                                                                                                         a α.

                       Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia
                                                                ˆ



                   ¸˜            ˆ                           ´
             Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e a
                      ˆ
             circunferencia que possui apenas um unico ponto em comum
                                                   ´
             com esta curva.
                                ˆ                     ˆ
             Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a reta
             que une os seus centros.
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia
                                         ˆ




                                                           ˆ
                                        Dada uma circunferencia
                                        α = {O, r } e
                                        um ponto P fora dela.
      α           O                     Tracar por P a tangente
                                           ¸
                                        `
                                        a α.




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia
                                         ˆ




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                                        Dada uma circunferencia
                                        α = {O, r } e
                                        um ponto P fora dela.
      α            O                    Tracar por P a tangente
                                           ¸
                                        `
                                        a α.




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia
                                         ˆ




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                                        Dada uma circunferencia
                                        α = {O, r } e
                                        um ponto P fora dela.
      α            O                    Tracar por P a tangente
                                           ¸
                                        `
                                        a α.




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
                                         ˆ           ¸˜




               P



      α            O




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                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
                                         ˆ           ¸˜




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                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
                                         ˆ           ¸˜




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                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
                                         ˆ           ¸˜




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                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
                                         ˆ           ¸˜




               P


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      α            O




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
                                         ˆ           ¸˜




               P



      α            O




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
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TOPICOS




  1   Tangentes
                                ˆ
        Tangente a uma circunferencia por um ponto dado
                 ˆ
        Circunferencia Tangente
                                  ˆ
         Tangente a Duas Circunferencia




                  eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                       Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente
                          ˆ




                                                           ˆ
                                        Dada uma circunferencia
                                        α = {O, r } e um ponto dela
                                        qualquer A,
                                        um ponto P fora dela.
                                                              ˆ
                                        Tracar uma circunferencia
                                           ¸
                                        tangente a α que passe por
                                        P e A.




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente
                                                                                            ˆ

                      ´               ¸˜       ´
             Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
2009-02-06      Tangentes                                                                                             ˆ
                                                                                                   Dada uma circunferencia
                                                                                                   α = {O, r } e um ponto dela
                                                                                                   qualquer A,
                             ˆ
                    Circunferencia Tangente                                                        um ponto P fora dela.
                                                                                                                         ˆ
                                                                                                   Tracar uma circunferencia
                                                                                                      ¸
                                                                                                   tangente a α que passe por

                       Problema no 15 - Circunferencia tangente
                                                                                                   P e A.
                                                 ˆ



                   ¸˜            ˆ                           ´
             Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e a
                      ˆ
             circunferencia que possui apenas um unico ponto em comum
                                                   ´
             com esta curva.
                                ˆ                     ˆ
             Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a reta
             que une os seus centros.
Problema no 15 - Circunferencia tangente
                          ˆ




                                                             ˆ
                                          Dada uma circunferencia
                                          α = {O, r } e um ponto dela
                                          qualquer A,
                                          um ponto P fora dela.
                                                                ˆ
                                          Tracar uma circunferencia
                                             ¸
                                          tangente a α que passe por
     α           O                        P e A.




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente
                          ˆ




                                                             ˆ
                                          Dada uma circunferencia
                                          α = {O, r } e um ponto dela
                                          qualquer A,
                                          um ponto P fora dela.
                       A                                        ˆ
                                          Tracar uma circunferencia
                                             ¸
                                          tangente a α que passe por
     α           O                        P e A.




                     eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                          Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente
                          ˆ




                                                              ˆ
                                           Dada uma circunferencia
              P
                                           α = {O, r } e um ponto dela
                                           qualquer A,
                                           um ponto P fora dela.
                        A                                        ˆ
                                           Tracar uma circunferencia
                                              ¸
                                           tangente a α que passe por
     α            O                        P e A.




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente
                          ˆ




                                                              ˆ
                                           Dada uma circunferencia
              P
                                           α = {O, r } e um ponto dela
                                           qualquer A,
                                           um ponto P fora dela.
                        A                                        ˆ
                                           Tracar uma circunferencia
                                              ¸
                                           tangente a α que passe por
     α            O                        P e A.




