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Lista de Exercícios – Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo
1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo:
B Baricentro C Circuncentro I Incentro O Ortocentro
Preencha os parênteses:
a) ( ) Ponto de encontro das medianas.
b) ( ) Ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo.
c) ( ) Ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo
d) ( ) Ponto de encontro das retas suportes das alturas.
e) ( ) Ponto que divide cada mediana numa razão de 2 para 1.
f) ( ) Centro da circunferência inscrita num triângulo.
g) ( ) Centro da circunferência circunscrita a um triângulo.
h) ( ) Ponto do plano de um triângulo e eqüidistante dos vértices desse triângulo.
2. Na figura, N e P são os pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Se
G é o
baricentro do triângulo ABC, AP = 6cm e GN = 1,5 cm, obter, em centímetros:
a) AG =
b) GP =
c) BG =
d) BN =
3. No triângulo ABC, da figura, AM e CN são medianas que se interceptam em G.
Sendo
AG = 10 cm e CN = 18 cm, calcule x, y e z.
4. Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A e M é o ponto médio do lado BC.
Então a medida de α , em graus, é:
a) 80º b) 90º c) 100º d) 110º e) 120º
5. Na figura, M é o ponto médio do lado BC e CN é a bissetriz interna. Então a
medida α, em graus, é:
a) 80º b) 75º c) 70º d) 65º e) 60º
6. O triângulo ABC da figura é retângulo em A, AS é a bissetriz interna e AM é
mediana.
Então, a medida de α , em graus, é
a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º
7. (FUVEST-SP) Um triângulo ABC têm ângulos A= 40º e B = 50º. Qual é o ângulo
formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo?
a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º
8. Um ponto P eqüidista dos vértices de um triângulo ABC. O ponto P é:
a) O baricentro do triângulo ABC.
b) O incentro do triângulo ABC.
c) O circuncentro do triângulo ABC.
d) O ortocentro do triângulo ABC.
e) Um ex-incentro do triângulo ABC.
9. Um ponto Q pertence à região interna de um triângulo DEF, equidista dos lados
desse triângulo.O ponto Q é:
a) O baricentro do triângulo DEF.
b) O incentro do triângulo DEF.
c) O circuncentro do triângulo DEF.
d) O ortocentro do triângulo DEF.
e) Um ex-incentro do triângulo DEF.
10.Qual dos pontos notáveis do triângulo pode ser um de seus vértices?
a) baricentro b) incentro c) circuncentro d) ortocentro e) ex-incentro.
11.Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicionam externamente em
relação à sua região triangular?
a) Baricentro e Ortocentro
b) Incentro e Circuncentro
c) Baricentro e Circuncentro
d) Incentro e Ortocentro
e) Baricentro e Incentro
12.(UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo
à reta suporte do lado oposto é denominado:
a) Mediana b) Mediatriz c) Bissetriz d) Altura e) Base.
13.(ESAM) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à
reta do lado oposto é denominada altura. O ponto de intersecção das três retas
suportes das alturas do triângulo é chamado:
a) Baricentro b) Incentro c) Circuncentro d) Ortocentro e) Mediana
14.(CESESP) Dentre os quatro centros principais do triângulo qualquer, há dois
deles que podem se situar no seu exterior, conforme o tipo de triângulo. Assinale a
alternativa em que os mesmos são citados.
a) O baricentro e o ortocentro.
b) O baricentro e o incentro.
c) O circuncentro e o incentro.
d) O circuncentro e o ortocentro.
e) O incentro e o ortocentro.
15.No triângulo ABC da figura é altura e é a bissetriz do ângulo ,determine, sendo
dados BÂH = 30º e = 40º .
16.Da figura sabemos que é altura e é bissetriz do ângulo BÂC do triângulo ABC.
Se
= 70º e HÂS= 15º, determine .
17.No triângulo ABC da figura, = 60º e = 20º. Qual o valor do ângulo HÂS formado
pela
altura e a bissetriz ?
