1. esfera fórmulas e questões

Celso Brasil
Geometria Espacial - Esfera
Exercícios resolvidos sobre esfera

Esfera
Celso do Rozário Brasil
Celso do Rozário Brasil pág. 1

Esfera

Esfera
Questões Resolvidas do Livro Fundamentos de Matemática Elementar,volume 10
(669) Calcule a área e o volume das esferas, cujas medidas estão indicadas abaixo:
(a)
Solução
(i) A área da esfera é dada por:
Sesfera = 4πR2
→ Sesfera = 4π(1,6)2
→ Sesfera = 4π. 2,56 → 𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟏𝟎, 𝟐𝟒𝛑 𝐜𝐦²
(ii) O volume da esfera é dado por:
Vesfera =
4
3
πR3
→ Vesfera =
4
3
π(1,6)3
→ Vesfera =
4
3
π. 4,096 → Vesfera =
16,384
3
π →
𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟓, 𝟒𝟔𝛑 𝐜𝐦³
(b)

Esfera
(i) Calculo do raio da esfera:
r2
= 42
+ 32
→ r2
= 16 + 9 → r2
= 25
(ii) Cálculo da área da esfera:
Sesfera = 4πR2
→ Sesfera = 4π. 25 → 𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟏𝟎𝟎𝛑 𝐜𝐦²
(iii) Cálculo do Volume da esfera:
Vesfera =
4
3
πR3
→ Vesfera =
4
3
π(5)3
→ Vesfera =
4
3
π. 125 → 𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 =
𝟓𝟎𝟎𝛑
𝟑
𝐜𝐦³
670. Represente, nas esferas abaixo, através de expressões algébricas:
(a) a área do fuso
O vamos expressar o ângulo 𝜶 em graus:
α =
π
6
rad → α =
180°
6
→ 𝛂 = 𝟑𝟎°
Podemos usar a seguinte regra de três:
360°....................4πr²
α............................Sfuso
Sfuso =
4πr²α
360°
→ Sfuso =
πr²α
90°
→ Sfuso =
πr2
30°
90°
→
Sfuso =
πr2
3
Como o raio mede:
r =
x
2
temos:
Sfuso =
πr2
3
→ Sfuso =
π (
x
2
)
2
3
→ Sfuso =
π.
x2
4
3
→ 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨 =
𝛑𝐱²
𝟏𝟐

Esfera
(b) A área total e o volume da cunha.
Sabemos que:
r =
x
2
e α =
π
6
Note que o raio da cunha = raio esfera. Logo:
𝐒𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 = 𝐒𝐜í𝐫𝐜𝐮𝐥𝐨 + 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨
Note que a planificação da cunha resulta em um círculo de raio r mais o fuso esférico. Logo:
𝐒𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 = 𝐒𝐜í𝐫𝐜𝐮𝐥𝐨 + 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨
(i) Área total da cunha:
A área do fuso pode ser calculada através de uma regra de três:
2π..........................4𝜋𝑟2
𝛼................................ 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨
Sfuso =
4πr2
. α
2π
→ 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨 = 𝟐𝐫𝟐
. 𝛂
Logo:
Scunha = Scírculo + Sfuso → Scunha = πr2
+ 2r2
. α → Scunha = π (
x
2
)
2
+ (2 (
x
2
)
2
.
π
6
) →

Esfera
Scunha =
πx²
4
+ (2.
x2
4
.
π
6
) → Scunha =
πx²
4
+ (
x2
2
.
π
6
) → Scunha =
πx²
4
+
x²π
12
→ Scunha =
3πx2
+ πx²
12
Scunha =
4πx²
12
→ 𝐒𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 =
𝛑𝐱²
𝟑
(ii) Volume da cunha:
2π................................
4
3
𝜋𝑟3
α....................................𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎
Vcunha =
4
3
πr3
. α
2π
→ Vcunha =
4r³α
6
→ 𝐕𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 =
𝟐𝐫³𝛂
𝟑
Vcunha =
2r³α
3
→ Vcunha =
2 (
x
2
)
3
.
π
6
3
→ Vcunha =
2.
x3
8
.
π
6
3
→ Vcunha =
πx³
24
3
𝛑𝐱³
𝟕𝟐
(671) Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20
cm, sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera.
Solução
Pelo enunciado, temos:
r = 20 cm
d = 21 cm
Devemos ter, então:
Pelo teorema de Pitágoras no ∆OMA:
R2
= (21)2
+ (20)2
→ 𝑅2
= 440 + 400 →
R2
= 841 → R = √841 → 𝐑 = 𝟐𝟗 𝐜𝐦
Calcule a área de um fuso esférico de ângulo 30° e cujo raio mede 2 metros.
Considere: 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒.
Solução
Sfuso =
πr2
. α
90°
→ Sfuso =
3,14.22
. 30°
90°
→ Sfuso =
3,14.4
3
→ Sfuso =
12,56
3
→ 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨 ≅ 𝟒, 𝟏𝟗 𝐦²

Esfera
(672) O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que secciona essa esfera determina nela um círculo
de raio 45 cm. Obtenha a distância do plano ao centro da esfera.
Solução
Pelo enunciado, temos:
r = 45 cm
R = 53 cm
d = ?
Pelo teorema de Pitágoras no ∆OMA:
(53)2
= (𝑑)2
+ (45)2
→ 2809 = 𝑑² + 2025 →
𝑑2
= 2809 − 2025 → d = √784 → d = 𝟐𝟖 𝐜𝐦
673. Um plano secciona uma esfera de 34 cm de diâmetro. Determine o raio da seção obtida, sendo 8 cm
a distância do plano ao centro da esfera.
Solução
Diâmetro = 34 cm
Raio (R) = 17 cm
Distância (d) = 8 cm
Raio da secção (r) = ?
R2
= d2
+ r2
→ (17)2
= 82
+ r2
→ 289 = 64 + r2
→ r2
= 289 − 64 ← r2
= 225 → r = √225 →
𝐫 = 𝟏𝟓 𝐜𝐦
674. Determine o diâmetro de um círculo cuja área é igual à superfície de uma esfera de raio r.
Solução
Área do círculo: 𝑆𝑐 = 𝜋𝑅²
Área da esfera: 𝑆𝑒 = 4𝜋𝑟²
De acordo com o enunciado:
Sc = Se → πR2
= 4πr2
→ R2
= 4r2
→ √R2 = √4r2 → R = 2r ∴ 𝐃𝐢â𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨 = 𝟒𝐫
(675) Determine o raio de uma esfera de superfície 𝟑𝟔𝛑 𝐜𝐦𝟐
.
Solução
A superfície da esfera é dada por:
Sesfera = 4πR2
→ 36π = 4πR2
→ 4R2
= 36 → R2
= 9 → 𝐑 = 𝟑 𝐜𝐦

