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Revisitando as Frações
1.0 - O que é fração?
É um pedaço ou parte de um todo que foi dividido em partes iguais. Essa últ...
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Matematicamente, temos que uma fração é da forma
𝑎
𝑏
com 𝑎 ∈ ℤ e 𝑏 ∈ ℤ∗
,
ou seja, a é um número pertencente ao conjunto...
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3.0 - Tipos de fração
Uma fração pode ser própria, imprópria ou aparente. Fica fácil entender o que
cada uma representa ...
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Comer uma fatia da primeira pizza é equivalente a comer duas fatias da segunda
pizza, isto é:
O que acontece é que, para...
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Exemplo:
Que número devemos somar ao numerador da fração 27/54 para que ela seja
equivalente a 2/3?
5.0 - Número misto (...
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6.0 - Comparação
Comparar frações significa estabelecer a relação de maior que, menor que ou
igual a entre duas frações....
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Lista de exercícios 01
Questão 01 - A fração 3/8 será representada sobre um retângulo cujas dimensões
são 6cm de largura...
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7.0 - Operações com frações
7.1 - Adição
A adição entre duas frações é a operação tida como a mais complexa e é a que
ma...
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O menor múltiplo comum a 3 e 4, excetuando o zero é:
MMC(3,4) = 12
Assim, se as duas vasilhas estiverem divididas em 12 ...
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7.2 - Subtração
O processo para a subtração entre duas frações é exatamente o mesmo que
para a adição, devemos encontra...
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Lista de exercícios 02
Questão 01 – Encontre o MMC entre os números dados seguindo o exemplo:
Ex: MMC(3,4)
Os múltiplos...
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Questão 03 – Efetue cada uma das operações a seguir:
Questão 04 – Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários...
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7.3 - Multiplicação
A multiplicação está associada a ideia de soma de parcelas iguais. Quando
estamos trabalhando com n...
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Das roupas infantis, metade é destinada ao público em questão. Vamos fazer a
representação geométrica desse problema:
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7.4 - Divisão
Uma das ideias associada à divisão é de quantas vezes um quantia cabe em outra.
Assim, se temos 2 dividid...
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E se a divisão for entre duas frações, por exemplo, ½ : ¼ ? Podemos pensar da
mesma forma: quantas vezes ¼ cabe em ½? V...
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Multiplicando os dois membros por 3/5, temos:
3/5 ×
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= 𝑥 ×
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Usando o cancelamento, encontramos:
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Lista de exercícios 03
Questão 01 - O resultado de 9 : 1/9 é:
a) 1
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c) 1/18
d) 1/81
Questão 02 - O resultado de 7 ...
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Frações

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Material teórico de frações

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Frações

  1. 1. 1 Revisitando as Frações 1.0 - O que é fração? É um pedaço ou parte de um todo que foi dividido em partes iguais. Essa última informação é importante para evitar que se represente, por exemplo, 1 4 como na figura abaixo: Observe algumas representações corretas de frações: A região pintada não representa 1 4⁄ pois não está dividida em partes iguais. 1 2 (um meio) 1 3 (um terço) 3 5 (três quintos) Obs: Numa fração como 2 3⁄ , o 2 é chamado de numerador (o que numera – diz o número) e o 3 é chamado de denominador ( o que denomina – diz o nome). 2 3 dois (número) terços (nome)
  2. 2. 2 Matematicamente, temos que uma fração é da forma 𝑎 𝑏 com 𝑎 ∈ ℤ e 𝑏 ∈ ℤ∗ , ou seja, a é um número pertencente ao conjunto dos números inteiros (ℤ = {… , −2, −1,0,1,2, … }) e b também é um número inteiro, porém não pode ser zero (inteiro não-nulo). Assim, expressões do tipo √2 3 ou 1,5 4 não são frações, apesar de que a segunda pode ser transformada em fração caso o numerador e denominador sejam multiplicados por 2, encontrando 3 8 . 2.0 - Nomes das frações Como visto acima, o nome da fração é dado pelo número que está abaixo do traço da fração, veja na tabela alguns nomes: Curiosidade : Curiosidade : Denominadores de 2 a 9: 1/2 – um meio 1/3 – um terço 1/4 – um quarto 1/5 – um quinto 1/6 – um sexto 1/7 – um sétimo 1/8 – um oitavo 1/9 – um nono 1/10 – um décimo Para denominadores maiores que 10, usamos a palavra avos, que significa partes: 1/11 – um onze avos 1/15 – um quinze avos 1/20 – um vinte avos (ou um vigésimo) 1/41 – um quarenta e um avos 1/100 – um cem avos (ou um centésimo) 1/1.000 – um mil avos (ou um milésimo) 1/10.000 – um dez mil avos (ou um décimo de milésimo) Por que o conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z? O símbolo Z vem de Zahl, que em alemão, língua usada pelo criador da Teoria dos Conjuntos (George Cantor) quer dizer número. Por que o denominador de uma fração não pode ser zero? Suponha que 3 0 = 𝑥. Isso nos dá que 3 = 0 ∙ 𝑥. Mas nenhum valor, ao substituir o x e ser multiplicado por zero dará 3.
