O documento apresenta uma revisão histórica da trigonometria, desde os primeiros registros no Egito e Babilônia até o desenvolvimento formal na Grécia Antiga e Índia. Aborda os principais conceitos e contribuições de Hiparco, Ptolomeu e outros para estabelecer as bases da trigonometria moderna.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE EDUCAÇÃO E CIÊNCIAS HUMANAS
DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DE ENSINO
ENSINO DE TRIGONOMETRIA:
UM ENFOQUE METODOLÓGICO
Disciplina: METODOLOGIA DO ENSINO DE MATEMÁTICA
Docente: Profa. Dra. Maria do Carmo de Sousa
Alunos: Ailton Barcelos da Costa
Fábio Domingues
Gabriel Lopes da Rocha
Marcelo Aguiar Dias
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2. AILTON BARCELOS DA COSTA
FÁBIO DOMINGUES
GABRIEL LOPES DA ROCHA
MARCELO AGUIAR DIAS
ENSINO DE TRIGONOMETRIA:
UM ENFOQUE METODOLÓGICO
SÃO CARLOS
2007
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3. ÍNDICE
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4. INTRODUÇÃO
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5. 1. EVOLUÇÃO HISTÓRICA DA TRIGONOMETRIA
A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do
desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados
pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os
egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro
Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton
322.
Para considerar a gênese, devemos discutir qual o significado que daremos ao termo
Trigonometria. Se o tomarmos como a ciência analítica estudada atualmente, teremos a
origem no século XVII, após o desenvolvimento do simbolismo algébrico. Mas, se o
considerarmos para significar a geometria acoplada à Astronomia, as origens remontarão
aos trabalhos de Hiparco, no século II a.C., embora existam traços anteriores de seu uso. Se
o considerarmos, ainda, para significar literalmente medidas do triângulo, a origem será no
segundo ou terceiro milênio antes de Cristo.
De acordo com EVES (1997), temos que:
“ Um certo número de papiros egípcios de algum modo resistiu ao
desgaste do tempo por mais de três milênios e meio. O mais
extenso dos de natureza matemática é um rolo de papiro com cerca
de 0,30 m de altura e 5 m de comprimento, que está agora no
British Museum, exceto uns poucos fragmentos que estão no
Brooklin Museum. Foi comprado em 1858 numa cidade à beira do
Nilo, por um antiquário escocês, Henry Rhind, que lhe emprestou o
nome. Às vezes, é chamado Papiro Ahmes em honra ao escriba que
o copiou por volta de 1650 a.C. O escriba conta que o material
provém de um protótipo do Reino do Meio, de cerca de 2000 a
1800 a.C., e é possível que parte desse conhecimento tenha
5

6. provindo de Imhotep, o quase lendário arquiteto e médico do
Faraó Zoser, que superintendeu a construção de sua pirâmide há
cerca de 5000 anos. De qualquer modo, a matemática egípcia
parece ter ficado estagnada por cerca de 2000 anos, após um
início bastante auspicioso. Talvez a mais notável das tabulas
matemáticas babilônias já analisadas. O nome indica tratar-se da
tabula da coleção G.A. Plimpton da universidade de Colúmbia,
catalogada sob o número 322. A tabula foi escrita no período
Babilônico Antigo - aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C. - e
os primeiros a descrever seu conteúdo foram Neugebauer e Sacs
em 1945".
Então, podemos dizer que os primeiros indícios de rudimentos de trigonometria
surgiram tanto no Egito quanto na Babilônia, a partir do cálculo de razões entre números e
entre lados de triângulos semelhantes.
No Egito, isto pode ser observado no Papiro Ahmes, conhecido como Papiro Rhind,
que data de aproximadamente 1650 a.C., e contém 84 problemas, dos quais quatro fazem
menção ao seqt de um ângulo.
Ahmes não foi claro ao expressar o significado desta palavra mas, pelo contexto,
pensa-se que o seqt de uma pirâmide regular seja equivalente, hoje, à cotangente de um
ângulo.
Na construção das pirâmides era essencial manter uma inclinação constante das
faces, o que levou os egípcios a introduzirem o conceito de seqt, que representava a
razão entre afastamento horizontal e elevação vertical.
Além da utilização da trigonometria nas medições das pirâmides, apareceu no
Egito (1500 a.C. aproximadamente) a idéia de associar sombras projetadas por uma vara
vertical a seqüências numéricas, relacionando seus comprimentos com horas do dia
(relógios de sol).
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7. Poderíamos dizer então que essas idéias estavam anunciando a chegada, séculos
depois, das funções tangente e cotangente. Os predecessores da tangente e da cotangente,
no entanto, surgiram de modestas necessidades de medição de alturas e distâncias.
Como já mencionamos, os primeiros vestígios de trigonometria surgiram não só no
Egito, mas também na Babilônia. Os babilônios tinham grande interesse pela Astronomia,
tanto por razões religiosas, quanto pelas conexões com o calendário e as épocas de plantio.
É impossível o estudo das fases da Lua, os pontos cardeais e as estações do ano sem
usar triângulos, um sistema de unidades de medidas e uma escala.
Os babilônios foram excelentes astrônomos e influenciaram os povos posteriores.
Eles construíram no século 28 a.C., durante o reinado de Sargon, um calendário
astrológico e elaboraram, a partir do ano 747 a.C, uma tábua de eclipses lunares. Este
calendário e estas tábuas chegaram até os nossos dias (Smith, 1958).
Papiro Rhind, Museu de Londres.
Uma trigonometria primitiva foi encontrada no Oriente. Na China, no reinado de
Chóu-pei Suan-king, aproximadamente 1110 a.C., os triângulos retângulos eram
freqüentemente usados para medir distâncias, comprimentos e profundidades. Existem
evidências tanto do conhecimento das relações trigonométricas quanto do conceito de
7