Esfera
(676) Determine a área do círculo da esfera cujas distâncias polares são de 5 cm e 3 cm.
Solução
Sendo r o raio da seção e d o diâmetro da esfera, vem:
d2
= 52
+ 32
→ d2
= 25 + 9 → d2
= 34 → d = √34 cm
Relações métricas (ah = bc) no ∆P1AP2, retângulo em A:
d.r = 5.3 →
√34. 𝑟 = 15 →
𝐫 =
𝟏𝟓
√𝟑𝟒
Área da secção S:
Queremos calcular a área do círculo destacado na figura acima, logo:
S = πr2
→ S = π (
15
√34
)
2
→ 𝐒 =
𝟐𝟐𝟓𝛑
𝟑𝟒
𝐜𝐦²
(677) Calcule a área de uma seção plana feita a uma distância de 12 cm do centro de uma esfera de 37
cm de raio.
Solução
d = 12 cm
R = 37 cm
R2
= d2
+ r2
→ (37)2
= (12)2
+ r2
→ 1369 = 144 + r2
→
r2
= 1369 − 144 → 𝐫𝟐
= 𝟏𝟐𝟐𝟓
Área da secção:
S = πr2
→ 𝐒 = 𝟏𝟐𝟐𝟓𝛑 𝐜𝐦²
(678) A seção plana de uma esfera feita a 35 cm do centro tem 144𝝅 cm² de área. Calcule a área do
círculo máximo dessa esfera.
Solução

Esfera
d = 35 cm
Ssecção = 144π cm²
(i) Cálculo do raio (R’) da secção plana:
Ssecção = 144π → πR′2
= 144π → 𝐑′𝟐
= 𝟏𝟒𝟒
(ii) Cálculo do raio (R) da esfera:
R2
= (R′)2
+ d2
→ R2
= 144 + (35)2
→ R2
= 144 + 1225
→ 𝐑𝟐
= 𝟏𝟑𝟔𝟗
(iii) Cálculo da área do círculo máximo:
S = πR2
→ 𝐒 = 𝟏𝟑𝟔𝟗𝛑 𝐜𝐦²
(679) Calcule a distância de uma seção plana de uma esfera ao centro da esfera, sabendo que o círculo
máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada pela seção plana e que o raio da esfera mede
17 cm.
Solução
Área do círculo máximo = 4 x Área da secção
πR2
= 4 x πR′2
→ R2
= 4 x R′2
→ (17)2
= 4. R′2
→ R′2
=
(17)2
4
→ R′2
= (
17
4
) ²
Cálculo da distância da secção plana ao centro da esfera:
R2
= d2
+ R′2
→ (17)2
= d2
+ (
17
4
)
2
→ d2
= 172
− (
17
4
)
2
→ d2
=
4.172
− 172
4
→ d2
=
3.172
4
→
d = √
3.17²
4
→ 𝐝 =
𝟏𝟕√𝟑
𝟐
𝐜𝐦
(680) O raio de uma esfera mede 41 cm. Determine a razão entre as áreas das seções obtidas por dois
planos, sendo de 40 cm e 16 cm as respectivas distâncias desses planos ao centro da esfera.
Solução
R = 41 cm
d1 = 40 cm
d2 = 16 cm
r′
=?
r′′
=?
(i) Cálculo do r’:
𝑅2
= d1
2
+ r′2
→ (41)2
= (40)2
+ 𝑟′2
→ 1681 = 1600 + 𝑟′2
→ 𝑟12
= 1681 − 1600 → 𝑟′2
= 81

Esfera
(ii) Área da secção de raio r’ (S’):
S′
= πr′2
→ 𝐒′
= 𝟖𝟏𝛑 𝐜𝐦²
(iii) (i) Cálculo do r’:
R2
= d1
2
+ r′′2
→ (41)2
= (16)2
+ r′′2
→ 1681 = 256 + r′′2
→ r′′2
= 1681 − 256 → 𝐫′′𝟐
= 𝟏𝟒𝟐𝟓
(iv) Área da secção de raio r’ (S”):
S" = πr"² → 𝐒" = 𝟏𝟒𝟐𝟓𝛑
(v) A razão entre as áreas das seções:
𝑆′
𝑆"
=
81𝜋
1425𝜋
:
3
3
→
𝐒′
𝐒"
=
𝟐𝟕
𝟒𝟕𝟓
(681) Determine a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro.
Solução
Diâmetro = 58 cm
Raio = 29 cm
(i) Área da esfera:
S = 4πR2
→ S = 4π(29)2
→ S = 4π. 841 → 𝐒 = 𝟑𝟑𝟔𝟒𝛑 𝐜𝐦²
(ii) Volume da esfera:
V =
4
3
πR3
→ V =
4
3
π(29)3
→ V =
4
3
π. 24389 → 𝐕 =
𝟗𝟕𝟓𝟓𝟔𝛑
𝟑
𝐜𝐦³
(682) Determine a área de uma esfera, sendo 𝟐𝟑𝟎𝟒𝛑 𝐜𝐦𝟑
𝐨 𝐬𝐞𝐮 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞.
Solução
(i) Devemos ter:
Vesfera = 2304π →
4
3
πR3
= 2304π →=
4
3
R3
= 2304 → R3
=
2304.3
4
→ R3
=
6912
4
→ R3
= 1728 →
R = √1728
3
→ R = √23. 23. 3³ → 𝐑 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦
(ii) A área da esfera é dada por:
Sesfera = 4πR2
→ Sesfera = 4π(12)2
→ Sesfera = 4π. 144 → 𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟓𝟕𝟔𝛑 cm²
(683) Calcule a distância polar de um círculo máximo de uma esfera de 34 cm de diâmetro.
Solução

Esfera
A distância polar é a distância de um ponto qualquer da circunferência de uma secção a um dos polos
relativos a essa secção. No caso a secção passa pelo centro da esfera. Logo:
Devemos ter o seguinte:
(dp)2
= (17)2
+ (17)2
→ (dp)2
= 2(17)2
→
dp = √2. (17)2
𝐝𝐩 = 𝟏𝟕√𝟐 𝐜𝐦
(684) Determine a superfície de uma esfera, sendo 𝟐𝟔𝛑 𝐜𝐦 o comprimento da circunferência do
círculo máximo.
Solução
(i) Pelos dados da questão, temos:
Comprimento da circunferência (C) = 26π cm
(ii) O Comprimento da circunferência é dado por:
C = 2πR → 2πR = 26π → 2R = 26 → 𝐑 = 𝟏𝟑 𝐜𝐦
(iii) A área da esfera é:
Sesfera = 4πR2
→ Sesfera = 4π(13)2
→ Sesfera = 4π. 169 → 𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟔𝟕𝟔𝛑 𝐜𝐦²
(685) Determine o raio de uma esfera, sendo 288𝝅 cm³ o seu volume.
Solução
V = 288π →
4
3
πR3
= 288π →
4
3
R3
= 288 ÷ 4 →
R3
3
= 72 → R3
= 72.3 → R3
= 216 → R = √216
3
→
→ 𝐑 = 𝟔 𝐜𝐦
(686) Uma esfera oca tem 1 dm de raio exterior e 1 cm de espessura. Determine o volume da parte oca
da esfera.
Solução
Para melhor desenvolvimento da questão iremos converter 1 dm como em cm:
1 dm = 10 cm
Note que o raio da parte oca vale 9 cm. Logo:

