1. O documento apresenta 9 questões sobre ângulos em figuras geométricas. 2. As questões envolvem cálculo de medidas de ângulos, determinação de valores desconhecidos e escolha de alternativas corretas sobre figuras como triângulos, paralelogramos e estruturas mecânicas. 3. São requisitados conhecimentos básicos de geometria plana para resolver as questões.

1. MATEMATICA + PLUS RESPONDE
1. Qual a medida do ângulo, cuja metade do seu complemento é dada por 22º 37’ 38’’?
2. CALCULE o valor de x em cada um dos casos a seguir:
A)
B) OD e OE são bissetrizes dos ângulos AOB e BOC.
3. Da medida de um ângulo tira-se a sua teça parte e depois a metade da medida do suplemento do que
restou e obtém-se 60º. Qual a medida do ângulo?
4. Se r//s, determine 
~
na figura

2. 5. Na figura ao lado, tem-se r//s e t//u.
Se os ângulos assinalados têm as medidas indicadas em graus, então  é igual a:
a) 100º
b) 80º
c) 70º
d) 50º
e) 30º
6. Se r//s,  vale:
a) 100º
b) 110º
c) 130º
d) 150º
e) 120º
7. O suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo é igual ao triplo do complemento
desse ângulo. Determine o ângulo.
8. Um paciente está executando exercícios de fortalecimento da musculatura, em que sua perna aplica
tensão sobre uma haste flexível. Contudo, os ângulos de tensão devem ser calculados para não
exceder a limites estabelecidos no processo de recuperação. A medida do ângulo 0, em graus, para a
situação limite da figura é

3. a. 30°
b. 40°
c. 50°
d. 55°
e. 60°
9) Nos içamentos de estruturas pesadas, é comum o arranjo de roldanas, cabos e guinchos. Nessas
estruturas, deve-se calcular os ângulos para determinação da carga e tanque suportado em cada ponto. Um
engenheiro no içamento de um peso de 3 toneladas para colocação em uma caçamba calculou os ângulos
para içamento e obteve o valor α, em graus, de
a) 40
b 50
c) 60
d) 70
e) 80

4. PROPOSTOS COM GABARITO
1. A metade do complemento de um ângulo mede 40° 34’ 50”. Qual o ângulo?
2. (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo.
Este ângulo mede:
a) 45° d) 78°45'
b) 60° e) 56°15'
c) 48°30'
3. Se r//s, então x̂ valerá:
a) 32°
b) 33°
c) 65°
d) 43°
e) n.d.a.
4. (Mackenzie) Na figura, DE
/
/
AB
. O valor de  é:
a) 80°
b) 40°
c) 20°
d) 15°
e) 30°
5. O triplo da medida do complemento de um ângulo aumentado de 30° é igual à medida do seu
suplemento. Qual a medida desse ângulo?
a) 20° c) 40° e) 60°
b) 30° d) 50°
6. Da medida de um ângulo tira-se a sua terça parte e depois a metade da medida do suplemento do que
restou e obtêm-se 60°. Qual a medida do ângulo?
a) 150° c) 120° e) 100°
b) 110° d) 130°
7. (FGV-SP) Considere as retas r, s, t, u todas num mesmo plano, com r//u. O valor em graus de (2x +
3y) é:
a) 64°
b) 500°
c) 520°

5. d) 660°
e) 580°
8. (Cesgranrio-89) Na figura, as retas r e r' são paralelas, e a reta s é perpendicular a t. Se o menor
ângulo entre r e s mede 72°, então o ângulo  da figura mede:
a) 36°
b) 32°
c) 24°
d) 20°
e) 18°
9. O valor de  na figura ao lado é:
a) 20°
b) 30°
c) 40°
d) 50°
e) 60°
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8 9
* D B B E A B E D
*1) 8°50’20”

