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Geometria I
                             Professor Luiz Fernando – 23/02/2013

1. (Exame – Acesso – 2013) O semicírculo da figura está inscrito no triângulo retângulo
   ABC de catetos AB = 7 e BC = 24. Qual o valor numérico do raio do semicírculo?




2. (Exame – Acesso – 2013) No retângulo ABCD da figura os triângulos cinzentos têm
   todos a mesma área. Quanto vale      ?




3. (Exame – Acesso – 2013) Considere um triângulo isósceles inscrito em um círculo de
   raio 3 metros, como mostra a figura. Se x representa a medida, em metros, da altura
   deste triângulo com relação à sua base. Expresse a área deste triângulo em função de
   x.




4. (Exame – Acesso – 2013) A figura abaixo é composta por 4 semicircunferências. As
   duas menores possuem o mesmo raio, medindo 1,5 cm. A semicircunferência
   intermediaria tem diâmetro igual ao raio da circunferência maior. Em cm² qual é a
   área sombreada?
5. (Exame – Acesso – 2013) A figura abaixo mostra três circunferências de 1 cm de raio,
   tangentes entre si duas a duas, e um triângulo eqüilátero circunscrito a essas
   circunferências.




   a) Calcule o lado do triângulo eqüilátero.
   b) Sendo S1, S2 e S3 as áreas das regiões sombreadas, conforme indicado na figura,
      mostre que S3 > S1 + S2.

6. (MA 13 – AV3 – 2012) No triângulo ABC a bissetriz do ângulo BAC encontra o lado BC
   em D.
   a) Mostre que            (Teorema da bissetriz interna).
   b) Use o teorema acima e a figura abaixo para calcular tangente de 15°.




7. (MA 13 – AV3 – 2012) O icosaedro regular é o poliedro formado por 20 faces
   triangulares eqüiláteras. Determine quantas diagonais não passam pelo seu centro.

8. (MA 13 – AV3 – 2012) Considere o paralelepípedo retângulo de bases ABCD e EFGH e
   com arestas laterais AE, BF , CG e DH. As medidas são AB = 6, AD = AE = 4 e M o ponto
   médio da aresta EF. São feitas as seções pelos planos MHA e MBG. Retirando-se os
   tetraedros EMHA e FMBG resulta o poliedro P.

   a) Faça um desenho do poliedro P e calcule seu volume.
   b) Determine o cosseno do ângulo entre as retas AH e MG.

9. (MA 13 – AV1 – 2012) No trapézio ABCD os ângulos A e D são retos. AB = 12, CD = 4 e
   AD = 10. O ponto E pertence ao lado AD e o ponto F pertence ao lado BC. Sabe-se que
   as retas EF e AB são paralelas e que o segmento EF fica dividido em três partes iguais
   pelas diagonais do trapézio. Calcule a distância entre as retas AB e EF.
10. (MA 13 – AV2 – 2012) No setor AOB de centro O, raio AO = 3 e ângulo AOB = 60° está
    inscrita uma circunferência como mostra a figura.




a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área da região sombreada.

11. (Qualificação 3) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro
    regular de aresta a, calcular a distância entre duas faces opostas.




12. (Qualificação 3) A figura abaixo mostra uma folha de papel retangular ABCD, com AB =
    25 cm e BC = 20 cm. Foi feita uma dobra no segmento AE de forma que o vértice B
    coincidiu com o ponto P do lado CD do retângulo.




   a) Calcule o comprimento do segmento DP.
   b) Calcule a razão entre as áreas dos triângulos ADP e PCE.
   c) Calcule o comprimento do segmento AE.

13. (Qualificação 2) Seja ABC um triângulo eqüilátero de lado 6 e AD um segmento
    perpendicular ao plano desse triângulo de comprimento 8.
    a) Localize o ponto P do espaço que é eqüidistante dos quatro pontos A, B, C e D e
       calcule a distância comum R = PA = PB = PC = PD.
    b) Calcule o cosseno do ângulo entre as retas reversas AC e BD.
14. (Qualificação 2) No triângulo ABC assinale o ponto P do lado AC e o ponto Q do lado BC
   de forma que AP       AC e BQ   BC. Seja J o ponto de interseção de AQ e BP.

   a) Mostre que           Sugestão: Trace QL paralelo a BP e use semelhança de

       triângulos.
   b) Calcule a razão

   c) Decida se área do triângulo BPQ é maior do que, menor do que ou igual a metade
      do triângulo ABC.

15. (Qualificação 1) ABCD é um quadrado, M é o ponto médio do lado BC e N é o ponto
    médio do lado CD. Os segmentos AM e BN cortam-se em P.
   a) Mostre que

   b) Calcule a
   c) Se AB = 1, calcule a área do quadrilátero PMCN.

16. (Qualificação 1) Na figura abaixo, ABCDEFGH é um cubo de aresta 1. AE, BF, CG e DH
    são arestas e a face ABCD está contida em um plano . Seja T o tetraedro BDEG. Seja X
   um ponto da aresta AE (diferente de A e de E) e    o plano paralelo a   que passa por
   X. A intersecção de    com T é o quadrilátero MNPQ, como mostrado na figura .




   a) Mostre que MNPQ é um retângulo.
   b) Mostre que o perímetro de o perímetro de MNPQ é igual a          , independente do
       ponto X.