Esfera
VOca =
4
3
πR3
→
VOca =
4
3
π. 93
→
𝐕𝐎𝐜𝐚 = 𝟗𝟕𝟐𝛑 𝐜𝐦³
(687) Determine o volume de uma esfera de 100𝛑 cm² de superfície.
Solução
(i) Cálculo do raio da esfera:
S = 100π → 4πR2
= 100π → 4R2
= 100 → R2
=
100
4
→ R2
= 25 → R = √25 → 𝐑 = 𝟓 𝐜𝐦
(ii) Cálculo do volume da esfera:
V =
4
3
πR3
→ V =
4
3
π. 53
→ V =
4
3
π. 125 → 𝐕 =
𝟓𝟎𝟎𝛑
𝟑
𝐜𝐦³
(688) Determine a medida do raio de uma esfera, sabendo que seu volume e sua superfície são expressos
pelo mesmo número.
Solução
Volume da esfera = Área da esfera
4
3
πR3
= 4πR2
→
1
3
R = 1 → 𝐑 = 𝟑
689. Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual à distância m do plano ao
centro da esfera. Obtenha a superfície e o volume da esfera em função de m.
Solução
(i) Cálculo do valor do raio da esfera:
R2
= m2
+ m2
→ R2
= 2m2
→ R = √2m² → 𝐑 = 𝐦√𝟐
(ii) Área da esfera:
S = 4πR2
→ S = 4π(2m2) → 𝐒 = 𝟖𝛑 𝐦²
(iii) Volume da esfera:
V =
4
3
πR3
→ V =
4
3
π(m√2)
3
→ V =
4
3
π (m3√23) → V =
4
3
π. (m3
. 2√2) → 𝐕 =
𝟖𝛑√𝟐
𝟑
𝐦³

Esfera
(690) Determine a medida da superfície e do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede 1/5 do
raio de outra esfera cujo volume é 4 500𝛑 cm³.
Solução
Esfera 1:
V = 4500π →
4
3
πR3
= 4500π →
4
3
R3
= 4500 → R3
=
13500
4
→ R3
= 3375 → R = √3375
3
→
R = 15 →
Esfera 2:
R′
=
1
5
R → R′
=
1
5
. 15 → 𝐑′
= 𝟑
(i) Área da esfera 2:
S = 4πR′2
→ S = 4π. (3)2
→ S = 4π. 9 → 𝐒 = 𝟑𝟔𝛑 𝐜𝐦²
(ii) Volume da esfera:
V =
4
3
πR3
→ V =
4
3
π. 33
→ V =
4
3
π. 27 → 𝐕 = 𝟑𝟔𝛑 𝐜𝐦³
(691) A cúpula de uma igreja é uma semiesfera apoiada sobre um quadrado de 12 m de lado.
Determine a superfície da cúpula.
(i) Devemos ter:
(ii) O raio da semiesfera vale 6 m, logo:
Ssemiesfera =
4πR2
2
→ Ssemiesfera = 2π. 62
→ Ssemiesfera = 2π. 36 → 𝐒𝐬𝐞𝐦𝐢𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟕𝟐𝛑 𝐦²
(692) Determine a medida do raio (R) de uma esfera, sabendo que o raio de um círculo menor (r) mede
5 cm e que sua distância polar mede 13 cm.
Solução
(i) seja uma esfera e uma seção de raio igual a 5 cm.

Esfera
(ii) Seja um ponto P qualquer sobre esta seção (circunferência de raio 5
cm)
(iii) As distâncias polares são as distâncias deste ponto aos polos da
esfera. Logo:
(iv) Do triângulo retângulo (destacado) de lados 13 cm, 5 cm e x cm,
temos:
(13)2
= x2
+ 52
→ 169 = x2
+ 25 → x2
= 169 − 25 → x2
= 144 →
x = √144 → 𝐱 = 𝟏𝟐
(v) Seja o triângulo retângulo (amarelão) de lados 13 cm, (2R -
12) e altura 5 cm.
(vi) Usando a relação métrica: h² = m.n, temos:
52
= 12(2R − 12) → 25 = 24R − 144 → 24R = 25 + 144 →
24R = 169 → 𝐑 =
𝟏𝟔𝟗
𝟐𝟒
𝐜𝐦
(693) Determine a distância polar de um círculo menor de uma esfera, sendo 10 cm o raio da esfera e 6
cm a distância do círculo ao centro da esfera.
Solução
(i) No triângulo retângulo (amarelo) temos:
r2
= 4.16 →
r2
= 64 →
r = √64 →
𝐫 = 𝟖

Esfera
(ii) No triângulo retângulo BCP, temos:
(dp)2
= 42
+ 82
→ (dp)2
= 16 + 64 →
(dp)2
= 80 → dp = √80 → dp = √22. 22. 5 →
𝐝𝐩 = 𝟒√𝟓 𝐜𝐦
(iii) No triângulo retângulo ABP, temos:
(dp)2
= (16)2
+ 82
→ (dp)2
= 256 + 64 →
(dp)2
= 320 → dp = √320 → 𝑑𝑝 = √22. 22. 22. 5
𝐝𝐩 = 𝟖√𝟓 𝐜𝐦
Resposta: 𝟒√𝟓 𝐜𝐦 𝐨𝐮 𝟖√𝟓 𝒄𝒎
(694) Os polos de um círculo menor de uma esfera distam, respectivamente, 5 cm e 10 cm do plano do
círculo. Determine o raio desse círculo.
Solução
(i) No triângulo retângulo ABP, temos:
(2R)2
= 52
+ (10)2
→ 4R2
= 25 + 100 → 4𝑅2
= 125 →
R2
=
125
4
→ R = √
125
4
→ 𝐑 =
𝟓√𝟓
𝟐
(ii) Ainda no triângulo retângulo ABP, temos:
r. 2R = 5.10 → r. 2.
5√5
2
= 50 → r. 5√5 = 50 ∶ 5 →
r√5 = 10 → r =
10
√5
.
√5
√5
→ r =
10√5
5
→ 𝐫 = 𝟐√𝟓 𝐜𝐦
(695) Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r. Determine a
altura do cilindro.
Solução
(i) Pelo enunciado da questão, devemos ter:
Vbola = Vcilindro →
4
3
πr3
= πr2
h →
𝟒
𝟑
𝐫 = 𝐡