8. ângulo e a forma de medi-lo mas, infelizmente não temos registro de como eram feitas
as medições e quais as unidades de medida usadas.
Na literatura chinesa, segundo COSTA, encontramos uma certa passagem que
podemos traduzir por: "O conhecimento vem da sombra, e a sombra vem do gnômon", o
que mostra que a trigonometria plana primitiva já era conhecida na China no segundo
milênio a.C
Também na China, em 152 a. C., há indícios que Chuan Tsanom sistematizou todo
o conhecimento matemático conhecido na coleção "A Matemática em Nove Livros", a
qual foi modificada mais tarde no século I d. C. por Lin Sing, onde já se usava o π =
3,1547, obtido de maneira semelhante a que Arquimedes (287 – 212 a. C.) conseguiu na
Grécia.
Ainda na China Antiga, no século III d. C, Lin Hui, fazia aplicações do teorema de
Pitágoras.
A primeira amostra documentada de contribuição grega para o estudo da
trigonometria apareceu por volta de 180 a.C. quando Hipsícles, influenciado pela cultura
babilônica, dividiu o zodíaco em 360 partes. Essa idéia foi posteriormente generalizada por
Hiparco para qualquer círculo (Eves, 1995).
O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de
ser chamado "o pai da Trigonometria", pois na segunda metade do século II a.C., fez um
tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira
tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses
cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transição
entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As principais contribuições à
Astronomia, atribuídas a Hiparco se constituíram na organização de dados empíricos
derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentos
em constantes astronômicas importantes - duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o
ângulo de inclinação da eclíptica - e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios.
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9. Assim, podemos dizer que na Grécia, durante os dois séculos e meio
compreendidos entre Hipócrates e Eratóstenes, a trigonometria esteve engatinhando, o que
nos leva a concordar com a afirmativa de BOYER (1974, p. 118):
"De Hipócrates a Eratóstenes os gregos estudaram as relações
entre retas e círculos e as aplicaram na Astronomia, mas disso não
resultou uma trigonometria sistemática".
A "Trigonometria" era então baseada no estudo da relação entre um arco arbitrário
e sua corda. Hiparco escreve a respeito do cálculo de comprimentos das cordas. Apesar da
corda de um arco não ser o seno, uma vez conhecido o valor do seu comprimento, pode-se
calcular o seno da metade do arco, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo
comprimento do raio do círculo é justamente esse valor, ou seja, para um círculo de raio
x
unitário, o comprimento da corda subtendida por um ângulo x é 2 sen .
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A palavra cosseno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno do
complemento de um ângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos
problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que parece,
surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias.
Outro matemático grego, Menelau de Alexandria, por volta de 100 d.C., produziu
um tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam.
Felizmente o seu tratado Sphaerica , em três livros, se preservou numa versão árabe e é o
trabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica.
Entretanto, a mais influente e significativa obra trigonométrica da Antigüidade foi a
Syntaxis mathematica, obra escrita por Ptolomeu de Alexandria que contém 13 livros.
Este tratado é famoso por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de
outros foi associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o
chamaram de Almajesto, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome.
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10. Mostrando a mesma influência babilônica apresentada por Hiparco, Ptolomeu
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dividiu a circunferência em 360 partes e o diâmetro em 120 partes. Usou 120 como
aproximação para o número π. Embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno, mas das
cordas, utilizou o que pode ser considerado o prenúncio da conhecida relação fundamenta
(sen x)2 + (cos x)2 = 1.
Semelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia as propriedades de
seno e cosseno.
De posse do equivalente dessas fórmulas, Ptolomeu construiu uma tabela de cordas
de uma circunferência, para ângulos que variam de meio em meio grau, entre 0º e 180º.
Calculou comprimentos de cordas, inscrevendo polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 10 lados
num círculo. Isso lhe possibilitou encontrar a corda subtendida por ângulos de 36º, 60º, 72º,
90º e 120º. Descobriu então, um método para encontrar a corda subtendida pela metade do
arco de uma corda conhecida. Esse fato que, em nossa simbologia, é o mesmo que sen
α
= 1 − cos α /( 2 ), juntamente com interpolação, permitiu-lhe calcular cordas com um
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bom grau de precisão.
Posteriormente, surgiu a necessidade de uma nova unidade de medida para os
ângulos. Foi quando surgiu o radiano, denominado radian, pois os estudiosos discutiam
uma "expressão" do ângulo em termos de π, que primeiramente foi chamada " π -
medida", "circular" ou "medida arcual". Nenhum autor explica por que fizeram uso dessa
unidade, mas o seu uso simplificou várias fórmulas matemáticas e físicas.
Durante seis séculos, O Almajesto, representou a mais importante fonte de consulta
para os astrônomos de todo o mundo. Porém no século VIII é que os cientistas voltariam a
sua atenção para as obras trigonométricas de um povo, que sempre surpreendera o mundo
com sua Matemática original e criativa, os Hindus.
Sobre a trigonometria na Índia, entre os séculos VIII – VII a. C, onde temos dois
mais antigos monumentos da cultura matemática dos hindus, os livros religiosos Sutras e
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11. Vedas, escritos em Sânscrito. Neles encontramos, de acordo com RIBNIKOV (1987),
construções geométricas que constituem parte importante da parte dos rituais na construção
de obras para o culto, como templos e altares. Neles podemos encontrar os primeiros
métodos da quadratura de círculos e aplicações do teorema de Pitágoras.
Assim, no século IV da nossa era, a Europa Ocidental entrou em crise com as
invasões dos bárbaros germânicos e com a queda do Império Romano. O centro da cultura
começou a se deslocar para a Índia, que revolucionou a trigonometria com um conjunto de
textos denominados Siddhanta, que significa sistemas de Astronomia.
O que chegou até nós foi o Surya Siddhanta, que quer dizer Sistemas do Sol e é
um texto épico, de aproximadamente 400 d.C, escrito em versos e em sânscrito. Os hindus
diziam que o autor do texto foi Surya, o deus do Sol. Esta obra contém poucas explicações
e nenhuma prova pois, afinal, tendo sido escrita por um Deus, seria muita pretensão exigir
provas. (Boyer, 1974).
A importância do Surya, para nós, é que ele abriu novas perspectivas para a
Trigonometria por não seguir o mesmo caminho de Ptolomeu, que relacionava as cordas de
um círculo com os ângulos centrais correspondentes. Nas aplicações da .função. corda, na
Astronomia, era necessário dobrar o arco antes de usá-lo na tábua de cordas. Naturalmente,
era mais conveniente ter uma tábua na qual o próprio arco fosse a variável independente.
No Surya, a relação usada era entre a metade da corda e a metade do ângulo central
correspondente, chamada por eles de jiva. Isto possibilitou a visão de um triângulo
retângulo na circunferência.
Por volta de 500 d.C., o matemático hindu Aryabhata já calculava semi cordas e
usava também o sistema decimal, desenvolvido aproximadamente em 600 d.C. Ao
surgirem, os numerais hindus continham nove símbolos e não havia símbolo para o zero.
Quando os hindus introduziram os conceitos de semi corda e de seno,
demonstraram algumas identidades, e encontramos em Varahamihira, no ano 505 d.C., o
equivalente verbal de (sen x)2 + (cos x)2 = 1.
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12. O primeiro aparecimento real do seno de um ângulo se deu no trabalho dos hindus.
Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metade de cordas que agora
realmente são tabelas de senos e usou jiva no lugar de seno. Esta mesma tabela foi
reproduzida no trabalho de Brahmagupta, em 628, e um método detalhado para construir
uma tabela de senos para qualquer ângulo foi dado por Bhaskara em 1150.
Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e a
Trigonometria de jiva - de origem hindu - o conflito chegou ao final quando, entre 850 e
929, o matemático árabe al-Battani adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma
preciosa inovação - o círculo de raio unitário - surgiu o nome da função seno.
Após os hindus, foram os árabes e os persas a dar sua contribuição à trigonometria.
O Império Muçulmano ou Árabe, além da expansão econômica, viveu
extraordinário avanço nos diversos campos das artes e da ciência do fim do século VIII até
o século XI, com destaque ao século IX. A expansão do saber muçulmano deveu-se,
sobretudo, à difusão da língua árabe, que substituiu o grego na condição de língua
internacional. O emprego do árabe permitiu a fixação e a preservação de obras antigas, que
foram traduzidas e assim difundidas entre os intelectuais muçulmanos.
Podemos dizer que a influência árabe começou com a fundação da Escola de
Bagdad, no século IX, e um dos seus maiores expoentes foi o príncipe da Síria Mohamed-
ben-Geber, conhecido como AL Battani (aproximadamente 850 a 929 d.C.), ou
Albategnius, nas traduções latinas, chamado o Ptolomeu de Bagdad.
Os estudos de AL Battani ficaram entre o Almagesto e Siddhanta e foi por sua
influência que a trigonometria hindu foi adotada pelos árabes, principalmente a partir de
sua genial idéia de introduzir o círculo de raio unitário e com isso demonstrar que a razão
jiva é válida para qualquer triângulo retângulo, independentemente do valor da medida da
hipotenusa.
Depois de Al-Battani, digno de nota entre os matemáticos árabes foi Abu'l Wafa
que, em 980, iniciou uma organização, uma sistematização de provas e teoremas de
trigonometria.
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13. Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu'l Wafa sabia que
sen2x = senx. Cosx, embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de
Ptolomeu sem(x+y)=senx.cosy+seny.cosx, fazendo x = y.
De acordo com STRUIK (1992), quando a Escola de Bagdad entrou em declínio, o
centro das atividades intelectuais deslocou-se para o sul da Europa, na Península Ibérica,
e com ele o estudo da trigonometria, particularmente nos triângulos esféricos necessários
aos estudos astronômicos. A cidade de Toledo tornou-se o mais importante centro da
cultura, a partir de 1085, quando foi libertada pelos cristãos do domínio mouro. Isto
ocorreu porque para ela afluíram os estudiosos ocidentais, visando a adquirir o saber
muçulmano. O século XII na História da Matemática foi, então, um século de tradutores
dos quais citamos Platão de Tivoli, Gerardo de Cremona, Adelardo de Bath e Robert de
Chester . Com isso, a Europa teve acesso à matemática árabe e à herança grega que havia
sido conservada, na medida do possível, por eles.
A palavra hindu jiva - meia corda, dada ao seno foi traduzida para o árabe que
chamou o seno de jiba, uma palavra que tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornou
jaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba,
que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcos
numa circunferência que originou o seno.
O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas
pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser
bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que
significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito
matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando os
autores europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram jaib
na palavra sinus. Em particular, o uso de Fibonacci do termo sinus rectus arcus
rapidamente encorajou o uso universal de seno.
Uma justificativa para esse erro de tradução seria o fato de que em árabe, como em
hebraico, é freqüente escrever-se apenas as consoantes das palavras, cabendo ao leitor a
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14. colocação das vogais. Além de jiba e jaib terem as mesmas consoantes, a primeira dessas
palavras era pouco comum, pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito.
Diversos dos astrônomos árabes se deslocaram para a Espanha para trabalhar e
passaram a difundir o saber. Os mais importantes escritores foram os astrônomos
Ibrâhîm ibn Yahyâ al Naqqâsh, (conhecido como Abû Ishâq ou Ibn al-Zarqâla ou, nas
traduções latinas como Arzachel, e que viveu em Córdoba) autor de um conjunto de tábuas
trigonométricas em 1050, e Jabir ibn Aflah (conhecido como Jeber ibn Aphla, tendo
vivido em Sevilha), cujos estudos astronômicos de 1145 se mostraram tão interessantes
que, séculos mais tarde (1543), foram publicados em Nuremberg.
O matemático europeu mais habilidoso do século XIII foi Fibonacci (1170-1250).
Ele estudou no norte da África e depois viajou pelo Oriente como mercador, com isso
sofreu grande influência dos árabes. Sua obra .Practica Geometriae., de 1220, é uma
aplicação da trigonometria árabe na Agrimensura.
O rei Alfonso X de Castela ordenou, no ano 1250, a estudiosos (cristãos, mouros e
judeus) de Toledo que traduzissem os livros de Astronomia e modernizassem as tábuas
trigonométricas árabes. Em 1254 foram concluídas as Tábuas Afonsinas, que junto
com Os Libros del Saber de Astronomia foram considerados de grande valia.
Na Europa do século XIV alguns importantes passos foram dados para o
desenvolvimento da Matemática. Pela primeira vez, as noções de quantidades variáveis e
de função são expressas e, tanto na Escola de Filosofia Natural do Merton College de
Oxford quanto na Escola de Paris, chega-se à conclusão de que a Matemática é o principal
instrumento para o estudo dos fenômenos naturais. Com o início do estudo da velocidade
instantânea ou pontual e a atenção especial dada ao movimento, tornou-se necessário
desenvolver um suporte matemático.
Paralelamente ao desenvolvimento da trigonometria, que já vinha ocorrendo na
Europa desde o século XI com a retomada do conhecimento árabe, ocorreu o
desenvolvimento das funções. Neste campo surgiu Nicole Oresme (1323 – 1382) com seu
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15. Treatise on theconfiguration of Qualities and Motions., no qual introduziu a representação
gráfica que explicita a noção de funcionalidade entre variáveis (no caso velocidade por
tempo). Seu trabalho influenciou Galileu (1564-1642) e Descartes (1596-1650) nos
séculos XVI e XVII. Com os estudos de Oresme, começou a se consolidar o conceito de
função.
No século XIV, Purbach, na Inglaterra, retomou a obra de Ptolomeu e computou
uma nova tábua de senos, muito difundida entre os estudiosos europeus. Purbach foi
o mestre de Regiomontanus (1436-1475), um dos maiores matemáticos do século XV,
cujo trabalho teve grande importância, estabelecendo a Trigonometria como uma ciência
independente da Astronomia.
Regiomontanus escreveu um Tratado sobre triângulos., em cinco livros, contendo
uma trigonometria completa. A invenção posterior dos logaritmos e alguns dos teoremas
demonstrados por Napier (1550-1617) mostram que a Trigonometria de Regiomontanus
não diferia basicamente da que se faz hoje em dia. No .Tratado. ele calculou novas
tábuas trigonométricas, aperfeiçoando a de senos de Purbach, e introduziu na trigonometria
européia o uso das tangentes, incluindo-as em suas tábuas. Podemos dizer que foi ele
quem lançou as fundações para os futuros trabalhos na trigonometria plana e esférica.
Copérnico (1473-1543) também contribuiu ao completar, em 1520, alguns trabalhos
de Regiomontanus, que incluiu em um capítulo de seu De Lateribus et Angulis
Triangulorum., publicado separadamente por seu discípulo Rhaeticus em 1542, e este
também produziu tabelas importantes de senos e cossenos que foram publicadas após a sua
morte.
O primeiro trabalho impresso em trigonometria provavelmente foi a Tabula
Directionum. de Regiomontanus, publicado em Nuremberg certamente antes de 1485, pois
a segunda edição data deste ano, em Veneza.
As seis funções trigonométricas foram definidas como funções do ângulo, em
vez de funções do arco, e subentendidas como razões, pela primeira vez, no .Canon
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16. DoctrinaeTtriangulorum. De Joachim Rhaeticus em Leipzig, 1551, embora ele não tenha
dado nomes para seno, cosseno ou cossecante, exceto perpendiculum, basis e hypotenusa.
O termo seno certamente não foi aceito imediatamente como a notação padrão por
todos os autores em tempos, quando a notação matemática era por si mesma uma nova
idéia, muitos usaram a sua própria notação. Edmund Gunter foi o primeiro a usar a
abreviação sen em 1624 em um desenho. O primeiro uso de sen em um livro foi em 1634
pelo matemático francês Hérigone, enquanto Cavalieri usava Si e Oughtred S.
Por sua vez, o cosseno seguiu um curso semelhante no que diz respeito ao
desenvolvimento da notação. Viète usou o termo sinus residuae para o cosseno, Gunter em
1620, sugeriu co-sinus.
A próxima figura notável na trigonometria foi Pitiscus que publicou um tratado,
em 1595, no qual corrigiu as tábuas de Rhaeticus e modernizou o tratamento do assunto. A
palavra trigonometria aparece pela primeira vez, como título de um livro seu.
Seguindo Pitiscus, destacamos o britânico Napier, que estabeleceu regras para
triângulos esféricos, que foram amplamente aceitas, enquanto sua maior contribuição,
os logaritmos, ainda estavam sendo analisados e não eram reconhecidos como válidos por
todos.
Suas considerações sobre os triângulos esféricos foram publicadas postumamente
no .Napier Analogies., do .Constructio. no ano de 1619, em Edinburgh.
Outro grande expoente em trigonometria foi Oughtred. Em seu trabalho, de 1657,
preocupou-se em desenvolvê-la do ponto de vista simbólico. No entanto, como o
simbolismo algébrico estava pouco avançado para tornar isto possível, a idéia não foi
aceita até que Euler exercesse sua influência neste sentido no século XVIII.
John Newton (1622-1678) publicou em 1658 o tratado Trigonometria Britannica
que, embora baseado nos trabalhos de Gellibrand e outros escritores, era o mais completo
livro do tipo que havia surgido em seu tempo. Newton e Gellibrand anteciparam a
tendência atual de introduzir divisões centesimais do ângulo nas tábuas trigonométricas.
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17. O próximo importante passo em trigonometria foi dado por John Wallis (1616-
1703) ao expressar fórmulas usando equações em vez de proporções, e por trabalhar com
séries infinitas.
Sir Isaac Newton (1642-1727) também deu sua contribuição à trigonometria pois,
paralelamente aos seus estudos de cálculo infinitesimal apoiados fortemente na geometria
do movimento, trabalhou com séries infinitas, tendo expandido arcsen x em séries e, por
reversão, deduzido a série para sen x. Além disso, comunicou a Leibniz a fórmula geral
para sen (nx) e cos(nx) tendo, com isso, aberto a perspectiva para o sen x e o cos x
surgirem como números e não como grandezas, sendo Kastner, em 1759, o primeiro
matemático a definir as funções trigonométricas de números puros.
A trigonometria toma a sua forma atual quando Euler (1707-1783) adota a medida
do raio de um círculo como unidade e define funções aplicadas a um número e não mais a
um ângulo como era feito até então, em 1748. A transição das razões trigonométricas para
as funções periódicas começou com Viète no século XVI, teve novo impulso com o
aparecimento do Cálculo Infinitesimal no século XVII e culminou com a figura de Euler.
O tratamento analítico das funções trigonométricas está no livro .Introductio in
Analysin Infinitorum., de 1748, considerado a obra chave da Análise Matemática. Nele, o
seno deixou de ser uma grandeza e adquiriu o status de número obtido pela ordenada de um
ponto de um círculo unitário.
Assim, a trigonometria, no início uma auxiliar da Agrimensura e da Astronomia,
tornou-se primeiramente autônoma e por fim transformou-se em uma parte da Análise
Matemática, expressando relações entre números complexos, sem necessidade de recorrer a
arcos ou ângulos.
Para encerrar, fica a nossa mensagem ao professor para que, ao ensinar
trigonometria, de alguma forma se discuta com os alunos questões que os levem a perceber
que o conhecimento matemático não "caiu do céu" ou surgiu pronto e acabado e que de
alguma forma a evolução possa ser acompanhada e alguma parte do caminho feita com
eles.
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18. 2. ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS
(i) Década de 1960
a) Introdução
A análise dos livros didáticos da década 60 traz um grande clássico dos livros
didáticos, que é o “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO BEZERRA, e
mostra bem a característica da matemática antes do advento da chamada “Matemática
Moderna”.
Em geral, segundo LOMAS, podemos dizer que o livro didático é visto muitas
vezes como instrumento de trabalho para o professor ou como material de estudo para os
alunos, tem muito mais a nos mostrar historicamente, pois ele esteve presente em vários
momentos importantes para o ensino, com todas as mudanças e adaptações, sejam essas
mudanças pelo interesse de grupos, seja por modismos ou fatores políticos. Sendo
fundamental no processo de ensino-aprendizagem de matemática, o livro didático pode se
constituir na mais forte referência para a prática docente, como ressaltado por MANSUTTI
(1993).
De acordo com MIORIM (2005), podemos situar a década de 1950 como aquela em
que são iniciadas ações que provocariam mudanças significativas relacionadas ao ensino de
matemática brasileiro.
Durante a década de 1950, ao lado de livros didáticos mais recentes, que estavam de
acordo com as orientações da Portaria Ministerial nº 966, de 1951, tal como o de Jairo
Bezerra, que continuou a ser editado e utilizado.
Apesar de algumas modificações terem sido realizadas em edições mais recentes de
alguns desses livros, MIORIM (2005) afirma que essa permanência de livros de períodos
anteriores parece apontar para a existência de uma certa estabilidade da matemática
escolar, apesar das reformas e mudanças oficiais.
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19. Este cenário começa a mudar a partir dos congressos de nacionais de ensino de
matemática, de 1955, 1957 e 1959, que será tema para os capítulos seguintes.
Então, vamos ao livro de BEZERRA (1962), propriamente dito.
b) Análise
Então, vamos ao livro de BEZERRA (1962), propriamente dito. Resumindo,
pretendemos colocar em evidência as semelhanças e diferenças dos conteúdos
programáticos para a trigonometria com o passar de cada década, observando as variações
que aparecem tanto no conteúdo, como na forma de ser “transmitida”. Para tanto,
deixaremos exposto o que cada um dos livros das décadas de 60, 70, 80 e 90 traz para o
professor aplicar em cada um dos ciclos, sempre vertendo para o assunto que interessa, e
também levando em consideração o livro Matemática Moderna Para o Ensino Secundário,
que em 1965 foi o marco da transição do conteúdo clássico para o moderno.
Em sua oitava edição, em 1962, o livro traz os seguintes temas para o primeiro ano:
Retas e Planos, Poliedros, Seções Cônicas, Progressões, Equações Exponenciais, entre
outros temas. Para o segundo ano: Determinantes Sistemas lineares, Relações
Trigonométricas, Transformações Trigonométricas, Equações trigonométricas, Vetores,
entre outros. Finalmente o terceiro ano, onde além de Geometria Analítica, o aluno era
apresentado aos Limites, Derivadas e Primitivas, conteúdos hoje vistos apenas na
graduação de cursos da área de ciências exatas e tecnológicas.
A princípio, nota-se que este livro ainda não se enquadra na chamada matemática
moderna, apesar de MIORIM (2005) constar que Curso de Matemática se encaixou na
portaria ministerial nº 966, de 1951 que apresentava os programas para o curso secundário,
e continuou a ser editado e usado. Deve-se considerar em segundo lugar o contexto da
época e levar em consideração que movimentos para a mudança no ensino da matemática
eram muito recentes e por isso os conteúdos didáticos ainda eram complexos, sendo que
aos olhos atuais, exagerados para o que hoje é o ensino médio.
19