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao
                          ˆ                    ¸˜




                                             1    OA;
              P
                                             2    PA;
                                             3     {A, r } ∩ {P, r } =
                        A                         {M, N};
                                             4    MN ∩ OA = {I};
     α            O                          5     {I, IA};




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao
                          ˆ                    ¸˜




                                             1    OA;
              P
                                             2    PA;
                                             3     {A, r } ∩ {P, r } =
                        A                         {M, N};
                                             4    MN ∩ OA = {I};
     α            O                          5     {I, IA};




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao
                          ˆ                    ¸˜




                                             1    OA;
              P
                                             2    PA;
                                             3     {A, r } ∩ {P, r } =
                        A                         {M, N};
                                             4    MN ∩ OA = {I};
     α            O                          5     {I, IA};




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao
                          ˆ                    ¸˜




                                               1    OA;
                P        M                     2    PA;
                                               3     {A, r } ∩ {P, r } =
            N
                          A                         {M, N};
                                               4    MN ∩ OA = {I};
     α              O                          5     {I, IA};




                        eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                             Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao
                          ˆ                    ¸˜




                                               1    OA;
                P        M       I             2    PA;
                                               3     {A, r } ∩ {P, r } =
            N
                          A                         {M, N};
                                               4    MN ∩ OA = {I};
     α              O                          5     {I, IA};




                        eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                             Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao
                          ˆ                    ¸˜




                                             1    OA;
              P                I             2    PA;
                                             3     {A, r } ∩ {P, r } =
                        A                         {M, N};
                                             4    MN ∩ OA = {I};
     α            O                          5     {I, IA};




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao
                          ˆ                    ¸˜




                                             1    OA;
              P                I             2    PA;
                                             3     {A, r } ∩ {P, r } =
                        A                         {M, N};
                                             4    MN ∩ OA = {I};
     α            O                          5     {I, IA};




                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
´
TOPICOS




  1   Tangentes
                                ˆ
        Tangente a uma circunferencia por um ponto dado
                 ˆ
        Circunferencia Tangente
                                  ˆ
         Tangente a Duas Circunferencia




                  eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                       Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia
                                          ˆ




                                                               ˆ
                                        Dadas duas circunferencia
                                        α =         {O, r } e α =
                                          {O , r },
                                        Tracar uma reta tangente a
                                           ¸
                                        αeα .




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia
                                          ˆ




                                                               ˆ
                                        Dadas duas circunferencia
                                        α =         {O, r } e α =
                                          {O , r },
                                        Tracar uma reta tangente a
                                           ¸
        α            O                  αeα .




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia
                                          ˆ




               α    O

                                                               ˆ
                                        Dadas duas circunferencia
                                        α =         {O, r } e α =
                                          {O , r },
                                        Tracar uma reta tangente a
                                           ¸
        α            O                  αeα .




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia
                                          ˆ




               α    O

                                                               ˆ
                                        Dadas duas circunferencia
                                        α =         {O, r } e α =
                                          {O , r },
                                        Tracar uma reta tangente a
                                           ¸
        α            O                  αeα .




                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
                                          ˆ           ¸˜

                                          1    OO ;
                                          2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                               {M, N},
               α
                    O                          a > OO /2;
                                          3    MN ∩ OO = {I};
                                          4    β1 = {I, IO};
                                          5    β2 = {O, r − r };
                                          6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
                     O                    7    OP ∩ α = {A};
           α                                   OQ ∩ α = {D};
                                          8    O B//OA;
                                               O C//OD;
                                          9    AB;
                                               CD;
                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
                                          ˆ           ¸˜

                                          1    OO ;
                                          2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                               {M, N},
               α
                    O                          a > OO /2;
                                          3    MN ∩ OO = {I};
                                          4    β1 = {I, IO};
                                          5    β2 = {O, r − r };
                                          6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
                     O                    7    OP ∩ α = {A};
           α                                   OQ ∩ α = {D};
                                          8    O B//OA;
                                               O C//OD;
                                          9    AB;
                                               CD;
                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                        Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
                                          ˆ           ¸˜