Esfera
(696) Um cone é equivalente a um hemisfério de 25 cm de diâmetro. Determine a área lateral do cone,
sabendo que as bases do cone e do hemisfério são coincidentes.
Solução
(a) Raio da base do cone = raio da base do hemisfério =
𝟐𝟓
𝟐
𝐜𝐦
(b) Área da base do cone = Área da base do hemisfério = πr2
→ π (
25
2
)
2
→
𝟔𝟐𝟓
𝟒
𝛑 𝐜𝐦²
(c) Volume do cone: Vcone =
1
3
πr2
. h → Vcone =
1
3
.
625π
4
. h → 𝐕𝐜𝐨𝐧𝐞 =
𝟔𝟐𝟓𝛑.𝐡
𝟏𝟐
(d) Volume do hemisfério: Vhemi =
4
3
πr3
2
→ Vhemi =
4πr3
6
→ Vhemi =
2
3
πr3
→
Vhemi =
2
3
π (
25
2
)
3
→ Vhemi =
2
3
π. (
15625
8
) → Vhemi =
1
3
.
15625π
4
→ 𝐕𝐡𝐞𝐦𝐢 =
𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓𝛑
𝟏𝟐
(e) Como o cone e o hemisfério são equivalentes, seus volumes são iguais:
Vcone = Vhemi →
625π. h
12
=
15625π
12
→ 625h = 15625 → h =
15625
625
→ 𝐡 = 𝟐𝟓
(f) No cone, temos a seguinte relação:
g2
= r2
+ h2
→ g2
= (
25
2
)
2
+ (25)2
→ g2
=
625
4
+ 625 → g2
=
625 + 2500
4
→ g2
=
3125
4
→
g = √
3125
4
→ g =
√52. 52. 5
2
→ 𝐠 =
𝟐𝟓√𝟓
𝟐
(g) Área lateral do cone:
SL = πrg → SL = π (
25
2
) (
𝟐𝟓√𝟓
𝟐
) → 𝐒𝐋 =
𝟔𝟐𝟓√𝟓
𝟒
𝛑 𝐜𝐦²
(697) Duas esferas de metal de raios 2r e 3r se fundem para formar uma esfera maior. Determine o
raio dessa nova esfera.
Solução
(a) O volume da nova esfera será igual à soma dos volumes das duas esferas dadas:
(b) Volume da esfera de raio = 2r:
V1 =
4
3
πr3
→ V1 =
4
3
π(2r)3
→ V1 =
4
3
π. 8r³ → 𝐕𝟏 =
𝟑𝟐𝛑𝐫𝟑
𝟑
(c) Volume da esfera de raio = 3r:
V2 =
4
3
πr3
→ V2 =
4
3
π(3r)3
→ V2 =
4
3
π. 27r3
→ V2 = 4π. 9r³ → 𝐕𝟐 = 𝟑𝟔𝛑𝐫³
(d) Vamos supor que o raio da nova esfera seja “R”, assim, seu volume será:
𝐕𝟑 =
𝟒
𝟑
𝛑𝐑𝟑

Esfera
Interessa-nos saber o valor de “R”, logo:
(e) Teremos, então:
𝐕𝟑 = 𝐕𝟏 + 𝐕𝟐 →
𝟒
𝟑
𝛑𝐑𝟑
=
𝟑
+ 𝟑𝟔𝛑𝐫𝟑
→
𝟒
𝟑
𝛑𝐑𝟑
=
+ 𝟏𝟎𝟖𝝅𝒓𝟑
𝟑
→ 𝟒𝝅𝑹𝟑
= 𝟏𝟒𝟎𝝅𝒓𝟑
→
𝐑𝟑
= 𝟑𝟓𝐫𝟑
→ 𝐑 = √𝟑𝟓𝐫³
𝟑
→ 𝐑 = 𝐫√𝟑𝟓
𝟑
(698) Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo
de 6 cm de raio. A área do sólido é igual à superfície de uma esfera de raio 6 cm. Determine a relação
entre os volumes do sólido e da esfera.
Solução
(i) O sólido terá o seguinte formato:
(ii) Área do sólido (𝐒𝐬ó𝐥𝐢𝐝𝐨) = Área da
esfera (𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚):
Ssólido = Sesfera →
2(πrg) = 4πr2
→ π. 6. g = 2π. 62
→
6πg = 2π. 36 → 6g = 72 →
g =
72
6
→ 𝐠 = 𝟏𝟐
(iii) Na figura ao lado, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AOB:
g2
= h2
+ 62
→ (12)2
= h2
+ 36 → 144 = h2
+ 36 →
h2
= 144 − 36 → h2
= 108 → h = √22. 32. 3 → 𝐡 = 𝟔√𝟑
(iv) O enunciado da questão pede a relação entre o volume do sólido e da esfera:
𝐕𝐬ó𝐥𝐢𝐝𝐨
𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚
=
2(
1
3
𝜋𝑟2
. ℎ)
4
3
𝜋𝑟³
=
2
3
𝜋. 62
. (6√3)
4
3
𝜋. 6³
=
36. (6√3)
2.216
=
6√3
12
→
𝐕𝐬ó𝐥𝐢𝐝𝐨
𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚
=
√𝟑
𝟐

Esfera
(699) Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcule a área da
seção feita na esfera de raio maior por um plano tangente à outra esfera.
Solução
Vamos supor que o raio do círculo da secção maior seja x.
Note que a distância da secção ao centro = raio da esfera menor
e o raio da secção maior pode ser calculado pelo Teorema de
Pitágoras no triângulo retângulo destacado na figura ao lado:
(15)2
= 82
+ x2
→ 225 = 64 + x2
→ x2
= 225 − 64 →
𝐱𝟐
= 𝟏𝟔𝟏 𝐜𝐦
Ssecção = πr2
→ Ssecção = πx2
→ 𝐒𝐬𝐞𝐜çã𝐨 = 𝟏𝟔𝟏𝛑 𝐜𝐦²
(700) Determine o diâmetro de uma esfera obtida da fusão de duas esferas de 10 cm de diâmetro.
Solução
(i) Se cada esfera tem 10 cm de diâmetro, o raio de cada uma delas vale 5 cm. Logo:
(ii) Volume das duas esferas fundidas:
Vesferas = 2 (
4
3
π. r3
) → Vesferas =
8
3
π. (5)3
→ Vesferas =
8
3
π. 125 → 𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚𝐬 =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝛑
𝟑
𝐜𝐦³
(iii) Pelo enunciado, devemos ter o volume da nova esfera (𝑽𝟐) = volume das esferas fundidas. Vamos
supor que o raio da nova esfera seja “R”.
V2 = Vesferas →
4
3
πR3
=
1000π
3
→ 4R3
= 1000 → R3
=
1000
4
→ R3
= 250 → R = √250
3
→
R = √53. 2
3
→ 𝐑 = 𝟓√𝟐
𝟑
𝐜𝐦
(iv) A questão pede o valor do diâmetro da nova esfera. Logo:
Diâmetro (D) = 2.Raio (R) → 𝐷 = 2.5√2
3
→ 𝐃 = 𝟏𝟎√𝟐
𝟑
𝐜𝐦
(701) Sabendo que o diâmetro de uma esfera é os 3/5 do diâmetro de uma outra esfera, calcule a razão
entre as áreas dessas duas esferas.
Solução
Vamos supor que R seja o raio da esfera 1, e R’ o raio da esfera 2. Logo:
Diâmetro da esfera 1 =
3
5
diâmtero da esfera 2
2R =
3
5
2R′
→ 𝐑 =
𝟑
𝟓
𝐑′
(i) Área da esfera 1:

