Estatística
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Para os cursos de:
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM O USO DO EXCEL
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Ermes Medeiros
Elio Medeiros
Valter Gonçalves
Afrânio Murolo
Estatística 2
Solução dos Exercícios Propostos
São Paulo
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Índice dos Exercícios
Item 1.3 Exercícios propostos
Exercício 8......................... 6
Exercício 9.......................
Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  4
Exercício...
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Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  102
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Exercíc...
Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  104
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Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  105
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Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  109
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Exercíc...
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  1. 1. Estatística 2 Economia Administração Ciências Contábeis Para os cursos de: SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM O USO DO EXCEL Terceira Edição Medeiros•Medeiros Gonçalves•MuroloEstatística Os a no e Pesqu res d cias C Erm do em losofi Elio licenc pós-g pela sas p Valte Ciênc Empr de Pr Afrâ em M Estat em A do En ria de Ermes Medeiros da Silva Elio Medeiros da Silva Valter Gonçalves Afrânio Carlos Murolo
  2. 2. Ermes Medeiros Elio Medeiros Valter Gonçalves Afrânio Murolo Estatística 2 Solução dos Exercícios Propostos São Paulo Editora Atlas S.A. – 2011 Material de Consulta do Professor Terceira Edição Portal Atlas
  3. 3. Índice dos Exercícios Item 1.3 Exercícios propostos Exercício 8......................... 6 Exercício 9......................... 7 Exercício 10....................... 8 Item 1.4 Exercícios propostos Exercício 4......................... 9 Exercício 4....................... 10 Exercício 5....................... 11 Exercício 6....................... 12 Exercício 7....................... 13 Exercício 7....................... 14 Exercício 9....................... 15 Item 1.6 Exercícios propostos Exercício 4....................... 16 Exercício 5....................... 17 Item 2.2 Exercícios propostos Exercício 5....................... 18 Item 2.3 Exercícios propostos Exercício 3....................... 19 Exercício 4....................... 20 Exercício 5....................... 21 Exercício 7....................... 22 Exercício 8....................... 23 Exercício 9....................... 24 Exercício 10..................... 25 Exercício 12..................... 26 Exercício 13..................... 27 Exercício 14..................... 28 Exercício 15..................... 29 Item 2.4 Exercícios propostos Exercício 1....................... 30 Item 3.7 Exercícios propostos Exercício 9....................... 31 Exercício 10..................... 32 Item 5.4 Exercícios propostos Exercício 10..................... 33 Item 5.5 Exercícios propostos Exercício 2....................... 34 Exercício 3....................... 35 Exercício 4....................... 36 Exercício 5....................... 37 Item 5.6 Exercícios propostos Exercício 4....................... 38 Exercício 1 – Listão.......... 39 Exercício 2 – Listão.......... 40 Exercício 4 – Listão.......... 41 Exercício 5 – Listão.......... 42 Exercício 7 – Listão.......... 43 Exercício 8 – Listão.......... 44 Exercício 9 – Listão.......... 45 Exercício 10 – Listão........ 46 Exercício 14 – Listão........ 47 Exercício 17 – Listão........ 48 Exercício 21 – Listão........ 49 Exercício 22 – Listão........ 50 Exercício 23 – Listão........ 51 Exercício 24 – Listão........ 52 Exercício 26 – Listão........ 53
  4. 4. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  4 Exercício 27 – Listão........ 54 Exercício 30 – Listão........ 55 Item 6.6 Exercícios propostos Exercício 5....................... 56 Exercício 6....................... 57 Exercício 8....................... 58 Exercício 10..................... 59 Item 7.2 Exercícios propostos Exercício 4....................... 60 Exercício 5....................... 61 Item 7.3 Exercícios propostos Exercício 6....................... 62 Exercício 8....................... 63 Exercício 9....................... 64 Item 7.4 Exercícios propostos Exercício 5....................... 65 Exercício 8....................... 66 Exercício 9....................... 67 Item 7.6 Exercícios propostos Exercício 9....................... 68 Exercício 10..................... 69 Item 7.7 Exercícios propostos Exercício 3....................... 70 Exercício 10..................... 71 Item 7.8 Exercícios propostos Exercício 6....................... 72 Exercício 8....................... 73 Exercício 9....................... 74 Item 7.9 Exercícios propostos Exercício 3....................... 75 Exercício 4....................... 76 Exercício 7....................... 77 Exercício 8....................... 78 Item 7.10 Exercícios propostos Exercício 5....................... 79 Exercício 6....................... 80 Item 7.10 Exercícios propostos Exercício 8....................... 81 Exercício 9....................... 82 Item 7.11 Exercícios propostos Exercício 3....................... 83 Exercício 6....................... 84 Exercício 9....................... 85 Item 7.12 Exercícios propostos Exercício 1....................... 86 Exercício 2....................... 87 Exercício 3....................... 88 Exercício 5....................... 89 Exercício 6....................... 90 Item 8.3 Exercícios propostos Exercício 1....................... 91 Exercício 3....................... 92 Exercício 4....................... 93 Exercício 6....................... 94 Exercício 8....................... 95 Exercício 9....................... 96 Item 8.4 Exercícios propostos Exercício 1....................... 97 Exercício 2....................... 98 Exercício 3....................... 99 Exercício 4..................... 100
  5. 5. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  5 Exercício 5..................... 101 Exercício 6..................... 102 Exercício 7..................... 103 Exercício 8..................... 104 Exercício 9..................... 105 Exercício 10................... 106 Item 8.5 Exercícios propostos Exercício 1..................... 107 Exercício 3..................... 108 Exercício 4..................... 109 Exercício 5..................... 110 Exercício 6..................... 111 Exercício 7..................... 112 Exercício 8..................... 113 Exercício 9..................... 114 Exercício 10................... 115 Item 8.6 Exercícios propostos Exercício 2..................... 116 Exercício 2..................... 117 Exercício 3..................... 118 Exercício 4..................... 119 Exercício 5..................... 120 Item 8.7 Exercícios propostos Exercício 1..................... 121 Exercício 2..................... 122 Exercício 3..................... 123 Exercício 4..................... 124 Exercício 5..................... 125 Exercício 6..................... 126 Exercício 7..................... 127 Exercício 8..................... 128 Exercício 9..................... 129 Exercício 10................... 130 Item 8.8 Exercícios propostos Exercício 1..................... 131 Exercício 2..................... 132 Exercício 3..................... 133 Exercício 4..................... 134 Exercício 5..................... 135 Exercício 6..................... 136 Exercício 7..................... 137 Exercício 8..................... 138 Exercício 9..................... 139 Exercício 10................... 140
  6. 6. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  6 Item 1.3 Exercícios propostos Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.3 – Ex. 8 Dados b = bola branca p = bola preta Urna A contém 3b e 2p Urna B contém 5b e 1p Solução Espaço amostral: S ={( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,b b b p p p p b } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 5 3 1 6 5 2 1 3 1 6 5 10 1 2 1 6 5 15 5 2 1 6 5 3 b P b b P P b b b P b p P P p p p P p p P P p p b P p b P P p p  ∩ = = × =     ∩ = = × =     ∩ = = × =     ∩ = = × =    Função de probabilidade ( ) 0 1 2 3 13 1 20 30 2 x P x 21
  7. 7. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  7 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.3 – Ex. 9 Dados: b = bola branca A = urna A BA = bola branca da urna A PA = bola preta da urna A B = urna B BB = bola branca da urna B vB = bola vermelha da urna B. Solução Retirar uma bola da urna A. Espaço amostral: bA, pA, com ( ) 3 7 P bA = e ( ) 4 7 P pA = . Retirar uma bola da urna B, após a transferência: Espaço amostral: bB, pB, vB. a) A bola retirada da Urna A é branca: b) A bola retirada da urna A é preta ( ) 3 6 P bB = ( ) 2 6 P bB = A probabilidade de ocorrer bola branca é então: ( ) 3 3 2 4 17 6 7 6 7 42 P bB = × + × = Função de probabilidade: ( ) 0 1 25 17 x 42 42 x P 10
  8. 8. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  8 Exercício 10 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.3 – Ex. 10 Dados: B = peça boa D = peça defeituosa Na urna: 3 peças boas e duas peças defeituosas Solução O experimento encerra quando retiramos a segunda peça com defeito ou quando retiramos a terceira peça boa, o que ocorrer primeiro. A árvore de decisão pode ser a seguinte: D BBDD ( ) 3 2 2 1 1 5 4 3 2 10 P BBDD = × × × = D B BBDB ( ) 3 2 2 1 1 5 4 3 2 10 P BBDB = × × × = B B BBB ( ) 3 2 1 1 5 4 3 10 P BBB = × × = B D B B BDBB ( ) 3 2 2 1 1 5 4 3 2 10 P BDBB = × × × = D BDBD etc D BDD B D DBBD B DBBB D B D DBD D DD O espaço amostral é equiprovável. A função de probabilidade será, então: ( ) 2 3 4 0,1 0,3 0,6 x P x