6. TIANGULOS
MATEMATICA + PLUS RESPONDE
1. Na figura, sendo AB congruente a AC , AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo E
D̂
C ,
dado D
Â
B = 48º.
2. Na figura MP = NP, NQ = NH e Ĥ = 35º. O valor, em graus, de :
é
,
ˆ
ˆ
ˆ 




a) 190
b) 195
c) 205
d) 210
3. Sendo r e s retas paralelas e DE = 2AB, determine x.
4. A soma A + B + C + D + E das medidas dos ângulos:
a) é 60º
b) é 120º
c) é 180º
d) é 360º
e) varia de “estrela” para “estrela”

7. 5. Observe a figura
Com base nos dados dessa figura, pode-se afirmar que o maior segmento é:
a) AB b) AE c) EC d) BC e) ED
6. Determine a medida do ângulo do vértice A do triangulo isósceles ABC, sabendo que os segmento
FA
,
EF
,
DE
,
CD
,
BC
são congruentes.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
7. O triangulo ABC ao lado é isósceles de base BC . Determine x.
8. O modelo de freio apresentado na figura é conhecido como cantilever e está ilustrado em sua
posição de repouso' o valor da medida do ângulo α configurado para essa posição é

8. a) 30º
b) 35º
c) 40º
d) 45º
e) 50º
Um contêiner é levado para uma plataforma por melo de um trilho inclinado e um carro puxado por um
cabo de aço. A figura mostra a base e a estrutura metálica de confecção do carro.
Na construção da estrutura metálica' os valores das medidas dos ângulos e o comprimento das hastes
devem ser determinados para a escolha da espessura do material empregado. Sabendo que o carro de
transporte do

9. contêiner foi construído para obter o segmento AB paralelo aos trilhos e possui ponto médio M' então o
valor da medida do ângulo α, em graus, é
a) 10o.
b) 11o.
c) 12°
d) 13o
e) 14o
MATEMATICA + PLUS PROPOSTOS COM GABARITO
1. (Mackenzie) No triângulo da figura, a soma das medidas x, y e z pode ser:
a) 25
b) 27
c) 29
d) 31
e) 33
2. (U.C.SALVADOR) No triângulo retângulo ABC, representado na figura abaixo, AH é a altura
relativa à hipotenusa e AM é mediana. Nestas condições, a medida x do ângulo assinalado é:
a) 55°
b) 65°
c) 70°
d) 75°
e) 80°
3. As medidas dos lados de um triângulo são respectivamente iguais a x + 1, 2x – 1 e 4 – x. Um
possível valor para x é:
a) 3
2
b) 2
3
c) 1 d) 2 e) 10
4. (FATEC) Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo C
B̂
A . Se  = 40° E  = 30°, então
a)  = 0°
b)  = 5°
c)  = 35°
d)  = 15°
e) os dados são insuficientes para a determinação de 

10. 5. (STO. ANDRÉ) O triângulo ABC é isósceles, com AB = AC . Nele, está inscrito um triângulo DEF
eqüilátero. Designando ângulo D
F̂
B por a, o ângulo E
D̂
A por b, e o ângulo FÊC por c, temos:
a) b = 2
c
a 
d) c = 2
b
a 
b) b = 2
c
a 
e) a = 2
c
b 
c) a = 2
c
b 
6. (FUVEST) Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo A mede 40°, então o ângulo
XYZ mede:
a) 40°
b) 50°
c) 60°
d) 70°
e) 90°
7. (PUC) Na figura abaixo a = 100° e b = 110°. Quanto mede o ângulo x?
a) 30°
b) 50°
c) 80°
d) 100°
e) 150°
8. (Fuvest) No retângulo abaixo, o valor, em graus, de  +  é:
a) 50
b) 90
c) 120
d) 130
e) 220