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  • 1. Geometria I Professor Luiz Fernando – 23/02/2013 1. (Exame – Acesso – 2013) O semicírculo da figura está inscrito no triângulo retângulo ABC de catetos AB = 7 e BC = 24. Qual o valor numérico do raio do semicírculo? 2. (Exame – Acesso – 2013) No retângulo ABCD da figura os triângulos cinzentos têm todos a mesma área. Quanto vale ? 3. (Exame – Acesso – 2013) Considere um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio 3 metros, como mostra a figura. Se x representa a medida, em metros, da altura deste triângulo com relação à sua base. Expresse a área deste triângulo em função de x. 4. (Exame – Acesso – 2013) A figura abaixo é composta por 4 semicircunferências. As duas menores possuem o mesmo raio, medindo 1,5 cm. A semicircunferência intermediaria tem diâmetro igual ao raio da circunferência maior. Em cm² qual é a área sombreada?
  • 2. 5. (Exame – Acesso – 2013) A figura abaixo mostra três circunferências de 1 cm de raio, tangentes entre si duas a duas, e um triângulo eqüilátero circunscrito a essas circunferências. a) Calcule o lado do triângulo eqüilátero. b) Sendo S1, S2 e S3 as áreas das regiões sombreadas, conforme indicado na figura, mostre que S3 > S1 + S2. 6. (MA 13 – AV3 – 2012) No triângulo ABC a bissetriz do ângulo BAC encontra o lado BC em D. a) Mostre que (Teorema da bissetriz interna). b) Use o teorema acima e a figura abaixo para calcular tangente de 15°. 7. (MA 13 – AV3 – 2012) O icosaedro regular é o poliedro formado por 20 faces triangulares eqüiláteras. Determine quantas diagonais não passam pelo seu centro. 8. (MA 13 – AV3 – 2012) Considere o paralelepípedo retângulo de bases ABCD e EFGH e com arestas laterais AE, BF , CG e DH. As medidas são AB = 6, AD = AE = 4 e M o ponto médio da aresta EF. São feitas as seções pelos planos MHA e MBG. Retirando-se os tetraedros EMHA e FMBG resulta o poliedro P. a) Faça um desenho do poliedro P e calcule seu volume. b) Determine o cosseno do ângulo entre as retas AH e MG. 9. (MA 13 – AV1 – 2012) No trapézio ABCD os ângulos A e D são retos. AB = 12, CD = 4 e AD = 10. O ponto E pertence ao lado AD e o ponto F pertence ao lado BC. Sabe-se que as retas EF e AB são paralelas e que o segmento EF fica dividido em três partes iguais pelas diagonais do trapézio. Calcule a distância entre as retas AB e EF.
  • 3. 10. (MA 13 – AV2 – 2012) No setor AOB de centro O, raio AO = 3 e ângulo AOB = 60° está inscrita uma circunferência como mostra a figura. a) Calcule o raio dessa circunferência. b) Calcule a área da região sombreada. 11. (Qualificação 3) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcular a distância entre duas faces opostas. 12. (Qualificação 3) A figura abaixo mostra uma folha de papel retangular ABCD, com AB = 25 cm e BC = 20 cm. Foi feita uma dobra no segmento AE de forma que o vértice B coincidiu com o ponto P do lado CD do retângulo. a) Calcule o comprimento do segmento DP. b) Calcule a razão entre as áreas dos triângulos ADP e PCE. c) Calcule o comprimento do segmento AE. 13. (Qualificação 2) Seja ABC um triângulo eqüilátero de lado 6 e AD um segmento perpendicular ao plano desse triângulo de comprimento 8. a) Localize o ponto P do espaço que é eqüidistante dos quatro pontos A, B, C e D e calcule a distância comum R = PA = PB = PC = PD. b) Calcule o cosseno do ângulo entre as retas reversas AC e BD.
  • 4. 14. (Qualificação 2) No triângulo ABC assinale o ponto P do lado AC e o ponto Q do lado BC de forma que AP AC e BQ BC. Seja J o ponto de interseção de AQ e BP. a) Mostre que Sugestão: Trace QL paralelo a BP e use semelhança de triângulos. b) Calcule a razão c) Decida se área do triângulo BPQ é maior do que, menor do que ou igual a metade do triângulo ABC. 15. (Qualificação 1) ABCD é um quadrado, M é o ponto médio do lado BC e N é o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e BN cortam-se em P. a) Mostre que b) Calcule a c) Se AB = 1, calcule a área do quadrilátero PMCN. 16. (Qualificação 1) Na figura abaixo, ABCDEFGH é um cubo de aresta 1. AE, BF, CG e DH são arestas e a face ABCD está contida em um plano . Seja T o tetraedro BDEG. Seja X um ponto da aresta AE (diferente de A e de E) e o plano paralelo a que passa por X. A intersecção de com T é o quadrilátero MNPQ, como mostrado na figura . a) Mostre que MNPQ é um retângulo. b) Mostre que o perímetro de o perímetro de MNPQ é igual a , independente do ponto X.