Espaços Vetoriais Euclidianos

1. Profº Gregorio GonzagaAula 10

2. Na aula de hoje veremos:
• Base ortogonal e ortonormal
• Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
• Componentes de um vetor numa base ortogonal
• Conjuntos Ortogonais
• Complemento ortogonal

3.  Base Ortogonal e Ortonormal:
Exemplo:
1) Considere 𝑉 = ℝ³ com o produto interno usual, e seja 𝐴 = { −1,1,2 } ⊂ 𝑉. Determine
uma base ortogonal 𝐵 de 𝑉 sendo 𝐴 ⊂ 𝐵.
2) Seja 𝑉 = ℝ³, com o produto interno 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑥1 𝑥2 + 2𝑦1 𝑦2 + 𝑧1 𝑧2. Determinar, em relação
a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 𝑢 =
(1,0, −2) e 𝑣 = (1,1,0).

4.  Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt:
Dado um espaço vetorial euclidiano 𝑉 e uma base 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} desse espaço, é
possível, a partir dessa base, determinar uma base ortogonal de 𝑉. Esse processo é denominado
processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Para 𝑉 = ℝ², com 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2} fazemos:
1) 𝑣1 = 𝑤1;
2) 𝑤2 = 𝑣2 −
𝑣2⋅𝑤1
𝑤1∙𝑤1
𝑤1.
Assim, o conjunto 𝐵′ = {𝑤1, 𝑤2} é ortogonal.
Exemplo:
Ortogonalize a base 𝐵 = { 1,2 , 0, −1 }
pelo processo de Gram-Schmidt.

5.  Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt:
Para 𝑉 = ℝ³, com 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} o processo é similar. Sendo assim, fazemos:
1) 𝑣1 = 𝑤1;
2) 𝑤2 = 𝑣2 −
𝑣2⋅𝑤1
𝑤1∙𝑤1
𝑤1;
3) 𝑤3 = 𝑣3 −
𝑣3⋅𝑤2
𝑤2∙𝑤2
𝑤2 −
𝑣3⋅𝑤1
𝑤1∙𝑤1
𝑤1
Assim, o conjunto 𝐵′ = {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3} é ortogonal.
Exemplo:
Ortogonalize a base 𝐵 = { 1,0,2 , 3,0, −1 , (0,2,1)} pelo processo de Gram-Schmidt.

6.  Componentes de um vetor numa Base Ortogonal:
Seja 𝑉 um espaço vetorial euclidiano e 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} uma base ortogonal de 𝑉. Para
um vetor 𝑤 ∈ 𝑉, tem-se:
𝑤 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑣 𝑛
O vetor 𝑤 𝐵 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛) é denominado vetor componente (ou coordenada) de 𝑤 na
base 𝐵. Para encontrarmos a i-ésima coordenada de 𝑤 em relação à base 𝐵, fazemos:
𝑎𝑖 =
𝑤 ⋅ 𝑣𝑖
𝑣𝑖 ⋅ 𝑣𝑖

7.  Conjuntos Ortogonais:
Se 𝑆1 e 𝑆2 são subconjuntos não-vazios de um espaço vetorial euclidiano 𝑉, diz-se que 𝑆1 é
ortogonal 𝑆2, e se representa por 𝑆1 ⊥ 𝑆2, e qualquer 𝑣1 ∈ 𝑆1 é ortogonal a qualquer vetor
𝑣2 ∈ 𝑆2.
Exemplo: 𝑆1 = { 0,1,2 , 0,2,4 } e 𝑆2 = { 1, −2,1 , 2, −2,1 , 4,6, −3 } são ortogonais.
Teorema:
Seja 𝑉 um espaço vetorial euclidiano e 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑝} uma base de um subespaço 𝑆 de
𝑉 gerado por 𝐵.
Se um vetor 𝑢 ∈ 𝑉 é ortogonal a todos os vetores da base B, então 𝑢 é ortogonal a qualquer
vetor do subespaço 𝑆 gerado por 𝐵.

8.  Complemento Ortogonal:
Seja 𝑆 um subconjunto não vazio de 𝑉. O complemento ortogonal de 𝑆, denotado por 𝑆⊥,
é o conjunto de todos os vetores de 𝑉 que são ortogonais a todo vetor de 𝑆. Ou seja,
𝑆⊥
= {𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 ⊥ 𝑆}
Exemplo:
1) Seja 𝑉 = ℝ³ com o produto interno usual e S = { 0,0, 𝑐 ∕ 𝑐 ∈ ℝ} (eixo z), então
𝑆⊥ = { 𝑎, 𝑏, 0 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ} (plano xOy).
2) Seja 𝑉 = ℝ² com o produto interno usual e S = { 𝑥, −2𝑥 ∕ 𝑥 ∈ ℝ}, então 𝑆⊥
=
{(2𝑥, 𝑥) ∕ 𝑥 ∈ ℝ}.

9.  Bibliografia:
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear e Geometria
Analítica. 1ª ed. São Paulo: Pearson, 2009.
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. 8.ed.
Porto Alegre: Bookman,2001.
CALLIOLI, Carlos A. Et al. Álgebra Linear e Aplicações. São Paulo: Atual,
1990.