  9. 9. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  9 Item 1.4 Exercícios propostos Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.4 – Ex. 4 Dados: L = lucro por unidade vendida P(V) = expectativa de venda La = lucro por unidade reaproveitada = Lucro −custo adicional P(R) = expectativa de reaproveitamento K = proporção na produção A, B, C, D = modelos de fralda descartáveis Solução A B C D L 0,04 0,08 0,02 0,10 P(V) 0,70 0,80 0,60 0,60 La 0,02 0,03 0,01 0,06 P(R) 0,30 0,20 0,40 0,40 L . P(V) + La . P(R) 0,034 0,07 0,016 0,084 K 0,50 0,30 0,10 0,10 ( ) ( )( ). .K L P V La P R+ 0,017 0,021 0,0016 0,0084 ( ) ( ) ( )( ). . 0,048 por unidade vendidaretorno K L P V La P Rµ = + =∑
  10. 10. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  10 Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.4 – Ex. 4 Dados x = número de bolos vendidos no dia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0,01 1 0,05 x=2 0,20 3 0,30 4 0,29 x=5 0,15 P x P x P P x P x P = = = = = = = = = = Solução X 0 1 2 3 4 5 P(x) 0,01 0,05 0,20 0,30 0,29 0,15 Custo 50 50 50 50 50 50 Receita 0 20 40 60 80 100 Lucro 50− 30− 10− 10 30 50 L.P(L) 0,5− 1,5− 2− 3 8,7 7,5 L2 2500 900 100 100 900 2500 L2 .P(L) 25 45 20 30 261 375 ( ) ( )2 15,2 L 756LP L P LΣ = Σ = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 = 15,2 L 756 15,2 524,96L LP L L E E Lµ σΣ = = − = − =   ( ) 22,91Lσ =
  11. 11. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  11 Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.4 – Ex. 5 Dados: L = lucro na venda do automóvel Solução Dia 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª. Lucro 3.000 1.800 1.080 648 388,80 P(L) 0,5 0,3 0,1 0,05 0,05 L.P(L) 1.500 540 108 32,40 19,44 L2 9.000.000 3.240.000 1.666.400 419.904 151.165,44 L2 .P(L) 4.500.000 72.000 166.640 20.995,20 7.558,27 ( ) ( ). 2.199,84L L P Lµ= =∑ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 5.617.193,45 2.199,84 777.897,43L E L E Lσ = − = − =   ( ) 881,98Lσ =
  12. 12. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  12 Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.4 – Ex. 6 Dados: L = lucro no lançamento do produto Solução L 100.000 50.000− ∑ P(L) 0,8 0,2 L . P(L) 80.000 10.000− 70.000 L2 10.000.000.000 2.500.000.000 L2 . P(L) 8.000.000.000 500.000.000 8.500.000.000 ( ) . ( ) 70.000L L P Lµ= =∑ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 . 8.500.000.000 70.000 3.600.000.000L L P L L P Lσ = − = − =   ( ) 60.000Lσ =
  13. 13. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  13 Exercício 7 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.4 – Ex. 7 Dados: t = tempo de reparo do trem Solução t 5 15 ∑ P(t) 0,4 0,6 t . P(t) 2 9 11 ( ) ( ). 11t t P tµ= =∑ minutos
  14. 14. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  14 Exercício 7 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.4 – Ex. 7 Dados: v = vendas por visita Solução v 1.000 1.000 1.000 1.000 ∑ P(v) 0,8 0,8 0,8 0,8 v . P(v) 800 800 800 800 3.200 ( ) ( ). 3.200v v P vµ= =∑
  15. 15. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  15 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.4 – Ex. 9 Dados: D = número de defeitos v = preço de venda Solução D 0 1 2 3 4 ∑ v 10 5 2,5 1,25 0,625 P(D) 0,9 0,05 0,03 0,01 0,01 v . P(v) 9 0,25 0,075 0,0125 0,00625 9,34 ( ) ( ). 9,34v v P vµ= =∑
  16. 16. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  16 Item 1.6 Exercícios propostos Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.6 – Ex. 4 Dados: x = peso da caixa de papelão ( ) 200 gramasP x = ( ) 10 gramasxσ = peso da unidade do produtoiy = ( ) ( )1.000 gramas 5 gramasy yµ σ= = peso total da caixa cheiaz = i = 1,2,.....6 Solução ( ) ( ) ( ) ( )6 6 6 1.000 200 6.200 gramasi iz y x y xµ µ µ µ= + = + = × + = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 6 36 36 25 100 1.000 gramasi iz y x y xσ σ σ σ= + = + = × + = ( ) 31,62 gramaszσ =
  17. 17. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  17 Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 1.6 – Ex. 5 Dados: x = custo unitário ( ) 5 ( ) 0,20x xµ σ= = P = preço unitário ( ) 20 ( ) 1,5p pµ σ= = Cf = custo fixo = 10.000 Solução a) Custo 1.000 10.000 (Custo) 1.000 ( ) 10.000 15.000x xµ µ= + = + = 2 2 2 (Custo) 1.000 ( ) 40.000xσ σ= = (Custo) 200σ = b) Receita 1.000 (Receita) 1.000 ( ) 20.000p pµ µ= = = 2 2 2 (Receita) 1.000 ( ) 225.000pµ σ= = (Receita) 1.500σ = C) ( ) Lucro 1.000 1.000 10.000 (Lucro) 1.000 ( ) ( ) 10000 5.000 p x p xµ µ µ = − − = − − = 2 2 (Lucro) (Receita Custo) 225.000 40.000 265.000 (Lucro) 1.513,27 σ σ σ = − = + = =
  18. 18. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  18 Item 2.2 Exercícios propostos Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.2 – Ex. 5 Dados: x = variável com distribuição de Bernoulli 2 ( ) 0,24xσ = ( ) 0,5xµ > Solução 2 ( ) 0,24 1 1x p q p q q pσ = × = + = ⇒ = − Substituindo: ( ) 2 1 0,24 ou 0,24 0 0,4 ou 0,6p p p p p p− = − + − = ⇒ = = Como ( ) 0,5 , a solução é ( ) 0,6x p xµ µ= > =
  19. 19. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  19 Item 2.3 Exercícios propostos Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 3 Dados: x = variável com distribuição binomial S = valorizar ( ) 0,4P S = F = desvalorizar ou ficar estável ( ) 0,6P F = Solução a) ( )10 0,0001 (Tabela ou função da tabela Excel com 10 e 0,4)P x n p= = = = b) ( ) ( ) ( ) ( )8 8 9 10 0,123 (Tabela ou função da tabela Excel)P x P P P≥ = + + = c) ( )0 0,06 (Tabela ou função da tabela Excel)P x= =
  20. 20. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  20 Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 4 Dados: x = variável com distribuição binomial S = com defeito ( ) 0,30P S = F = sem defeito ( ) 0,70 4P F n= = Solução a) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 0,3483 (Tabela ou função Excel)P x P x P x≥ =− =− == b) ( ) ( )1 2 0,3483P x P x> = ≥ =
  21. 21. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  21 Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 5 Dados: x = variável com distribuição binomial S = defeito ( ) 0,02P S = F = sem defeito ( ) 0,98 25P F n= = Solução ( ) 2 2325 2 0,02 0,98 0,0754 2 P x   = = × × =   
  22. 22. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  22 Exercício 7 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 7 Dados: x = variável com distribuição binomial S = não comparecer ( ) 0,1P S = F = comparecer ( ) 0,9 22P F n= = Solução a) ( )1 0,3392P x ≤ = b) ( )3 0,2080P x= = (Tabela ou função Excel)
  23. 23. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  23 Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 8 Dados: x = variável com distribuição binomial S = candidato experiente F = candidato não experiente Solução Expectativa de não ocorrer candidato experiente: ( ) ( ) 10010 0 1 0,9 0 P x p p   = = − =    ⇒ ( ) 10 1 0,9 0,0105p p− = ⇒ = . Neste caso, ( ) 1 0,0105 0,9505P F q==− = .
  24. 24. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  24 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 9 Dados: x = variável com distribuição normal S = um acidente por dia ( ) 0,25P S = F = nenhum acidente por dia ( ) 0,75P F = Lucro por atendimento = 350 Tempo parado para retificar = 6 dias Tempo parado para trocar = 1 dia Solução Expectativa de ganho em cinco dias = 0,25 350 5 437,50× × = Diferença de custo caso use a retífica = 500,00 Portanto ele deve usar a retífica, pois a expectativa de ganho em cinco dias de trabalho (usando a troca), não compensa a diferença de custo.
  25. 25. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  25 Exercício 10 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 10 Dados: x = variável com distribuição binomial S = ser recebido ( ) 0,80 6P S n= = Solução a) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 5 6 0,24576 0,393216 0,262144 0,9011 P x P x P x P x≥ = = + = + = = = + + = b) ( )6 0,2621P x= = c) ( )0 0,0001P x= = (Use Tabela ou DISTRIBINOM do programa Excel)
  26. 26. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  26 Exercício 12 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 12 Dados: x = variável com distribuição binomial S = cheque com problema ( ) 0,12P S = F = cheque bom ( ) 0,88 10P F n= = C = custo da mercadoria L = Lucro na venda Solução a) ( ) 0 1010 0 0,12 0,88 0,2785 0 P x   = = × × =    b) ( ) 5 05 5 5 0,12 0,88 0,000025 5 n P x   = = = × × =    c) 0,5 pago 0,3L C= com problema Cheque 0,12 0,5 não pago L C= − 0,88 bom 0,3L C= dinheiro 0,3L C= c1) aceitando pagamento com cheque ( ) ( ) ( ) 0,3 0,2 0,8 0,12 0,3 0,5 0,5 00 0,88 0,3 0,2376 E L C C C C E L C = × + × − + ×   = C2) não aceitando cheque para pagamento ( ) 0,75 0,3 0,225E L C C= × = Conclusão: A esperança de lucro no caso de aceitar pagamento com cheque é maior do que ocorre quando o cheque não é aceito. O pagamento com cheque deve ser mantido.
  27. 27. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  27 Exercício 13 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 13 Dados : x = variável com distribuição binomial S = cliente com depósito na fila n = 9 Solução P(S) = probabilidade de um cliente ter depósito a fazer e de não ter hábito de usar o caixa automático para depósitos. Portanto, ( ) 0,2 0,7 0,14P S = × = ( ) ( ) 0 99 1 1 0 1 0,14 0,86 0,7427 0 P x P x   ≥ = − = = − × × =   
  28. 28. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  28 Exercício 14 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Ex. 14 Dados: x = variável com distribuição binomial S = fazer pergunta ( ) 0,20P S = 30 minutos = tempo destinado a respostas 5 minutos = tempo para cada resposta Solução a) Ocorrer no máximo duas perguntas sem resposta, significa ocorrer no máximo oito perguntas, pois a capacidade de respostas é de seis em 30 minutos. ( ) ( ) ( ) ( )8 0 1 ... 8 0,9532P x P x P x P x≤ = = + = + = = b) ( ) 6 0 6 0,2 0,8 0,9i n i i n P x i − =   ≤ = × × =    ∑ O número máximo é de 20 pessoas (Acompanhe na tabela ou simule na função DISTRIBINOM do Excel, com Núm_s = 6, Tentativas = simular, Probabilidade_s=0,20, cumulativo =verdadeiro ).