Esfera
S1 = 4πR2
→ S1 = 4π (
3
5
R′
)
2
→ S1 = 4π.
9
25
R′2
→ 𝐒𝟏 =
𝟑𝟔𝛑. 𝐑′𝟐
𝟐𝟓
(ii) Área de esfera 2:
𝐒𝟐 = 𝟒𝛑𝐑′𝟐
(iii) Razão entre as áreas das esferas:
S1
S2
=
36π. R′2
25
4πR′2
→
S1
S2
=
36𝜋𝑅′²
100𝜋𝑅′²
→
S1
S2
=
36
100
:
4
4
→
S1
S2
=
9
25
(702) O que ocorre com o volume de uma esfera quando duplicamos a medida de seu raio? E quando
triplicamos a medida do seu raio?
Solução
(i) Volume da esfera de raio R
𝐕 =
𝟒
𝟑
𝛑𝐑𝟑
(ii) Volume da esfera de raio 2R
V′
=
4
3
π(2R)3
→ V′
=
4
3
π. 8R3
→ V′
= 8 (
4
3
πR3
) → 𝐕′
= 𝟖. 𝐕
Resposta: O volume inicial aumenta 8 vezes.
(iii) Triplicando o raio inicial R, temos: 3R:
V′′
=
4
3
π(3R)³→ V'' =
4
3
π. 27R3
→ V′′
= 27 (
4
3
πR3
) → 𝐕′′
= 𝟐𝟕. 𝐕
Resposta: O volume inicial aumenta 27 vezes.
(703) O que ocorre com o volume de uma esfera quando o raio aumenta 100%? E quando aumenta
300%? E quando diminui 50%?
Solução
(a)
(i) Vamos supor que o raio original seja R, e o volume inicial seja V. Logo:
𝐕 =
𝟒
𝟑
𝛑𝐑𝟑
(ii) Aumentando em 100% R, temos R final = 𝐑 + 𝟏𝟎𝟎%𝐑 → 𝐑 + 𝐑 → 𝟐𝐑
(iii) Volume final V’:
V′
=
4
3
π(2R)3
→ V′
=
4
3
π. 8R3
→ V′
= 8. (
4
3
πR3
) → V′
= 8. V
(iv) Para descobrirmos o percentual de aumento, podemos usar uma regra de três:
V … … … … … … … 100%
8V … … … … … … … . . x.

Esfera
𝑥 =
8𝑉. 100
𝑉
→ 𝑥 = 800%
Logo, o percentual de aumento no volume foi de: 800% - 100% = 700%
(b)
Se o raio inicial da esfera aumentar 300%, temos:
Aumentando em 300% R, temos R final = 𝐑 + 𝟑𝟎𝟎%𝐑 → 𝐑 + 𝟑𝐑 → 𝟒𝐑
Volume final V’:
V′
=
4
3
π(4R)3
→ V′
=
4
3
π. 64R3
→ V′
= 64. (
4
3
πR3
) → V′
= 64. V
Para descobrirmos o percentual de aumento, podemos usar, novamente, uma regra de três:
V … … … … … … … 100%
64V … … … … … … … . . x.
𝑥 =
64𝑉. 100
𝑉
→ 𝑥 = 6400%
Logo, o percentual de aumento no volume foi de: 6400% - 100% = 6300%
(c)
Se o Raio inicial for R, temos:
𝐕 =
𝟒
𝟑
𝛑𝐑𝟑
Se o raio diminuir 50%, temos:
R −
50
100
R →
50
100
R →
𝐑
𝟐
Volume final:
V′
=
4
3
π (
R
2
)
3
→ V′
=
4
3
π.
1
8
R3
→ V′
=
1
8
(
4
3
πR3
) → V′
=
1
8
V
Em porcentagem, temos:
V … … … … … … … … … .100%
1
8
𝑉 … … … … … … … … . . . 𝑥
𝑥 =
1
8
𝑉. 100
𝑉
→ 𝑥 =
100
8
Logo, o percentual diminuído foi de:
100 −
100
8
=
800 − 100
8
→
700
8
→ 87,5%

Esfera
Logo:
100% - 87,5% = 12,5%
Resposta: Se o raio da esfera for diminuído em 50%, seu volume é reduzido em 12,5%.
(704) O que ocorre com a superfície de uma esfera quando o raio aumenta 200%? E quando aumenta
150%? E quando diminui 25%?
Solução
(a)
Se o raio inicial for R, aumentando 200% resulta em: R + 2R = 3R. Logo:
S = 4πR²
S′
= 4π(3R)2
→ S′
= 4π. 9R2
→ S′
= 9(4πR2) → S′
= 9. S
S..........................100%
9S...........................x
x =
100.9S
S
→ 𝐱 = 𝟗𝟎𝟎%
Logo, se o raio da esfera aumenta 200%, sua área inicial aumenta: 900%.
(b)
Se o raio inicial for R, aumentando 150% resulta em:
R + 1,5R = 2,5R. Logo:
S = 4πR²
S′
= 4π(2,5R)2
→ S′
= 4π. 6,25R2
→ S′
= 6,25(4πR2) → 𝐒′
= 𝟔, 𝟐𝟓. 𝐒
S..........................100%
6,25S...........................x
x =
100.6,25S
S
→ 𝐱 = 𝟔𝟐𝟓%
Resposta: Se o raio da esfera aumentar 150%, sua área aumentará 625%.
(705) O raio de uma esfera mede 16 cm. De um ponto P situado a 41 cm do centro da esfera traçam-se
tangentes à esfera. Determine o comprimento dos segmentos com extremidades em P e nos pontos de
tangência com a esfera, bem como a distância do centro da esfera ao plano do círculo de contato e o raio
desse círculo.
Solução