                                              1    OO ;
                                              2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                                   {M, N},
               α
                    O                              a > OO /2;
                                              3    MN ∩ OO = {I};
                                              4    β1 = {I, IO};
       M                                N     5    β2 = {O, r − r };
                                              6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
                     O                        7    OP ∩ α = {A};
           α                                       OQ ∩ α = {D};
                                              8    O B//OA;
                                                   O C//OD;
                                              9    AB;
                                                   CD;
                   eek.up@hotmail.com                ´               ¸˜       ´
                                            Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
                                          ˆ           ¸˜

                                              1    OO ;
                                              2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                                   {M, N},
               α
                    O                              a > OO /2;
                                              3    MN ∩ OO = {I};
                                              4    β1 = {I, IO};
       M             I                  N     5    β2 = {O, r − r };
                                              6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
                     O                        7    OP ∩ α = {A};
           α                                       OQ ∩ α = {D};
                                              8    O B//OA;
                                                   O C//OD;
                                              9    AB;
                                                   CD;
                   eek.up@hotmail.com                ´               ¸˜       ´
                                            Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
                                          ˆ           ¸˜

                                               1    OO ;
                                               2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                                    {M, N},
                α
                    O                               a > OO /2;
                                               3    MN ∩ OO = {I};
                                               4    β1 = {I, IO};
       M              I                  N     5    β2 = {O, r − r };
           β1                                  6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
                      O                        7    OP ∩ α = {A};
           α                                        OQ ∩ α = {D};
                                               8    O B//OA;
                                                    O C//OD;
                                               9    AB;
                                                    CD;
                    eek.up@hotmail.com                ´               ¸˜       ´
                                             Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
                                          ˆ           ¸˜

                                             1    OO ;
                                             2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                                  {M, N},
                  α
                      O                           a > OO /2;
                                             3    MN ∩ OO = {I};
                                             4    β1 = {I, IO};
                        I                    5    β2 = {O, r − r };
          β1                                 6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
                        O                    7    OP ∩ α = {A};
           α β2                                   OQ ∩ α = {D};
                                             8    O B//OA;
                                                  O C//OD;
                                             9    AB;
                                                  CD;
                      eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
                                           Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
                                          ˆ           ¸˜

                                              1    OO ;
                                              2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                                   {M, N},
                   α
                       O                           a > OO /2;
                                              3    MN ∩ OO = {I};
                                              4    β1 = {I, IO};
                         I                    5    β2 = {O, r − r };
          β1                                  6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
               P         O       Q            7    OP ∩ α = {A};
           α β2                                    OQ ∩ α = {D};
                                              8    O B//OA;
                                                   O C//OD;
                                              9    AB;
                                                   CD;
                       eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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                                              1    OO ;
                                              2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                                   {M, N},
                   α
                       O                           a > OO /2;
                                              3    MN ∩ OO = {I};
                                              4    β1 = {I, IO};
                         I                    5    β2 = {O, r − r };
          β1                                  6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
          A              O           D
               P                 Q            7    OP ∩ α = {A};
           α β2                                    OQ ∩ α = {D};
                                              8    O B//OA;
                                                   O C//OD;
                                              9    AB;
                                                   CD;
                       eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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                                          1    OO ;
                                          2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                               {M, N},
               α
                    O C                        a > OO /2;
               B
                                          3    MN ∩ OO = {I};
                                          4    β1 = {I, IO};
                                          5    β2 = {O, r − r };
                                          6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
          A          O           D
                                          7    OP ∩ α = {A};
           α                                   OQ ∩ α = {D};
                                          8    O B//OA;
                                               O C//OD;
                                          9    AB;
                                               CD;
                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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                                          1    OO ;
                                          2      {O, a} ∩ {O , a} =
                                               {M, N},
               α
                    O C                        a > OO /2;
               B
                                          3    MN ∩ OO = {I};
                                          4    β1 = {I, IO};
                                          5    β2 = {O, r − r };
                                          6    β1 ∩ β2 = {P, Q};
          A          O           D
                                          7    OP ∩ α = {A};
           α                                   OQ ∩ α = {D};
                                          8    O B//OA;
                                               O C//OD;
                                          9    AB;
                                               CD;
                   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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             α       β 2
                 eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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             α       β 2
                 eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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            β1