  29. 29. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  29 Exercício 15 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.3 – Exercícios propostos Ex. 15 Dados: x = variável com distribuição binomial S = completar a ligação ( ) 0,70P S = n = 3 Solução 10 1: vai telefonar 3 5 0,5 2: não vai telefonar 1 0,973 6 0,5 20 3: completa a ligação 4 0,027 4: não completa 2 5 15 5: ônibus espera 0,5 6: não espera 6 0,5 25 Obs. A probabilidade de o ônibus esperar é 0,50, pois não temos nenhuma informação a respeito deste fato. A probabilidade de a garota completar a ligação é: ( ) ( )1 1 0 1 0,027 0,973P x P x≥ = − = = − = (veja Tabela ou DISTRIBINOM do Excel) Calculando-se com auxílio da árvore de decisão a expectativa de custo caso ela vá telefonar, obtemos: ( ) ( )10 20 0,5 0,973 15 25 0,5 0,027 15,135+ × × + + × × = Caso ela não vá telefonar, o custo é 15, menor que no caso anterior. Conclusão: não deve ir telefonar
  30. 30. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  30 Item 2.4 Exercícios propostos Exercício 1 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 2.4 – Exercícios propostos Ex. 1 Dados: x = variável com distribuição binomial S = carro roubado ( ) 0,035 100P S n= = Solução a) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + =+ = . Como 30 e 0,05n p> < , usaremos a aproximação de Poisson. 3,5λ = roubos para 100 carros ( ) 3,5 0 3,5 0 0,0302 0! e P x − × = = = ( ) 3,5 1 3,5 1 0,105 1! e P x − × = = = ( ) 3,5 2 3,5 2 0,0,1850 2! e P x − × = = = Portanto, ( )2 0,3209P x ≤ = b) Prejuízo equivale a mais de 10 carros roubados. ( )10 0,001P x > = ( Tabela ou DISTRBINOM do Excel)
  31. 31. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  31 Item 3.7 Exercícios propostos Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 3.7 – Exercícios propostos Ex. 9 Dados: ( )Cov , 0,02x y = − x y 2 3 4 a 0,2 5 0,3 b Solução x y 2 3 ( )iP x n= 4 a 0,2 0,2 a+ 5 0,3 b 0,3 b+ ( )jP y y= 0,3 a+ 0,2 b+ 1) 0,2 0,3 1 0,5 ou 0,5a b a b b a+ + + = ⇒ + = = − ( ) ( ) ( )4 0,2 5 0,3E x a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 4,8b a x a=− =− ( ) ( ) ( )2 0,3 3 0,2E y a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 2,7b a y a=− =− 2) ( ) 8 15 5,4E x y a b= + + . Como ( )0,5 então, E 12,9 7b a x y a= − =− ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), 7 15 5,4 4,8 2,7 0,02Cov x y E x y E x E y a b a a= − = + + − − − =− Então, 2 0,5 0,06 0,02 0,1 0,4 ou 0,4 0,1a a a e b a e b+ − =− ⇒ = = = = .x y 8 10 12 15 ( )P x y a 0,3 0,2 b ( )x y P x y⋅ 8 a 3 2,4 15 b
  32. 32. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  32 Exercício 10 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 3.7 – Exercícios propostos Ex. 10 Dados: ( , ) 0,344x yσ = − Solução x y 1 3 5 ( )iP x x= 2 0,1 a 0,3 0,4 a+ 4 0,2 b 0,1 0,3 b+ ( )jP y y= 0,3 a b+ 0,4 Do quadro, 0,7 1 0,3a b b a+ + = ⇒ = − . Mas ( ) ( ), , 0,344 ( ) ( ) Cov x y x y x y ρ σ σ = = − x y⋅ 2 4 6 12 10 20 ∑ ( )x yσ ⋅ 0,1 0,2 a b 0,3 0,1 x y⋅ ( )x yσ⋅ ⋅ 0,2 0,8 6a 12b 3 2 6 12 6a b+ + ( )6 12 6 6 12 0,3 6 9,6 6a b a a a+ + = + − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0,4 4 0,3 0,3 3,2 2 0,3 3 0,3 5 0,4 3,2 , 9,6 6 3,2 2 3,2 0,4 0,64 E x a a a E y Cov x y a a a = × + + × + − = − = + × + × = = − − − × = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 22 2 ( ) 4 0,4 16 0,6 3,2 2 4 0,8 0,96 ( ) 0,3 9 0,3 2,5 0,4 3,2 2,76 0,4 0,64 ( , ) 0,344 0,4 0,8 0,96 2,76 x a a a a a y a x y a a σ σ σ =× + + × − − − =− + + = + × + × − = − = = − − + + × Assim, 2 0,4664282 0,7732858 0,096578 0 0,32 ou 0,20a a a a− + = ⇒ = = Como 0,3b a= − , a solução é 0,20 e 0,10a b= = x y 1 3 5 2 0,1 a 0,3 4 0,2 b 0,1
  33. 33. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  33 Item 5.4 Exercícios propostos Exercício 10 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.4 – Exercícios propostos Ex. 10 Dados: x = variável com distribuição normal ( ) ( )60 0,05 45 0,15P x P x> = < = Solução 1) ( ) ( ) ( )60 0,5 60 0,05 60 0,45P x P x P xµ µ> = − < < = ⇒ < < = Desta forma, 60 1,64 µ σ − = (veja Tabela) 2) ( ) ( ) ( )45 0,5 45 =0,15 45 0,35P x P x P xµ µ< = − < < ⇒ < < = Assim também, 45 1,04 µ σ − = − (veja Tabela) De 1 e 2 vem: 1,64 60 e 1,04 45σ µ σ µ+= − += 2,68 15 =5,597σ σ= ⇒ e 50,82µ = Portanto ( ): 50,82 ; 31,33x N
  34. 34. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  34 Item 5.5 Exercícios propostos Exercício 2 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 2 Dados: ( ) ( )1 2500 ; 4 5 ; 0,25x N x N= = Solução a) 1 2x x x= + 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 500 5 505x x x x xµ µ µ µ= + = + = + = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 4 0,25 4,25x x x x xσ σ σ σ= + = + =+ = , visto que x1 e x2 são independentes. Assim, ( ) 2,06xσ = e ( ): 505 ; 4,25x N b) ( ) ( )501 0,5 501 505P x P x< = − < < 501 505 1,94 2,06 z − = = − de onde, ( )501 0,5 0,4738 0,0262P x < = − =
  35. 35. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  35 Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 3 Dados: ( ) ( )1 2230 ; 9 30 ; 25x N x N= = Solução 1 220x x x= + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) (20 ) 20 ( ) ( ) 20 230 30 4.630 20 400 400 9 25 3.625 x x x x x x x x x µ µ µ µ σ σ σ = + = + = × + = + = + = × + = Portanto, ( ) ( )60,21 e : 4.630 ; 3.625x x Nσ = . ( ) ( )4.660 0,5 4.630 4.660 0,5 0,1915 0,3085P x P x> = − < < = − = (veja Tabela)
  36. 36. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  36 Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 4 Dados: ( )1 : 70 ; 225x N Solução Carga: 110x x= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ( ) (10 ) 10 ( ) 10 70 700 10 100 100 225 22.500 x 150 x x x x x x µ µ µ σ σ σ σ = = = ×= = = = × = ⇒ = Assim, ( ): 700 ; 22.500x N a) ( ) ( ) 880 700 880 0,5 700 880 1,20 150 P x P x z − > = − < < = = ( )880 0,5 0,3849 0,1151P x > = − = (veja Tabela) b) ( ) 700 0,0002 (veja bela) 3,48 ou 1.222 Kg 150 a P x a a − > = ⇒ = =
  37. 37. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  37 Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.5 – Exercícios propostos Ex. 5 Dados: ( ) ( )1 2: 60 ; 25 : 26 ;16x N x N Solução Lucro ( )1 21.000L x x= = − ( )1 2 1 2( ) (1.000 1.000 ) 1.000 ( ) 1.000 ( ) 1000 60 26 34.000L x x x xµ µ µ µ= − = − = − = ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 1 2 1 21.000 1.000 1.000 41.000.000L x x x xσ σ σ σ= − = + = ( ) 6.403,12Lσ = a) 25,5% ( ) 0,255 60.000 15.300de vendasµ = × = ( ) ( ) ( )15.300 0,5 15.300 34.000 0,5 0 3,28 0,9982P L P L P z> = + < < = + < < = b) 50% do custo = 0,5 26.000 13.000× = ( ) ( ) ( )13.000 0,5 13.000 34.000 0,5 0 3,28 0,9995P L P L P z> = + < < = + < < = c) ( ) ( ) ( )0 0,5 0 34.000 0,5 0 5,31 0P L P L P z< = − < < = − < < =
  38. 38. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  38 Item 5.6 Exercícios propostos Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Exercícios propostos Ex. 4 Dados: S = completar a ligação na primeira tentativa ( ) 0,6P S = 42n = Solução Cálculo do número mínimo de sucessos: ( )1,5 3 42 90 24x x x+ − = ⇒ = Portanto 24 ligações do tipo S e 18 ligações do tipo F completam 90 minutos. a) ( ) ( ) ( )90min 24 24,5 , para usar a normal para aproximarP t P x P x≥ = ≤ ≅ < . No caso, ( ) ( ): 0,6 42 ; 0,6 0,4 42 : 25,2 ;10,08N N× × × = 24,5 25,2 0,22 10,08 z − = = − ( )90min 0.5 0,0851 0,4149P t ≥ =− = (veja Tabela) b) ( ) ( ) ( )120min 4 pois 1,5 3 42 120 4P t P x x x x= = = + − = ⇒ = ( ) 4 3842 4 0,6 0,4 0 ou pela normal 4 P x   = = × × =    ( ) ( ) ( )4 3,5 4,5 6,8 6,5 0P x P x P z= = < < = − < < − =
  39. 39. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  39 Exercício 1 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 1 Dados: x = variável com distribuição binomial, conta o número de faróis fechados S = encontrar farol fechado n = 4 ( ) 0,75P S = Solução Av 1 Av 2 Av 3 Av 4 Av 5 Posição às 9:50 Solução: a) Para que o tempo empregado seja no máximo 10 minutos, ele deverá encontrar, no máximo, dois faróis fechados. ( ) ( )10min 2 0,2617 (ver Tabela binomial ou DISTRBINOM do Excel) P t P x≤ = ≤ = b) ( ) ( ) ( ) ( )10 13 2 2 3 0,4219 idemP t P x P x P x< < = > − ≤ = = =
  40. 40. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  40 Exercício 2 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 2 Dados: x = variável com distribuição binomial S = ser imediatamente atendido ( ) 0,20 80P S n= = Solução a) ( ) 0,2 80 16xµ = × = ( )2 0,20 0,80 80 12,8xσ × × = ( ) 3,58xσ = b) ( )0,25 80 16 0,20 80 × − =
  41. 41. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  41 Exercício 4 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 4 Dados: x =número de carros que chegam em 4 horas ( variável com distribuição Poisson) 8 clientes 4 horasλ = Solução a) 3 carros na fila requer 11 chegadas ( )11 0,184P x ≥ = (Tabela ou função Poisson no Excel) b) ( ) 8 . 8 , 0,85 0,85 ! x e P x x λ − = ⇒ =∑ c) Na tabela ou na Poisson do Excel ( ) ( ) 10 0,8159 11 0,8892 P x P x ≤ = ≤ = Para garantir o atendimento, tenho que pensar em 11 carros. Serão 10 carros atendidos e um carro na fila de espera. Portanto, 4 60 minutos 24 minutos por carro 10 carros t × = =
  42. 42. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  42 Exercício 5 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 5 Dados: x = variável com distribuição de Poisson 1 defeito 80 metrosλ = Solução a) x = mede o número de defeitos em 520 metros da bobina. 520 6,5 defeitos para 520 m do plástico 80 λ= = ( )5 =0,3691P x ≤ (Tabela ou Poisson do Excel) b) ( ) ( ) 0 . 0 0,99 0,99 ln 0,99 0! e P x e λ λλ λ − − == = ⇒ = ⇒ =− 0,01λ = defeitos para cada 500 m, ou seja, 1 defeito para cada 50.000 m.