  3. 3. 3 3.0 - Tipos de fração Uma fração pode ser própria, imprópria ou aparente. Fica fácil entender o que cada uma representa quando prestamos atenção nos nomes. 3.1 - Fração Própria – É uma fração propriamente dita, isto é, é realmente uma parte do todo. Reconhecemos uma fração própria quando o numerador é menor que o denominador (com o numerador diferente de zero). Ex: 3.2 - Fração Imprópria – Fração imprópria é aquela que não é própria. Na fração imprópria, temos mais que um inteiro, um inteiro ou nada. Nesse caso, o numerador é maior que o denominador, igual ao denominador ou é zero, respectivamente. Ex: 3.3 - Fração Aparente - Parece fração mas na verdade representa um número inteiro já que o numerador é divisível pelo denominador. É um caso particular das frações impróprias. Ex: 4.0 - Frações equivalentes Duas ou mais frações são ditas equivalentes quando representam a mesma parte do todo. Por exemplo, imagine duas pizzas de mesmo tamanho sendo uma dividida ao meio e outra em quatro partes iguais.
  4. 4. 4 Comer uma fatia da primeira pizza é equivalente a comer duas fatias da segunda pizza, isto é: O que acontece é que, para compensar o fato de que dividir a pizza em mais fatias deixa as fatias menores, serão comidas mais fatias. Se dobramos o número de fatias em que a pizza foi dividida, dobramos o número de fatias consumidas. Se triplicamos o número de fatias em que a pizza foi dividida, triplicamos o número de fatias a serem comidas. Desta forma, o consumo será o mesmo. Assim, podemos obter frações equivalentes pela multiplicação do numerador e do denominador por um mesmo número: 1 2 = 2 4 = 3 6 = ⋯ Obviamente, já que a igualdade é válida nos dois sentidos, podemos obter frações equivalentes pela divisão do numerador e denominador por um mesmo número: 2 4 = 1 2 Neste caso, temos que ½ é a forma simplificada de 2/4. Dizemos que ½ é uma fração irredutível (não pode mais ser simplificada). Exemplo: Uma fração equivalente a 2/5 a soma entre o numerador e o denominador igual a 35. Que fração é essa? 1 2 2 4 x2 x3 x2 x3 :2 :2
  5. 5. 5 Exemplo: Que número devemos somar ao numerador da fração 27/54 para que ela seja equivalente a 2/3? 5.0 - Número misto (e não fração mista!) O misto da lanchonete é chamado de misto pois mistura o queijo ao presunto. Da mesma forma, o número misto é a mistura de dois tipos de número: o inteiro e a fração. Ex: Quando escrevemos a fração 3 2 5 , temos 3 inteiros e mais 2 5 . Assim, 3 2 5 = 3 + 2 5 . Ex: Podemos usar os números mistos em substituição às frações impróprias: 15 4 = 4 4 + 4 4 + 4 4 + 3 4 = 1 + 1 + 1 + 3 4 = 3 + 3 4 = 3 3 4 Representando graficamente, temos: Curiosidade: O uso do Lego na Matemática https://www.youtube.com/watch?v=NdaMT0VNQSQ ou http://segue.se/lego No link acima, é apresentado o trabalho da professora Alycia Zimmerman sobre o ensino de Matemática com o brinquedo Lego. Informação útil: Se quiser fazer o download de um vídeo do YouTube, basta colocar as letras ss logo após www. Ex: https://www.ssyoutube.com/watch?v=NdaMT0VNQSQ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 1 4⁄ 3 inteiros 3/5
