O documento discute transformações geométricas em computação gráfica, incluindo translação, escala e rotação. Explica como matrizes são usadas para representar essas transformações e como elas afetam os pontos e objetos. Também aborda conceitos como sistemas de coordenadas, câmera virtual, frustum e suas implementações em OpenGL.

1. Computação Gráfica Aula 6 – Transformações Geométricas no Plano e no Espaço Prof. Tony Alexander Hild Documento licenciado por Creative Commons - http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/br/

2. Introdução Transformações geométricas são operações que podem ser utilizadas visando a alteração de algumas características como posição, orientação, forma ou tamanho do objeto a ser desenhado.

3. Todas as transformações geométricas podem ser representadas na forma de equações;

4. O problema é que manipulações de objetos gráficos normalmente envolvem muitas operações de aritmética simples;

5. As matrizes são muito usadas nessas manipulações porque são mais fáceis de usar e entender do que as equações algébricas, o que explica por que programadores e engenheiros as usam extensivamente. Matrizes em Computação Gráfica

6. Pontos, Vetores e Matrizes Dado um sistema de coordenadas, é possível definir pontos e objetos neste sistema pelas suas coordenadas;

7. Nos espaços bidimensionais ou nos objetos planos, duas coordenadas caracterizam um ponto;

8. Para objetos tridimensionais ou pontos no espaço, três coordenadas são necessárias para definir seu posicionamento;

9. Assim, dado um sistema de coordenadas, cada ponto pode ser associado às suas coordenadas no sistema. Por exemplo:

10. Relembrando - Vetores e matrizes podem ser processados por operações aritméticas como as que fazemos com os números.

11. Adição e subtração: os respectivos elementos dos dois vetores são somados formando um novo vetor. Ex.: [1 1 1] + [2 2 2] = [3 3 3] Multiplicação por valor constante. Ex.: 3 x [1 2 3] = [3 6 9] Transposição: Resulta da troca dos valores das linhas de um vetor ou matriz, por suas colunas. Ex.: Multiplicação de Matrizes: Sendo o número de linhas da primeira igual ao número de colunas da segunda pode-se multiplicá-las. O resultado se dará pela soma dos produtos dos elementos das linhas da primeira pelos elementos da coluna da segunda, em uma matriz com o número de linhas da primeira e o números de colunas da segunda. Ex.: Aritmética de Vetores e Matrizes

12. Podemos utilizar diferentes sistemas de coordenadas para descrever os objetos modelados em um sistema 2D;

13. O sistema de coordenadas serve para nos dar uma referência em termos de medidas do tamanho e posição dos objetos dentro de nossa área de trabalho. Sistemas de Coordenadas

14. Transformações em Pontos e Objetos A habilidade de representar um objeto em várias posições no espaço é fundamental para compreender sua forma;

15. A possibilidade de submetê-lo a diversas transformações é importante em diversas aplicações da computação gráfica;

16. As operações lineares de rotação e translação de objetos são chamadas operações de corpos rígidos;

17. A seguir veremos algumas transformações em 2D e 3D.

18. Transformação de Translação Transladar significa movimentar o objeto;

19. É possível efetuar a translação de pontos no plano (x,y) adicionando quantidades às suas coordenadas;

20. Assim, cada ponto em (x,y) pode ser movido por Tx unidades em relação ao eixo x , e por Ty unidades em relação ao eixo y;

21. Logo, a nova posição do ponto (x,y) passa a ser (x’,y’).

22. Transformação de Translação Translação de um triângulo de três unidades na horizontal e –4 na vertical. Repare que se teria o mesmo efeito transladando a origem do sistema de coordenadas para o ponto (–3, 4) na primeira figura.

23. Transformação de Escala Escalonar significa mudar as dimensões de escala;

24. Para fazer com que uma imagem definida por um conjunto de pontos mude de tamanho, teremos de multiplicar os valores de suas coordenadas por um fator de escala;

25. Transformar um objeto por alguma operação nada mais é do que fazer essa operação com todos os seus pontos. A mesma figura antes e depois de uma mudança de escala genérica, de ½ na horizontal e 1/4 na vertical. Repare que esse mesmo efeito relativo seria conseguido mudando a escala do sistema de eixos para uma outra que fosse o dobro da primeira na horizontal e quatro vezes maior na vertical.

26. Transformação de Rotação Rotação de um ponto P em torno da origem, passando para a posição P’. Repare que se chegaria a esse mesmo ponto através de uma rotação de – no sistema de eixos XY.