20. Isso vai ser notado com relação à trigonometria, quando já eram ensinados aos
alunos do segundo ano conceitos de geometria que estão longe de serem vistos nas nossas
escolas atuais. Além das teorias e conceitos de trigonometria, podemos observar os
exercícios, que exigem apenas aplicação das fórmulas e as mesmas são dadas de forma
sintética e sem aplicação clara com o cotidiano. Ainda com relação aos exercícios, fica
evidente que muitos estudantes deviam ter muitas dificuldades na resolução dos mesmos,
pois eram de alto grau de dificuldade. No livro constam muitos exercícios que eram
retirados de testes e provas de escolas militares, de engenharia e técnicas, como a E. N.
Engenharia, E. Aeronáutica, E. Fluminense de Engenharia, Escola Militar, Escola Naval e
Escola Técnica do Exercito, com problemas datados de 1938 até 1959.
Além disso, na própria apresentação, BEZERRA (1962, sem pg.), mostra que:
“Esperamos que este nosso trabalho, contendo todo o
programa de matemática do segundo ciclo, venha facilitar aos
nossos colegas e ajudar aos estudantes. Além de estar menos
sujeito às modificações de programas, facilitará a revisão da
matéria nas vésperas dos vestibulares, auxiliará ao professor
quando (numa série mais adiantada) desejar recordar um assunto
da série anterior e possibilitará ao estudante a compra dos livros
do segundo ciclo por um preço mais acessível.”
Visualizando todo conteúdo de trigonometria do livro, observa-se que Curso de
Matemática deve ser considerado como um didático como muito que vê atualmente em
cursos técnicos e de pré-vestibular, com um conteúdo extenso, porém pobre nas origens e
aplicações, mas com características típicas do que o ensino da década de 60 exigia.
Poderemos fazer uma comparação mais detalhada após a análise dos livros da
matemática moderna, e para isso colocaremos os temas que estão inclusos nesse programa.
20

21. Trigonometria para o segundo colegial – Tabela 1
Noções sobre Grandezas Classificação Resultante entre Teorema de
vetores: escalares e dos vetores, dois vetores, Chasles.
vetoriais,
Projeções: Projeção Projeção Projeção de Teorema de
ortogonal de ortogonal de vetores Carnot.
um ponto sobre um vetor sobre eqüipolentes,
um eixo, um eixo,
Relações Arcos Expressão geral Generalização Expressões das
trigonométricas: côngruos, da medida da noção de funções
algébrica de um ângulo, Seno, trigonométricas
arco, cosseno, de um arco em
tangente, função do seno
cotangente, desse arco.
cosecante,
secante,
Agora iremos ao segundo livro, de 1965, “Matemática Moderna Para o Ensino
Secundário”, do Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (G. E. E. M.).
No ano de 1965, o G.E.E.M lançou a segunda edição do livro em questão, no qual
será feita a análise sobre os aspectos da trigonometria, para comparação com as técnicas e
peculiaridades da forma clássica do ensino-aprendizagem.
De início, o livro nos informa que a sua primeira edição foi feita em 1962, mesma
data da publicação da edição do livro de BEZERRA (1962), e sabe-se que daí em diante
todos os livros começaram a usar a forma da era modernista do ensino matemático e tão
importante foi essa mudança, que achamos importantes colocar duas das frases encontradas
no prefácio G.E.E.M. (1963, sem p.) ditas por participantes da Conferencia Internacional
do Ensino da Matemática que foi realizada em Atenas, em 1963:
21

22. “... depois de 50 anos os matemáticos resolveram introduzir, não
somente conceitos novos, mas essencialmente uma linguagem nova
que satisfaz as necessidades atuais dos jovens alunos de hoje e
recebe a aprovação universal dos educadores.” (J.Dieudonné do
Grupo Bourbaki).
“... é necessário, incontinenti, que os jovens alunos da escola
secundária possam ainda crer na Matemática recebendo o espírito
que caracteriza a Matemática contemporânea.” (A. Lichnerowicz
– Presidente da Comissão Internacional de Educação
Matemática.).
Tais opiniões demonstram que era realmente preciso uma mudança no conteúdo
programático da escola secundaria e isso foi feito, como também é dito no prefácio: “Pela
oportunidade, constará dessa segunda edição a publicação das sugestões para um roteiro de
Programa para a cadeira de Matemática...”, sugestões essas que serão citadas mais para
frente, mas antes colocaremos o que deve ser entendido como Matemática Moderna,
explicada também pelos próprios autores.
O que se deve entender por Matemática Moderna nas escolas secundárias.
Em um dos capítulos iniciais de G.E.E.M. (1963), é dito que o que se entende por
modernização da matemática é a mudança nas linguagens dos assuntos, uma vez que o
conteúdo da matemática clássica possuía uma metodologia difícil específica para “adultos
acostumados com rígidos pensamentos lógicos” e assim brecar uma herança de mais de 50
anos que deixava a entender que a disciplina era para poucos privilegiados e que, segundo
está escrito no próprio livro, estava longe de atender as exigências de muitos tempos de
ciência que tinham sido atravessados.
Portanto, não se esperava que se abrisse mão de tudo que já tinha sido usado antes
das discussões sobre a mudança das metodologias e dos objetos de estudo e sim que se
22

23. achasse uma forma de abranger esse conhecimento para os ciclos primários e
conseqüentemente superar a situação de desenvolvimento que nosso país se encontra.
Para isso, foi posto em G.E.E.M. (1963, p. 97) os assuntos que teriam que ser
considerados mínimos para um moderno programa de matemática para o colégio, cujo
enfoque nosso será na trigonometria, e novamente para facilitar as comparações, será
colocada uma tabela citando o que se vê como matéria essencial seguido das sugestões
dadas pelo G.E.E.M para o segundo ciclo.
Tabela 2
Assuntos Minimos Sugestões
Identidades, equações e Discussão das soluções,
inequações trigonométricas levando em consideração a
simples. periodicidade e simetria.
Coordenadas de um ponto Ressaltar a significação das
da circunferência com medidas de arco e de ângulo
centro na origem.Aplicações em radianos,. No estudo das
das relações trigonométricas funções, destacar as relações
nos triângulos. entre elas e as propriedades
da simetria e periodicidade.
Introduzir a noção de vetor
no estudo do teorema das
projeções.Examinar os casos
simples de resolução de
triângulos.
O livro também trás considerações sobre as sugestões que vão além dos assuntos
mínimos já citados aqui, que vão desde o primeiro ano do ginasial até o terceiro ano
colegial. Como colocamos aqui as disciplinas que eram aplicadas no curso do livro de
BEZERRA (1962) do primeiro até o terceiro ciclo do colégio, colocaremos aqui também o
23

24. que se sugere nesses 3 anos, dando ênfase ao primeiro ano, onde aparece o objeto de nosso
estudo.
Tabela 3 - Primeiro ano colegial e o estudo das funções trigonométricas
Funções Seqüências Funções trigonométricas Introdução à
geometria espacial.
Noções gerais; Exemplos de Estudo das funções Axiomas e teoremas
seqüências; trigonométricas, fundamentais;
periodicidade, simetria,
representação gráfica;
Função Linear; Princípios da Relações fundamentais, Perpendicularismo e
representação indução; funções do tipo a(+ou-), paralelismo;
gráfica, estudo da 2 a, a/2 onde a e b projeção e distancia;
reta; representam medidas de
arcos;
Função Progressões Transformações de Diedros.
exponencial e aritmétrica e sem(a)(+ou)sen(b),cos(a)
logarítmica; Geométrica. ( +ou-)cos(b) em
produto;
Função trinomial. Equações
trigonométricas
elementares.
Para o 2º ano colegial, propõe-se Análise Combinatória e Binômio de Newton,
Sistemas de Equações Lineares, Ângulos Poliédricos e Poliedros, Superfícies e Sólidos
Redondos e finalmente Áreas e Volumes dos Principais Sólidos.
Para o 3º ano colegial, Conjunto dos Números Complexos, Polinômios e Equações
Algébricas, Geometria Analítica, Introdução ao calculo infinitesimal e finalmente
Transformações Geométricas.
24

25. (ii) Década de 70
a) Introdução
Na analise da década de 70 utilizamos o livro de Gelson Iezzi, autor muito
conhecido inclusive para graduandos em exatas, uma vez que seus livros são de agrado
para muitos professores. No nosso caso, pegamos o Matemática: 1 a série, 2o grau – V. 1,
data de 1973, da ATUAL EDITORA LTDA., São Paulo.
Importante dizer que mais autores ajudaram na criação do material didático, e eles
escrevem alguns pontos interessantes também no prefácio (sem página) no qual
destacamos:
“Ao escrever um livro para determinada população,
necessita-se fazer uma escolha quanto ao tratamento a ser dado à
matéria. Alunos do 2o grau que dominam todos os conceitos
incluídos no programa do 1o grau e gostam de matemática ou
estão suficientemente motivados para ela existem,
indubitavelmente. São muitos? Não acreditamos.”
“Decidimos escrever um livro acessível para o aluno
normal do curso colegial, na maioria dos casos com deficiência de
formação. Para atingirmos nossos objetivos optamos por um
tratamento onde a formalização, necessária, foi reduzida ao
mínimo.”
Neste em especial, poderemos fazer uma comparação sobre o que é dito pelos
autores e o que realmente acaba acontecendo, levando em consideração que muito se
comenta contra o livro didático como único apoio para os professores, com o argumento de
que todos trazem sempre o mesmo conteúdo, mudando apenas a capa.
25

26. Além disso, durante nossa busca pelas bibliografias da pesquisa vimos o volume 3
deste mesmo livro, que deveria ser para o terceiro ano do colegial, também de 1973 e assim
como o clássico de BEZERRA (1962), apresenta em seu programa noções de Limite,
Derivada e técnicas de encontrar as primitivas, deixado claro que o autor ainda traz
vestígios da Matemática Clássica.
Podemos antes da análise em si, por fim, colocar outro fato curioso encontrado na
folha introdutória desta quinta edição do livro do IEZZI (1973), o que indica que o
conteúdo do livro que será analisado a seguir vem pelo menos em parte, da época mais
tradicional do ensino da Matemática.
A intenção do mesmo é tratar a trigonometria já no primeiro ano do colegial, talvez
porque nesse caso haja mesmo uma síntese nas formalizações e a aplicação também seja
menos formal. Em todo caso, no índice a trigonometria é encontrada em último lugar, o
que nos leva a crer que seria no final do primeiro ano, passando antes por Conjuntos,
Números, Relações e Funções, Função do 1o grau, Função Quadrática, Função Modular,
Função Exponencial, Função Logarítmica e finalmente Funções Circulares, onde esta
enquadrada a trigonometria, em IEZZI (1973, p. 199).
b) Análise
Quando buscamos, desde o inicio, as semelhanças e diferenças entre as décadas em
relação ao ensino da trigonometria observamos principalmente como é apresentado cada
tópico, em qual proporção aparecem os exemplos com relação ao número de exercícios e
principalmente quais disciplinas foram acrescentadas e/ou retiradas ao longo do tempo.
Nota-se que a década de 70 é também um marco importante uma vez que foi a
década seguinte a mudança aconselhada pelo G.E.E.M, para melhoria na qualidade do
26