11. 9. (Fuvest) Na figura, AB = BD = CD. Então:
a) y = 3x
b) y = 2x
c) x + y = 180°
d) x = y
e) x = 3y
10. (ITA) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um
ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são tosos congruentes entre si. A medida do ângulo
BÂC é igual a:
a) 23°
b) 32°
c) 36°
d) 40°
e) 45°
11. (UNIFENAS) Seja ABC um triângulo retângulo em A, cujo ângulo B̂ mede 52°. O ângulo formado
pela altura AH e pela mediana AM relativas à hipotenusa é:
a) 7°
b) 14°
c) 26°
d) 38°
e) 52°
12. (U.F.G.O) Se dois lados de um triângulo medem respectivamente 3 cm e 4 cm, podemos afirmar que
a medida do terceiro lado é:
a) igual a 5 cm d) igual a 1 cm
b) igual a 7 cm e) menor que 7 cm
c) maior que 2 cm
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E B D B E D A D A C
11 12
B E

12. PONTOS NOTÁVEIS
1. Num triângulo retângulo ABC. A altura AS forma com a mediana AM um ângulo de 22º. Calcule B
e C.
2. Considerando congruentes os segmentos com “marcas iguais”, determine os valores das incógnitas
nos casos:
a) b)
3. Determine o perímetro do triângulo ARS da figura, onde AC
e
AB
medem 15 cm e 18 cm,
respectivamente, sendo CQ
e
BQ
as bissetrizes dos ângulos Ĉ
e
B̂
do triângulo ABC e RS paralelo a
BC .
4. O circuncentro de um triângulo isósceles é interno ao triângulo e duas mediatrizes formam um
ângulo de 50º. Determine os ângulos desse triângulo.
5. Se P é incentro de um triângulo ABC e C
P̂
B = 25º, determine  .
6. Na figura abaixo, A, B, C são pontos da tangência. Então x vale.
a) 16
3
b) 8
1

13. c) 32
3
d) 32
1
e) 16
1
7. Na figura, Q é o ponto médio de AB , QP é paralelo a BC . Sendo AC = 30 cm, determine PO .
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 5 cm
d) 6 cm
e) 7 cm
8. Na figura ABCD é retângulo, M é o ponto médio de CD e o triângulo ABM é equilátero Sendo AB
= 15, calcule AP .
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
9. No triângulo retângulo ABC da figura, a mediana AM forma com a bissetriz BF os ângulos
adjacentes .
M
F̂
B
e
A
F̂
B
Exprima M
F̂
B em função de B̂ .
a) M
F̂
B = B̂
b) M
F̂
B = 2 B̂
c) 2
B̂
M
F̂
B 
d) M
F̂
B = 3 B̂
e) 2
B̂
3
M
F̂
B 
MATEMATICA + PLUS PROPOSTOS COM GABARITO

14. 1. Em um triângulo ABCX, os ângulos A e B medem, respectivamente, 86º e 34º. Determine o ângulo
agudo formado pela mediatriz relativa ao lado BC e pela bissetriz do ângulo C.
a) 60º b) 30º c) 45º d) 75º e) 65º
2. Determine as medidas dos três ângulos obtusos formado pelas mediatrizes de um triângulo
eqüilátero.
a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º
3. As bissetrizes dos ângulos Ĉ
e
B̂
de um triângulo ABC formam um ângulo de 116º. Determine a
medida do menor ângulo formado pelas alturas relativas aos lados AC
e
AB
desse triângulo.
4. As três bissetrizes de um triângulo ABC se encontram num ponto O. Determine as medidas dos
ângulos C
Ô
B
e
C
Ô
A
,
B
Ô
A
em função dos ângulos Ĉ
e
B̂
,
Â
do triângulo.
5. Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é ponto médio de AB, determine x.
DP = 16
PM = x
6. Sendo I o incentro do triângulo, determine o valor do ângulo BÂC.
7. Na figura, BD é mediana do triângulo retângulo ABC (B̂ = 90°) e BE  AC. Se  = 70°, calcule a
medida de EB̂ D.
8. Se o triângulo ABC é retângulo de hipotenusa BC e AM é mediana, determine x:
a) 20°

