O documento apresenta uma introdução às substituições trigonométricas, com definições, propriedades e exemplos ilustrativos. Inclui uma tabela com as principais funções trigonométricas, suas representações gráficas e propriedades fundamentais utilizadas nas substituições. Apresenta também vários exercícios resolvidos passo a passo para exemplificar a aplicação das substituições na resolução de equações e sistemas algébricos.

1. Substituições trigonométricas
IME/ITA/OLIMPÍADAS
6/3/2011
http://dadosdedeus.blogspot.com
Marcos Valle (IME)

2. 2 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
1 Um pouco de trigonometria...
Antes de trabalharmos diretamente com o conceito de substituições trigonométricas, é fundamental termos
solidificadas algumas propriedades da trigonometria. Confira na tabela abaixo as principais funções:
Nome da
Domínio / Imagem Representação Gráfica
função
Seno
Cosseno
Tangente
Cotangente
Secante

3. 3 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Cossecante
Segue ainda o formulário básico de trigonometria. Não deixe de fazer os exercícios da seção!
Proposição 1
Proposição 2
Proposição 3
Proposição 4
e
Proposição 5

4. 4 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Proposição 6
Proposição 7
Proposição 8
Proposição 9
Demonstração: Como no intervalo dado a função tangente é estritamente crescente, existe uma bijeção
entre sua imagem ( ) e seu domínio( ), i.e., para qualquer real existe tal que .
Proposição 10 Sejam e , tal que . Então:
Demonstração: Note que
Considere agora o triângulo retângulo abaixo

5. 5 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
É claro que e . Logo:
Mas:
Exercícios da seção 1:
1.1-) Sejam ângulos de um triângulo. Prove as seguintes desigualdades:
a-)
b-)
c-)
d-)
e-)
f-)
g-)
h-)
1.2-) Sejam ângulos de um triângulo. Prove as seguintes identidades:
a-)
b-)
c-)
d-)
e-)
f-)
1.3-) Sejam ângulos arbitrários. Prove que:
a-)

6. 6 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
b-)
2 Aplicações
Uma substituição trigonométrica nada mais é que a transformação de um número real em uma função
trigonométrica correspondente. A vantagem é que, em alguns casos, utilizar as propriedades vistas na seção
1 pode facilitar muito a resolução de um problema.
Um dos cuidados que devemos ter ao pensar em uma substituição trigonométrica é quanto às restrições da
função em uso. Por exemplo, as funções seno e cosseno são limitadas entre -1 e 1, por isso se
substituíssemos em por estaríamos restringindo o domínio da função.
Em casos assim, devemos buscar artifícios que possibilitem a troca, como fazer , já que
e agora o cosseno está em seu limite natural.
A grande questão é saber quando utilizar a substituição adequada. Existem alguns indicativos clássicos,
como a presença dos radicais ou de expressões como e Note que
esses termos são partes das identidades vistas na seção 1.
Um outro indicativo forte de que podemos pensar na trigonometria é a presença de termos como , que
podem levar à utilização dos valores trigonométricos conhecidos, como .
Infelizmente, nem sempre as substituições são evidentes e, em casos mais complexos, pode ficar bastante
complicado de enxergá-las. Por isso, a melhor forma de afiar a mente é treinando muito!
Exemplo 1 Resolva nos reais
Solução: É evidente que a solução clássica de elevar ambos os membros ao quadrado resolveria facilmente
nosso problema, mas vamos utilizá-lo para exemplificar uma substituição trigonométrica simples.
Da condição de existência, . Assim, podemos afirmar que existe tal que
. Substituindo:
Resolvendo encontramos . Logo:

7. 7 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Exemplo 2 (OBM) Determine todas as soluções reais da equação:
Solução: Esse é um caso em que a ideia impulsiva de elevar ambos os membros ao quadrado pode não ser
a melhor saída. Fazendo isso chegaríamos a um polinômio do 8º grau com diversas restrições de existência.
Note que do primeiro membro e do segundo . Assim, tome tal que
. Substituindo:
Pela P.5:
Com isso:
Como , temos como única possibilidade , de modo que o conjunto solução é:
Exemplo 3 Determine as raízes de
Solução: O termo lembra . Portanto, suponhamos que todas as
raízes do polinômio dado estejam entre -1 e 11, i.e. para . Substituindo e utilizando a P.6;
Assim:
1
De fato, . Pelo Teorema de Bolzzano concluímos que as 3 raízes estão
entre -1 e 1.

8. 8 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
No intervalo buscado, temos . Pelo Teorema Fundamental da Álgebra possui 3 raízes e
como encontramos 3 valores para , nossa hipótese de que era válida. Com isso:
Exemplo 4 Resolva nos reais
Solução: O termo nos remete a fórmula do arco triplo, o que nos faz pensar em substituir por um
múltiplo de Mas para podermos afirmar isso com segurança precisamos antes limitar .
Da condição de existência da raíz, temos que:
(I)
Suponhamos que :
(II)
Mas:
(III)
De (II) e (III) concluímos que . Logo e agora sim podemos afirmar que existe tal
que . Substituindo na equação original:
Assim:
Para o intervalo buscado, temos . Logo:
(Math Challenges Pag 36 - 4) Exemplo 5 Resolva nos reais equação

9. 9 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Solução: Para real temos .
Assim, podemos fazer :
Com isso, obtemos .
Portanto obtemos e o conjunto solução é:
Exemplo 6 (IME - 2008) Seja uma constante real positiva. Resolva a equação
, para e .
Solução: Como , existe tal que . Substituindo:
Como :
Mas da P.5:
Logo ( :