  43. 43. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  43 Exercício 7 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 7 Dados: x = quantidade de nutriente na mistura x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3. Solução a) Ingredientes na mesma proporção: 1 2 3 1 1 1 3 3 3 x x x x= + + . 1 2 3 1 1 1 200 150 100 ( ) ( ) 150 por Kg 3 3 3 3 x x x x gµ µ + + = + + = = ( ) ( )2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 12 6 10 31,11 3 3 3 9 x x x xσ σ   = + + = + + =    ( ) 5,58 g por Kgxσ = b) Ingredientes na proporção de 2:3:5: 1 2 32 3 5 10 x x x x + + = 1 2 32 3 5 2 200 3 150 5 100 ( ) ( ) 135 g por Kg 10 10 x x x xµ µ + + × + × + × = = = ( )2 2 1 2 32 3 5 4 144 9 36 25 100 34 10 100 x x x xσ σ + + × + × + ×  = = =    ( ) 5,83 g por Kgxσ =
  44. 44. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  44 Exercício 8 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 8 Dados: x = quantidade de nutriente na mistura x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3. Solução X i 200 150 100 ( )iP x P1 0,5 –P1 0,5 ( ) ( ) ( )1 1200 150 0,5 50 140i ii E x x P x P P= ⋅ = + − + =∑ 1 150 15 P 0,30P = ⇒ = e 2 0,20P = As proporções são: 3:2:5.
  45. 45. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  45 Exercício 9 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 9 Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina ( ) 1 1 ( ) 2 defeitos para 1.000 m x 0,4 xµ s = = X2= número de defeitos da segunda máquina ( ) 2 2 ( ) 3 defeitos para 1.000 m x 0,5 xµ s = = Solução Número de defeitos para rolo de 400 m (200 m cada máquina): 1 20,2 0,2x x x= + 1 2( ) (0,2 0,2 ) 0,2 2 0,2 3 1 defeito por rolo de 400 mx x xµ µ= + = × + × = ( )2 2 2 1 20,2 0,2 0,04 0,4 0,04 0,5 0,0164x xs + = × + × = ( ) 0,128 defeitos por rolo de 400 mxs =
  46. 46. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  46 Exercício 10 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 10 Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina ( ) 1 1 ( ) 2 defeitos para 1.000 m x 0,4 xµ σ = = X2= número de defeitos da segunda máquina ( ) 2 2 ( ) 3 defeitos para 1.000 m x 0,5 xµ σ = = Solução a) Pior especificação: x = 0,4x2 2( ) (0,4 ) 0,4 3 1,2 defeitos por rolo de 400 mx xµ µ= = × = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 0,4 0,4 0,5 0,04 x 0,2 def rolo de 400m ) Especificação: 0,7 0,4 0,3 0,4 ( ) (0,7 0,4 0,3 0,4 ) 0,28 2 0,12 3 0,92 def rolo de 400 m 0,7 0,4 0,3 0,4 0,28 0,16 0,12 0,25 x x b x x x x x x x x x σ σ σ µ µ σ σ = = × = = = + = + = × + ×= = + = × + × = ( ) 0,016 def0,13 rolo de 400 m xσ =
  47. 47. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  47 Exercício 14 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 14 Dados: x =número de peixes fisgados em um dia (variável com distribuição de Poisson). ( ) 7 peixes por diaxµ λ= = Solução ( ) ( ) ( )não cumprir 12 1 12 1 0,0532 0,9468P P x P x= < =− ≥ =− = (Tabela ou Excel)
  48. 48. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  48 Exercício 17 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 17 Dados: x = número de crianças com mais de 5 cáries X = variável com distribuição de Poisson com ( ) 10xµ λ= = crianças com mais de 5 cáries cada 100 crianças Solução ( )5 0,067P x ≤ = (Tabela ou função Poisson do Excel)
  49. 49. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  49 Exercício 21 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 21 Dados: D = depósito efetuado D: N (8.000 ; 1.0002 ) Solução a) ( ) ( ) 10.000 8.000 10.000 2 1.000 P saldo positivo P D z − =≥ = = ( ) ( )10.000 2 0,0228P D P z≥ = > = (veja Tabela ou DIST.NORM do Excel) b) ( ) ( ) 5.000 8.000 débito máximo de 5.000 5.000 3 1.000 P P D z − =≥ = =− ( ) ( )5.000 3 0,9986P D P z≥ = > −=
  50. 50. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  50 Exercício 22 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 22 Dados: x = mede o número de chamadas recebidas pela empresa X = variável com distribuição de Poisson 50 ( ) 12 10 ligações por 12 minutos 60 xµ λ= = × = Solução ( )12 0,3033P x ≥ = (veja Tabela ou função POISSON no Excel)
  51. 51. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  51 Exercício 23 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 23 Dados: ( ): 25 ;12x N mede a valorização do terreno em %. ( ): 20 ; 4y N mede a valorização do investimento no mercado financeiro em %. Solução ( ) ( )16 0 2,60 0,5 0,4953 0,5 0,9953P x P z≥ = < < + = + = ( ) ( )16 0 2 0,5 0,4772 0,5 0,9772P y P z≥ = < < + = + = Nas condições apresentadas, o investimento em terreno é o preferido.
  52. 52. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  52 Exercício 24 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 24 Dados: x = variável normal, representa as vendas por número do calçado, com ( ) 39xµ = . Solução Cálculo de ( )xσ para as condições do problema. Para 95% da área sob a curva normal, devemos ter 1,96z = . Como x assume valores inteiros, devemos ter: ( ) ( ) 42,5 39 1,96 1,785x x σ σ − = ⇒ = . Então, ( )2 : 39 ;1,785x N . Considerando uma área de 70% sob a curva normal, teremos: 35% 1,04z⇒ = . Desta forma, 2 2 39 1,04 o que acarreta 40,85 1,785 x x − = = 35% 1,04z⇒ =− . Desta forma, 1 1 39 1,04 o que acarreta 37,15 1,785 x x − = − =. Hipóteses para 70% de área, preservando os calçados com números mais vendidos: 1) De 36,5 a 40,5. Área 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 41, 42. 2) De 37,5 a 40,5. Área 60%. Inviável 3) De 37,5 a 41,5. Área de 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 37, 42. As hipóteses 1 e 3 são soluções para o problema.
  53. 53. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  53 Exercício 26 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 26 Dados: x = representa a medida do molde. ( )2 ( ) ; 0,2x N xµ= Solução Devemos procurar a média do molde para que 10% das peças moldadas fique acima de 30,5 Cm. 30,5 ( ) 10% 1,28 ou 1,28 ( ) 30,244 0,2 x z x µ µ − ⇒ = = ⇒ = Assim, o número de peças fundidas deve ser dado por: 30,244 30 61 peças 0,004 n − = = .
  54. 54. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  54 Exercício 27 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 27 Dados: vr = velocidade real do carro. Vl = velocidade mostrada no velocímetro Solução Como o velocímetro marca velocidade ( vv) 5% a menos que a velocidade real vr,devemos ter: 0,95vl vr= ou 0,95 vl vr = . Na marca de 98 km/h no velocímetro teremos 98 0,95 vr = . Assim, 2 ; 2 0,95 vl vr N   =     e no caso, 298 ; 2 0,95 vr N   =     98 100 0,95 1,58 2 z − = = ( ) ( )100 0,5 0 1,58 0,5 0,3413 0,9429P v P z> = + < < = + =
  55. 55. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  55 Exercício 30 – Listão Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 5.6 – Listão Ex. 30 Dados: A primeira opção é formada por 3 trechos com tempos de percurso normais: ( ) ( ) ( )1: 1,5 ; 0,25 2 : 2,0 ; 0,16 3: 0,5 ; 0,01T N T N T N A segunda opção é formada por 4 trechos com tempos de percurso normais: ( ) ( ) ( ) ( )1: 1,0 ; 0,09 2 : 1,0 ; 0,04 3: 1,0 ; 0,16 4 : 1,0 ; 0,10T N T N T N T N Solução A soma das normais que formam o primeiro trecho ( )1 2 3: 4 ; 0,42T T T N+ + A soma das normais que formam o segundo trecho ( )1 2 3 4 : 4 ; 0,39T T T T N+ + + As opções apresentam a mesma média de 4 horas. Como a segunda opção apresenta menor variabilidade, é a mais confiável.
  56. 56. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  56 Item 6.6 Exercícios propostos Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 6.6 – Ex. 5 Solução Consultando a Tabela para n = 8 graus de liberdade, encontramos o valor 17,53 associado à probabilidade 0,025. Portanto, ( )2 17,53 1 0,025 0,975P χ ≤ =− = No Excel a função DIST.QU com os parâmetros X: 17,53 e GRAUS_LIBERDADE: 8, fornece ( )2 17,53 0,025P χ ≥ =
  57. 57. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  57 Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 6.6 – Ex. 6 Solução Consultando a Tabela para n = 25 graus de liberdade, obtemos na coluna 0,975 o valor 1 13,12K = e na coluna 0,025 o valor 2 40,65K = No Excel a função INV.QUI fornece os valores com Probabilidade: 0,975 e 0,025 e GRAUS_LIBERDADE: 25
  58. 58. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  58 Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 6.6 – Ex. 8 Solução Consultando a Tabela para n = 10 graus de liberdade o valor 3,94, obtemos 0,950. Portanto ( )2 ,94 0,95P χ = . Consultando o valor 20,48 obtemos 0,025. Portanto ( )2 20,48 0,025P χ > =. Assim, ( )2 3,94 20,48 0,95 0,025 0,925P χ< < = − =
  59. 59. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  59 Exercício 10 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 6.6 – Ex. 10 Solução Consultando a Tabela da variável normal padrão o valor ( ) 0,40,P z k< = obtemos o valor 1,28z = . Portanto, ( )1,28 . 0,10P z > =. Substituindo na fórmula de 2 χ , obtém-se: ( ) 2 2 1,28 2 40 1 51,696 2 χ + × − = = .