Esfera
Sejam x, y e z, respectivamente, o comprimento do segmento PT, a distância OQ do centro da esfera ao plano
do círculo e o raio do círculo de tangência.
(706) Supondo a Terra esférica e o metro a décima milionésima parte do quarto do meridiano,
determine a superfície da Terra em km².
Solução
(i) 1 metro = a décima milionésima parte do quarto do meridiano.
(a) O meridiano da Terra é o comprimento da sua circunferência = 𝟐𝛑𝐑
(b) A quarta parte do meridiano da terra vale:
𝟐𝛑𝐑
𝟒
(c) A décima milionésima parte do meridiano terrestre vale:
(
2πR
4
)
10.000.000
=
(
𝟐𝛑𝐑
𝟒
)
𝟏𝟎𝟕
(ii) De acordo com o enunciado, devemos ter:
1 m =
(
2πR
4
)
107
→ (
2πR
4
) = 107
→
πR
2
= 107
→ πR = 2. 107
→ 𝐑 =
𝟐. 𝟏𝟎𝟕
𝛑
𝐦
(iii) A superfície da Terra é dada por:
STerra = 4πR2
→ STerra = 4π (
2. 107
π
)
2
→ STerra = 4π (
4. 1014
π2
) → 𝐒𝐓𝐞𝐫𝐫𝐚 =
𝟏𝟔. 𝟏𝟎𝟏𝟒
𝛑
𝐦²

Esfera
(iv) Como a questão pede a resposta em km², devemos dividir o valor encontrado por:
1.000.000 = 𝟏𝟎𝟔
(Observe)
km² hm² dam² m²
𝟏𝟎𝟖
𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟏𝟒
STerra =
𝟏𝟔. 𝟏𝟎𝟏𝟒
𝛑. 𝟏𝟎𝟔
→ 𝐒𝐓𝐞𝐫𝐫𝐚 =
𝟏𝟔. 𝟏𝟎𝟖
𝛑
𝐤𝐦²
(707) Determine a superfície de uma esfera de 5 cm de raio. Em quanto aumenta a superfície, ao
aumentar o raio em 1 cm?
Solução
S = 4πR2
→ S = 4π. 52
→ S = 4π. 25 → 𝐒 = 𝟏𝟎𝟎𝛑 𝐜𝐦²
Se o raio da esfera aumentar em 1 cm, temos: R’ = 5 + 1 ----> R’ = 6 cm. Logo:
S = 4πR′2
→ S = 4π. 62
→ S = 4π. 36 → 𝐒 = 𝟏𝟒𝟒𝛑 𝐜𝐦²
Aumento na superfície:
144π − 100π = 𝟒𝟒𝛑 𝐜𝐦²
Resposta: Se o raio da esfera aumentar de 5 cm para 6 cm, sua superfície aumentará em: 𝟒𝟒𝛑 𝐜𝐦².
(708) A área de uma seção plana de uma esfera é 144𝛑 cm². Calcule a superfície da esfera, sabendo que
a distância ao centro da esfera é 5 cm.
Solução
A secção plana de uma esfera equivale à área de um círculo. Logo:
S = πr2
→ 144π = πr2
→ r2
= 144 → r = √144 → 𝐫 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦.
Temos:
r = 12 cm
d = 5 cm
(i) No triângulo retângulo destacado na figura ao lado, temos:
R2
= d2
+ r2
→ R2
= 52
+ (12)2
→ R2
= 25 + 144 →
R2
= 169 → R = √169 → 𝐑 = 𝟏𝟑 𝐜𝐦
(ii) Superfície da esfera:
S = 4πR2
→ S = 4π(13)2
→ S = 4π. 169 → 𝐒 = 𝟔𝟕𝟔𝛑 𝐜𝐦²

Esfera
(709) Uma esfera tem 𝟐𝟓𝝅 cm² de superfície. Em quanto devemos aumentar o raio, para que a área
passe a ser 𝟔𝟒𝝅 cm²?
Solução
S = 25π → 4πR2
= 25π → 4R2
= 25 → R2
=
25
4
→ R = √
25
4
→ R =
5
2
→ 𝐑 = 𝟐, 𝟓 𝐜𝐦
S = 4πR2
→ 64π = 4πR2
→ 4R2
= 64 → R2
=
64
4
→ R2
= 16 → 𝐑 = 𝟒 𝐜𝐦
Logo:
4 cm – 2,5 cm = 1,5 cm
Resposta: Devemos aumentar o raio em 1,5 cm.
710. Determine a área de um círculo obtido da seção plana de uma esfera, sendo o raio da esfera R e 15
cm a distância desse plano ao centro da esfera.
Solução
Temos:
Raio da esfera = R
d = 15 cm
r = raio do círculo da seção
No triângulo retângulo O’AO, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
r2
+ d2
= R2
→ r2
+ (15) = R2
→ r2
+ 225 = R2
→
𝑟2
= 𝑅2
− 225
Área da secção plana:
S = πr2
→ 𝐒 = 𝛑(𝐑𝟐
− 𝟐𝟐𝟓)𝐜𝐦𝟐
com R > 15.
(711) Determine a superfície de uma esfera em função do comprimento da circunferência c do círculo
máximo da esfera.
Solução
O comprimento da circunferência é dado por:
c = 2πr → r =
c
2π
Cálculo da superfície da esfera:
S = 4πr2
→ S = 4π (
c
2π
)
2
→ S = 4π.
c2
4π2
→ 𝐒 =
𝐜𝟐
𝛑

Esfera
(712) Determine a superfície de uma esfera em função da área A do círculo máximo da esfera.
Solução
A = πr² → r² =
A
π
𝑆 = 4𝜋𝑟2
→ 𝑆 = 4𝜋. (
A
π
) → 𝐒 = 𝟒𝐀
(713) O círculo máximo de uma esfera tem um triângulo equilátero inscrito. Determine a superfície da
esfera em função da medida a do lado desse triângulo.
Solução
Vamos, primeiramente, relembrar algumas relações envolvendo o triângulo equilátero inscrito num círculo:
Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa circunferência
de raio r, como mostra a figura.
Onde a é o apótema do triângulo equilátero.O centro C da circunferência é
o ortocentro e baricentro do triângulo equilátero. Logo, o comprimento do
apótema equivale a 1/3 do valor da altura do triângulo. Ou seja,
a =
1
3
h → 𝐚 =
𝐡
𝟑
Dessa forma, podemos constatar, também, que o raio r equivale a 2/3 do
valor da altura do triângulo. Assim, podemos escrever:
𝐫 =
𝟐
𝟑
𝐡
Considerando “a” como o lado do triângulo equilátero, a altura desse triângulo é dada por:
h =
a√3
2
Logo:
r =
2
3
h → r =
2
3
.
a√3
2
→ 𝐫 =
𝐚√𝟑
𝟑
Como esse triângulo está inscrito na circunferência principal (círculo máximo), r é o raio da esfera. Logo:
S = 4πr2
→ S = 4π (
𝐚√𝟑
𝟑
)
𝟐
→ 𝐒 =
4π. a2
. 3
9
→ 𝐒 =
𝟒𝛑𝐚²
𝟑
(714) A área obtida da seção plana em uma esfera é A. Sendo r o raio da esfera, determine a distância
do plano ao centro da esfera.
Solução