  6. 6. 6 6.0 - Comparação Comparar frações significa estabelecer a relação de maior que, menor que ou igual a entre duas frações. Um método geral para comparar frações é deixar os denominadores iguais e comparar os denominadores. Ora, se há duas pizzas iguais que são divididas em quantidades iguais de fatias, quem comer mais fatias, terá comido mais pizza. 3 4 > 2 4 Podemos comparar também frações com numeradores iguais. Se duas frações têm denominadores iguais, quanto maior o denominador, menor a fração. Voltando às pizzas, suponha que duas delas, iguais entre si, foram divididas de forma diferente: uma em 4 fatias e outra em 8 fatias. Óbvio que as fatias da segunda pizza serão menores que as fatias da primeira (na verdade, a metade). Assim, comer três fatias da primeira pizza é comer muito mais (o dobro) que da segunda pizza. 3 4 > 3 8 Podemos ainda comparar frações por outros caminhos, como por exemplo, fazendo uma estimativa do valor ou transformando-a em número decimal. Ex:
  7. 7. 7 Lista de exercícios 01 Questão 01 - A fração 3/8 será representada sobre um retângulo cujas dimensões são 6cm de largura por 20cm de comprimento. Qual a área da figura que representa a fração? Questão 02 - A fração 2/5 será representada em um círculo que será dividido em setores circulares (como as fatias de uma pizza). Qual o ângulo correspondente à representação da fração? Questão 03 - No texto, vimos o motivo de não existirem frações do tipo 3/0 (com denominador zero). Pensando pelo mesmo caminho exposto, o que podemos dizer da fração 0/0? Questão 04 - Qual a menor fração que deve ser somada à fração 156/19 para que a soma seja uma fração aparente? Questão 05 - (OBM 2013) Os gatos Mate e Tica estão dormindo no sofá. Mate chegou antes e quando Tica chegou, ela ocupou um quarto da superfície que havia sobrado do sofá. Os dois juntos ocupam exatamente a metade da superfície do sofá. Qual parte da superfície do sofá está ocupada por Tica? Questão 06 – (OBM 2010) Numa sala do 6° ano, todos gostam de pelo menos uma das duas matérias: Matemática ou Português. Sabe-se que ¾ dos alunos gostam de Matemática e 5/7 dos alunos gostam de Português. A sala tem 56 alunos. Quantos alunos gostam dessas duas matérias ao mesmo tempo? Questão 07 – (OBM 2009) Numa pesquisa sobre o grau de escolaridade, obtiveram-se os resultados expressos no gráfico. Que fração do total de entrevistados representa o total de pessoas que terminaram pelo menos o Ensino Fundamental? Questão 08 – (OBM 2007) A fração a/b, onde a e b são inteiros positivos, representa um número entre 0 e 1, na posição indicada no desenho ao lado. Qual é um possível valor para a soma a + b. a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Questão 09 – (OBM 2007) O conteúdo de uma garrafa de refrigerantes enche três copos grandes iguais e mais meio copo pequeno ou 5 desses copos pequenos iguais mais a metade de um daqueles grandes. Qual a razão entre o volume de um copo pequeno e de um grande? Questão 10 – (OBM 2004) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?