  60. 60. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  60 Item 7.2 Exercícios propostos Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.2 – Ex. 4 Dados: x tem distribuição de Poisson com média ( ) 5xµ = Amostra com 100n = elementos. Solução Como ( ) ( )2 ( ) 5 5 ou seja, 5x x xµ σ σ=⇒ = = Assim, ( ) 5x xµ = = e ( ) 5 100 xσ = Fazendo a aproximação da distribuição de Poisson pela distribuição normal: 5,5 5 2,24 5 100 z − = = . Procurando na distribuição normal padrão o valor 2,24z = obtém-se 0,4875. Portanto, ( ) ( )6 0,5 6 0,5 0,4875 0,0125P x P x≥ = − ≤ = − =
  61. 61. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  61 Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.2 – Ex. 5 Dados: x = variável com distribuição normal, mede o rendimento dos títulos em uma carteira de investimentos. ( )( ) 0,10 0,02x xµ σ= = Retirada amostra de 40 elementos (n = 40) Solução A distribuição amostral das médias de 40 elementos tem: ( ) ( ) 0,10x xµ µ= = e ( ) ( ) 0,02 0,00316 40 40 x x σ σ= = = Queremos avaliar ( )0,09P x > . Neste caso 0,09 0,10 3,16 0,02 40 z − = = − Consultado a Tabela obtemos ( )0,09 0,4992 0,5 0,9992P x > = + = (na função DIST.NORMAL do Excel com os parâmetros X: 0,09; Média: 0,10; Desv_Padrão:0,0316 e Cumulativo: Verdadeiro, obtemos ( )0,09 0,0008P x < = )
  62. 62. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  62 Item 7.3 Exercícios propostos Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.3 – Ex. 6 Dados: x = variável com distribuição normal Amostra com ( ) 2xσ = : Classes Int classe fi 1 5 7 3 2 7 9 7 3 9 11 10 4 11 13 8 5 13 15 7 6 15 17 5 Solução 448 11,20 40 i i i x f x f = = = ∑ ∑ ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 x x P x z x x z n n α α σ σ µ α   − < < + = −    2 2 11,20 2,05 ( ) 11,20 2,05 0,96 40 40 P xµ   − < < − =    ( )10,55 ( ) 11,85 0,96P xµ< < =
  63. 63. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  63 Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.3 – Ex. 8 Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2 0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,90α− = Solução 1 0,90 1,64zα−= ⇒ = ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 x x P x z x x z n n α α σ σ µ α   − < < + = −    0,4 0,4 2,40 1,64 ( ) 2,40 1,64 0,90 100 100 P xµ   − < < + =    ( ) ( )2,33 ( ) 2,47 0,90P x P xµ< < = =
  64. 64. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  64 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.3 – Ex. 9 Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2 0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,80α− = Solução ( ) ( ) 2 2 ( ) 0,80 x x P x z x x z n n α α σ σ µ   − < < + =    1 0,80 1,28zα−= ⇒ = 0,4 0,4 2,40 1,28 ( ) 2,40 1,28 0,80 100 100 P xµ   − < < + =    ( )2,35 ( ) 2,45 0,80P xµ< < = Conclusão: O preço máximo deve ser menor que 2,35 um/Kg
  65. 65. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  65 Item 7.4 Exercícios propostos Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.4 – Ex. 5 Dados: População: N=40 máquinas. Amostra: n=5 máquinas ( )4 0,15 4 0,6x xσ= = × = 1 0,98α− = Solução Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos usar o fator de correção ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 1 1 x xN n N n P x z x x z N Nn n α α σ σ µ α  − − − < < + = −  − −  1 0,98 2,33zα−= ⇒ = 0,6 40 5 0,6 40 5 4 2,33 ( ) 4 2,33 0,98 40 1 40 15 5 P xµ  − − − < < + =  − −  ( )3,41 ( ) 4,59 0,98P xµ< < = a) A previsão mínima para o tempo de concerto é de 3,41 h e a previsão máxima é de 4,59 h. b) Estimativa pontual: 4 40 160× = h
  66. 66. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  66 Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.4 – Ex. 8 Dados: População: 80 unidades Amostra: 10 unidades 120 .x u m= 1 0,95α− = ( ) 20 . .x u mσ = Solução Como a amostra representa mais de 5% da população devemos usar o fator de correção. Erro padrão de estimativa: ( ) 2 1 x N n e z Nn α σ − = − 1 0,95α− = 1,96z = 20 80 10 1,96 11,67 80 110 e − = = − ( )120 11,67 ( ) 120 11,67 0,95P xµ− < < + = ( )108,33 ( ) 131,67 0,95P xµ< < = Se ele pode pagar no máximo 3% do valor dos títulos, com 95% de confiança ele pode pagar entre 3% de 108,33 = 3,25 e 3% de 131,67=3,95 a) Sim, pode pagar 3,00 b) Não, pois não pode pagar mais que 3,95
  67. 67. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  67 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.4 – Ex. 9 Dados: x = variável normal, mede o tempo de emissão da nota fiscal População: 100 NF Amostra: 40 NF com 20 minx = Vamos considerar ( ) 0,30 20 6 minxσ = × ≅ . Solução Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos aplicar o fator de correção. Dado 1 0,95α− = , temos 2 1,96zα = . Neste caso, o erro padrão de estimativa é: ( ) 2 6 100 40 1,96 1,45 1 100 140 x N n e z Nn α σ − − = = = − − ( ) ( )20 1,45 ( ) 20 1,45 18,55 ( ) 21,45 0,95P x P xµ µ− < < + = < < = O tempo médio mínimo para preenchimento manual é de 18,55 min, contra o tempo do computador de 12 min. O ganho será, portanto 18,55 12 0,3531 18,55 t G t ∆ − = = = ou 35,31%.
  68. 68. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  68 Item 7.6 Exercícios propostos Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.6 – Ex. 9 Dados: x = variável normal, mede o preço de venda do produto. Amostra: 40 elementos com 26x = e ( ) 2s x = . Solução Para 1 0,90α− = , 0,10; 39 1,68t = . O erro padrão de estimativa é: ( ) 0,10; 39 2 1,68 0,53 40 s x e t n = = = . Portanto, ( ) ( )26 0,53 ( ) 26 0,53 25,47 ( ) 26,53 0,90P x P xµ µ− < < + = < < = . Como 50% de 25,47 é 12,73, o custo máximo para garantir certamente a viabilidade é de 12,73 u.m.
  69. 69. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  69 Exercício 10 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.6 – Ex. 10 Dados: x = variável normal, mede o tempo gasto na visita ao cliente Y = variável normal, mede a venda por cliente visitado Amostra com 10 elementos de uma população com 65 elementos fornece: 90 s( ) 13x x= = ( )650 100y s y= = Solução Intervalo de confiança de 80% para o tempo médio de visita: 0,1:9 0,1:9 13 65 10 13 65 10 90 ( ) 90 0,80 65 1 65 110 10 P t x tµ  − − − < < + =  − −  ( )84,74 ( ) 95,26 0,80P xµ< < = Intervalo de confiança de 80% para a Vanda média por cliente: 0,1:9 0,1:9 100 65 10 100 65 10 650 ( ) 650 0,80 65 1 65 110 10 P t x tµ  − − − < < + =  − −  ( )609,55 ( ) 690,45 0,80P yµ< < = Número de clientes visitados por mês na previsão otimista: 80 60 57 84,74 × = Receita no mês com a previsão otimista: 57 690,45 39.355,65× = Comissão no mês neste caso: 4% 39.355,65 1.574,23de =
  70. 70. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  70 Item 7.7 Exercícios propostos Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.7 – Ex. 3 Dados: x = variável normal População: N = 100 elementos ( ) 4xσ = Erro padrão de estimativa máximo admitido: 2e = Nível de confiança: 1 0,98α− = Solução ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,33 4 100 18 1 2 100 1 2,33 4 z x N n e N z x α α σ σ × × = = = − + − + ×
  71. 71. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  71 Exercício 10 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.7 – Ex. 10 Dados: x = variável normal, mede o rentabilidade de empresas de uma indústria Amostra de n = 10 elementos fornece: ( )0,05 0,016x s x= = Erro máximo permitido: 0,01e = Nível de confiança: 1 0,95α− = Solução ( ) 2 2 2 2,26 0,016 13,075 ou 14 elementos 0,01 t s x n e α ×  ×   = = =      
  72. 72. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  72 Item 7.8 Exercícios propostos Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.8 – Ex. 6 Dados: x = variável binomial. S = mulher. Amostra de n = 100 elementos forneceu: ˆ 0,40p = . Nível de confiança 1 0,98α− = . Solução Para 2 1 0,98 devemos ter 2,33zαα− = = . a) 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 pq pq P p z p p z n n α α α   − < < − = −     0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 2,33 0,4 2,33 0,98 100 100 P p  × × − < < + =     ( )0,2859 0,5141 0,98P p< < = b) Não. A proporção pode ser maior que 50%.
  73. 73. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  73 Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.8 – Ex. 8 Dados: x = variável binomial. S = bóia com defeito Amostra de n = 50 bóias de população de N = 2.000 bóias: Nível de significância: 0,04α = Solução Como a proporção de elementos da amostra 50 0,025 0,05 2.000 n N = = < , não usaremos o fator de correção. 2 ˆ 0,04 50 p= = e 0,02 2 2,05z zα= = 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 pq pq P p z p p z n n α α α   − < < + = −     0,04 0,96 0,04 0,96 0,04 2,05 0,04 2,05 0,96 50 50 P p  × × − < < + =     ( ) ( )0,0168 0,0968 0,96 ou 0 0,0968 0,96P p P p− < < = < < =
  74. 74. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  74 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.8 – Ex. 9 Dados: x = variável binomial Intervalo de confiança para a proporção de bóias defeituosas ao nível de confiança de 96%: ( )0 0,0968 0,96P p< < = Lucro por bóia vendida: 5 u.m. Prejuízo por bóia vendida com defeito: 3.u.m Solução Valor esperado do lucro por bóia na pior hipótese, isto é, assumindo a proporção de defeituosas de 0,0968. 3− 0,0968 3 0,0968 5 0,9032 4,2256− × + × = 0,9032 5 Portanto, o lucro esperado para o lote na visão pessimista é: 2.000 4,2256 8.451,20× = u.m. o que supera a meta de 8.000 u.m.
  75. 75. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  75 Item 7.9 Exercícios propostos Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.9 – Ex. 3 Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2. Amostra de n = 100 elementos forneceu ˆ 0,42p = . Nível de confiança: 1 0,96α− = Erro máximo admitido: e = 0,06. Solução 0,02 2 1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = = 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 2,05 0,42 0,58 284,37 0,06 z pq n e α     × × = = = ou n = 285 elementos .
  76. 76. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  76 Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.9 – Ex. 4 Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2. Amostra de n = 100 elementos forneceu ˆ 0,42p = . Nível de confiança: 1 0,96α− = Erro máximo admitido: e = 0,06. Solução Para o nível de confiança 1 0,96α− = , 0,02 2 2,05z zα= = . Se não há confiança no resultado do levantamento feito, devemos usar a proporção ˆ 0,50p = (o que significa sem informação a respeito da proporção de sucessos e, em consequência a maior amostra para o nível de significância adotado). 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 2,05 0,50 0,50 291,84 0,06 z pq n e α     × × = = = ou n = 292 elementos. .