Esfera
Área da secção pçana:
A = πr′2
→ 𝐫′𝟐
=
𝐀
𝛑
No triângulo retângulo destacado ao lado, temos:
r2
= r′2
+ d2(Teorema de Pitágoras) →
d2
= r2
− r′2
→ d2
= r2
− (
A
π
) →
d² =
πr2
− A
π
→ 𝐝 = √
𝛑𝐫𝟐 − 𝐀
𝛑
(715) Determine o volume de uma esfera em função do comprimento da circunferência C do círculo
máximo da esfera.
Solução
O comprimento da circunferência é dado por:
C = 2πr → r =
C
2π
Volume da esfera:
V =
4
3
πr3
→ V =
4
3
π (
C
2π
)
3
→ V =
4
3
π.
C3
8π3
→ 𝐕 =
𝐂³
𝟔𝛑²
(716) Uma esfera tem 1 m de raio. Qual será o raio de uma esfera cujo volume é 1/5 do volume da
primeira esfera?
Solução
(i) Volume da esfera 1:
V =
4
3
πr3
→ V =
4
3
π. 13
→ 𝐕 =
𝟒
𝟑
𝛑
(ii) Volume da esfera 2:
Seja V’e r’o volume e o raio da esfera 2, respectivamente. Temos
V′
=
V
5
→
4
3
𝜋𝑟′3
=
4
3
π
5
→
4
3
𝜋𝑟′3
=
4𝜋
15
→ 𝜋′3
=
1
5
→ 𝒓′
= √
𝟏
𝟓
𝟑
𝒎
(717) Determine a razão entre as áreas de um cubo e uma esfera, sabendo que seus volumes são iguais.
Solução
vb

Esfera
(718) Um cubo de chumbo de aresta “a” foi transformado numa esfera. Determine a superfície da
esfera em função de “a”.
(Resposta:
𝑺 = 𝟐𝒂2
. √
𝟐
𝟗𝝅
𝟑
(719) Calcule em cm³ o volume de uma esfera, sabendo que o diâmetro perpendicular a um círculo
menor de 10 cm de raio é dividido por esse círculo em dois segmentos de razão 2/5.
Solução
(720) Uma esfera, um cilindro e um cone têm o mesmo volume e o mesmo raio. Calcule a razão entre a
altura do cilindro e a do cone.
(721) Determine a diferença entre a área da maior e da menor das seções obtidas por um ponto P, a
uma distância d do centro da esfera.
(722) A superfície de uma esfera mede 144𝝅 cm² e é igual à área total de um cilindro que tem o mesmo
raio da esfera. Determine a relação entre os volumes de ambos os sólidos.
(723) Uma esfera é equivalente a um cilindro reto cuja área total é igual a 42𝝅 cm². Sendo 3 cm o raio
do cilindro, determine:
(a) o raio da esfera;
(b) a relação entre a área da esfera e a área total de um cone reto que tenha a mesma base e a mesma
altura do cilindro dado.
(Respostas:
(720) 3

Esfera
(721) 𝝅𝒅²
(722) 4/3
(723) (a) 3 cm; (b) 3/2
(724) Fabricou-se uma caldeira de tal maneira que as bases de dois hemisférios coincidissem com as
bases de um cilindro. Sendo o diâmetro do cilindro os 3/5 de sua altura e a superfície da caldeira
equivalente a uma esfera de raio R, determine a relação entre o volume da caldeira e o volume da esfera
de raio R.
Solução
-----------------------------------------------------------------
EXERCÍCIOS DIVERSOS
1. Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de raio, fundem-se e formam outra esfera.
Calcule o raio dessa nova esfera.
Solução
(a) O volume da nova esfera será igual à soma dos volumes das duas esferas dadas.
(b) Volume da esfera de raio 3 cm vale:
V1 =
4
3
πr3
→ V1 =
4
3
π(3)3
→ V1 =
4
3
π. 27 → 𝐕𝟏 = 𝟑𝟔𝝅
(c) Volume da esfera de raio 6 cm vale:
V2 =
4
3
πr3
→ V2 =
4
3
π(6)3
→ V2 =
4
3
π. 216 → V2 = 4π. 72 → 𝐕𝟐 = 𝟐𝟖𝟖𝛑𝐫³
(d) Vamos supor que o raio da nova esfera seja “R”, assim, seu volume será:
𝐕𝟑 =
𝟒
𝟑
𝛑𝐑𝟑

Esfera
Interessa-nos saber o valor de “R”, logo:
(e) Teremos, então:
V3 = V1 + V2 →
4
3
πR3
= 36π + 288π →
4
3
πR3
= 324π →
4
3
R3
= 324 → R3
= 3.81 → R3
= 243 →
R = √243
3
→ R = √33. 3
3
→ 𝐑 = 𝟑√𝟑
𝟑
𝐜𝐦
2. (UFPR) Duas esferas metálicas maciças, uma com raio igual a 4 cm e a outra com raio de 8 cm, são
fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular reto com altura igual a 12 cm. Determine, em
cm, o raio do cilindro.
Solução
Na questão vamos determinar o volume das esferas que será o volume do cilindro:
(i) Esfera 1
V1 = 4πR³
3
V1= 4π4³
3
V1 = 4π64
3
𝐕𝟏 =
𝟐𝟓𝟔𝝅
𝟑
(ii) Esfera 2
V2 = 4π8³
3
V2 = 4π512
3
𝐕𝟐 =
𝟐𝟎𝟒𝟖𝝅
𝟑
(iii) Somando os dois volumes:
V3 = V1 + V2
V3 =
256π
3
+
2048𝜋
3
V3 =
2304π
3
𝐕𝟑 = 𝟕𝟔𝟖𝛑
Como foram transformadas em um cilindro, temos o volume e a altura, encontramos o raio:
Vcilindro = 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 → 768π = πR2
. h → 768 = 12R2
→ R2
=
768
12
→ R2
= 64 → 𝐑 = 𝟖 𝐜𝐦