Gabarito:
1) a) B b) C c) I d) O e) B f) I g) C h) C i) I
2) a) 4 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4,5 cm
3) x = 5 cm, y = 12 cm e z = 6cm
4) A 5) B 6) B 7) D 8) C 9) B 10) D 11) E 12) D 13) D 14) D 15)110º16) 40º 17) 20º
1. (UFF) O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80° e ângulo P=60°.
A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do
ângulo externo P é:
a) 20° b) 30° *c) 40° d) 50° e) 60°
2.(UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à
reta suporte do lado oposto é
denominado:
a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. *d) altura. e) base.
3. (FATEC) Dada a figura:
Sobre as sentenças
I. O triângulo CDE é isósceles.
II. O triângulo ABE é equilátero.
III. AE é bissetriz do ângulo BÂD.
é verdade que
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) são todas falsas.
*e) são todas verdadeiras.
4. (CFTCE) A altura e a mediana traçadas do vértice do ângulo reto de um
triângulo retângulo formam um ângulo de
24°. Sendo assim, os ângulos agudos do triângulo são:
*a) 33° e 57° b) 34° e 56° c) 35° e 55° d) 36° e 54° e) 37° e 53°
5. (UFES) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. Qual é a
medida do ângulo agudo formado
pelas bissetrizes dos outros ângulos internos?
a) 20° *b) 40° c) 60° d) 80° e) 140°
6. (FGV) Na figura abaixo, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta suporte
da bissetriz do ângulo CÂH.
Se c = 30° e b = 110°, então:
a) x = 15°
b) x = 30°
c) x = 20°
*d) x = 10°
e) x = 5°
7. (FGV) Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC. Se BM é igual a
12cm, a medida do segmento GM é
igual a:
a) 10.
b) 9.
c) 8.
d) 6.
*e) 4.
8. (UFRJ)A área do triângulo retângulo no qual a medida da hipotenusa é 13cm e a
de um dos catetos é 5cm é igual a:
a) 128 cm2 b) 65 cm2 *c) 30 cm2 d) 39 cm2 e) 60 cm2
9. (ESPM) O retângulo ABCD tem área igual a 60cm2. Sabendo-se que E é um
ponto do lado CD, podemos afirmar
que a área do triângulo ABE é:
*a) 30 b) 40 c) 50 d) 40 3 e) 50 3
10. (FUVEST) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com
quadrados de lados iguais a 1cm. A área
do triângulo, em cm2, é:
*a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
11. (UFRS) As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em
progressão aritmética. Qual o valor
da área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6?
a) 12 2 b) 18 c) 20 2 *d) 24 e) 30
12. (FUVEST) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm.
Sabe-se que A e B são extremidades
de um diâmetro e que a corda BC mede 6cm. Então a área do triângulo ABC, em
cm2, vale:
*a) 24 b) 12 c) 5 3 /2 d) 6 2 e) 2 3
13. (UNIRIO) Considere a figura abaixo, que apresenta um rio de margens retas e
paralelas, neste trecho. Sabendo-se
que AC=6 e CD=5, determine:
a) a distância entre B e D;
b) a área do triângulo ABD.
RESPOSTAS: a) 3 3 + 5 b) (9 3 + 15) / 2
14. (FATEC) A altura de um triângulo equilátero e a diagonal de um quadrado têm
medidas iguais. Se a área do
triângulo equilátero é 16 3 m2 então a área do quadrado, em metros quadrados, é
a) 6 *b) 2 4 c) 54 d) 96 e) 150
15. (FUVEST) ABCD é um trapézio; BC=2, BD=4 e o ângulo ABC é reto.
a) Calcule a área do triângulo ACD.
b) Determine AB sabendo que BV = 3VD.
RESPOSTAS: a) 2 3 b) 6 3
16. (UNESP) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo
ABD é α = 30°, a medida do ângulo
AED é β e x = BE. Determine:
a) a área do triângulo BDE, em função de x.
b) o valor de x, quando β = 75°.
RESPOSTA: a) 3x/2 cm2 b) 6[( 3 ) -1] cm
17. (PUCCAMP) Considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro
de uma bicicleta e as medidas
indicadas estão em centímetros.