  8. 8. 8 7.0 - Operações com frações 7.1 - Adição A adição entre duas frações é a operação tida como a mais complexa e é a que mais apresenta erros na sua resolução por parte dos alunos. De fato, quando os denominadores são diferentes, é necessário deixá-los iguais antes de efetuar a operação, fazendo uso do MMC. Nesse caso, o melhor a se fazer, é deixar claro o motivo que nos obriga a deixar os denominadores iguais e não apenas somar numerador com numerador e denominador com denominador. Observe a situação: Em uma experiência no laboratório, os líquidos das vasilhas A e B devem ser misturados na vasilha C. Será que a vasilha C comporta os dois líquidos juntos? Visualmente, podemos intuir que sim, a vasilha comporta os dois líquidos, mas vamos comprovar através da adição das frações em cada vasilha, que são 1/3 e 1/4. O ideal seria que tivéssemos uma vasilha com a mesma medida, com a mesma gradação. Que medida seria essa? Em quantas partes deveria estar dividida a vasilha para que fosse possível fazer a leitura dos líquidos em A e B? Para ler o liquido em A, a vasilha deve estar dividida em 3 partes e para o liquido em B, em quatro partes. Assim, o número procurado deve ser divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo. Ora, ser divisível por 3 e 4 é o mesmo que ser múltiplo de 3 e 4 ao mesmo tempo. Um múltiplo comum de 3 e 4, podendo ser qualquer um, em especial, o menor deles (exceto o zero). Os múltiplos de 3 e 4 são: M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,...} M(4) = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,...} Os múltiplos comuns a 3 e 4 são: 0, 12, 24, 36, ... CA B
  9. 9. 9 O menor múltiplo comum a 3 e 4, excetuando o zero é: MMC(3,4) = 12 Assim, se as duas vasilhas estiverem divididas em 12 partes, teremos como fazer uma leitura dos dois líquidos e concluir se cabem ou não na vasilha C. Assim, na vasilha A temos 4 dos 12 espaços sendo ocupados e na vasilha B são 3 dos 12 espaços. Se juntarmos, teremos 7 dos 12 espaços ocupados. Ou seja, não irá vazar. Através da resolução desse problema, o que acabamos de fazer aqui foi somar as duas frações (1/3 e 1/4). Primeiro encontramos o MMC ente 3 e 4 que é 12. Na sequência, encontramos frações equivalentes a 13 e 14 que tenham o denominador 12: 1 3 = 4 12 1 4 = 3 12 Para finalizar, basta somas as duas frações, repetindo o denominador e somando os numeradores: 1 3 + 1 4 = 4 12 + 3 12 = 4 + 3 12 = 7 12 Veja mais alguns exemplos: 1 4 + 3 6 = 2 5 + 1 7 = 3, 4 2 3, 2 2 X 3, 1 3 1, 1 12 ‘ A B x4 x4 x3 x3
  10. 10. 10 7.2 - Subtração O processo para a subtração entre duas frações é exatamente o mesmo que para a adição, devemos encontrar o MMC entre os denominadores das frações, encontrar as frações equivalentes e efetuar a operação entre os numeradores. Podemos ainda misturar adição com subtração numa mesma expressão. Veja os exemplos: 1 4 − 3 6 = 2 5 − 1 7 + 4 9 = Observação 01: Para encontrar os múltiplos de um número qualquer, basta multiplicar esse número por todos os números naturais (0, 1, 2, 3, ...) ou ainda, pelos números inteiros, se quiser trabalhar com os múltiplos negativos também. Observação 02: O uso do MMC como denominador das frações equivalentes tem suas vantagens mas não é obrigatório. Pode-se usar qualquer múltiplo comum entre os dois denominadores. No caso das vasilhas acima, qualquer um dos números 12, 24, 26, ... poderia ser o denominador da fração equivalente. Observação 03: Veja como é importante que os conceitos de fração e frações equivalentes estejam bem trabalhados para o estudo das operações. Observação 04: Quando a operação for entre um número inteiro e uma fração, devemos escrever o inteiro sobre 1 e seguir os mesmos passos para efetuar a conta. Da mesma forma, se for um número misto, escrevemos como fração e depois fazemos a operação.
  11. 11. 11 Lista de exercícios 02 Questão 01 – Encontre o MMC entre os números dados seguindo o exemplo: Ex: MMC(3,4) Os múltiplos de 3 e 4 são: M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,...} M(4) = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,...} Os múltiplos comuns a 3 e 4 são: 0, 12, 24, 36, ... MMC(3,4) = 12 a) 5 e 6 b) 8 e 12 c) 1 e 3 Questão 02 – Encontre o MMC entre os números dados seguindo o exemplo: Ex: MMC(3,4) MMC(3,4) = 12 a) 5 e 6 b) 8 e 12 c) 1 e 3 3, 4 2 3, 2 2 X 3, 1 3 1, 1 12
  12. 12. 12 Questão 03 – Efetue cada uma das operações a seguir: Questão 04 – Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em Dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é 516 reais e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário? Questão 05 – João Carlos gasta ¼ do seu salário com o aluguel e 2/5 com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: 3/8 do seu salário foram gastos com remédios. Sobrou dinheiro? Questão 06 – A quarta parte do comprimento de um poste está pintado de vermelho, 1/3 de azul, 1/5 de amarelo e o resto de verde. Que fração do poste representa a parte pintada de verde? Questão 07 – Uma pessoa sai de sua casa com certa quantidade de dinheiro no bolso. Ela gasta 1/5 de seu dinheiro nos correios, depois gasta 1/4 do dinheiro em um livro, e então percebe que sobraram 33 reais. Com quantos reais saiu de sua casa?
  13. 13. 13 7.3 - Multiplicação A multiplicação está associada a ideia de soma de parcelas iguais. Quando estamos trabalhando com números inteiros, esse conceito é facilmente entendido: 5 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 Ou seja, 5 x 7 significa que a parcela 7 aparece 5 vezes. Talvez seja interessante introduzir a seguinte ideia: multiplicar 5 por 7 é o mesmo que considerar 5 grupos de 7, ou seja, 5 de 7. Assim, quando trabalhamos com problemas envolvendo frações, é comum “traduzir” 2 5 de 3 4 como sendo 2 5 × 3 4 . Esse conceito será útil para introduzir o produto entre duas frações. Se trabalhamos com a multiplicação de um inteiro por uma fração, podemos estender essa mesma ideia de soma de parcelas iguais: 5 × 2 7 = 2 7 + 2 7 + 2 7 + 2 7 + 2 7 = 10 7 De forma mais prática, podemos pensar que para encontrar o produto da multiplicação entre um inteiro e uma fração, basta multiplicar o inteiro pelo numerador e repetir o denominador: Ex: 2 × 4 5 = 3 × 7 12 = E para multiplicar uma fração por outra? Qual o significado disso? Vamos usar o seguinte problema como base: “Uma loja de roupas tem 1/3 de seus produtos destinado a crianças. Dessas, 1/2 é destinado a crianças menores que 5 anos. Qual a fração do total destinada a crianças menores que 5 anos?”
  14. 14. 14 Das roupas infantis, metade é destinada ao público em questão. Vamos fazer a representação geométrica desse problema: 1) Todas as roupas da loja (o inteiro): 2) Roupas infantis (1/3 do total): 3) Metade desse 1/3: 4) Em relação ao total, essa parte corresponde a 1/6. 5) No final, temos que 1 2 de 1 3 é o mesmo que 1 2 × 1 3 que é igual a 1 6 . Assim, para multiplicar uma fração por outra, multiplicamos o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador. Ex: 2 3 × 4 5 = 3 14 × 7 12 =
  15. 15. 15 7.4 - Divisão Uma das ideias associada à divisão é de quantas vezes um quantia cabe em outra. Assim, se temos 2 dividido por ½, podemos nos perguntar quantas vezes ½ cabe em 2 inteiros. Fazendo alguns desenhos, descobrimos facilmente que 2 : ½ = 4. E se for o contrário? Qual o valor de ½ : 2 ? Vamos colocar essa conta dentro de um problema e buscar um modelo visual para chegar a essa resposta. “O lanche de Gustavo na escola são duas 2 maçãs que ele leva de casa. Acontece que a vasilha que ele tem para levar o lanche só comporta ½ maça. Que parte do lanche todo cabe na vasilha?” Em outras palavras (mais acessíveis), está sendo perguntado: o quanto de 2 cabe em ½, ou seja, qual é o valor de ½ : 2? Lanche: Capacidade da vasilha: A vasilha só tem capacidade para ¼ do lanche: Logo, ½ : 2 = ¼, ou seja, somente ¼ de 2 cabe em ½. ½ ½ ½ ½
  16. 16. 16 E se a divisão for entre duas frações, por exemplo, ½ : ¼ ? Podemos pensar da mesma forma: quantas vezes ¼ cabe em ½? Vamos desenhar! Podemos perceber claramente que ¼ cabe 2 vezes em ½, isto é, ½ : ¼ = 2. A escolha de ½ e ¼ foi conveniente para que ficasse visível o resultado. Não seria tão claro se fosse 1/3 : 2/5, mas ainda assim, seria possível fazer, bastando deixar as duas frações com denominadores iguais: 1 3 = 5 15 e 2 5 = 6 15 Dos 6 pedaços de 6/15, apenas 5 deles cabem em 5/15, ou seja, 5 dos 6, isto é, 5/6. Assim, temos que: 1/3 : 2/5 = 5/15 : 6/15 = 5/6 Nesse ponto, vale a pena refletir se, como professores, devemos seguir essa linha ou partir para a regra que aprendemos de repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda fração. Caso a decisão seja partir para a regra, é importante saber o que torna ela válida. Vamos pedir auxílio à álgebra para entender: 2 3 : 3 5 = 2 3⁄ 3 5⁄ Como não sabemos o resultado dessa divisão, vamos chamar de x. 2 3⁄ 3 5⁄ = 𝑥
  17. 17. 17 Multiplicando os dois membros por 3/5, temos: 3/5 × 2 3⁄ 3 5⁄ = 𝑥 × 3 5 Usando o cancelamento, encontramos: 3/5 × 2 3⁄ 3 5⁄ = 𝑥 × 3 5 2 3 = 𝑥 × 3 5 Agora vamos multiplicar os dois membros por 5/3. 2 3 × 5 3 = 𝑥 × 3 5 × 5 3 2 3 × 5 3 = 𝑥 × 15 15 2 3 × 5 3 = 𝑥 × 1 2 3 × 5 3 = 𝑥 Saímos de 2 3 : 3 5 = 𝑥 e chegamos em 2 3 × 5 3 = 𝑥, logo: 2 3 : 3 5 = 2 3 × 5 3 Nesse ponto é importante lembrar que o professor deve conhecer os detalhes do que ensina. Não podemos ter nosso conhecimento baseado apenas no livro que usamos para ensinar. É importante saber o que justifica as coisas que são explicadas no livro.
  18. 18. 18 Lista de exercícios 03 Questão 01 - O resultado de 9 : 1/9 é: a) 1 b) 81 c) 1/18 d) 1/81 Questão 02 - O resultado de 7 x 8 x 9 x 1/7 x 1/8 x 1/9 é: a) 0 b) 1 c) 504 d) 1/504 Questão 03 - Quatro pessoas comeram metade de uma pizza. Sabendo que comeram partes iguais, cada pessoa comeu da pizza o equivalente a: a) 1/4 b) 1/8 c) 1/6 d) 1/16 Questão 04 - (UniFOR) Se o triplo de um número é 18/5, então: a) sua terça parte é 1/5. b) sua metade é 2/5. c) seu dobro é 12/5. d) seu quádruplo é 4. e) seu quíntuplo é 18. Questão 05 - Qual o valor da divisão abaixo?

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