15. b) 40°
c) 10°
d) 50°
e) 15°
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8
A E * * * * * A
*3) 52°
*4) 2
Â
º
90
C
Ô
B
;
2
B̂
º
90
C
Ô
A
;
2
Ĉ
º
90
B
Ô
A 





*5) x = 8; *6) x = 20°; *7) 50°
QUARILATEROS
1. Se BP
e
AP
são bissetrizes, determine x nos casos:
2. Se ABCD é um paralelogramo. AD = 20 cm, BQ = 12 cm e BP = BQ, determine o perímetro desse
paralelogramo.
3. A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados de um ângulo de 55º. Determine
o valor dos ângulos agudos.
4. As bases MQ e NP de um trapézio medem 42cm e 112 cm respectivamente. Se o ângulo P
Q̂
M é o
dobro do ângulo M
N̂
P , então o lado PQ mede:

16. a) 154 cm
b) 133 cm
c) 91 cm
d) 77 cm
e) 70 cm
5. Com os dados da figura seguinte, onde ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo eqüilátero,
calcule a medida do ângulo BDE.
6. Na figura, ABCD é um quadrado, ADE e ABF são triângulos eqüiláteros. Se os pontos C, A e M são
colineares, então o ângulo M
Â
F mede:
a) 75º
b) 80º
c) 82º e 30º
d) 85º
e) 87º e 30º
7. Considere um quadrilátero ABCD cuja diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm.
Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do
quadrilátero RSTU vale:
a) 22 cm
b) 5,5 cm
c) 8,5 cm
d) 11 cm
e) 13 cm
8. Sendo ABCD um paralelogramo, AP é bissetriz, AB = 7 cm e PC = 3 cm, determine o
perímetro do paralelogramo.
a) 34 cm
b) 14 cm
c) 20 cm
d) 28 cm
e) 26 cm

17. 9. Na figura seguinte, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. Calcule em graus, a
medida do ângulo D
F̂
B .
a) 100º
b) 105º
c) 110º
d) 115º
e) 120º
MATEMATICA + PLUS PROPOSTOS COM GABARITO
1. ABCD é trapézio de bases CD
e
AB
. Se CP
e
DP
são bissetrizes, determine x e D
Ĉ
B .
2. Na figura, ABCD é um quadrado e CDEF um losango. Se F
Ĉ
E mede 15°, a medida do ângulo AÊF
é:
a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 75°
3. Na figura seguinte, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. Calcular em graus a
medida do ângulo D
F̂
B
4. Num quadrilátero ABCD, o ângulo Ĉ é igual a 1/3 do ângulo B̂ , o ângulo  mede o quíntuplo do
ângulo Ĉ e o ângulo D̂ vale 45°. Pode–se dizer que  – B̂ vale:
a) 50°
b) 60°
c) 70°
d) 80°
e) 90°
5. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos ADE e ABF são eqüiláteros. A medida do
ângulo PÊA é:

18. 6. Com os dados da figura seguinte, onde ABCD é um quarado e ABE é um triângulo eqüilátero,
calcule a medida do ângulo BDE.
7. Num triângulo eqüilátero ABC,de 8 cm de lado, traça-se MN paralelo ao lado BC, de modo que ele
se decomponha num trapézio e num novo triângulo. O valor de MN para o qual o perímetro do
trapézio seja igual ao do triângulo AMN é:
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
8. Seja ABCD um trapézio retângulo. O ângulo formado pelas bissetrizes do seu ângulo reto e do
ângulo consecutivo da base maior mede 92º. Os ângulos agudo e obtuso deste trapézio medem
respectivamente:
a) 88º e 92º
b) 86º e 94º
c) 84º e 96º
d) 82º e 98º
e) 79º e 101º
9. Com um arame de 36 m de comprimento construímos um triângulo equilátero e com o mesmo
arame construímos depois um quadrado. Determine a razão entre o lado do triângulo e o lado do
quadrado.