  77. 77. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  77 Exercício 7 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.9 – Ex. 7 Dados: x = variável binomial. S = indivíduo com sangue tipo O+ . Amostra de n = 50 elementos forneceu ˆ 0,32p = . Nível de confiança: 1 0,96α− = Erro máximo admitido: e = 0,03. Solução Para o nível de confiança de 0,96 teremos 0,02 2 2,05z zα= = . Como a amostra representa 50 0,083 0,05 600 = > dos elementos da população, devemos usar o fator de correção. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 2,05 0,32 0,38 600 377,47 ˆ ˆ1 0,03 600 1 2,05 0,32 0,68 z pqN n e N z pq α α     × × × = = = − + − + × × , ou seja 378 elementos. .
  78. 78. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  78 Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.9 – Ex. 8 Dados: x = variável Binomial. S = sair face 5 no lançamento do dado Amostra de n = 10 elementos forneceu a proporção de sucessos : 2 ˆ 0,20 10 p= = . Nível de confiança: 1 0,90α− = . Erro máximo permitido 0,02e = . Solução Para 1 0,90α− = devemos ter 0,05 2 1,64z zα= = . 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 1,64 0,2 0,8 1075,84 0,02 z pq n e α     × × = = = ou seja n = 1.076 elementos.
  79. 79. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  79 Item 7.10 Exercícios propostos Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.10 – Ex. 5 Dados: x1 = variável normal. Amostra de n1 = 30 elementos forneceu: ( )1 140 2,3x s x= = x2 = variável normal. Amostra de n2 = 30 elementos forneceu: ( )2 250 4,2x s x= = Nível de confiança: 0,05 2 1 0,90 t 1,68tαα− = ⇒ = = . Solução Temos que calcular o número de graus de liberdade 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2,3 4,2 30 30 2 2 46,06 2,3 4,2 30 30 30 1 30 11 1 s s n n GL s s n n n n     + +       = − = − =                        ++ + ++ + ou GL = 46 Erro padrão: 2 2 1 2 1 22 s s e z n n α= + = 2 2 2,3 4,2 1,68 1,47 30 30 + = ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 50 40 1,47 ( ) ( ) 50 40 1,47 0,90 8,53 ( ) ( ) 11,47 0,90 P x x P x x µ µ µ µ − − < − < − + = < − < =
  80. 80. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  80 Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.10 – Ex. 6 Dados: x1 = variável normal. Amostra de n1 = 20 elementos forneceu: ( )1 11.000 5x s x= = x2 = variável normal. Amostra de n2 = 20 elementos forneceu: ( )2 2120 3x s x= = Nível de confiança: 1 0,95α− = . Solução Temos que calcular o número de graus de liberdade da distribuição t: 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 3 20 20 2 2 32,39 5 3 20 20 20 1 20 11 1 s s n n GL s s n n n n     + +       = − = − =                        ++ + ++ + ou GL = 32 0,05 2 t 2,04tα⇒ = = Erro padrão: 2 2 1 2 1 22 s s e z n n α= + = 2 2 5 3 2,04 1,82 20 20 + = ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1.000 120 2,66 ( ) ( ) 1.000 120 2,66 0,90 117,34 ( ) ( ) 1.122,66 0,90 P x x P x x µ µ µ µ + − < − < + + = < + < =
  81. 81. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  81 Item 7.10 Exercícios propostos Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.10 – Ex. 8 Dados: Q x1 = quantidade de pó de café usada x1 = custo correspondeste do café Q x2 = quantidade de açúcar usado x2 = custo correspondente do açúcar Após amostra de 30 elementos foram anotados Insumos custos ( ) ( ) 1 1 2 2 10 1,2 13 3 Qx s Qx Qx s Qx = = = = ( ) ( ) 1 1 2 2 0,05 0,006 0,0117 s 0,0027 x s x x x = = = = Solução Cálculo do número de graus de liberdade da distribuição t; 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0,006 0,0027 30 30 2 2 41,06 41 0,006 0,0027 30 30 30 1 30 11 1 s s n n GL GL s s n n n n     + +       ≅ − = −= ⇒ =                        ++ + ++ + Portanto, 0,0025 ; 41 2,02t = . Erro padrão: e = ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 22 0,006 0,0027 2,02 0,00243 30 30 s x s x t n n α + = + = ( )1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0,95P x x e x x x x eµ µ+ − < + < + + = ( ) ( ) 1 2 1 2 0,05 0,0117 0,00243 ( ) ( ) 0,05 0,0117 0,00243 0,95 0,059 ( ) ( ) 0,064 0,95 P x x P x x µ µ µ µ + − < + < + + = < + < = , é o intervalo de confiança de 95% para o custo do cafezinho.
  82. 82. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  82 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.10 – Ex. 9 Dados: Amostra da demanda d: 160, 140, 138, 157, 169, 150 Amostra da produção p: 160, 140, 120, 100, 150, 130 Nível de confiança: 1 0,90α− = Solução Demanda: 904 150,67 6 id d n = = =∑ ( ) ( ) 2 2 651,33 130,27 1 5 id d s d n − = = = − ∑ 800 133,33 6 ip p n = = = ∑ ( ) ( ) 2 2 2.333,33 466,67 1 5 ip p s p n − = = = − ∑ ( ) ( )11,41 21,60s d s p= = Cálculo dos graus de liberdade: 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 11,41 21,60 6 6 2 2 8,62 8 11,41 21,60 6 6 6 1 6 11 1 s s n n GL GL s s n n n n     + +       ≅ − = −= ⇒ =                        ++ + ++ + 0,05 2 1,86t tα= = . Erro padrão e = ( ) ( )2 2 2 2 1 22 11,41 21,6 1,86 18,55 6 6 s d s p t n n α + = + = ( ) ( )( ) ( ) 1P d p e d p d p eµ µ α − − < − < − + =−  ( )150,67 133,33 18,55 ( ) ( ) 150,67 133,33 18,55 0,90P d pµ µ− − < − < − + = ( )1,21 ( ) ( ) 35,89 0,90P d pµ µ− < − < = O intervalo mostra que não podemos afirmar que a demanda excede a produção em pelo menos 10 unidades.
  83. 83. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  83 Item 7.11 Exercícios propostos Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.11 – Ex. 3 Dados: x1 = variável binomial S = escolha da marca A de yogurte X2 = variável binomial S = escolha da marca A de margarina Amostra de n = 50 elementos mostrou: 1 2 ˆ ˆ0,26 0,30p p= = Nível de confiança: 1 0,90α− = Solução 0,05 2 1,64z zα= = Erro padrão: 1 1 2 2 1 22 ˆ ˆ ˆ ˆ 0,26 0,74 0,30 0,70 1,64 0,147 50 50 p q p q e z n n α × × = + = + = ( )2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < − ( )1 20,30 0,26 0,147 0,30 0,26 0,147 0,90P p p− − < − < − + = ( )2 10,107 0,187 0,90P p p− < − < =
  84. 84. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  84 Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.11 – Ex. 6 Dados: x1 = variável binomial S = usar carro próprio Amostra 1 de n = 36 elementos fornece: 1 8 ˆ 0,222 36 p= = X2 = variável binomial S = usar carro próprio Amostra 2 de n = 40 elementos fornece: 2 8 ˆ 0,20 40 p= = Nível de confiança: 1 0,96α− = Solução 0,02 2 1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = = Erro padrão: 1 1 2 2 1 22 ˆ ˆ ˆ ˆ 0,22 0,78 0,20 0,80 2,05 0,0939 36 400 p q p q e z n n α × × = + = + = ( )2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < − ( )1 20,22 0,20 0,0939 0,22 0,20 0,0939 0,96P p p− − < − < − + = ( )2 10,170 0,214 0,96P p p− < − < =
  85. 85. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  85 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.11 – Ex. 9 Dados: x1 = variável binomial S = cliente da empresa A Amostra 1 de n = 80 elementos fornece: 1 26 ˆ 0,325 80 p= = X2 = variável binomial S = cliente da empresa A Amostra 2 de n = 70 elementos fornece: 2 35 ˆ 0,50 70 p= = Nível de confiança: 1 0,90α− = Solução 0,05 2 1 0,90 1,64z zαα− = ⇒ = = Erro padrão: 1 1 2 2 1 22 ˆ ˆ ˆ ˆ 0,325 0,675 0,50 0,50 1,64 0,13031 80 70 p q p q e z n n α × × = + = + = ( )2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < − ( )1 20,50 0,325 0,13031 0,50 0,325 0,13031 0,90P p p− − < − < − + = ( )2 10,045 0,305 0,90P p p< − < = Nesse nível de confiança, fica claro que a proporção certamente melhorou.
  86. 86. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  86 Item 7.12 Exercícios propostos Exercício 1 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.12 – Ex. 1 Dados: x = variável normal, mede o número de peças defeituosas com ( )2 16xσ = . Amostra de n = 51 elementos fornece: ( )2 14s x = Nível de confiança: 1 0,98α− = Solução Para o nível 1 0,98α− = com n = 51 e Graus de liberdade 1 50n − = teremos (Tabela ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,98 e GL: 50 2 1 29,71χ⇒ = Probabilidade: 0,02 e GL = 50 2 2 76,15χ⇒ = ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 s x n s x n P xσ α χ χ  − − < < =−     ( )214 50 14 50 0,98 76,15 29,71 P xσ × ×  < < =    ( )( )2 9,19 23,56 0,98P xσ< < =
  87. 87. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  87 Exercício 2 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.12 – Ex. 2 Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 4s x = Nível de confiança: 1 0,95α− = Solução Para o nível 1 0,95α− = com n = 81 e Graus de liberdade 1 80n − = teremos (Tabela ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,95 e GL: 80 2 1 60,39χ⇒ = Probabilidade: 0,05 e GL = 80 2 2 101,89χ⇒ = ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 s x n s x n P xσ α χ χ  − − < < =−     ( )216 80 16 80 0,95 101,89 60,39 P xσ × ×  < < =    ( )( )2 12,56 21,20 0,95P xσ< < =
  88. 88. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  88 Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.12 – Ex. 3 Dados: x = variável normal, mede a receita das vendas Amostra de n = 12 elementos fornece: 45 62 ... 60 52 12 ix x n + + + = = = ∑ e ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 45 52 ... 60 52 59,45 1 11 ix x s x n − − + + − = = = − ∑ Nível de confiança: 1 0,95α− = Solução Para o nível 1 0,95α− = com n =12 e Graus de liberdade 1 11n − = teremos (Tabela ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,975 e GL: 11 2 1 3,82χ⇒ = Probabilidade: 0,025 e GL = 11 2 2 21,92χ⇒ = ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 s x n s x n P xσ α χ χ  − − < < =−     ( )259,45 11 59,45 11 0,95 21,92 3,82 P xσ × ×  < < =    ( )( )2 29,84 171,20 0,95P xσ< < =
  89. 89. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  89 Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.12 – Ex. 5 Dados: x1 = variável normal, mede o peso das aves Amostra de n = 30 aves fornece: ( )1,8 e s 0,2x Kg x Kg= = Nível de confiança: 1 0,90α− = Solução Para o nível 1 0,90α− = com n = 30 e Graus de liberdade 1 29n − = teremos (Tabela ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,95 e GL: 29 2 1 17,71χ⇒ = Probabilidade: 0,05 e GL = 29 2 2 42,56χ⇒ = ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 s x n s x n P xσ α χ χ  − − < < =−     ( )20,04 29 0,04 29 0,90 42,56 17,71 P xσ × ×  < < =    ( )( )2 0,027 0,065 0,90P xσ< < =
  90. 90. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  90 Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 7.12 – Ex. 6 Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 0,2s x Kg= Nível de confiança: 1 0,98α− = Solução Para o nível 1 0,98α− = com n = 81 e Graus de liberdade 1 80n − = teremos (Tabela ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,99 e GL: 80 2 1 14,26χ⇒ = Probabilidade: 0,01 e GL = 80 2 2 49,59χ⇒ = ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 1 1 1 1 s x n s x n P xσ α χ χ  − −  < < =−     ( ) 0,04 29 0,04 29 0,98 49,59 14,26 P xσ  × × < < =     ( )( )0,153 0,285 0,98P xσ< < =
  91. 91. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  91 Item 8.3 Exercícios propostos Exercício 1 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.3 – Ex. 1 Dados: x = variável normal com ( )2 3xσ = Amostra de n = 20 elementos fornece: 50x = Nível de significância: 0,10α = Solução Teste 0 : ( ) 53 : ( ) 53a H x H x µ µ =  ≠ Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = − ( ) ( ) 50 53 7,75 3 20 c x x z x n µ σ − − = = = − Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 10%α = .
