Lista 2 - Geometria Analítica

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Resolução da lista 2 de Geometria Analítica, da Professora Cecília Chirenti, da UFABC.

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Lista 2 - Geometria Analítica

  1. 1. Universidade Federal do ABC Geometria Analítica – Profa. Cecília Chirenti Lista 2 – Dependência Linear e Bases1 Se possível, desenhe. Se impossível, explique por quê.(a) ( ⃗ ) ( ⃗⃗ ) (⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗(b) ( ⃗ ) ( ⃗⃗ ) (⃗ ⃗⃗ )Considerando que as duas primeiras condições são verdadeiras e que dois vetores sãosempre coplanares, ⃗ e ⃗⃗ estão no mesmo plano, portanto o conjunto dos três vetoresnão pode ser linearmente independente.(c) ( ⃗ ) ( ⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ )Admitindo as duas primeiras condições como verdadeiras, a terceira é impossível, poisos vetores ⃗ e ⃗⃗ são paralelos.(d) ( ⃗ ) ( ⃗ ⃗⃗ ) ( ⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗2 Verdadeiro ou falso. Explique.(a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ implica que A, B e C são colineares.Falso, conforme contraexemplo abaixo. A C B Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
  2. 2. (b) Se os 4 pontos A, B, C e D são não coplanares, então os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ tambémsão não coplanares.Verdadeiro, conforme ilustração abaixo. θ D D B λ α C A γNota-se que ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são não-coplanares.3 Sendo ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , prove que ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são ld para qualquer O. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗O vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ pôde ser escrito como combinação linear de ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ , portanto{⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ } é linearmente dependente para qualquer ponto O.4 Dados os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ tais que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , proveque os vetores , ⃗ e são ld. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗Logo, { ⃗ } é ld.5 Sejam ⃗ , ⃗ e ⃗ três vetores quaisquer, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ . Proveque ⃗ , ⃗ e ⃗⃗⃗ são ld. Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
  3. 3. Sendo , ⃗ e vetores ld, são também coplanares, portanto os vetores resultantes ⃗ , ,⃗⃗ são também coplanares e ld.Sendo , ⃗ e vetores li, podem formar a base ( ⃗ ). Logo, ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗ ( ) | | *⃗ ⃗⃗ +6 Sejam O, A, B e C quatro pontos tais que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Sendo os vetores e ⃗ li, determine m para que os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ sejam ld.Ilustre o problema com um desenho.⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ( )⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ( )⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos se, e somente se, existir tal que ( )⃗ [ ( )⃗ ] ( )⃗ ( )⃗A igualdade é verdadeira se ( ) ( )Substituindo a primeira igualdade na segunda: ( ) A ⃗ O B C7 No ΔABC temos ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Determine para que⃗⃗⃗⃗⃗ fique paralelo ao vetor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . C P Q A Bi) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ii) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
  4. 4. iii) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Mas, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Logo, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ⃗) ( )⃗ ( )iv) ⃗⃗⃗⃗⃗ deve ser paralelo a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , logo ( )⃗ . / deve serparalelo à ⃗ , então deve existir tal que: ( )⃗ ( ) [⃗ ]Resolvendo a igualdade, obtém-se o sistema de equações: ( ) ÷ ( )Para que ⃗⃗⃗⃗⃗ fique paralelo a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , .8 Dados os vetores ( ), ⃗ ( ) e ( ), escreva o vetor( ) como combinação linear de , ⃗ e . ⃗( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Logo, e .Portanto: ⃗9 É possível escrever (0,0,1) como combinação linear de (1,2,1), (1,0,1) e (1,1,1)? Sequatro vetores de V³ são sempre ld, como interpretar a resposta anterior? ( ) ( ) ( ) ( ) Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
  5. 5. ( ) ( )O sistema é impossível, portanto não é possível escrever (0,0,1) como combinaçãolinear de (1,2,1), (1,0,1) e (1,1,1).Para que os quatro vetores sejam ld, a igualdade ( ) ( ) ( ) ( ) ⃗deve ser verificada, de forma que os coeficientes reais a, b ,c e g não sejamsimultaneamente nulos.Como o primeiro vetor não é combinação linear dos demais e é sabido que quatrovetores são sempre ld, então o coeficiente g é nulo. Com g = 0, a igualdade verificar-se-á.10 Os vetores ⃗ ( )e ( ) são paralelos. Determine ascoordenadas de ⃗ .Se ⃗ e são paralelos a razão entre suas coordenadas e igual, portanto são válidas asigualdadesResolvendo a primeira igualdade, temos:Tomando a = 4 e resolvendo a segunda desigualdade: ( )Tomando a = 1 e resolvendo a segunda desigualdade: ⁄Para e ⁄ ,⃗ . /e ( ).Logo, ⃗ ( )11 ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Determine y e z sabendo queC pertence à reta AB. B O ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) C ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) A Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
  6. 6. ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são paralelos, portanto a razão entre suas coordenadas é constante. Logo,Primeira igualdade:Segunda igualdade:12 Sejam ⃗ ( ), ( ) e ⃗⃗ ( ) Mostre que (⃗ ⃗⃗ ) é uma base de V³, independentemente do valor de m. | | ( ) ( ) (⃗ ⃗⃗ ) é uma base em V³ se, e somente se, . não possui zeros, portanto, , então ( ⃗ ⃗⃗ ) é sempre umconjunto de vetores linearmente independentes.13 Seja (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) uma base. Sejam ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ .(a) Mostre que (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) também é uma base. | |Portanto, (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) é li e F uma base.(b) Resolva ( ) ( ) . ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗Logo, ( ) ( ) .(c) Determine na base F as coordenadas de ( ), - ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
  7. 7. (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗ ( )⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (I) (II) (III)(I) em (II): (IV)(I) e (IV) em (III)Resposta: ( ) . /14 Seja (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) uma base de V³.(a) Demonstre que (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), com ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , é uma base em V³. | |Portanto, (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) é li e C uma base.(b) Se ( ) , quais são as coordenadas de na base C?Do enunciado de (a), temos: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗Então, a matriz de mudança de base de B para C é: ( )Para calcular o vetor na base C será necessário calcular antes a matriz( ) . O cálculo será realizado em etapas:i) | | Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
  8. 8. ii) ( )iii) ( ) ( )iv) ( ) ( ) ( )Tendo calculado a matriz inversa é possível encontrar o vetor na base C. , - , - ⁄ ( ) ( ) ⁄ ( ⁄ ) ( ) ( )Resposta: ( )(c) Se ⃗ ( ) , quais as coordenadas de ⃗ na base B? [⃗ ] [⃗ ] [⃗ ] ( ) ( ) ( ) ( )Reposta: ( )15 Dadas as bases E = ((-1,1,0)B,(1,1,2)B, (-1,0 1)B) e F = ((0,1,1)E, (1,2,-1)E, (2,-1,0)E),determine na base B as coordenadas de ( ) ( ) . ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ) Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia
  9. 9. i) Escrevendo o vetor ( ) na base B: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )ii) Escrevendo o vetor ( ) na base E: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( )iii) Escrevendo o vetor ( ) na base B: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( )Resposta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resolvido por: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia

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