Esfera
3. O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10 cm,
então quanto mede o raio da esfera A?
Solução:
𝑉𝐴 =
1
8
𝐵 ; 𝑅𝐵 = 10 𝑐𝑚; 𝑅𝐴 =?
4
3
π(RA)³ =
1
8
[
4
3
π(RB)3
] →
4
3
(RA)³ =
1
6
π(10)³ → 4(RA)³ =
π
2
. 1000 → 4(RA)³ = 500 → (RA)³ = 125
→ RA = √125
3
→ 𝐑𝐀 = 𝟓 𝐜𝐦
Dois cubos de metal, de aresta π cm e 2π cm, fundem-se para formar uma esfera. Qual o comprimento
do raio dessa esfera?
Solução:
O volume dessa nova esfera será igual a soma dos volumes dos cubos:
Cubo 1 = Volume 1 = π³
Cubo 2 = Volume 2 = (2π)³ = 8π³
V1 + V2 = π³ + 8π³ => 9π
O volume de uma esfera é dado por: 4πR³/3 , aonde R = raio.
9π³ = 4πR³/3
27π³/4π = R³ =>
𝑹 = √
𝟐𝟕𝝅𝟐
𝟒
𝟑
4. (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará:
(a) 21 % (b) 11 % (c) 31 % d) 24 % (e) 30 %.
Solução
(i) ) A superfície da esfera é dada por 𝑺𝟏 =4πr²
(ii) Se aumentamos em 10% o raio, teremos:
𝑆2 = 4𝜋. (
10
100
. 𝑟 + 𝑟)
2
→ 𝑆2 = 4𝜋 (
10𝑟 + 100𝑟
100
)
2
→ 𝑆2 = 4𝜋 (
110𝑟
100
)
2
→ 𝑆2 = 4𝜋(1,1𝑟)2
→
𝑆2 = 4𝜋. 1,21𝑟2
(iii) O aumento foi de:
4𝜋. 1,21𝑟2
− 4πr² → 4𝜋𝑟²(1,21 -1) = 0,21.100 = 21%
Resposta (a)

Esfera
5. (UEG) Suponha que haja laranjas no formato de uma esfera com 6 cm de diâmetro e que a quantidade
de suco que se obtém ao espremer cada laranja é 2/3 de seu volume, sendo o volume dado em litros.
Nessas condições, se quiser obter 1 litro de suco de laranja, deve-se espremer no mínimo (use π = 3,14),
(a) 13 laranjas. (b) 14 laranjas (c) 15 laranjas. (d) 16 laranjas.
A primeira frase do enunciado deste exercício nos mostra que a quantidade de suco gerada ao espremer cada
laranja tem relação com o volume da laranja, que é uma esfera. Assim, sabendo que o diâmetro da esfera é
igual a 6 cm, temos implicitamente o conhecimento do raio da esfera, que é 3cm (r = d/2). Essa informação
nos permite calcular o volume da laranja em questão:
Conhecendo o volume de cada laranja, podemos calcular a quantidade de suco gerada:
Agora, observem um detalhe bem importante! Nós encontramos a quantidade de suco gerada por cada laranja
em cm3
. Contudo, o enunciado deixa claro que o volume é dado em litros. Portanto, antes de seguirmos, é
necessário pensar na seguinte conversão:
1 litro = 1000 cm3
Podemos usar a seguinte regra de três simples:
1 laranja.............................24𝜋 𝑐𝑚3
Depois de realizar a conversão, podemos encontrar o número de laranjas necessário para gerar um litro de
suco dividindo a quantidade de suco que deve ser obtida (1 litro ou 1000 cm3
) pela quantidade de suco gerada
por cada laranja (24π cm3
). Aí, dois caminhos são válidos: obter o volume gerado por cada laranja em litros,
ou utilizar como quantidade total o valor 1000 cm3
. A fim de fugir dos números decimais e não trabalhar com
vírgulas, utilizaremos a segunda opção.
1000 ÷ 24π = 13,26… laranjas ou 14 laranjas.
6. (ENEM) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura.

Esfera
Sabendo que o volume da bola é 2304π cm3 então a área da superfície de cada faixa é de:
a. 20π cm2
b. 24π cm2
c. 28π cm2
d. 27π cm2
e. 25π cm2
Solução
O volume da bola, que é 2304π cm3
. Essa informação nos permite obter o raio da esfera, dessa forma:
Sabendo que o raio da esfera mede 12 cm, podemos encontrar a área total da superfície da esfera, através da
fórmula:
A = 4·π·R2
A = 4·π·122
A = 576π cm2
Agora que a área total da superfície da bola esférica é conhecida, devemos nos atentar ao detalhe que ela é
composta por 24 faixas iguais e que o exercício pede justamente a área de cada faixa. Como as 24 faixas são
iguais, dividindo a área da superfície total por 24, temos a área de cada faixa.
Afaixa = 576π ÷ 24 = 24π cm2
Resposta (b)

Esfera
7. Calcule o volume de uma cunha esférica de raio 3 cm cujo ângulo diedro mede 45°.
Solução
(i) Devemos ter o seguinte:
Ângulo Volume
(em graus) (em cm³)
360°....................................
4πR³
3
α......................................Vcunha
Vcunha =
4πR3
3
. α
360°
→
Vcunha =
4πR3
. α
3.360°
→
Vcunha =
πR3
. α
3.90°
→
𝐕𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 =
𝛑𝐑𝟑
. 𝛂
𝟐𝟕𝟎°
Logo:
Vcunha =
π33
. 45°
270°
→ Vcunha =
π. 27.45
270
→ Vcunha =
45π
10
÷
5
5
𝟗𝛑
𝟐
𝐜𝐦³
8. Uma esfera está inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície esférica.
Solução
Note que o raio da esfera inscrita é a metade da aresta do cubo. Logo r = 10 cm. A
área da esfera é calculada com a fórmula:𝐴 = 4𝜋𝑟². Então a área dessa esfera é:
9. Qual é a área total e o volume do recipiente?
Solução
3 m
3 m

Esfera
Considerando o recipiente aberto, não calculamos a área da “tampa”. Basta calcularmos a metade da área e do
volume da esfera.
10. Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm.
Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse
número de bombons.
Solução
Volume de cada bombom:
A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20.000 unidades é de:
4,18 x 20.000 = 83.600 cm³
Sabemos que 1 cm³ = 1 ml, então 83.600 cm³ corresponde a 83.600 ml de chocolate ou 83,6 quilos.
Portanto, a fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.
11. A esfera da figura está inscrita em um cilindro. Se o volume da esfera é
𝟑𝟐
𝟑
𝝅 𝒄𝒎³.
Qual é o volume do cilindro?

Esfera
12. Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio de base r = 2 cm com determinado número
de esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. Quanto vale o volume interior ao cilindro e exterior
às esferas?
Solução

Esfera
13. Seja 36π e o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então, a razão entre o volume da esfera
e o volume do cubo é:
Solução

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