  92. 92. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  92 Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.3 – Ex. 3 Dados: x1 = variável normal com ( )( ) 6 e 0,5x xµ σ= = Amostra de n = 15 elementos fornece: 4x = ( ) 1s x = Nível de significância: 0,05α = Solução Teste 0 : ( ) 6 : ( ) 6a H x H x µ µ =  < Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = − ( ) ( ) 4 6 15,49 0,5 15 c x x z x n µ σ − − = = = − Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
  93. 93. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  93 Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.3 – Ex. 4 Dados: x = variável normal com ( ) 18xµ = Amostra: 12 elementos, forneceu 17x = e ( ) 3s x = . Nível de significância: 0,10α = Solução Teste 0 : ( ) 18 : ( ) 18a H x H x µ µ =  ≠ Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e Graus_liberdade: 11 retorna o valor 1,80tt = − ( ) ( ) 17 18 1,15 3 12 c x x t s x n µ− − = = = − Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 10%α = .
  94. 94. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  94 Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.3 – Ex. 6 Dados: x1 = variável normal Amostra: 12, 16, 15, 14, 17, 10, 9, 15, 13, 16. Nível de significância: 0,05α = Solução 137 13,7 10 ix x n = = = ∑ ( ) ( ) 2 2 64,10 7,122 1 9 ix x s x n − = = = − ∑ ( ) 2,67s x = Teste 0 : ( ) 15 : ( ) 15a H x H x µ µ =  < Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e Graus_liberdade: 9 retorna o valor 1,83tt = − ( ) ( ) 13,7 15 1,54 2,67 10 c x x t s x n µ− − = = = − Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
  95. 95. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  95 Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.3 – Ex. 8 Dados: x = variável normal com ( ) 4xµ = Amostra: 25 elementos, forneceu 5x = e ( ) 1,2s x = . Nível de significância: 0,05α = Solução Teste 0 : ( ) 4 : ( ) 4a H x H x µ µ =  > Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e Graus_liberdade: 24 retorna o valor 1,71tt = ( ) ( ) 5 4 4,17 1,2 25 c x x t s x n µ− − = = = Como c tt t> , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .
  96. 96. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  96 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.3 – Ex. 9 Dados: x = variável normal, mede o IRR do projeto em %. Amostra de 40 elementos Nível de significância: 0,05α = Solução ( ) ( ) 20,70i ix E x P x= = ( ) ( ) ( ) 22 2 432,20 428,49 3,71is x E x E x= − = − =   ( ) 1,93s x = No caso, o pior erro é a taxa ser menor que 21%. Teste 0 : ( ) 21 : ( ) 21a H x H x µ µ =  < Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,05 e Graus_liberdade: 39 retorna o valor e 1,68tt = − ( ) ( ) 20,70 21 0,98 1,93 40 c x x t s x n µ− − = = = − Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 5%α = . x 18 20 22 24 Soma p(x) 0,2 0,4 0,25 0,15 x.p(x) 3,6 8 5,5 3,6 20,7 x*2.p(x) 64,8 160 121 86,4 432,2
  97. 97. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  97 Item 8.4 Exercícios propostos Exercício 1 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 1 Dados: x = variável binomial S = mulher em cargo administrativo p = 0,15 Amostra de n = 200 elementos obteve: 40 ˆ 0,20 200 p= = Nível de significância: 0,05. Solução Teste 0` : 0,15 : 0,15a H p H p =  > Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95) ˆ 0,20 0,15 1,98 ˆ ˆ 0,15 0,85 200 c p p z pq n − − = = = × Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a proporção de mulheres aumentou.
  98. 98. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  98 Exercício 2 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 2 Dados: x1 = variável binomial S = peça defeituosa p = 0,03 Amostra de n = 200 elementos obteve: 8 ˆ 0,04 200 p= = Nível de significância: 0,025. Solução Teste 0` : 0,03 : 0,03a H p H p =  > Ao nível 0,025α = , 1,96tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,975) ˆ 0,04 0,03 0,83 ˆ ˆ 0,03 0,97 200 c p p z pq n − − = = = × Como c tz z< , aceitamos a afirmação do vendedor.
  99. 99. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  99 Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 3 Dados: x = variável binomial S = indivíduo com renda inferior a dois salários mínimos Amostra de n =60 elementos obteve: ˆ 0,41p = Nível de significância: 0,05 Solução Teste 0` : 0,40 : 0,40a H p H p =  > Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95) ˆ 0,41 0,40 0,16 ˆ ˆ 0,40 0,60 60 c p p z pq n − − = = = × Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a porcentagem é ainda de 40%.
  100. 100. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  100 Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 4 Dados: x1 = variável binomial S = animal morto p = 0,10 Amostra de n = 100 animais forneceu: 4 ˆ 0,04 100 p= = Nível de significância: 0,05. Solução Teste 0` : 0,10 : 0,10a H p H p =  < Ao nível 0,05α = , 1,64tz = − (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,05) ˆ 0,04 0,10 2 ˆ ˆ 0,10 0,90 100 c p p z pq n − − = = = − × Como c tz z< , rejeitamos a hipótese nula. O índice de mortalidade diminuiu.
  101. 101. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  101 Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 5 Dados: x = variável binomial S = resposta positiva ao plano de férias p = 0,20 Amostra de n = 50 elementos obteve: 15 ˆ 0,30 50 p= = Nível de significância: 0,06 Solução Teste 0` : 0,20 : 0,20a H p H p =  > Ao nível 0,06α = , 1,55tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,94) ˆ 0,30 0,20 1,77 ˆ ˆ 0,20 0,80 50 c p p z pq n − − = = = × Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 6% podemos afirmar que o número de respostas favoráveis aumentou.
  102. 102. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  102 Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 6 Dados: x1 = variável binomial S = projeto viável p = 0,50 Amostra de n = 31 elementos forneceu: ˆ 0,60p = Nível de significância: 0,10. Solução Teste 0` : 0,50 : 0,50a H p H p =  > Ao nível 0,10α = , 1,28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90) ˆ 0,60 0,50 1,11 ˆ ˆ 0,50 0,50 31 c p p z pq n − − = = = × Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de significância de 0,10, a proporção é ainda de 50%, o que contradiz a expansão da economia.
  103. 103. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  103 Exercício 7 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 7 Dados: x = variável binomial S = financiamento a pequena empresa p = 0,20 Amostra de n = 40 elementos obteve: 12 ˆ 0,30 40 p= = Nível de significância: 0,10. Solução Teste 0` : 0,20 : 0,20a H p H p =  > Ao nível 0,10α = , 1,28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90) ˆ 0,30 0,20 1,58 ˆ ˆ 0,20 0,80 40 c p p z pq n − − = = = × Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que a política foi bem sucedida.
  104. 104. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  104 Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 8 Dados: x1 = variável binomial S = inseticida eficiente p = 0,70 Amostra de n = 120 elementos obteve: 32 ˆ ˆ0,27 0,73 120 q p= = = Nível de significância: 0,025. Solução Teste 0` : 0,70 : 0,70a H p H p =  > Ao nível 0,025α = , 1,96tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,975) ˆ 0,73 0,70 0,72 ˆ ˆ 0,70 0,30 120 c p p z pq n − − = = = × Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. A toxicidade está controlada ao nível de 70%.
  105. 105. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  105 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 9 Dados: x1 = variável binomial S = pagamento à vista p = 0,76 Amostra de n = 180 elementos obteve: 40 ˆ 0,778 180 p= = Nível de significância: 0,05 Solução Teste 0` : 0,76 : 0,76a H p H p =  > Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95) ˆ 0,778 0,76 0,57 ˆ ˆ 0,76 0,24 180 c p p z pq n − − = = = × Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que a política foi bem sucedida.
  106. 106. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  106 Exercício 10 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.4 – Ex. 10 Dados: x1 = variável binomial S = favorável à pena de morte p = 0,52 Amostra de n = 500 elementos obteve: 280 ˆ 0,56 500 p= = Nível de significância: 0,10. Solução Teste 0` : 0,52 : 0,52a H p H p =  > Ao nível 0,10α = , 1,28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90) ˆ 0,56 0,52 1,79 ˆ ˆ 0,52 0,48 500 c p p z pq n − − = = = × Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. A proporção de favoráveis aumentou após a divulgação do crime.
  107. 107. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  107 Item 8.5 Exercícios propostos Exercício 1 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.5 – Ex. 1 Dados: x1 = variável normal com ( )2 1 5xσ = Amostra de n = 20 elementos forneceu 1 32x = X2 = variável normal com ( )2 2 5xσ = Amostra de n = 20 elementos forneceu: 2 33,5x = Nível de significância: 0,03α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − ≠ Cálculo de tt : Cálculo de zt . Tabela com 0,015 2 2,17z zα= = (ou INV.NORMP, com Probabilidade 0,985) Cálculo de ct : 1 2 2 2 1 2 1 2 32 33,5 2,12 5 5 20 20 c x x t s s n n − − = = = − ++ Como c tt t> , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 3%, podemos afirmar que as populações apresentam a mesma média.
