O documento apresenta três teoremas geométricos: 1) Teorema de Tales sobre segmentos proporcionais em retas transversais a um feixe de retas paralelas. 2) Teorema da bissetriz interna, que divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. 3) Teorema da bissetriz externa, sobre a razão entre segmentos determinados por uma bissetriz externa.

1. Teorema de Tales
Valdir
Dados: um feixe de retas paralelas e retas transversais, a
razão entre as medidas dos segmentos quaisquer de uma das
transversais é igual à razão entre as medidas dos segmentos
correspondentes de outra.
A
B
A’
B’
C
D
C’
D’
''
''
DC
BA
CD
AB
=
As medidas dos segmentos
correspondentes nas transversais são
diretamente proporcionais

2. Teorema de Tales
Valdir
Teorema da bissetriz interna
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em
segmentos proporcionais aos lados adjacentes
A
B
C
α α
c b
D
x y
y
b
x
c
=

3. Teorema de Tales
Valdir
Teorema da bissetriz interna
A
B
C
α α
c b
D
x y
r
r//s
α
α
Ângulos
alternos
internos
Ângulos
correspondentes

4. Teorema de Tales
Valdir
Teorema da bissetriz interna
y
b
x
c
=
A
B
C
α α
c b
D
x y
r
r//s
α
α
E
Logo o triângulo ACE é
isósceles ⇒ AC = AE = b b
Pelo Teorema de
Tales temos:

5. Teorema de Tales
Valdir
Teorema da bissetriz externa
A
B
C
α
α
D
CD
AC
BD
AB
=

6. Teorema de Tales
Valdir
Teorema da bissetriz externa:
dica para a demonstração
A
B
C
α
α
D
CD
AC
BD
AB
=

7. Teorema de Tales
Valdir
Teorema da bissetriz externa:
dica para a demonstração
A
B
C
α
α
D
CD
AC
BD
AB
=
c b
x
y

8. Semelhança de triângulos
Valdir
* os três ângulos internos são ordenadamente congruentes
Dois triângulos são semelhantes, se e somente se:
* os lados homólogos ( mesma posição ) são proporcionais
A
B C
A’
B’ C’
a a’
b’bc
c’
k
c
c
b
b
a
a
CBAABC ===⇒∆∆
'''
'''~
k = razão de semelhança

9. Semelhança de triângulos
Valdir
Teorema fundamental
A B
C
D E
Se uma reta é paralela a um dos
lados de um dos lados de um
triângulo e intercepta os outros
dois lados em pontos distintos,
então o triângulo determinado por
ela é semelhante ao primeiro
CDECAB ∆∆ ~
Faça a demonstração!!!

10. Semelhança de triângulos
Valdir
Casos ( ou critérios ) de semelhança
1- dois ângulos ordenadamente congruentes
2- LAL lados proporcionais e ângulos entre eles congruentes
3- LLL lados homólogos proporcionais

11. a) Mostre que os
triângulos ABC e
BEC são semelhantes
e, em seguida, calcule
AB e EC.
b) Calcule AD e FD.
Os ângulos:
BÂC ≅ CBE, ADF ≅ BDF,
Os segmentos:
AC = 27, BC = 9, BE = 8,
BD = 15 e DE = 9.
(Unifesp-2002) No triângulo ABC da figura, que não está
desenhada em escala, temos:
Resp. a) AB = 24 e EC = 3 b) AD = 15 e FD = 9
Valdir

12. Semelhança de triângulos
Valdir
Base média
A
B C
M N
B
b
x
2
BC
MN =
2
bB
x
+
=

13. (Acafe-SC-2001)Uma pessoa caminha
sobre uma rampa inclinada (inclinação
constante) de 3,5m de altura. Após
caminhar 12m sobre ela, se encontra a
1,5m de altura em relação ao solo.
Para atingir o ponto mais alto da rampa,
quantos metros esta pessoa deve ainda
caminhar?
A)16 B)28 C) 9 D)14 E)24

14. (Unicamp-2002) Um homem, de 1,80m de altura, sobe
uma ladeira com inclinação de 30º, conforme mostra a
figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de
altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele
subiu 4 metros ladeira acima.
b) Calcular a área do triângulo ABC.
Resp a) 2,25 m
b) 7.8125√3 m2
Valdir

15. (Ita-2000)Considere a circunferência inscrita
num triângulo isósceles com base de 6cm e
altura de 4cm. Seja t a reta tangente a esta
circunferência e paralela à base do triângulo. O
segmento de t compreendido entre os lados do
triângulo mede
A) 1cm
B) 1,5cm
C) 2cm
D) 2,5cm
E) 3cm
A) 1cm
B) 1,5cm
C) 2cm
D) 2,5cm
E) 3cm