19. 10. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos ADE e ABF são equiláteros. A media do
ângulo A
Ê
F é:
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
* D * C * * E B * *
1) x = 140°; 3) 105°; 5) 15° ; 6) 30°; 9) 4/3;
10) 15°

20. 1
14
48
8
1. Se o triângulo ABP é eqüilátero e ABCDE é pentágono regular, determine x nos casos:
a) b)
2. Determine o polígono cujo número de diagonais é quadrado do número de lados.
3. Os lados de um polígono regular de n lados n > 4, são prolongados para formar uma estrela. O
número de graus em cada vértice as estrela é:
a) n
º
360
b) n
º
180
)
4
n
( 

c) n
º
180
)
2
n
( 

d) 180º - n
º
90
e) n
º
180
4. Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo
que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine o polígono com
maior número de diagonais.
5. A soma dos ângulos internos com a dos ângulos externos de um polígono regular vale 1 800º.
Determine o número de diagonais do polígono.
6. Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos. .
f̂
ê
d̂
ĉ
b̂
â 





21. 1
14
49
9
7. Determine os valores de x e y nos casos:
a) pentágono regular e quadrado
b) hexágono regular e quadrado
8. Determine o número de lados de um polígono convexo, sabendo que de um de seus vértices
partem 25 diagonais.
POLÍGONOS
1. Três polígonos convexos têm, respectivamente n, n + 1 ; n + 2 lados. A soma dos ângulos
internos desse polígono é 1.620º. determine o valor de n.
a) n = 3
b) n = 4
c) n = 5
d) n = 6
e) n= 7
2. A som dos ângulos assinalados vale:
a) 100º
b) 360º
c) 180º
d) 400º
e) 600º
3. Tendo-se, na figura seguinte, um pentágono regular ABCDE onde estão traçados suas
diagonais, calcular, em graus, a medida do ângulo .
a) 20º
b) 28º
c) 30º
d) 36º
e) 40º

22. 1
15
50
0
4. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo igual a
20º. Esse polígono é:
a) um octógono regular;
b) um eneágono regular
c) um pentágono regular
d) um icoságono regular
e) n.d.a.
5. São dados dois polígonos regulares. O segundo tem 4 lados a mais que o primeiro e o ângulo
central do primeiro excede a medida do ângulo central do segundo em 45º. O número de lados
do primeiro polígono é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
6. O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da
circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por:
a) 2n(n – 2)
b) 2n(n – 1)
c) 2n(n – 3)
d) 2
)
5
n
(
n 

e) n.d.a.
7. Nos casos abaixo, determine x, sabendo que os segmentos DP
,
CP
,
BP
,
AP
nas figuras em que
aparecem são bissetrizes.
8. Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso pelos números n e n + 4. Determine
o valor de n, sabendo que um dos polígonos tem 34 diagonais mais do que o outro.
9. A figura descreve o movimento de um robô:
Partindo de A, ele sistematicamente avança 2 m e gira 45° para a esquerda. Quando esse robô retornar ao
ponto A, a trajetória percorrida terá sido:

23. 1
15
51
1
a) uma circunferência
b) um hexágono regular
c) um octógono regular
d) um decágono regular
e) um polígono não–regular
10. Aumentando o número de lados de um polígono em 3, seu número de diagonais aumenta em
21. Determine o número de diagonais desse polígono.
a) 13 c) 15 e) 17
b) 14 d) 16
11. Três polígonos convexos têm n, n + 1, n + 2 lados, respectivamente. Sendo 2700° a soma de
toso os ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de n.
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
12. Um polígono regular possui 30 diagonais que não passam pelo seu centro. Quanto mede cada
ângulo interno dele?
a) 126°
b) 100°
c) 112°
d) 120°
e) 144°
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b B D e a a * * C B
11 12
A E
*7) X = 60; 8) n = 8
MATEMATICA + PLUS DESAFIA VOCÊ

24. 1
15
52
2
1. Na figura, as retas t1 e t2 são paralelas. CALCULE a medida do ângulo x.