  108. 108. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  108 Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.5 – Ex. 3 Dados: x1 = variável normal Amostra de n = 25 elementos forneceu: ( )1 150 4x s x= = X2 = variável normal Amostra de n = 30 elementos forneceu: ( )2 248 3x s x= = Nível de significância: 0,05α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − ≠ Cálculo de tt : 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 3 25 30 : 2 2 45,36 4 3 25 30 25 1 30 11 1 s s n n Gl s s n n n n     + +       − = − =                        ++ + ++ + GL = 45 0,05; 45 2,01t = Cálculo de ct : 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 50 48 2,06 4 3 25 30 c x x t s s n n − − = = = ++ Como c tt t> , rejeitamos a hipótese nula. As médias populacionais são diferentes.
  109. 109. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  109 Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.5 – Ex. 4 Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )1 150.000 4.000x Km s x Km= = X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )2 253.000 5.000x Km s x Km= = Nível de significância: 0,05α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − < Cálculo de tt : 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4.000 5.000 40 40 : 2 2 76,23 4.000 5.000 40 40 41 411 1 s s n n Gl s s n n n n     + +       − = − =                        ++ + + GL = 76 0,05; 76 1,67t = − Cálculo de ct : 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 50.000 53.000 2,96 4.000 5.000 40 40 c x x t s s n n − − = = = − ++ Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Os pneus usados em ônibus urbanos desgastam mais rapidamente.
  110. 110. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  110 Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.5 – Ex. 5 Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )1 1166min 23minx s x= = X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )2 2151min 16minx s x= = Nível de significância: 0,05α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − > Cálculo de tt : 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 23 16 10 10 : 2 2 17,6 23 16 10 10 10 1 10 11 1 s s n n Gl s s n n n n     + +       − = − =                        ++ + ++ + GL = 17 0,05;17 1,74t = (Tabela com p = 10 e GL = 17 ou INVT com Probabilidade 0,10 e Graus_Liberdade 17) Cálculo de ct : 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 166 151 1,69 23 16 10 10 c x x t s s n n − − = = = ++ Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que os métodos apresentam a mesma eficiência.
  111. 111. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  111 Exercício 6 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.5 – Ex. 6 Dados: x1 = variável normal, mede o consumo dos homens Amostra de n = 20 homens forneceu: ( )1 1650 60x g s x g= = X2 = variável normal, mede o consumo das mulheres Amostra de n = 10 mulheres forneceu: ( )2 235 50x g s x g= = Nível de significância: 0,10α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 1 : ( ) ( ) 0 2 1 : ( ) ( ) 0 2 a H x x H x x µ µ µ µ  − =   − <  Cálculo de tt : 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 60 50 20 10 : 2 2 23,59 60 50 20 10 21 111 1 s s n n Gl s s n n n n     + +       − = − =                        ++ + + GL = 23 0,10; 23 1,32t = − Cálculo de ct : 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 50.000 53.000 2,96 4.000 5.000 40 40 c x x t s s n n − − = = = − ++ Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As mulheres consomem mais que a metade do consumo dos homens.
  112. 112. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  112 Exercício 7 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.5 – Ex. 7 Dados: x1 = variável normal, mede o número de cáries dos alunos do grupo tratado com flúor. Amostra de n = 30 alunos forneceu: ( )1 11,8 0,5x s x= = X2 = variável normal, mede o número de cáries do grupo sem o tratamento. Amostra de n = 500 pneus forneceu: ( )2 22,2 0,6x s x= = Nível de significância: 0,05α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − < Cálculo de tt : 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0,5 0,6 30 50 : 2 2 72,09 0,5 0,6 30 50 30 1 50 11 1 s s n n Gl s s n n n n     + +       − = − =                        ++ + ++ + GL = 72 0,05; 72 1,67t = − Cálculo de ct : 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 50.000 53.000 2,96 4.000 5.000 40 40 c x x t s s n n − − = = = − ++ Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que o tratamento com cloro diminuiu a incidência de cáries.
  113. 113. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  113 Exercício 8 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.5 – Ex. 8 Dados: x1 = variável normal, mede o tempo de embalagem manual Amostra de n = 60 embalagens forneceu: ( )1 14,2 min 0,5 minx s x= = X2 = variável normal, mede o tempo de embalagem automático Amostra de n = 60 pneus forneceu: ( )2 24 min 1,2 minx s x= = Nível de significância: 0,025α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − > Cálculo de tt : 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0,5 1,2 60 60 : 2 2 79,56 0,5 1,2 60 60 61 611 1 s s n n Gl s s n n n n     + +       − = − =                        ++ + + GL = 79 0,025; 79 1,99t = Cálculo de ct : 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 4,2 4 1,19 0,5 1,2 60 60 c x x t s s n n − − = = = ++ Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Automatizar a embalagem não melhora o tempo deste serviço.
  114. 114. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  114 Exercício 9 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.5 – Ex. 9 Dados: x1 = variável normal, mede o nível de vendas da região com desconto Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1180 30x s x= = X2 = variável normal, mede o nível de vendas da região sem desconto Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )2 2170 30x s x= = Nível de significância: 0,025α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − > Cálculo de tt : 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 30 30 30 30 : 2 2 60 30 30 30 30 30 1 30 11 1 s s n n Gl s s n n n n     + +       − = − =                        ++ + ++ + GL = 60 0,025; 60 2,00t = (Tabela com p = 0,05 e GL = 60 ou INVT com Probabilidade 0,05 e Graus_liberdade 60) Cálculo de ct : 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 180 170 1,29 30 30 30 30 c x x t s s n n − − = = = ++ Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 2,5% podemos afirmar que o desconto não aumentou as vendas
  115. 115. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  115 Exercício 10 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.5 – Ex. 10 Dados: x1 = variável normal, mede o volume de vendas do produto sem desconto Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1170 30x un s x un= = X2 = variável normal, mede o volume de vendas após desconto Amostra de n = 30 pneus forneceu: ( )2 2230 10x un s x un= = Nível de significância: 0,025α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − < Cálculo de tt : 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 30 10 30 30 : 2 2 35,80 30 10 30 30 31 311 1 s s n n Gl s s n n n n     + +       − = − =                        ++ + + GL = 35 0,025 ; 35 2,03t = − Cálculo de ct : 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 170 230 10,39 30 10 30 30 c x x t s s n n − − = = = − ++ Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As vendas aumentaram com o desconto concedido.
  116. 116. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  116 Item 8.6 Exercícios propostos Exercício 2 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.6 – Ex. 2 Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de homens que compram o produto. Amostra de n = 80 homens forneceu: 28 ˆ =0,35 80 p = X2 = variável binomial mede a quantidade de mulheres que compram o produto. Amostra de n = 100 mulheres forneceu: 40 ˆ 0,40 100 p= = Nível de significância: 0,10α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : 0 : 0a H p p H p p − =  − ≠ Para 0,050,10 1,64zα = = − . 1 2 1 2 ˆ ˆ 1 1 c p p z pq n n − =   +    onde 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ 80 0,35 100 0,40 0,38 80 100 n p n p p n n + × + × = = = + + 0,35 0,40 0,69 1 1 0,38 0,62 80 100 cz − = = −   × +    Como 1,69 1,69cz− < < , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as proporções dois grupos ao nível de 10%.
  117. 117. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  117 Exercício 2 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.6 – Ex. 2 Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de deprimidos entre motoristas de taxi. S = motorista de taxi com depressão. Amostra de n = 20 motoristas forneceu: 10 ˆ =0,25 40 p = X2 = variável binomial mede a quantidade de deprimidos entre pessoas pouco expostas ao trânsito. S = pessoa com depressão Amostra de n = 10 pessoas forneceu: 8 ˆ 0,20 40 p= = Nível de significância: 0,03α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : 0 : 0a H p p H p p − =  − > Para 0,030,03 1,88zα = = . 1 2 1 2 ˆ ˆ 1 1 c p p z pq n n − =   +    onde 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ 40 0,25 40 0,20 0,225 40 40 n p n p p n n + × + × = = = + + 0,25 0,20 0,54 1 1 0,225 0,775 40 40 cz − = =   × +    Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as proporções de deprimidos dos dois grupos.
  118. 118. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  118 Exercício 3 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.6 – Ex. 3 Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar entre fumantes. Amostra de n1 = 50 motoristas forneceu: 1 8 ˆ =0,16 50 p = X2 = variável binomial mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar entre não fumantes. Amostra de n2 = 80 pessoas forneceu: 2 6 ˆ 0,075 80 p= = Nível de significância: 0,10α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : 0 : 0a H p p H p p − =  − > Para 0,100,10 1,28zα = = . 1 2 1 2 ˆ ˆ 1 1 c p p z pq n n − =   +    onde 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ 50 0,16 80 0,075 0,11 50 80 n p n p p n n + × + × = = = + + 0,16 0,075 1,51 1 1 0,11 0,89 50 80 cz − = =   × +    Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que o uso do cigarro aumenta a incidência de doenças pulmonares.
  119. 119. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  119 Exercício 4 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.6 – Ex. 4 Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de votos no interior S = voto favorável ao candidato Amostra de n = 200 eleitores forneceu: 90 ˆ =0,45 200 p = X2 = variável binomial mede a quantidade de votos na capital. S = pessoa com depressão. Amostra de n = 100 eleitores forneceu: 40 ˆ 0,40 100 p= = Nível de significância: 0,04α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − > Para 0,040,04 1,75zα = = . 1 2 1 2 ˆ ˆ 1 1 c p p z pq n n − =   +    onde 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ 200 0,45 100 0,40 0,4333 200 100 n p n p p n n + × + × = = = + + 0,45 0,40 0,824 1 1 0,4333 0,5667 200 100 cz − = =   × +    Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as proporções de eleitores favoráveis ao candidato na capital e no interior.
  120. 120. Estatística 2  |  Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo  120 Exercício 5 Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo Item 8.6 – Ex. 5 Dados: x1 = variável binomial, mede a venda de apartamentos entre casados. S = venda efetiva. Amostra de n = 200 motoristas forneceu: 25 ˆ =0,125 200 p = X2 = variável binomial mede a venda de apartamentos entre solteiros. S = venda efetiva Amostra de n = 120 pessoas forneceu: 30 ˆ 0,25 120 p= = Nível de significância: 0,05α = . Solução Teste 0 1 2 1 2 : ( ) ( ) 0 : ( ) ( ) 0a H x x H x x µ µ µ µ − =  − < Para 0,050,05 1,64zα = = − . 1 2 1 2 ˆ ˆ 1 1 c p p z pq n n − =   +    onde 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ 200 0,125 120 0,25 0,172 100 120 n p n p p n n + × + × = = = + + 0,125 0,25 2,87 1 1 0,172 0,828 200 120 cz − = = −   × +    Como c tz z< ,rejeitamos a hipótese nula. A proporção de descasados que efetiva a compra é maior.

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