A área do triângulo ABD, em centímetros quadrados, é igual a:
a) 480 Dados:
b) 576 sen 53° = 0,8
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  • 1. Lista de Exercícios – Geometria Plana - Pontos notáveis do triângulo 1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B Baricentro C Circuncentro I Incentro O Ortocentro Preencha os parênteses: a) ( ) Ponto de encontro das medianas. b) ( ) Ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo. c) ( ) Ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo d) ( ) Ponto de encontro das retas suportes das alturas. e) ( ) Ponto que divide cada mediana numa razão de 2 para 1. f) ( ) Centro da circunferência inscrita num triângulo. g) ( ) Centro da circunferência circunscrita a um triângulo. h) ( ) Ponto do plano de um triângulo e eqüidistante dos vértices desse triângulo. 2. Na figura, N e P são os pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Se G é o baricentro do triângulo ABC, AP = 6cm e GN = 1,5 cm, obter, em centímetros: a) AG = b) GP = c) BG = d) BN = 3. No triângulo ABC, da figura, AM e CN são medianas que se interceptam em G. Sendo AG = 10 cm e CN = 18 cm, calcule x, y e z.
  • 2. 4. Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A e M é o ponto médio do lado BC. Então a medida de α , em graus, é: a) 80º b) 90º c) 100º d) 110º e) 120º 5. Na figura, M é o ponto médio do lado BC e CN é a bissetriz interna. Então a medida α, em graus, é: a) 80º b) 75º c) 70º d) 65º e) 60º 6. O triângulo ABC da figura é retângulo em A, AS é a bissetriz interna e AM é mediana. Então, a medida de α , em graus, é
  • 3. a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º 7. (FUVEST-SP) Um triângulo ABC têm ângulos A= 40º e B = 50º. Qual é o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo? a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º 8. Um ponto P eqüidista dos vértices de um triângulo ABC. O ponto P é: a) O baricentro do triângulo ABC. b) O incentro do triângulo ABC. c) O circuncentro do triângulo ABC. d) O ortocentro do triângulo ABC. e) Um ex-incentro do triângulo ABC. 9. Um ponto Q pertence à região interna de um triângulo DEF, equidista dos lados desse triângulo.O ponto Q é: a) O baricentro do triângulo DEF. b) O incentro do triângulo DEF. c) O circuncentro do triângulo DEF. d) O ortocentro do triângulo DEF. e) Um ex-incentro do triângulo DEF. 10.Qual dos pontos notáveis do triângulo pode ser um de seus vértices? a) baricentro b) incentro c) circuncentro d) ortocentro e) ex-incentro. 11.Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicionam externamente em relação à sua região triangular? a) Baricentro e Ortocentro b) Incentro e Circuncentro c) Baricentro e Circuncentro d) Incentro e Ortocentro e) Baricentro e Incentro 12.(UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado:
  • 4. a) Mediana b) Mediatriz c) Bissetriz d) Altura e) Base. 13.(ESAM) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta do lado oposto é denominada altura. O ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do triângulo é chamado: a) Baricentro b) Incentro c) Circuncentro d) Ortocentro e) Mediana 14.(CESESP) Dentre os quatro centros principais do triângulo qualquer, há dois deles que podem se situar no seu exterior, conforme o tipo de triângulo. Assinale a alternativa em que os mesmos são citados. a) O baricentro e o ortocentro. b) O baricentro e o incentro. c) O circuncentro e o incentro. d) O circuncentro e o ortocentro. e) O incentro e o ortocentro. 15.No triângulo ABC da figura é altura e é a bissetriz do ângulo ,determine, sendo dados BÂH = 30º e = 40º . 16.Da figura sabemos que é altura e é bissetriz do ângulo BÂC do triângulo ABC. Se = 70º e HÂS= 15º, determine . 17.No triângulo ABC da figura, = 60º e = 20º. Qual o valor do ângulo HÂS formado pela altura e a bissetriz ?
  • 5. Gabarito: 1) a) B b) C c) I d) O e) B f) I g) C h) C i) I 2) a) 4 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4,5 cm 3) x = 5 cm, y = 12 cm e z = 6cm 4) A 5) B 6) B 7) D 8) C 9) B 10) D 11) E 12) D 13) D 14) D 15)110º16) 40º 17) 20º 1. (UFF) O triângulo MNP é tal que ângulo M = 80° e ângulo P=60°. A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do ângulo externo P é: a) 20° b) 30° *c) 40° d) 50° e) 60° 2.(UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado: a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. *d) altura. e) base. 3. (FATEC) Dada a figura: Sobre as sentenças I. O triângulo CDE é isósceles. II. O triângulo ABE é equilátero. III. AE é bissetriz do ângulo BÂD.
  • 6. é verdade que a) somente a I é falsa. b) somente a II é falsa. c) somente a III é falsa. d) são todas falsas. *e) são todas verdadeiras. 4. (CFTCE) A altura e a mediana traçadas do vértice do ângulo reto de um triângulo retângulo formam um ângulo de 24°. Sendo assim, os ângulos agudos do triângulo são: *a) 33° e 57° b) 34° e 56° c) 35° e 55° d) 36° e 54° e) 37° e 53° 5. (UFES) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos? a) 20° *b) 40° c) 60° d) 80° e) 140° 6. (FGV) Na figura abaixo, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta suporte da bissetriz do ângulo CÂH. Se c = 30° e b = 110°, então: a) x = 15° b) x = 30° c) x = 20° *d) x = 10° e) x = 5° 7. (FGV) Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC. Se BM é igual a 12cm, a medida do segmento GM é igual a: a) 10. b) 9. c) 8. d) 6. *e) 4. 8. (UFRJ)A área do triângulo retângulo no qual a medida da hipotenusa é 13cm e a de um dos catetos é 5cm é igual a: a) 128 cm2 b) 65 cm2 *c) 30 cm2 d) 39 cm2 e) 60 cm2 9. (ESPM) O retângulo ABCD tem área igual a 60cm2. Sabendo-se que E é um ponto do lado CD, podemos afirmar que a área do triângulo ABE é: *a) 30 b) 40 c) 50 d) 40 3 e) 50 3 10. (FUVEST) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1cm. A área do triângulo, em cm2, é:
  • 7. *a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. (UFRS) As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética. Qual o valor da área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6? a) 12 2 b) 18 c) 20 2 *d) 24 e) 30 12. (FUVEST) O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale: *a) 24 b) 12 c) 5 3 /2 d) 6 2 e) 2 3 13. (UNIRIO) Considere a figura abaixo, que apresenta um rio de margens retas e paralelas, neste trecho. Sabendo-se que AC=6 e CD=5, determine: a) a distância entre B e D; b) a área do triângulo ABD. RESPOSTAS: a) 3 3 + 5 b) (9 3 + 15) / 2 14. (FATEC) A altura de um triângulo equilátero e a diagonal de um quadrado têm medidas iguais. Se a área do triângulo equilátero é 16 3 m2 então a área do quadrado, em metros quadrados, é a) 6 *b) 2 4 c) 54 d) 96 e) 150 15. (FUVEST) ABCD é um trapézio; BC=2, BD=4 e o ângulo ABC é reto. a) Calcule a área do triângulo ACD. b) Determine AB sabendo que BV = 3VD. RESPOSTAS: a) 2 3 b) 6 3 16. (UNESP) Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo ABD é α = 30°, a medida do ângulo AED é β e x = BE. Determine: a) a área do triângulo BDE, em função de x. b) o valor de x, quando β = 75°. RESPOSTA: a) 3x/2 cm2 b) 6[( 3 ) -1] cm 17. (PUCCAMP) Considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as medidas indicadas estão em centímetros. A área do triângulo ABD, em centímetros quadrados, é igual a:
  • 8. a) 480 Dados: b) 576 sen 53° = 0,8 c) 640 cos 53° = 0,6 *d) 768 e) 824