27. ensino, ampliando o conhecimento para camadas antes não atingidas e com isso
percebemos sim, uma significativa melhora no que diz respeito ao linguajar usado na
elaboração dos conceitos e teoremas, além de darem maior importância para a Matemática
Concreta, tentando levar figuras que mostram o que esta sendo pedido ou demonstrado.
Um exemplo disso esta no trabalho de fundamentar a função seno, em IEZZI (1973,
p. 200):
"A idéia fundamental do que vamos estudar está sugerida na
ilustração que segue: uma escada de 15 m de comprimento esta
encostada a uma parede num ponto B e ao solo num ponto C. Em
A temos um ângulo reto."
Após é colocada a figura, com cada medida destacada ao lado, e após as
considerações do autor, é colocada a generalização da fórmula nos triângulos retângulos.
Imaginamos que as próximas décadas serão muito mais semelhantes a de 70 do que
as de antes, e possivelmente por isso nossas análises não abrangeram detalhes que
acreditarmos serem menos importantes. Entretanto, colocaremos, como já pusemos, tabelas
que ajudaram na conclusão final. Esta que segue será a das disciplinas de trigonometria que
estão no programa do livro de G. IEZZI
Introdução A 1.Noções 2.Seno 3.Cosseno 4.Relações 5.Tangente.
Trigonometria. Fundamentais entre Seno
e Cosseno
As Funções Arcos e A função Propriedades A função Outras Funções
Circulares. ângulos Seno das funções tangente trigonométricas/
seno e Redução ao
cosseno primeiro
quadrante.
27

28. Relações As cinco Relações Identidade
Fundamentais. relações decorrentes
fundamentais
Transformações Formulas de Conseqüência Formulas de
Trigonométricas. adição das formulas transformação
de Adição. em produto.
Equações Equação sen Equação cos Equação tg x Equações Equações
Trigonométricas. x = a x=a =a redutíveis fatoraveis.
a uma
equação
do 2o grau
Inequações Inequação Inequação Inequação tg Inequações
Trigonométricas. sen x>a ou cos x > a ou x > a ou tg x que
sem x<a cos x < a <a recaem nas
anteriores.
Funções Função Arco Função arco- Função Arco-
Circulares Seno cosseno tangente.
Inversas.
Resolução de Triângulos Triângulos
triângulos. retângulos quaisquer.
(iii) Década de 80.
a) Introdução
O quarto livro que foi analisado, Matemática por Assunto 3, trigonometria, de
Fernando do Coltro Antunes da editora Scipione, tem na sua 2 a edição em seu conteúdo
exclusivamente trigonometria. Segundo o autor, na Apresentação, temos:
“A seqüência proposta para este volume de Trigonometria visa
tornar o assunto menos abstrato.
28

29. Iniciamos o estudo das razões trigonométricas mostrando como
foram formulados os conceitos de seno, cosseno e tangente a partir
de ângulos dos triângulos retângulos.
No segundo capítulo, os conceitos já estudados são entendidos
para ângulos entre 0o e 360o. Para tanto, abordamos inicialmente
arcos e ângulos de uma circunferência, apresentando a seguir a
circunferência trigonométrica.
Desenvolvemos então, em maior detalhe, o estudo das razões
trigonométricas na circunferência e das relações trigonométricas.
O capítulo é complementado com uma seção que trata de algumas
das aplicações dos conhecimentos trigonométricos na Geometria e
na Topografia. No terceiro capítulo retomamos a circunferência
trigonométrica, agora para estudos das funções trigonométricas,
bem como as funções trigonométricas inversas.”
Pelo depoimento do autor, observamos que o livro não possui mais vestígios da era
clássica do ensino da matemática, mas iremos agora a análise do conteúdo propriamente
para visualizamos melhor as características da década.
b) Análise
Por se tratar de um livro que traz somente o assunto da trigonometria, fica mais
difícil de relatar as possíveis mudanças ocorridas nessa década em comparação com os
outros, por não existirem outros assuntos que também auxiliam no embasamento teórico
que deixa notável para todas as novas e antigas características. Como exemplo, no livro de
BEZERRA (1962), os limites, derivadas e técnicas de encontrar as primitivas nos deixou
perceber que a época exigia conteúdos mais amplos para estudantes que naquele tempo se
29

30. formavam e iam continuar o estudo na Europa, e conseqüentemente a trigonometria seguiu
a tendência e era aplicada naquela forma abstrata e de difícil linguagem.
De qualquer forma, logo de início, ANTUNES (1987, pg. 7), se vê algo que não era
muito comum aparecer nos didáticos pesquisados anteriormente:
“A origem da palavra Trigonometria (do grego trígonon,
‘triângulo’, e metria, ‘medição’, nos indica que uma das
aplicações mais comuns dessa área da matemática consiste no
cálculo de medidas de triângulos. Entre os Egípcios e os
babilônios, povos que primeiro desenvolveram esse ramo de
estudo, os conhecimentos trigonométricos eram empregados
basicamente na determinação de distância, recorrendo-se, para
isso, à proporcionalidade entre os lados paralelos de dois
triângulos semelhantes.”
Esta demonstração histórica da utilização da trigonometria pode ser considerada um
avanço, apesar de que hoje só isso não basta, pois envolve de certa forma os alunos na
curiosidade e na percepção de que a matemática não surgiu do nada e para tudo nós
usamos.
Como foi feito anteriormente, colocaremos em forma de tabela os principais temas.
Na década de 70, em função do livro que esta sendo usado, será colocada três tabelas, por
se tratarem de muitos assuntos.
Capitulo 1 Trigonometria no Triangulo Retângulo.
Introdução ------------------------------- ------------------------------
Trigonometria no Triangulo Razões trigonométricas no Ângulos Notáveis.
Retângulo. triangulo retângulo.
Capítulos 2 Trigonometria na circunferência.
Introdução.
30

31. Arcos e Ângulos na Unidades de medida.
Circunferência.
Trigonometria na Seno e Cosseno, Cotangente, Secante, Extensão do
Circunferência. Tangente. Cossecante. Conceito de Arco.
Relações Trigono. na Relações Razões Trig. Da Arcos Dobro e Arco
Circunferência. Fundamentais. soma e diferença de metade.
dois arcos.
Resolução de
Triângulos
quaisquer.
Capítulo 3 Funções Trigonométricas.
Introdução.
Representação
dos Números
Reais na
Circunferência
Trigonométrica.
Funções A função Seno. A função A função Funções
Trigonométricas. Cosseno. Tangente. Cotangente,
Cossecante e
Secante.
Funções Arco-seno. Arco-cosseno Arco-tangente.
Trigonométricas
Inversas.
Novamente, em uma rápida comparação com o primeiro livro analisado, observou-
se que há notória diferença nos exercícios exigidos com relação principalmente no que diz
respeito aos tipos de escola que os exigiram. Parece óbvio, já que muitas das escolas já
comentadas nem existem mais, porém quando colocamos em foco a dificuldade de cada
31

32. questão, percebe-se mais uma vez que o que se exige hoje, após a publicação do livro do
G.E.E.M., é bem menos severo do que antigamente. Alguns exemplos de faculdades e
escolas são: FGV-SP, ITA-SP, AMAN-RJ, FUVEST-SP (os problemas não são datados).
Para concluir, na apresentação do livro (sem pág), aparece:
“Os nove volumes desta coleção tratam de assuntos básicos da
Matemática, usualmente desenvolvidos ao longo das três séries do
2o grau. Ao optar pela subdivisão dos assuntos de cada série,
consideramos a possibilidade de o professor compor um currículo
conveniente seus propósitos e aos de seus alunos.”
Isso, citado acima, é com certeza é um progresso significativo, levando em
consideração o fato de que poucas décadas atrás era tudo programado em um rígido
esquema, onde o professor seguia a risca o conteúdo e a forma, na hora que eles apareciam.
O docente tendo mais controle de sua aula pode ensinar mais e melhor.
(iv) Década de 90
(v) Década de 2000.
32

33. 3. ANÁLISE DAS PROPOSTAS CURRICULARES
a) A Matemática no Brasil: De 1900 a 1960
De acordo com PARANÁ (2007), no inicio do século XX, surgiram preocupações
relativas ao ensino da matemática, resultado de discussões realizadas em encontros
internacionais de Matemática, onde começaram a ser elaboradas propostas pedagógicas
para o ensino da matemática.
Com o advento da era industrial, e a mudança do cenário sócio-político-econômico,
em conjunto com as ciências modernas, fez surgir uma nova forma de produção de bens.
Agora os matemáticos até antes pesquisadores, tornaram-se também professores e
passaram a preocupar-se com as questões do ensino. Para isso os docentes, procuraram
33

34. fundamentações nas teorias matemáticas e nos estudos psicológicos, filosóficos e
sociológicos para produzirem um guia curricular para o ensino da matemática.
Surgiram então discussões sobre a Educação Matemática, que deveria orientar as
ações didáticas pedagógicas para o Ensino da Matemática.
As primeiras idéias foram obtidas nos congressos internacionais, entre 1900 e 1914,
vindas ao Brasil por intermédio do Imperial Colégio D. Pedro II. O ensino da Matemática
era divido em outras disciplinas, cujo programa garantiu o ensino de Aritmética,
Geometria, Álgebra e Matemática. A disciplina de Matemática incorporava a
Trigonometria e a Mecânica.
O professor Euclides de Medeiros Guimarães Roxo se destacou nas discussões do
Ensino de Matemática no Colégio D. Pedro II.
Felix Klein professor da Universidade de Erlangen, Leipzig e Göttingen, defendeu,
didática e pedagogicamente, que fazia sentido criar uma única disciplina que agregasse o
objeto de estudo abordado pela Matemática.
Assim com base nas discussões internacionais, Euclides Roxo solicitou ao Governo
Federal a junção das disciplinas aritmética, álgebra, geometria e trigonometria numa única,
denominada Matemática.
O início da modernização do ensino da Matemática no país aconteceu, segundo
PARANÁ (2007), num contexto de mudanças que promoviam a expansão da indústria
nacional, do desenvolvimento da agricultura, do aumento da população nos centros
urbanos e das idéias que agitavam o cenário político internacional, após a Primeira Guerra
Mundial.
As idéias reformadoras do ensino da Matemática estavam ligadas ao movimento da
Escola Nova, que propunha um ensino norteado por concepções empírico-ativistas, ao
valorizar os processos da aprendizagem e o envolvimento do estudante em atividades de
pesquisa, atividades lúdicas, resolução de problemas, jogos e experimentos.
Além de caracterizar a Matemática como disciplina, esta tendência orientou a
formulação da metodologia de ensino na Reforma.
34

35. Além de contribuir para a caracterização da Matemática como disciplina, esta
tendência do escolanovismo orientou a formulação da metodologia do ensino da
Matemática na Reforma Francisco Campos, em 1931.
A proposta básica da tendência escolanovista era o desenvolvimento da criatividade
e das potencialidades e interesses individuais. O estudante era considerado o centro do
processo e o professor, o orientador da aprendizagem. Outras tendências,
concomitantemente a empírico-ativista (escolanovista), influenciaram o ensino da
Matemática em nosso país. FIORENTINI (1995) destacou as seguintes tendências:
formalista clássica, formalista moderna, tecnicista, construtivista, sócio-etno-cultural,
histórico-crítica.
A tendência formalistica clássica permaneceu no ensino da Matemática no Brasil
até o fim da década de 1950. Esta tendência baseava-se no "modelo euclidiano e na
concepção platônica de Matemática", a qual se caracteriza pela sistematização lógica e pela
visão estática, a-histórica e dogmática do conhecimento matemático.
Nesta tendência, a aprendizagem era centrada no professor e no seu papel de
transmissor e expositor do conteúdo, pelos desenvolvimentos teóricos em sala de aula. O
ensino livresco e conteudista e a aprendizagem consistia na memorização e na repetição
precisa de raciocínios e procedimentos.
Após a década de 1950, a tendência formalista moderna que valorizava a lógica
estrutural da idéias matemáticas, foi então reformulando o currículo escolar, pelo
Movimento da Matemática Moderna.
O ensino era centrado no professor que demonstrava os conteúdos em sala de aula.
Enfatizava-se o uso preciso da linguagem Matemática, o rigor e as justificativas das
transformações algébricas por meio das propriedades estruturais.
Com o movimento da Matemática Moderna, acreditava-se que o rigor e a precisão
da linguagem matemática facilitariam o seu ensino.
35

36. Tal abordagem não respondeu às propostas de ensino, e, em contrapartida, as
críticas se intensificaram e as discussões no campo da Educação Matemática se
fortaleceram.
b) Década de 60: A proposta da Matemática Moderna
Em 1964, segundo PARANÁ (2007), foi instaurado o regime militar brasileiro,
trazendo a tendência pedagógica tecnicista. FIORENTINI (1995) afirmou que a escola, na
concepção tecnicista, tinha a função de manter e estabilizar o sistema de produção
capitalista, cujo objetivo era preparar o indivíduo para ser útil e servir ao sistema.
Até a década de 60, era focado essencialmente o domínio do conhecimento
específico, sendo que os de ordem pedagógica eram pouco valorizados. É marcado nesta
época, no ambiente escolar brasileiro, pelo movimento da matemática moderna.
Eram distinguidos dois tipos de livros didáticos editados que circulavam nos meios
escolares: os formalistas clássicos e os formalistas modernos.
Ambos têm em comum a concepção platônica de matemática e como fundamento
metodológico euclidiano.
Segundo BÚRIGO (2006), tanto formalismo clássico quanto o moderno têm em
comum a concepção platônica de matemática e como fundamento metodológico o modelo
euclidiano. Vale lembrar que a Matemática – concepção platônica – é entendida como
entidades que têm existência objetiva, independente da mente do matemático e do mundo
empírico. Se nos reportarmos à clássica antinomia filosófica entre objetivismo e
subjetivismo referente à natureza da Matemática para saber se o homem a descobre ou a
cria, a concepção platônica diz que ela não é inventada ou construída. Tem existência
absoluta, independente do pensamento. As idéias matemáticas existem em um mundo ideal
e estão adormecidas na mente do homem.
A análise do livro didático, no período determinado, toma como ponto de partida a
concepção formalista clássica de matemática como o conhecimento reprodutivo, uma das
36

37. categorias anteriormente mencionada. Tal afirmação pode ser ilustrada com a definição de
potenciação em dois livros didáticos que circularam nos meios escolares.
Os autores, no prefácio ou apresentação de seus livros, chamam a atenção dos
alunos e professores para a necessidade de se apoiar numa linguagem concisa como
condição para o rigor científico e o entendimento exato e preciso da lógica matemática de
cada conceito. A linguagem, o rigor e as justificativas dos procedimentos adotados pelas
propriedades das operações garantiriam as definições das estruturas matemáticas (ordem,
algébrica e topológica). Entretanto, essa preocupação passa a ser periférica, pois os autores
referidos não apresentam em seus livros um estudo sobres as estruturas algébricas. De
antemão, vale destacar que em nenhum dos livros adotados nas escolas estudadas na
presente pesquisa trata-se das referidas estruturas.
c) Proposta Curricular da década de 70
Segundo PARANÁ (2007), o desenvolvimento do caráter mecanicista e pragmático
do ensino da Matemática foi marcante no decorrer da década de 1970. O método de
aprendizagem enfatizado era a memorização de princípios e fórmulas, o desenvolvimento e
as habilidades de manipulação de algoritmos e expressões algébricas e de resolução de
problemas. A pedagogia tecnicista não se centrava no professor ou no estudante mas, sim,
nos objetivos instrucionais, nos recursos e nas técnicas de ensino. Os conteúdos eram
organizados por especialistas, muitas vezes em kits de ensino, e ficavam disponíveis em
livros didáticos, manuais, jogos pedagógicos e recursos audiovisuais.
Nos anos 1970, segundo DAMAZIO (2006), algumas obras mais adotadas foram de
Name, Zambuzzi e Ens, novos autores que não descartam nem o brilhantismo de seus
37

38. antecessores como também o formalismo matemático. Entretanto, fazem uma crítica sutil à
aridez como, até então, eram tratados os conteúdos e à finalidade implícita do ensino de
Matemática: desenvolvimento do espírito, da disciplina mental e do rigor lógico. A
preocupação é de traduzir a matemática para uma linguagem mais simples e concisa, com a
finalidade de se tornar acessível aos alunos. Também, há um esforço de fazer uma
aproximação mais estreita do formalismo moderno ao clássico.
Essa preocupação e tentativa de aproximação explicitam um elemento criativo
reprodutor dos novos livros: os aspectos didático-metodológicos, isto é, os conteúdos
matemáticos permanecem os mesmos, porém muda seu enfoque e sua forma de
apresentação. Os autores recorrem ao estudo dirigido como metodologia para “lecionar”
Matemática sem as tradicionais aulas expositivas que cansam os alunos e principalmente os
professores atarefados, segundo ZAMBUZZI (1973). A crença explicitada pelos autores é
que o estudo dirigido aumenta a capacidade de reflexão dos alunos, pois dá a oportunidade
de, por si mesmos, chegarem à conclusões e elaborar deduções das questões propostas.
Concorrem para a aprendizagem: a simplicidade da apresentação dos assuntos e os
exemplos dos exercícios tirados da própria vivência do aluno, isto é, o conhecimento de
domínio dos alunos aprendido anteriormente.
Segundo DAMAZIO (2006), o pressuposto de que o aluno teria a oportunidade de
concluir e generalizar, explicitado na apresentação dos livros, se restringe, no caso da
potenciação, à observação de duas multiplicações: uma de fatores diferentes e a outra de
fatores iguais. Da mesma forma, a pergunta - “O que você observou nas multiplicações
dadas?” - admite que ambas as alternativas sejam consideradas, o que de modo algum
levaria os alunos às conclusões e soluções próprias do conceito de potenciação, sem a
intervenção do professor. É ilusório que, ao sugerir apenas duas multiplicações seguidas de
uma pergunta, o aluno chegaria à definição de potenciação, pois são restritas as
possibilidades de estabelecer relações, de filtrar informações, de evidenciar aspectos
essenciais e de perceber regularidades, consideradas fundamentais no processo de
aprendizagem de qualquer noção matemática e de elaboração conceitual.
38

39. Um aspecto ainda a ressaltar é a fuga do referido autor da definição de potência
dada pela Matemática Moderna que outros livros didáticos, lançados nesse período e que
adotam a modalidade de estudo dirigida. Há autores que seguem as mesmas noções iniciais
dadas por ZAMBUZZI (1973), porém destacam a definição envolvendo a linguagem da
teoria dos conjuntos.
d) Proposta Curricular da década de 80
Embora estivessem em vigor às diretrizes gerais do currículo estabelecido pela Lei
5.692/71, iniciou-se um movimento no governo, a fim de revisar e reformular os guias
curriculares em vários estados. O poder público federal durante está época não tinha muito
poder sobre os guias curriculares dos estados.
Segundo SOUZA (2006), a reestruturação curricular no Estado de São Paulo
iniciou-se com a implantação, em 1983, do ciclo básico (Decreto 21.833, de 21.12.1983),
ponto de partida para a reorganização da escola pública de 1º grau.
Este decreto do ponto de vista político visava diminuir a seletividade escolar, para
cumprir metas do governo de São Paulo para a democratização do ensino, com essa
iniciativa, grandes transformações ocorreram na prática da alfabetização nas séries iniciais.
O segundo passo da reestruturação paulista foi à elaboração das propostas
curriculares para o ensino de 1º grau que ocorreu a partir de 1985. As versões preliminares
das propostas curriculares contemplaram as sugestões de novas abordagens teóricas e
metodológicas das diferentes áreas do conhecimento que eram produzidas ou divulgadas
nas principais universidades paulistas.
A maior parte das propostas curriculares foi construída entre 1986 e 1987 e
distribuídas à rede de ensino público a partir de 1988.
Ao iniciar a década de 1980, a CENP continuava a executar o projeto de elaboração
dos Subsídios para a implementação dos guias curriculares. Os subsídios foram construídos
com uma linguagem bem coloquial; apresentavam-se sob a forma de manuais para o
39

40. professor, como um “receituário” indicando a distribuição do conteúdo, do tempo, a
avaliação e até palavras que o professor deveria usar. A implantação do ciclo básico, a
partir de 1984, exigiu da Secretaria de Educação de São Paulo iniciativas de capacitação de
professores, uma vez que a proposta de ciclo significou não apenas uma reordenação da
organização pedagógica, união da 1ª e 2ª séries e dissertação, mas, essencialmente, uma
nova forma de trabalhar a aprendizagem da leitura e da escrita.
Segundo SOUZA (2006), no final da década de 1980, a Cenp passou a investir na
produção de outro tipo de material, com novas características em relação à composição
gráfica e configuração lingüística. O ideal da articulação teoria-prática, mencionado
insistentemente nos textos do início da década de 80, era viabilizado mediante nova forma
de elaboração e produção dos textos em que os conteúdos, mais simplificados, falavam ao
professor de uma prática fundamentada teoricamente, cuja teoria era, porém, mostrada
implicitamente. Outra mudança dizia respeito ao suporte material do texto (o livro)
trazendo maior número de ilustrações, com o intuito de tornar o material mais agradável ao
leitor.
A Matemática era vista como uma construção constituída por estruturas e relações
abstratas entre formas e grandezas. Por este motivo, o construtivismo dava mais ênfase ao
processo e menos ao produto do conhecimento. A interação entre os estudantes e o
professor era valorizada e o espaço de produção individual se traduzia como um momento
de interiorização das ações e reflexões realizadas coletivamente. A Psicologia era o núcleo
central da orientação pedagógica.
A tendência pedagógica socioetnocultural surgiu a partir da discussão sobre a
ineficiência do Movimento Modernista. Valorizou aspectos socioculturais da Educação
Matemática e tinha sua base teórica e prática na Etnomatemática.
O conhecimento matemático passou a ser visto como saber prático, relativo, não
universal e dinâmico, produzido histórico-culturalmente nas diferentes práticas sociais e
podia aparecer sistematizado ou não. A relação professor-estudante, nesta concepção, era a
40

41. dialógica, isto é, privilegiava a troca de conhecimentos entre ambos e atendia sempre à
iniciativa dos estudantes e problemas significativos no seu contexto cultural.
A tendência histórico-crítica, por sua vez, concebe a Matemática como um saber
vivo, dinâmico, construído historicamente para atender às necessidades sociais e teóricas.
Nesta tendência, a aprendizagem da Matemática não consiste apenas em
desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela
memorização ou listas de exercícios, mas criar estratégias que possibilitam ao aluno
atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de
estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar.
A ação do professor é articular o processo pedagógico, a visão de mundo do aluno,
suas opções diante da vida, da história e do cotidiano. O auge das discussões da tendência
histórico-crítica aconteceu num momento de abertura política no país, na década de 1980.
No final da década de 1980, a Cenp passou a investir na produção de outro tipo de
material, com novas características em relação à composição gráfica e configuração
lingüística. O ideal da articulação teoria-prática, mencionado insistentemente nos textos do
início da década de 80, era viabilizado mediante nova forma de elaboração e produção dos
textos em que os conteúdos, mais simplificados, falavam ao professor de uma prática
fundamentada teoricamente, cuja teoria era, porém, mostrada implicitamente. Outra
mudança dizia respeito ao suporte material do texto (o livro) trazendo maior número de
ilustrações, com o intuito de tornar o material mais agradável ao leitor.
e) Propostas Curriculares da década de 90
A aprovação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (N° 9.394, de 20
de dezembro de 1996 – LDBEN) introduziu novas interpretações sobre o ensino da
Matemática.
41

42. Desde a vigência de tal, as escolas trabalham com certa autonomia no seu projeto
político-pedagógico. Oferecendo aspectos curriculares tanto na oferta de disciplinas quanto
no elenco de conteúdos das disciplinas da Base Nacional Comum.
A partir de 1998, iniciou-se a distribuição dos Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) através do Ministério da Educação, ao qual a crítica contemporânea se concentra na
defesa da concepção neoliberal de homem, mundo e sociedade.
Quanto ao avanço nas pesquisas de Educação Matemática, pode-se dizer que os
PCN são as sínteses das tendências metodológicas na Educação Matemática e os
procedimentos de avaliação.
A crítica ao PCN de 1998 é pelo fato, da forte indicação do ensino de Matemática
voltada o para a aplicação no trabalho, minimizando o valor científico da disciplina.
Nos últimos anos acentuou-se, visivelmente, a atuação do governo federal no
âmbito das prescrições curriculares em todos os níveis de ensino que passou a assumir,
inclusive, competências que vinham sendo historicamente exercidas no âmbito dos
governos estaduais, tais como a produção de materiais de orientação curricular para o
ensino fundamental e médio.
No final da década de 1990, atenção da Secretaria da Educação voltou-se para a
compra de material didático (jogos e livros) e para a formação de professores mediante a
educação à distância, investindo na aquisição de antenas parabólicas e equipamentos
necessários a esse tipo de formação.
A promulgação da Lei Federal nº 9.394/96 - Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional e da Legislação Complementar trouxe a necessidade de reelaborarão dos
currículos dos cursos formais, desde a educação infantil até o nível universitário. Como
resultado pode-se observar que ocorreu uma aproximação aos princípios norteadores dos
currículos referidos, propiciando ainda uma socialização da terminologia específica e
melhoria da comunicação intra-grupal.
f) Proposta Curricular da primeira década de 2000.
42

43. Segundo PORTANOVA (2007), os grandes temas a serem trabalhados nas três
séries do ensino médio são: Geometria, Álgebra e Análise de Dados.
Inicialmente, fazemos uma análise de como esses temas são abordados nos
Parâmetros Curriculares Nacionais (1999) e nos chamados PCN+ (2002). A partir dos
tópicos apresentados nos referidos documentos, estabelecemos critérios para a elaboração
de uma proposta de abordagem dos referidos temas.
Para estabelecer esses critérios, relativamente à Geometria, promovemos um breve
estudo teórico sobre cada item que consideramos importante para ser trabalhado no ensino
médio: geometria euclidiana, geometrias não-euclidianas e dimensionalidade, localizando-
os na História da Matemática, a fim de verificar a sua importância para o desenvolvimento
de conhecimentos, habilidades e competências através do ensino de Matemática.
Analisando os PCN+, BRASIL (2002, p.111), relativos ao ensino médio,
considerado como etapa final da escolaridade básica, verifica-se que:
“[...] a Matemática deve ser compreendida como uma parcela do
conhecimento humano essencial para a formação de todos os
jovens, que contribui para a construção de uma visão de mundo,
para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades
que deles serão exigidas ao longo de sua vida social e
profissional”.
Inserir diferentes geometrias nos currículos é, antes de tudo, trabalhar com estilos
de raciocínios que desenvolvem variadas formas de pensar, o que dá mobilidade ao
pensamento do homem, qualidade essencial para o sujeito do século XXI.
Segundo PORTNOVA (2007), a Álgebra pode-se entender como a generalização da
aritmética. Pode-se, ainda, encará-la como um meio eficaz na resolução de problemas. No
entanto, é no desenvolvimento e análise de relações e na compreensão das estruturas
matemáticas que a álgebra assume, hoje, um papel de destaque no estudo das matemáticas,
nos diferentes graus de ensino, em especial, no ensino médio. Isso fica mais evidente, se
43

44. considerarmos que a sociedade de hoje e, principalmente a do futuro onde viverão nossos
alunos, passa por um período de intensa matematização. É necessário que a álgebra seja
compreendida de forma ampla, pois fornece recursos para analisar e descrever relações em
vários contextos, matemáticos e não matemáticos. Pretendemos destacar a importância de
uma metodologia de ensino da álgebra que permita ao aluno construir significados, lidando
com diferentes contextualizações.
Também consideramos que a abordagem no contexto geométrico para questões
algébricas possibilita expressivamente que se estabeleçam conexões em vários tópicos da
Matemática, não por desconsiderarmos a importância de outras significações, inclusive
não-matemáticas, pois é possível lermos e interpretarmos argumentos matemáticos
valendo-nos do raciocínio geométrico.
A Álgebra, no ensino médio, segundo os PCN+, é um dos eixos estruturadores do
ensino da Matemática, sendo desenvolvida concomitantemente com a Geometria e a
Análise de Dados.
A Análise de Dados foi dividida em três grandes temas: Combinatória, Estatística e
Probabilidade. Analisamos através de um estudo das Orientações Educacionais
Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCN+), a
forma como esses assuntos são abordados, se são viáveis e se têm condições de serem
aplicados nas escolas. Buscamos, ainda, descrever a melhor maneira para o
desenvolvimento desses temas, tendo um olhar especial para tecnologias como a
calculadora e o computador, buscando qual a melhor forma pela qual elas podem ser
inseridas na sala de aula para contribuírem com o seu desenvolvimento. O contexto
histórico, a estrutura e a forma dada a cada um dos temas é o ponto de partida para
entendê-los e, também, uma forma de verificar o que eles têm para contribuir com o
desenvolvimento do pensamento matemático e do raciocínio lógico trabalhado nas escolas.
Não conseguimos vislumbrar nenhuma desvantagem em abordar no Ensino Médio,
o ensino da Estatística e da Probabilidade, pois nossa preocupação é com a formação de
alunos críticos, reflexivos e capazes de avaliar a consistência das informações que recebem
44

45. tanto na escola como na sociedade, através da mídia e, para isso, o tema Análise de Dados
é um conteúdo formador valioso.
Conclui-se que abordando os referidos temas, de uma forma integrada e
contextualizada, nas três séries do ensino médio, os alunos poderão completar a educação
básica, tendo desenvolvido as competências esperadas para um cidadão capaz de viver
neste novo século.
4. ANÁLISE METODOLÓGICA DO ENSINO DE
TRIGONOMETRIA
a) Metodologia de História da Matemática
Antes de começar a análise metodológica, nos vem uma questão em mente: como as
informações geradas pela história da matemática podem ser utilizadas no ensino de
matemática?
Mendes nos diz que a investigação em história da matemática atualmente pode ser
considerada uma alternativa metodológica para o ensino de matemática escolar e baseia-se
em pressupostos que defendem o uso dessas informações através de atividades de
45

46. aprendizagem para o aluno. Assim, podemos buscar na história fatos, descobertas e
revoluções que nos mostrem a criatividade do homem quando se dispõe a elaborar e
disseminar a ciência matemática no seu meio sócio-cultural.
Mendes ainda diz que o aluno tem mais condições de construir a matemática como
um conjunto de idéias que são não somente inter-relacionadas, mas também relacionadas a
outros aspectos da conjuntura que as deu origem. Assim, será facilitada tanto a sua
compreensão da própria matemática quanto as suas aplicações.
De acordo com um estudo realizado por MENDES & FOSSA (1996), citado por
MENDES, procurando verificar as concepções, atitudes e experiências dos professores de
Matemática com relação ao uso da história em sala de aula, pode ser detectada que os
professores investigados apontam para a necessidade de um aprofundamento acerca do
conteúdo histórico de alguns tópicos matemáticos como a trigonometria, justificando ser
possível e necessária a utilização do mesmo durante as suas atividades de ensino. Desse
modo buscamos desenvolver um estudo que procurasse apresentar a eles um
aprofundamento teórico acerca do conteúdo histórico de trigonometria para que se torne
possível utilizá-lo como alternativa de aprendizagem de conceitos trigonométricos básicos
no ensino secundário.
Bem, agora falando um pouco sobre as relações metodológicas na história do
ensino de matemática, podemos dizer que a busca de estabelecer possíveis relações
metodológicas entre a história da matemática e o ensino desta disciplina, tem se
apresentado cada vez mais presente em vários estudos realizados atualmente por um
número cada vez crescente de educadores matemáticos.
Segundo MENDES, com relação ao uso da história como recurso de ensino de
matemática, há na literatura referente a esse tema, um estudo exaustivo, realizado por
MIGUEL (1993), ele caracteriza diversas fontes de utilização na história da matemática,
dentre as quais destacamos a de motivação da aprendizagem, a de seleção de objetivos de
ensino, a de recreação através de atividades lúdicas e heurísticas, a de desmistificação, para
mostrar a matemática acessível às atividades educativas do homem; a de formalização de
46

47. conceitos, a de dialética, a de unificação de vários campos da matemática, a de
conscientização epistemológica e de significação, a de cultura e a de epistemologia. Além
disso, seu trabalho culmina com a apresentação de um estudo histórico-pedagógico-
temático voltado para o ensino-aprendizagem dos números irracionais, material este
bastante útil para o trabalho dos professores que atuam no ensino secundário.
O ensino de matemática baseado em atividades pressupõe a aprendizagem como
uma construção constante das noções matemáticas a partir da experimentação, discussão
posterior dos resultados obtidos e elaboração final dos conceitos em construção. Cabe,
porém, ao professor preocupar-se com a elaboração das atividades e com as orientações
dadas aos estudantes durante a realização das mesmas, pois isso poderá ser decisivo no
processo de aprendizagem. Essa abordagem de ensino prevê a experiência direta do
aprendiz, com situações reais vivenciadas onde a abordagem instrucional é centrada no
aluno e em seus interesses espontâneos.
Assim, MENDES encerra, dizendo que para que se efetive um ensino-
aprendizagem significativo, é proposto uso da história através de atividades centradas na
aprendizagem por descoberta, pois o material histórico servirá de referencial para a
elaboração e testagem das atividades de ensino de trigonometria. Essa forma de abordagem
de ensino pressupõe uma colaboração mútua entre professor e alunos durante o ato de
construção do saber, pois a característica essencial desse modo de encaminhar as atividades
de ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos estão por ser (re)descobertos
pelo próprio aluno durante o processo de busca que é conduzido pelo professor até que ele
seja incorporado à estrutura cognitiva do aprendiz. Além disso, esse modo de atividade
conduz o aprendiz através de experiências semelhantes às etapas vivenciadas pelos
matemáticos do passado e por isso o material histórico torna-se imprescindível para o
desenvolvimento desse tipo de ação docente.
Uma atividade que pode ser sugerida diz respeito à medição de altura de objetos
sem a utilização de sombras, cujos objetivos são; relacionar ângulos e lados de dois ou
47

48. mais triângulos retângulos semelhante, visando determinar a razão entre os lados desses
triângulos através dos processos de medição desses objetos.
Essa atividade suscita fatos históricos ligados às experiências de Tales e ao conhecimento
sobre a construção de tábuas trigonométricas realizadas na antigüidade, através da
determinação da tangente de um ângulo agudo.
b) Uma proposta alternativa para o ensino e aprendizagem de trigonometria
(i) Principais aspectos da teoria de David Ausubel
Segundo BRIGUENTI (1998), Ausubel define aprendizagem como organização e
integração do novo conhecimento com conceitos já existentes na estrutura cognitiva do
aprendiz e a estrutura cognitiva é entendida como um corpo de conhecimento estabelecido,
organizado e adquirido de forma cumulativa, e sempre ancorado em conhecimentos já
existentes, a qual é chamada de aprendizagem significativa.
48

49. A aprendizagem significa é ponto alto da teoria de Ausubel, pois para ele esse tipo
de aprendizagem só ocorre se, alem de se ter proporcionado ao aluno a conexão entre o eu
ele já sabe e o novo conhecimento, o conteúdo lhe for significativo, originando uma
curiosidade em aprender.
Também temos o conceito de diferenciação progressiva, que é o de se oferecer aos
alunos as idéias mais gerais em primeiro lugar, para depois detalhá-las. Já outro conceito
defendido por Ausubel para facilitar a aprendizagem do conteúdo é o conceito de
reconciliação integrativa que envolve uma aprendizagem superordenada ou combinatória,
pois engloba varias ideais, integrando o novo conhecimento aos outros já existentes.
(ii) A nova proposta
BRIGUENTI (1998) diz que as praticas de ensino vem sendo realizadas em nossas
escolas na concepção segundo a qual se acredita ser suficiente apresentar aos alunos os
conceitos já sistematizados.
Nessa concepção, os alunos são meros espectadores e o professor como aquele
indicado para apresentar as definições e regras já sistematizadas. Assim, segundo
BRIGUENTI (1998), não é dada ao aluno a oportunidade de ser co-produtor do seu
conhecimento.
Dessa forma podemos considerar que o aluno deve participar da construção do
conhecimento, ou seja, que a aquisição do saber historicamente acumulado adquirido na
escola só se dá quando o aluno é objeto e também sujeito da educação, o que nos leva a
considerar a sala de aula um espaço importante para a formação do aluno.
Ao elaborar atividades de ensino de trigonometria diferenciadas, BRIGUENTI
(1998), apoiou-se no conceito de aprendizagem significativa de AUSUBEL (1968), onde
estas forneçam momentos através de reflexões e de discussões das idéias pertinentes ao
problema proposto, do desenvolvimento da criatividade e do pensamento hipotético ao
elaborar hipóteses na tentativa de encontrar a solução do problema, e ainda promover a
49

50. interação social entre os alunos e o bom relacionamento entre professor e alunos. Então, as
atividades oferecem modos de ações para ajudar o aluno a construir os conceitos estudos,
possibilitando a aprendizagem significativa dos conceitos, favorecendo e estimulando o
pensamento reflexivo.
Durante o desenvolvimento da atividade, segundo BRIGUENTI (1998), procura-se
estabelecer conceitos relevantes e inclusivos que o aluno já possui, apoiando-se na
estrutura cognitiva do aluno.
Então, a dinâmica utilizada influi nos aspectos afetivos e lúdicos, considerando que
a maneira de trabalhar motiva fortemente o aluno ao possibilitar que este manipule
materiais concretos.
Bem, agora vamos passar à idéia da hierarquização dos conceitos, onde em
matemática alguns conceitos relevantes, pois serve de ancora desde os primeiros contatos
com o assunto, o que é o caso de semelhança de triângulos, segundo BRIGUENTI (1998).
Aqui podemos chegar à conclusão que os livros didáticos apresentam os conteúdos
em trigonometria numa ordem que não proporciona hierarquização dos conceitos e nem
aprendizagem significativa.
Outro fator importante a ser considerado são as condições para a aprendizagem
significativa, ou seja, que segundo AUSUBEL (1968), o conteúdo a ser aprendido deve ser
significativo para o aluno, originando as condições que desperte no aluno a curiosidade e
uma pré-disposição para aprender.
Assim, BRIGUENTI (1998), diz que antes de iniciar-se a apresentação de um novo
conceito na aula de matemática, o professor deveria utilizar-se de filmes envolvendo os
conceitos a ser iniciado, o que pode motivar os alunos para a aquisição de novo
conhecimento.
A seguir um mapa conceitual, mostrando relações entre ensino de trigonometria
tradicional e a nova proposta de ensino diferenciada:
ENSINO DE TRIGONOMETRIA
50

51. LIVROS DIDÁTICOS
DEFINIÇÕES E FÓRMULAS
PROPOSTA SUGERIDA:
POSSIBILITA AÇÕES METODOLÓGICAS DIFERENCIADAS POR MATERIAL
CONCRETO.
NOVO CONHECIMENTO ANCORADO EM CONCEITOS BÁSICOS E
RELEVANTES.
O ALUNO TRABALHARÁ APENAS NA 1a VOLTA, COM OS
VALORES DOS PRIMEIROS ARCOS EM TODOS OS QUADRANTES.
ALUNOS CONSTROEM CONCEITOS DAS RAZÕES
TRIGONOMÉTRICAS NO TRIANGULO RETÂNGULO, POR AÇÕES
CONCRETAS.
GENERALIZANDO OS PRINCIPAIS CONCEITOS
TRIGONOMÉTRICOS, PODE-SE APRESENTAR FUNÇÕES
TRIGONOMETRICAS UTILIZANDO –SE PROGRAS
COMPUTACIONAIS.
51

52. (iii) Aprendizagem receptiva x aprendizagem por descoberta
Segundo BRIGUENTI (1998), a grande preocupação de Ausubel era que a
aprendizagem do novo conhecimento esteja relacionada com os conceitos estabelecidos na
estrutura cognitiva do aluno, portanto que esta aprendizagem seja feita através da
descoberta do conceito. Para ele a aprendizagem significativa de um conceito pode se der
através de uma aula expositiva, pois a principal condição para acontecer à aprendizagem
não está na descoberta das propriedades de um conceito, mas na interação entre o novo
conceito e os já conhecidos pelos alunos.
Segue um mapa conceitual das aprendizagens:
PROPOSTA SUGERIDA
APRENDIZAGENS DOS ALUNOS
MANIPULAÇÃO DE
RETOMADA DOS DESENVOLVIMENTO
MATERIAIS
CONCEITOS DO RACIOCÍNIO
CONCRETOS
52

53. INDÍCIOS DE DESENV. DE
APRENDIZAGEM AUTONOMIA
SIGNIFICATIVA DOS
CONCEITOS
(iv) Relação entre teoria de Ausubel e atividades
Neste item, segundo BRIGUENTI (1998), vamos apresentar o relacionamento entre
as ações propostas nas atividades com a teoria de AUSUBEL (1968).
Antes de entrarmos nas atividades, vale ressaltar BRIGUENTI (1998), que não se
trata de oferecer aos professores de Matemática “fórmulas mágicas” ou “receitas” para o
desenvolvimento dos conceitos trigonométricos, com a intenção de substituir os livros
didáticos, mas sim de sugerir ações que poderão ajudar o aluno na construção dos
conceitos trigonométricos.
Segue abaixo a analise das dezesseis atividades, retirados de BRIGUENTI (1998).
ATIVIDADE I: MEDINDO ALTURAS
Esta atividade envolve dois conceitos relevantes – semelhança de triângulos e
proporcionalidade – que tem por objetivo que os alunos determinem alturas de árvores, de
pilares, etc., utilizando-se de dois procedimentos diferentes.
Como já citado anteriormente, recomenda-se que o professor deveria recorrer a
fatos históricos que se relacionam com os conceitos matemáticos abordados nessa
atividade (semelhança de triângulos).
Apoiado e um conceito fundamental – medida - acabam esclarecendo para os
alunos como foi que Thales de Mileto determinou a altura da pirâmide mais alta do mundo,
Queops, sem escalá-la. Aqui, para reforçar o desenvolvimento da atividade, poderá ser
exibido o filme “Teorema de Thales de Mileto”, da TV Escola, produzido pela
Coordenadoria de Ensino e Normas Pedagógicas (CENP), encontrado nas Delegacias de
Ensino que retrata Thales de Mileto (600 a.C.) determinou a altura dessa pirâmide.
53

54. Com a intenção de verificar se os conceitos de semelhança de triângulos e
proporcionalidade estão presentes na estrutura cognitiva do aluno é propostas atividades
extraclasse presente no ANEXO DE I de BRIGUENTI (1998).
Assim, é importante mostrar que a matemática não surgiu como é apresentada hoje,
mas foi fruto de um aperfeiçoamento e amadurecimento de idéias.
Para encerrar, são propostos alguns exercícios, pois para Ausubel a repetição
também é importante.
ATIVIDADE II: RAZÔES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIANGULO
RETÂNGULO
Essa atividade tem dois objetivos: primeiro que o aluno deverá concluir que a razão
entre dois lados quaisquer de um triângulo é a mesma tomando-se os lados homólogos nos
triângulos semelhantes a ele e elaborar o conceito de razões trigonométricas.
Aqui o aluno deverá perceber que a razão entre as medidas de dois lados quaisquer
de um lado de um triangulo é a mesma quando se faz a razão entre lados homólogos de
outro triângulo semelhante, e assim ele estará construindo o conceito de razões
trigonométricas nos no triângulo retângulo, sem que o professor tenha iniciado este assunto
pela apresentação das fórmulas já sistematizadas. Então, dessa forma, o aluno terá a
oportunidade de realizar uma aprendizagem por descoberta significativa dos conceitos de
razões trigonométricas nos triângulos retângulos, pois estes foram ancorados em conceitos
anteriormente estudados – semelhança e proporcionalidade – que, por sua vez, serão pontos
de apoio para outros conceitos trigonométricos que deverão ser estudados.
54

55. Ao deixar os alunos a manipular material concreto (triângulos recortados em papel
dobradura), eles terão oportunidade de vivenciar o desenvolvimento da atividade, sob
auxilio do professor.
Na 2ª parte desta atividade, deve possibilitar ao aluno rever a nomenclatura para os
lados dos triângulos retângulos.
Na 3ª parte dessa atividade, devem possibilitar o fortalecimento e a assimilação dos
conceitos estudos através da resolução de exercícios, e só após todas estas etapas que o
professor poderá apresentar aos alunos os nomes de cada razão trigonométrica,
sistematizados através de formulas.
ATIVIDADE III: APLICAÇÕES DAS RAZÕES TRIGOMÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Esta atividade tem por objetivo a resolução de exercícios e problemas gerais, de
modo que os alunos, inseridos em situações-problema, tenham de interpretar os enunciados
e esquematizar a situação descrita.
Aqui seria conveniente que o professor explorasse situações próximas às das vidas
dos alunos, o que farão com eles resolvessem problemas do dia-a-dia.
Na 1ª parte da atividade propõem-se exercícios que exijam para sua resolução
esquemas gráficos.
Na 2ª parte os exercícios exigem soluções mais analíticas, embora seja necessária a
ajuda de esquemas gráficos para facilitar a representação da situação. Então, tanto na 1ª ou
na 2ª parte, o principio da reconciliação integrativa estará sendo utilizado, pois vários
conceitos terão sua parcela de contribuição na resolução dos exercícios ali propostos.
55

56. Seguindo, antes da 3ª parte da atividade, que abrange todos os conceitos estudados
até aqui, é interessante que o professor faça algumas considerações importantes sobre os
mesmos, supondo que o triângulo retângulo considerado tenha hipotenusa unitária. Tais
considerações serão ancoras para o comportamento das razões trigonométricas no ciclo
trigonométrico e possibilitarão aumentar o nível de discriminalidade dos conceitos até aqui
desenvolvidos.
Assim, com este procedimento, segundo AUSUBEL (1968), estaria utilizando os
princípios de diferenciação progressiva e de reconciliação integrativa, pois o conceito de
razões trigonométricas no triangulo retângulo estaria sendo ampliado para uma
determinada especificidade e este fato, relacionado com outros conceitos já conhecidos
pelos alunos, influenciariam na compreensão de algumas formulas, o que levaria a uma
integração vertical e horizontal entre os conceitos, facilitando a aprendizagem significativa.
ATIVIDADE IV: SISTEMATIZAÇÃO DOS CALCULOS DAS RAZÕES SENO
E COSSENO DE UM ÂNGULO AGUDO
O objetivo desta atividade é que o aluno determine os calores de sen α e cos α,
quando α varia de 10° em 10° (até 180°) e estabeleça a tendência dos números
trigonométricos para α tendendo a 0° e a 90°.
Ela oferece oportunidades para os alunos, por meio de ações concretas como
construir triângulos retângulos conforme as especificidades dadas, medir os seus lados e
comparar os resultados, possam refletir sobre o comportamento das razões trigonométricas
sen α e cos α.
Assim sendo, além dos alunos utilizarem conceitos âncoras - razões trigonométricas
no triângulo retângulo – o fato de construírem os vários triângulos com a medida da
hipotenusa constante, possibilita fazer analogias com o que foi estudado anteriormente.
Desta forma, os alunos terão seus primeiros contatos com os comportamentos das funções
trigonométricas.
56

57. Após, os alunos devem calcular os valores dos senos e cossenos dos ângulos, e
observando o comportamento assumido pelos valores. Então, para provocar mais
discussões, o professor deverá perguntar o que aconteceria se α estivesse variando de 5° em
5° ou de 1° em 1°. Depois o professor pode apresentar uma transparência para visualizarem
o que acontece com valores das razoes trigonométricas dos triângulos retângulos que estão
sendo modificados.
Assim, podemos dizer que o citado acima é mais um exemplo de aprendizagem
significativa, pois se chegou à definição de ciclo trigonométrico, através da utilização de
conceitos já concebidos.
ATIVIDADE V: SISTEMATIZAÇÃO DA TANGENTE
Antes de começar a atividade, o professor deverá comentar que a tangente além de
ser obtida por fórmula, também pode ser representada graficamente.
Procedendo dessa forma, novamente os conceitos de semelhança e
proporcionalidade estarão sendo utilizados para definir a tangente como medida de
segmento, proporcionado a aprendizagem significativa do conceito.
Para fortalecer as idéias apresentadas, propõe-se que os alunos determinem os
valores ta tg α, para α variando de 10° em 10°, até 80°, e estabeleçam os valores da
tangente do arco muito próximo de de0° e 90°. Assim, os alunos visualizam o rápido
crescimento dos valores das tangentes e que tg 90° não existe.
Esta maneira de proceder motiva os alunos, porque alem de trabalhar de maneira
diferenciada do que normalmente se tem feito, também constatam que houve aprendizagem
do que foi estudado, tendo em vista, sempre que possível esses conceitos são retomados e
utilizados.
57

58. ATIVIDADE VI: TRABALHANDO COM ÂNGULOS MAIORES QUE 90°
É importante comentar a rudimentaridade e a impressão e a imprecisão do processo
realizado até aqui e que, até o presente momento, foram trabalhados apenas com os ângulos
agudos do triangulo retângulo. Devido à necessidade de se utilizar cálculos trigonométricos
mais complexos, por exemplo, ampliam-se os conceitos estudados para arcos maiores que
90°.
Para iniciar o trabalho com arcos contidos na primeira volta do ciclo trigonométrico
é conveniente que os alunos conheçam e trabalhem com as duas unidades de arcos mais
utilizadas: graus e radianos deverão saber localizá-los no ciclo trigonométrico e converte-
los de uma unidade para outra.
Na 1ª parte desta atividade, a partir da razão entre a medida do comprimento de um
arco e a medida do raio da circunferência que o contém, os alunos descobrem que os
valores das razões são sempre iguais a uma mesma constante e encontram a medida do
ângulo central.
Essa constante obtida quantas vezes a medida do raio “cabe” na medida do arco,
chegando assim a formula para determinar a medida do ângulo central e iniciando o
trabalho com radianos.
Na 2ª parte da atividade, trabalha-se a correspondência existente entre o ângulo
central da meia volta e o numero irracional π, determinando todas as correspondências
entre a medida do ângulo central e os números irracionais.
Para finalizar, a 3ª parte contém exercícios que aplicam e reforçam os conceitos
aprendidos.
Como vemos esta atividade não está ancorada nos conceitos de semelhança e
proporcionalidade, mas são construídos a partir de idéias relevantes particulares anteriores,
menos inclusivas, mas já conhecidas pelos alunos.
58