10. 10 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Assim, para a única possibilidade é . Com isso:
Exemplo 7 Sejam números reais diferentes de . Prove que a igualdade acontece
somente se
Solução: Sejam tais que . Note agora que:
Assim, . Nesse caso, e da mesma
identidade segue que:
Exemplo 8 Determine todas as soluções reais do sistema
Solução: Note que . Assim, existe tal que e:
Aplicando as transformações de arco duplo e arco triplo, temos ( ):
No intervalo buscado, as únicas possibilidades são . Logo, o conjunto solução real do sistema é
.
Exemplo 9 Determine todas as soluções reais do sistema

11. 11 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Solução: Se alguma das variáveis, por exemplo, for igual a , então . Assim,
podemos escrever:
Seja tal que . Da P.7 temos que e e por fim:
.
No intervalo buscado, o conjunto solução é:
Exemplo 10 Resolva o sistema abaixo nos reais:
Solução: Se , então da primeira equação , tornando o sistema indeterminado, i.e. .
Analogamente, . Isolando , obtemos:
Pela P.9, existe um único tal que Assim, pela P.7:

12. 12 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Da última equação, temos . Além disso,
. Portanto, o conjunto solução é:
Exemplo 11 Resolva o sistema de equações nos reais
Solução: Sejam com tais que . Lembrando que
:
Assim, no intervalo buscado as soluções ocorrem para
.
Exemplo 12 Se , determine o valor máximo de .
Solução: Se , então seja tal que . Assim:
Como , o valor máximo é .
Exemplo 13 Calcule o maior valor real da expressão .
Solução: Seja tal que . Note que . Temos então:
Da proposição 12:

13. 13 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Logo, o maior valor da expressão dada é .
Exemplo 14 Se é uma sequência que satisfaz a recorrência . Prove que essa
sequência é periódica.
Solução: Seja tal que . Assim:
Logo ( ):
Somando as equações acima2:
Como a função tangente é periódica de período , temos que:
Portanto, o perído da sequência é 6.
Exemplo 15 (ITA - 2004) Determine os valores reais do parâmetro para os quais existe um número real
satisfazendo .
Solução: Da condição de existência:
Assim, seja tal que . Com isso:
2
A rigor, é necessário fazer a prova por indução.

14. 14 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Mas
Com isso, concluímos que a expressão é válida para todo que não excede .
Exemplo 16 Se e são números reais não nulos tais que . Então, prove que .
Solução: Seja tal que e . Assim:
Portanto, o valor máximo ocorre para , i.e.
Exemplo 17 Prove que
para todo .
Solução: Sejam tais que e . Então:
E:
Assim:
Mas:

15. 15 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
Exemplo 18 Prove que se os reais positivos satisfazem , então
Solução: A identidade juntamente com os temos da expressão nos faz pensar em
uma substituição por tangente. Pela proposição 9, sabemos que isso pode ser feito de maneira única e, como
as variáveis são positivas, podemos fazer a troca sem receios. Assim, sejam tais que:
Aplicando a proposição 2 no primeiro membro:
Lembrando que :
Mas pelo exercício 1.1 item b-):
Exemplo 19 Como x, y e z são positivos, podemos dividir ambos os membros por e
obtermos:
(I)
Mas se são positivos, existe um triângulo com lados . Seja então
, temos .
Mas, do Teorema dos Cossenos:
Como :
Analogamente, concluímos que:

16. 16 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
E:
Substituindo em (I):
Podemos ainda fazer as seguintes substituições:
Note que (i.e. ângulos de um triângulo acutângulo) e, pelo execício 1 item b-):
Exemplo 20 Sejam números reais positivos tais que . Prove que
Solução: Sejam .Logo:
em que são reais positivos tais que . Note que a desigualdade é equivalente a:
Mas se fizermos , então pelo exercício 1.1 item c-):
Exercícios da seção 2
2.1-) Determine todas as soluções reais de .
2.2-) Determine todas as soluções reais de .
2.3-) Determine todas as soluções de .
2.4-) Resolva a equção .

17. 17 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
2.5-) (ITA – 2005) Se e , em que é um parâmetro real, calcule os valores de
para os quais a equação admite solução não nula.
2.6-) Resolva o sistema
2.7-) Se são números reais e distintos que satisfazem as seguintes equações
determine o valor de .
2.8-) Determine todas as soluções do sistema
2.9-) Determine o maior valor do produto se os números reais e satisfazem a relação:
2.10-) Considere as sequências definidas por e , , .
Prove que, para todo natural, .
2.11-) Defina . Determine .
2.12-) Sejam números reais positivos tais que . Prove que
2.13-) Se são números reais no intervalo satisfazendo , mostre que:
2.14-) Sejam números reais positivos. Prove que
2.15-) Sejam números reais maiores que 1 tais que . Prove que

18. 18 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas
2.16-) (IME - 2010) Considere a sequência: , , , ......
Determine o produto dos 20 primeiros termos desta sequência.
3 Referências bibliograficas
ANDREESCU, Titu; RAZVAN Gelca. Putnam and Beyond. New York: Springer, 2007.
ANDREESCU, Titu; RAZVAN Gelca. Mathematical Olympiad Challenges. 2a edição. Boston: Birkhäuser,
2009.
VERDIYAN, Vardan; SALAS, Daniel Campos. Simple trigonometric substitutions with broad results.
Disponível em: <http://www.luys.am/images/scholars/attachments/Vardan_Verdiyan-
Simple_trigonometric_substitutions_with_broad_results.pdf> Acesso em: 3 jun. 2011.
SANTOS, Judson. Substituições trigonométricas. Disponível em:
<http://www.rumoaoita.com/site/attachments/135_1528509_Subst%20Trigonometricas%20_%20ITA-IME.pdf>
Acesso em: 3 jun. 2011
Notas de aula do professor Carlos Alberto VICTOR.
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19. 19 Dados de Deus – Substituições Trigonométricas