O documento discute translações geométricas. Uma translação desloca todos os pontos de uma figura na mesma direção e sentido, preservando distâncias e ângulos. A composição de translações é equivalente a uma única translação representada pelo vetor soma dos vetores originais.

1. TRANSLAÇÕES

2. Translações Ao olhares para a figura podes observar que certos elementos se repetem periodicamente, numa determinada direcção e sentido.

3. Translações Também na figura abaixo, ao passar-se de um elemento base para a sua réplica é como se todos os pontos desse elemento fossem deslocados segundo a mesma direcção , o mesmo sentido e percorrendo a mesma distância .

4. Translações Em baixo, a figura B foi obtida da figura A deslocando todos os seus pontos segundo a mesma direcção , o mesmo sentido e percorrendo a mesma distância . A figura B diz-se que foi obtida por translação da figura A. A figura A é a figura original (o objecto ) e a figura B é a sua imagem através de uma translação.

5. Translações Na figura que podes observar agora, o deslocamento dos pontos foi feito segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi mantida a distância em todos os deslocamentos. A figura D não foi obtida por translação da figura C. Não existe nenhuma translação que permita obter a figura D a partir da figura C.

6. Translações Uma translação transforma uma figura numa outra figura geometricamente igual. Todos os pontos da imagem resultam da figura original por um deslocamento dos seus pontos definido por: uma direcção ; um sentido ; um comprimento .

7. Translações Para obtermos a imagem de uma figura através de uma translação, vimos que é necessário definir uma direcção , um sentido e um comprimento . Esta informação pode ser como que condensada naquilo a que se chama um segmento de recta orientado , o qual se representa desta forma: Um segmento de recta orientado define um vector .

8. Translações Todos os segmentos orientados que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou norma ) representam o mesmo vector. Na figura abaixo estão representados diversos segmentos de recta orientados que representam o mesmo vector, uma vez que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e a mesma norma (ou comprimento).

9. Translações Um vector fica então definido desde que se conheça: a direcção (que é dada pela recta onde esse vector se encontra: - a recta suporte do vector) o sentido (um dos dois possíveis na direcção) o comprimento (ou norma)

10. Translações Consideremos o triângulo da figura abaixo e vamos obter a sua imagem através da translação associada ao vector representado a vermelho.

11. Translações 1.º passo: A partir de cada um dos vértices do triângulo, com régua e esquadro, vamos traçar paralelas com a direcção do vector dado

12. Translações 2.º passo: Abrimos o compasso com comprimento igual ao do vector dado

13. Translações 3.º passo: Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido indicado pelo vector

14. Translações 4.º passo: Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original

15. Translações Propriedades das translações Repara que na translação do triângulo da figura. Podemos retirar algumas conclusões sobre as propriedades das translações: Uma translação transforma um segmento de recta num outro segmento de recta paralelo e geometricamente igual . Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo geometricamente igual (com a mesma amplitude). Uma translação transforma uma figura noutra figura geometricamente igual.

16. Translações Composição de translações Repara na figura que representa uma mesa de bilhar. Observa os deslocamentos da bola branca. A bola deslocou-se primeiro segundo o vector representado pela letra a e, de seguida, teve um novo deslocamento segundo o vector representado pela letra b , ficando então naquela posição.

17. Translações Composição de translações Podemos imaginar a situação da mesa de bilhar como sendo a translação dos círculos representados na figura abaixo. Será que poderíamos chegar, de uma só vez, ao círculo representado a laranja?

18. Translações Composição de translações A figura abaixo mostra a resposta à pergunta anterior. Se considerarmos o vector representado pela letra c e a translação associada a esse vector, podemos obter directamente o círculo a laranja, a partir do círculo a verde. Inicialmente fizemos uma composição de duas translações. A primeira associada ao vector seguida de uma outra associada ao vector . Aquela composição corresponde a fazer uma única translação, agora associada ao vector .

19. A bola azul foi obtida da bola verde por e a bola vermelha foi obtida da bola azul por . A bola vermelha pode, no entanto, ser obtida directamente da bola verde por . Diz-se que é uma translação composta de duas translações, após , e escreve-se: após

20. Ao vector chamamos vector soma do vector com o vector . Escreve-se :

21. Adição de vectores 1.º processo: “Regra do triângulo” 2.ºProcesso: “Regra do paralelogramo”

22. Exercícios: 1. Observando o cubo da figura indique o vector que representa a soma .

23. 2. Observa a figura e completa: a) OA + AF = _____ b) BO + OC = _____ c) BO + DE = _____ d) OD + CE = _____ e) OA + _____ = OB

24. 3. [ABCD] é um paralelogramo. Completa: a) AB + BC = _____ b) AB + CD = _____ c) AC + CB = _____ d) CB + AD = _____

25. 4. Na figura estão representados 12 paralelogramos geometricamente iguais. Indica:

29. FIM