59. Uma motivação é que os alunos conseguem estabelecer relações com aprendizagens
anteriores.
ATIVIDADE VII: ARCOS TRIGONOMÉTRICOS
Esta atividade é praticamente a extensão da anterior, coloca os alunos em contato
com arcos de mais de uma volta ou arcos negativos. Pretende-se com ela que o aluno
localize no ciclo trigonométrico qualquer arco representado pela sua expressão geral,
escrito em radianos ou em graus. Assim, o aluno terá os primeiros contatos com os arcos
trigonométricos que poderão ser, alem daqueles já estudados, arcos maiores que 360° ou
menores que 0° (arcos negativos).
O professor deverá comentar que um ponto do ciclo trigonométrico poderá ser
representado por infinitos arcos com a mesma posição na circunferência, mas com medidas
diferentes, e que a localização dependerá do sentido escolhido para percorrer o arco.
ATIVIDADE VIII: VALORES DO SENO E COSSENO PARA ARCOS DO 2°
QUADRANTE
Antes de começar a atividade, vale ressaltar que as atividades VIII, IX e X têm
como conceitos fundamentais: simetria e congruência entre triângulos, ou seja, caso o
professor verifique falhas conceituais é conveniente que ele tente saná-las antes de
desenvolver esta atividade.
Nesta etapa da proposta, objetiva-se ampliar os conceitos estudados anteriormente,
para os principais arcos contidos na primeira volta do ciclo trigonométrico. Então,
utilizando-se dos conceitos de simetria e congruência entre os triângulos existentes, é
possível determinar os valores das razoes trigonométricas de arcos da primeira volta do
59

60. ciclo trigonométrico, comparando com valores já conhecidos dessas razões do 1°
quadrante, onde as razões trigonométricas já estudadas serão retomadas.
Para introduzir os valores do seno e do cosseno de arcos do 2° quadrante, o
professor deverá desenhar na lousa um ciclo trigonométrico e arco de medida β. Assim,
usando simetria, o professor deve chegar geometricamente à conclusão que os arcos são
congruentes. Então da congruência citada, deve chegar-se a conclusão que α + β = 180°,
assim torna-se um momento propicio para se nomear estes ângulos como suplementares,
pois a soma de suas medidas é 180°.
Apesar de a atividade ser expositiva, segundo AUSUBEL (1968), é possível
acontecer uma aprendizagem significativa, pois os conceitos utilizados não foram
apresentados de forma isolada e desconexa de outros.
ATIVIDADE IX: VALORES DO SENO E COSSENO PARA ARCOS DO 3° E 4°
QUADRANTES
Esta atividade tem por meta que os alunos determinam os valores do seno e do
cosseno dos principais arcos do 3° e 4° quadrantes e que estabeleçam a relação existente
entre os senos e cossenos de arcos explementares, (β – α = 180°) e replementares (α + β =
360°).
Antes de começar a atividade, o professor deve fazer observações envolvendo os
conceitos de simetria e de congruência entre triângulos, sempre fazendo relações com os
conhecimentos já assumidos pelos alunos.
O professor deverá traçar um circulo e marcar um arco β, de extremidade no 3°
quadrante. Também deverá fixar um ponto e marcar um arco simétrico no 1° quadrante, e
concluindo que os triângulos retângulos formados são congruentes, porém algebricamente
opostos. Daí fica fácil visualizar que β – α = 180° ou que β = 180° - α.
Conclusão análoga deverá ser feita ao termino da 2ª parte.
60

61. Para encerrar, são passados exercícios, mas vale ressaltar que a hierarquia dos
conceitos prepara o desenvolvimento das próximas atividades.
ATIVIDADE X: VALORES DA TANGENTE PARA ARCOS DO 2°, 3° e 4°
QUADRANTES
Esta atividade, utilizando-se dos mesmos procedimentos realizados nas atividades
recém-desenvolvidas, amplia o estudo da tg α, para os outros quadrantes, anteriormente
feitos pra o 1° quadrante. Para isso, será considerado um arco com a extremidade no 2°
quadrante.
É conveniente relembrar que a tangente de α pode ser determinada pela relação
entre seno e cosseno.
Com a intenção de relembrar o conceito de tg α para os arcos do 2° quadrante, é
importante que o professor trace no quadro um ciclo trigonométrico, e deverá mostrar a
simetria e congruência entre os dois triângulos formados pelo 1° e 2° quadrantes.
As ações sugeridas para esta atividade, não abrangem somente a descoberta dos
valores da tangente para os arcos do 2° quadrante, mas também possibilitam, ainda na 1ª
parte, que trabalhem com arcos do 3° e 4° quadrantes.
61

62. Aqui a aprendizagem significativa é realizada através de estudos anteriores, quando
o aluno observou o comportamento do seno e cosseno dos arcos do 3° e 4° quadrantes, o
que fez com que os alunos visualizassem o comportamento da tangente para arcos do 3° e
4° quadrantes.
ATIVIDADE XI: REDUÇÃO DE ARCOS AO PRIMEIRO QUADRANTE
Antes do inicio desta atividade, o professor deverá explicar a utilização de se
reduzir arcos ao 1° quadrante. Para isso, deve-se comentar que, embora as tabelas
trigonométricas nos livros didáticos tragam valores das razoes trigonométricas somente dos
arcos que estão no intervalo de 0° a 90°, é possível determinar esses valores de arcos
maiores que 90°, ou menos de 0° fazendo uso da mesma tabela trigonométrica, medindo a
redução do arco considerado ao 1° quadrante.
O objetivo aqui é relacionar o valor de seno, do cosseno e da tangente de um arco
qualquer, com o valor destes no 1° quadrante. Ao desenvolver o 1° item desta atividade, o
aluno terá de utilizar o conceito de simetria para transportar a extremidade do arco do 2°
quadrante para o 1°, determinando o novo arco do 1° quadrante que lhe permitirá
determinar os valores trigonométricos doa arco do 2° quadrante procurado.
62

63. Aqui é importante os alunos utilizarem esquemas gráficos no ciclo trigonométrico,
pois este procedimento traz vantagens para resolver exercícios, facilitando a escolha do
sinal a ser adotado.
Todos esses procedimentos, o retorno constante aos conceitos estudados
anteriormente, indicam que a aprendizagem aqui realizada é do tipo superordenada, pois
abrange vários conceitos relevantes ao mesmo tempo, sem os quais, não seria possível a
concretização de uma aprendizagem significativa.
Também vale enfatizar que esta habilidade é muito importante para o
desenvolvimento de conceitos trabalhados anteriormente, dele depende muito outros já
estudados e muitos outros dependerão.
ATIVIDADE XII: OUTRAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Esta atividade apresenta novas razões trigonométricas: a cotangente, a secante e a
cossecante e determina seus valores trigonométricos para os principais arcos do ciclo.
Dependendo do grau de desenvolvimento dos alunos e do aprofundamento que se
pretende dar a este estudo, o professor poderá mostrar o comportamento e a variação destas
novas razões nos seus respectivos eixos do ciclo trigonométricos ou apenas relacioná-las
com as outras já estudadas, através da divisão entre a medida dos lados dos triângulos
semelhantes, para chegarem às fórmulas dessas novas razões trigonométricas.
Embora, o conceito mais abrangente e relevante continue sendo o de semelhança
entre triângulos, o professor pode apresentar as novas razões trigonométricas utilizando-se
da representação geométrica.
63

64. Entendendo que para realizar a aprendizagem significativa desses conceitos, seria
conveniente trabalhar com os aspectos geométricos, para depois chegar aos algébricos.
Para resolver os exercícios sugeridos, foram utilizados os dois princípios propostos
por Ausubel – diferenciação progressiva e reconciliação integrativa. O primeiro porque
idéias gerais precedem os conceitos mais específicos e o segundo porque foram
estabelecidas comparações entre o novo conhecimento e o já estabelecido. Aqui pode
acontecer uma aprendizagem superordenada, pois para o aluno determinar a sec 120°, ele
teve de aplicar muitas outras idéias relevantes, particulares e menos inclusivas.
ATIVIDADE XIII: EQAUÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Até aqui, conhecendo-se a medida de um ângulo era possível determinar o valor de
uma razão trigonométrica ou a medida de um lado do triangulo retângulo. Agora, com esta
atividade, pretende-se fazer o caminho inverso, ou seja, determinar a medida de um ângulo
que satisfaça uma igualdade trigonométrica composta.
Pretende-se com esta atividade que os alunos saibam resolver equações
trigonométricas e, para isso, o aluno deverá saber que uma equação trigonométrica é
determinar todos os possíveis valores de x, que satisfaçam a igualdade proposta. Para
garantir a aprendizagem significativa de um novo conhecimento desenvolvido nesta
atividade, caso o professor detecte dificuldades referentes à “equação”, será conveniente
que este conceito seja retomado.
64

65. Para o aluno resolver uma equação trigonométrica, deverá primeiro reconhecer que
se trata de uma equação e saber trabalhar com os procedimentos algébricos exigidos para
reduzir a equação numa igualdade representada de um lado, por uma razão trigonométrica
e do outro lado, por uma igualdade numérica. Somente depois disso, o aluno terá condições
de determinar os valores de x que satisfação aquela igualdade para resolver a equação
inicialmente proposta.
Com estes procedimentos, apesar do professor realizar uma aula expositiva e os
alunos ouvirem passivamente os exemplos dos vários tipos de equações, pode ter
acontecido uma aprendizagem significativa superordenada, pois além do novo conceito se
apoiar na estrutura cognitiva existente, o mesmo abrange vários outros conceitos relevantes
menos inclusivos, como os conceitos de equação.
ATIVIDADE XIV: INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As inequações trigonométricas, normalmente não fazem parte do programa de
matemática do atual ensino médio, mas pode ser conveniente propor que se desenvolva
este conceito, tendo em vista que o modo como os conceitos trigonométricos foram
desenvolvidos até aqui. Os alunos acostumados a utilizar o esquema gráfico representando
a situação no ciclo trigonométrico determinam com facilidade o valor de seno, cosseno e
da tangente dos principais arcos do ciclo trigonométrico. O professor desenvolverá ou não
este conceito.
Nesta atividade os procedimentos são análogos ao da atividade anterior e exige que
aluno interprete o esquema gráfico feito no ciclo trigonométrico.
65

66. Estes procedimentos oferecem oportunidade de aprendizagem significativa
superordenada já desenvolvidos e também outros conceitos relevantes menos inclusivos,
como é o caso do conceito de inquação.
ATIVIDADE XV: CORRESPONDENCIA ENTRE UM NÚMERO REAL E UM
PONTO DO CICLO TRIGONOMÉTRICO
Até esta etapa os alunos tiveram a oportunidade de trabalhar com os alunos os
conceitos trigonométricos para os arcos pertencentes ao intervalo 0 ≤ α ≤ 2πrd.
Desenvolveram e aplicaram conceitos como: redução de arcos para o 1° quadrante,
equações e inequações trigonométricas.
Como já dito, a proposta de BRIGUENTI (1998) se diferencia muito do que
normalmente tem sido feito para trabalhar este assunto da Matemática.
É vital importância que os alunos apresentem na sua estrutura cognitiva o conceito
de função. Caso haja alguma falha neste conceito, o professor deverá saná-la para que não
exista um comprometimento da aprendizagem significativa.
Antes de aplicar os conceitos trigonométricos para todo numero x real, propõe-se
que os alunos desenvolvam esta atividade que objetiva localizar um numero real no ciclo
trigonométrico.
Será conveniente que o professor comente com seus alunos que a trigonometria
surgiu para relacionar as medidas dos lados e dos ângulos de um triangulo. Entretanto, com
o passar do tempo, esses conceitos foram ampliados para movimentos circulares e para
resolver problemas que envolviam periodicidade de todos os tipos, até chegar a envolver
números reais.
66

67. Para facilitar o entendimento, o professor pode surgir que seus alunos imaginem
uma reta real numerada, cuja finalidade é a medida do raio do ciclo trigonométrico, que
seja ajustada sobre o ciclo trigonométrico.
Não se pode deixar de observar que cada nuumero real tem seu ponto correspndente
no ciclo trigonométrico e que é represento por infinitos números reais.
ATIVIDADE XVI: GRÁFICO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO
PLANO CARTESIANO
Nesta etapa os alunos já sabem que é possível relacionar arcos com números reais
no ciclo trigonométrico. Dessa forma, este é momento ideal para generalização e
construção de gráficos das funções trigonométricas no plano cartesiano.
Caso o professor tenha oportunidade é bastante oportuno fazer uso de um
computador para visualizar os gráficos das funções trigonométricas no plano cartesiano,
observando as variações de crescimento e sua periodicidade.
Apesar da proposta alternativa sobre o ensino e a aprendizagem da trigonometria
encerrar com esta atividade XVI, o estudo realizado para determinar os conceitos
relevantes deste assunto, bem como a hierarquia existente entre eles, apontou também
outros conceitos trigonométricos como: adição, multiplicação e bisseção de arcos, poderão
ser estudos no ensino superior, num momento oportuno.
67

68. (iv) Mapa Conceitual dos procedimentos da implantação da proposta
PROCEDIMENTOS
TRABALHO RELACIONAMENTO ASPECTO
EM EQUIPE ENTRE ALUNOS E LÚDICO DA
PROFESSORAS PROPOSTA
ALUNOS PROFESSORAS
REFLEXÃO A PARTIR DOS ERROS
MOTIVAÇÃO REL. ENTRE TROCA DE MELHORIA DO
GRUPOS INFORMAÇÕES REL. ENTRE
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