            A                                                           D
                    P                        O                Q


             α       β 2
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            α   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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            α   eek.up@hotmail.com            ´               ¸˜       ´
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Aula05 Tangentes

  • 1. ´ ¸˜ Desenho Tecnico - Construcoes ´ Geometricas Em´lio Eiji Kavamura ı ˆ Eng. Mecanica Universidade Positivo 6 de fevereiro de 2009 eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 2. ´ SUMARIO 1 Tangentes ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado ˆ Circunferencia Tangente ˆ Tangente a Duas Circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 3. ´ TOPICOS 1 Tangentes ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado ˆ Circunferencia Tangente ˆ Tangente a Duas Circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 4. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto P fora dela. Tracar por P a tangente ¸ ` a α. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 5. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas 2009-02-06 Tangentes ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado um ponto P fora dela. Tracar por P a tangente ¸ ` a α. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ ¸˜ ˆ ´ Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e a ˆ circunferencia que possui apenas um unico ponto em comum ´ com esta curva. ˆ ˆ Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a reta que une os seus centros.
  • 6. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto P fora dela. α O Tracar por P a tangente ¸ ` a α. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 7. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ P ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto P fora dela. α O Tracar por P a tangente ¸ ` a α. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 8. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ P ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto P fora dela. α O Tracar por P a tangente ¸ ` a α. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 9. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 10. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 11. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 12. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P M α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 13. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P M α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 14. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 15. ´ TOPICOS 1 Tangentes ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado ˆ Circunferencia Tangente ˆ Tangente a Duas Circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 16. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 17. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas 2009-02-06 Tangentes ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, ˆ Circunferencia Tangente um ponto P fora dela. ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por Problema no 15 - Circunferencia tangente P e A. ˆ ¸˜ ˆ ´ Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e a ˆ circunferencia que possui apenas um unico ponto em comum ´ com esta curva. ˆ ˆ Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a reta que une os seus centros.
  • 18. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por α O P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 19. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. A ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por α O P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 20. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia P α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. A ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por α O P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 21. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia P α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. A ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por α O P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 22. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 23. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 24. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 25. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P M 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = N A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 26. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P M I 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = N A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 27. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P I 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 28. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P I 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 29. ´ TOPICOS 1 Tangentes ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado ˆ Circunferencia Tangente ˆ Tangente a Duas Circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 30. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia ˆ ˆ Dadas duas circunferencia α = {O, r } e α = {O , r }, Tracar uma reta tangente a ¸ αeα . eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 31. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia ˆ ˆ Dadas duas circunferencia α = {O, r } e α = {O , r }, Tracar uma reta tangente a ¸ α O αeα . eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 32. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia ˆ α O ˆ Dadas duas circunferencia α = {O, r } e α = {O , r }, Tracar uma reta tangente a ¸ α O αeα . eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 33. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia ˆ α O ˆ Dadas duas circunferencia α = {O, r } e α = {O , r }, Tracar uma reta tangente a ¸ α O αeα . eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 34. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 35. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 36. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; M N 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 37. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; M I N 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 38. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; M I N 5 β2 = {O, r − r }; β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 39. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; I 5 β2 = {O, r − r }; β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α β2 OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 40. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; I 5 β2 = {O, r − r }; β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; P O Q 7 OP ∩ α = {A}; α β2 OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 41. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; I 5 β2 = {O, r − r }; β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; A O D P Q 7 OP ∩ α = {A}; α β2 OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 42. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O C a > OO /2; B 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; A O D 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 43. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O C a > OO /2; B 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; A O D 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 44. Revisando α O O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 45. Revisando α O O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 46. Revisando α O M N O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 47. Revisando α O I M N O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 48. Revisando α O I β1 O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 49. Revisando α O I β1 O α β 2 eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 50. Revisando α O I β1 P O Q α β 2 eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 51. Revisando α O I β1 A D P O Q α β 2 eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 52. Revisando α O B C A D O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  • 53. Revisando α O B C A D O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas