O documento define fatoração e apresenta exemplos de diferentes tipos de fatoração, incluindo fator comum, agrupamento, diferença de dois quadrados, trinômio quadrado perfeito de soma e diferença, e cubo perfeito de soma e diferença.

1. Definição de Fatoração
A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de
diversos fatores.
Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:
Na sequência vemos como tratar cada um destes tipos de fatoração em particular.
A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas.
Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação,
por exemplo.
Fator Comum: ax + bx = x(a + b)
A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.
No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em
evidência:
Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a expressão quociente
da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses:
Exemplos

2. Agrupamento:
ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)
No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos,
no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns
a outros termos.
Vejamos o exemplo abaixo:
Note que o fator x é comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y é comum aos
dois últimos termos, então podemos colocá-los em evidência:
Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em comum e que também pode ser colocado em
evidência:
Assim sendo:
Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os cálculos somando 4 com 6, mas
o foco aqui é a fatoração em si:
No lugar dos fatores x e y, poderíamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são
comuns ao fatores 4x e 4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:
E ao colocarmos o fator (x + y) em evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido
anteriormente, apenas com uma mudança na ordem dos fatores, que como sabemos não
altera o produto:
Exemplos

3. Diferença de Dois Quadrados: a2 b2 = (a + b)(a - b)
Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos
notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos
leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este
conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.
Vejamos este exemplo na sequência:
Visto que a2 - b2 = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:
Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz
quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).
Logo:
Exemplos
Trinômio Quadrado Perfeito - Soma:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio
quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros
em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um
trinômio quadrado perfeito.
Como fatorar o trinômio abaixo?
Se o pudermos escrever como a2 + 2ab + b2 estaremos diante de um trinômio quadrado
perfeito, que fatorado é igual a (a + b)2.
Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x2 no primeiro termo e o valor de b
extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.

4. Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a2 + 2ab + b2 devemos chegar a
uma variação do trinômio original:
Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a2 + 2ab + b2 termo a termo para
verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.
Quando substituímos a por x em a2 chegamos ao x2 original.
Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . x . 7, equivalente ao 14x original.
E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro
termo do polinômio original.
Como foi possível escrever x2 + 14x + 49 na forma a2 + 2ab + b2, então estamos mesmo
diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:
Portanto:
Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos
realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x2 + 14x + 49 em
a2 + 2ab + b2 levaria a um polinômio diferente do original. Por exemplo, se o trinômio fosse
x2 + 15x + 49, o segundo termo 15x iria diferir do segundo termo obtido via substituição
de a e b que é 14x, portanto não teríamos um trinômio quadrado perfeito.
Note que realizamos uma verificação termo a termo para verificar se realmente tínhamos um
trinômio quadrado perfeito, mas você não precisará fazer tal verificação quando no
enunciado da questão estiver explícito que os polinômios realmente são trinômios
quadrados perfeitos.
Exemplos
Trinômio Quadrado Perfeito - Diferença: a2 2ab + b2 = (a - b)2
Assim como o caso da soma visto acima, de forma análoga temos o caso da diferença.
Vejamos este outro trinômio:

5. Como 2x é a raiz quadrada de 4x2, do primeiro termo, e 5 é a raiz quadrada de 25 do
terceiro termo, podemos reescrevê-lo como a seguir, substituindo a por 2x e b por 5 temos:
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos
um trinômio quadrado perfeito:
Portanto, temos realmente um trinômio quadrado perfeito que pode ser escrito na forma
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2:
Logo:
Exemplos
Cubo Perfeito - Soma:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Na sentença acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, que nada mais é que o
cubo da soma de dois termos.
Se temos um polinômio a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 podemos fatorá-lo como (a + b)3.
Vamos analisar o polinômio abaixo:
Nosso objetivo é escrevê-lo na forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substituindo a por 7 que é a
raiz cúbica de 343 e substituindo b por 3y que é a raiz cúbica de 27y3:
Como visto nos dois tipos anteriores, também neste tipo e no próximo, se não estiver claro
no enunciado da questão que realmente se trata de um cubo perfeito, precisamos verificar

6. se todos os membros do polinômio original são iguais aos termos do polinômio obtido via
substituição de a e b em a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Como os respectivos termos do polinômio
original e do polinômio acima são iguais, temos de fato um cubo perfeito:
Então temos um cubo perfeito que é fatorado como:
Exemplos
Cubo Perfeito - Diferença: a3 - 3a2b + 3ab2 b3 = (a - b)3
A forma fatorada do polinômio no primeiro membro da sentença acima é o cubo da
diferença de dois termos.
O polinômio a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 é fatorado como (a - b)3.
Vamos fatorar a sentença abaixo de forma análoga a que fizemos no tipo de fatoração
anterior:
Extraímos a raiz cúbica de 8a3 que é 2a e de 343b3 que é 7b e então substituímos a e b
respectivamente por 2a e 7b em a3 - 3a2b + 3ab2 - b3:
Como os respectivos termos do polinômio original e do polinômio acima são iguais, temos
um cubo perfeito:
Então:
Exemplos