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Lista 1 - Cálculo III
Exercício 1 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que seja paralela à direção
do vetor v = (−1, 1).
Como v = (−1, 1) é paralelo à reta, temos que n = (1, 1) é perpendicular à reta, pois v.n = 0.
Logo, a reta tem equação 1.x + 1.y + c = 0. Substituindo essa equação no ponto (1, 2) dado,
obtemos que c = −3 e, portanto, a reta tem equação x + y − 3 = 0 ou y = −x + 3.
Exercício 2 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, −1) e que é perpendi-
cular à reta 2x + y = 1.
A reta 2x + y = 1 é perpendicular ao vetor v = (2, 1). Logo, a equação pedida é dada por
(1, −1) + t.(2, 1); t ∈ R.
Exercício 3 Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta 3x + 2y = 2.
Como n = (3, 2) é perpendicular à reta, temos que v = (2, −3) é paralelo à reta, pois n.v = 0.
Exercício 4 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1
2, 1) e que seja paralela à
reta 3x + 2y = 2.
Como v = (−2, 3) é paralelo à reta, a equação pedida é dada por (1
2, 1) + t.(−2, 3); t ∈ R.
Exercício 5 Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada:
(a) x − 2y = 3;
(b) x + y = 1;
(c) 2x − 5y = 4;
(d) x + 2y = 3.
(a) Como n = (1, −2) é perpendicular à reta, temos que v = (2, 1) é paralelo à reta, pois n.v = 0;
(b) Como n = (1, 1) é perpendicular à reta, temos que v = (1, −1) é paralelo à reta, pois n.v = 0;
(c) Como n = (2, −5) é perpendicular à reta, temos que v = (5, 2) é paralelo à reta, pois n.v = 0;
(d) Como n = (1, 2) é perpendicular à reta, temos que v = (2, −1) é paralelo à reta, pois n.v = 0.
Exercício 6 Determine um vetor cuja direção seja perpendicular à reta dada:
(a) 2x + y = 1;
(b) 3x − y = 3;
(c) x + 3y = 2;
(d) 2x − 3y = 1.
(a) n = (2, 1) é perpendicular à reta;
(b) n = (3, −1) é perpendicular à reta;
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(c) n = (1, 3) é perpendicular à reta;
(d) n = (2, −3) é perpendicular à reta.
Exercício 7 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja paralela à
reta dada:
(a) (2, −5) e x − y = 1;
(b) (1, −2) e 2x + y = 3.
(a) Como n = (1, −1) é perpendicular à reta, temos que v = (1, 1) é paralelo à reta, pois n.v = 0.
Logo, a equação pedida é dada por (2, −5) + t.(1, 1); t ∈ R;
(b) Como n = (2, 1) é perpendicular à reta, temos que v = (1, −2) é paralelo à reta, pois n.v = 0.
Logo, a equação pedida é dada por (1, −2) + t.(1, −2); t ∈ R;
Exercício 8 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendi-
cular à reta dada:
(a) (1, 2) e 2x + y = 3;
(b) (2, −2) e x + 3y = 1.
(a) O vetor n = (2, 1) é perpendicular à reta, logo a equação pedida é dada por (1, 2)+t.(2, 1); t ∈ R;
(b) O vetor n = (1, 3) é perpendicular à reta, logo a equação pedida é dada por (2, −2)+t.(1, 3); t ∈
R.
Exercício 9 Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à
direção do vetor n dado:
(a) (1, 1, 1) e n = (2, 1, 3);
(b) (2, 1, −1) e n = (2, 1, 2).
(a) O vetor n = (2, 1, 3) é perpendicular ao plano, logo a equação desse plano é dada por 2.x +
1.y + 3.z + c = 0. Substituindo essa equação no ponto (1, 1, 1) dado, obtemos que c = −6 e,
portanto, o plano tem equação 2x + y + 3z − 6 = 0;
(b) O vetor n = (2, 1, 2) é perpendicular ao plano, logo a equação desse plano é dada por 2.x +
1.y + 2.z + c = 0. Substituindo essa equação no ponto (2, 1, −1) dado, obtemos que c = −3
e, portanto, o plano tem equação 2x + y + 2z − 3 = 0.
Exercício 10 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpen-
dicular ao plano dado:
(a) (0, 1, −1) e x + 2y − z = 3;
(b) (2, 1, −1) e 2x + y + 3z = 1.
(a) O vetor n = (1, 2, −1) é perpendicular ao plano, logo a equação pedida é dada por (0, 1, −1) +
t.(1, 2, −1); t ∈ R;
(b) O vetor n = (2, 1, 3) é perpendicular ao plano, logo a equação pedida é dada por (2, 1, −1) +
t.(2, 1, 3); t ∈ R.
Exercício 11 Dados os pontos A = (−5, 2, 3) e B = (4, −7, −6), escreva equações vetorial e
paramétricas da reta determinada por A e B. O ponto C = (3, 1, 4) pertence a esta reta?
3
O vetor AB = B − A = (4 − (−5), −7 − 2, −6 − 3) = (9, −9, −9) é paralelo à reta pedida.
Podemos tomar um múltiplo qualquer de AB, logo tomaremos v = (−1, 1, 1).
A equação vetorial pedida é dada por A + t.v; t ∈ R, ou ainda (−5, 2, 3) + t.(−1, 1, 1); t ∈ R.
A equação paramétrica é dada por (−5−t, 2+t, 3+t); t ∈ R, ou ainda x = −5−t, y = 2+t, z =
3 + t; t ∈ R.
O ponto C não pertence à reta, pois não há parâmetro t que faça com que C = (3, 1, 4) =
(−5 − t, 2 + t, 3 + t).
Exercício 12 Dados os pontos A = (0, 2, 1) e a reta r : X = (0, 2, −2) + λ(1, −1, 2); λ ∈ R, ache
os pontos de r que distam
√
3 de A.
√
3 = d(A, r(λ)) ⇒ 3 = d2((0, 2, 1), (λ, 2−λ, −2+2λ)) = (λ−0)2 +(2−λ−2)2 +(−2+2λ−1)2 =
λ2+(−λ)2+(2λ−3)2 = λ2+λ2+4λ2−12λ+9 ⇒ 6λ2−12λ+6 = 0 ⇒ λ2−2λ+1 = 0 ⇒ λ = 1. Logo,
o ponto de r que dista
√
3 de A é o ponto de parâmetro λ = 1, isto é r(1) = (1, 2 − 1, −2 + 2.1) =
(1, 1, 0).
Exercício 13 Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1, −1) e C = (1, −1, 0), escreva equações
vetorial e paramétricas do planto determinado por A, B e C.
Os vetores u = AB = B − A = (2 − 1, 1 − 0, −1 − 1) = (1, 1, −2) e v = AC = C − A =
(1 − 1, −1 − 0, 0 − 1) = (0, −1, −1) são linearmente independentes e paralelos ao plano pedido.
Portanto, a equação vetorial pedida é dada por A + t.u + λ.v; t, λ ∈ R, ou ainda (1, 0, 1) +
t.(1, 1, −2) + λ.(0, −1, −1); t, λ ∈ R.
A equação paramétrica é dada por (1 + t, t − λ, 1 − 2t − λ); t, λ ∈ R, ou ainda x = 1 + t, y =
t − λ, z = 1 − 2t − λ; t ∈ R.
Exercício 14 Dados o plano π : (1, 1, 3) + λ(1, −1, 1) + µ(0, 1, 3), λ, µ ∈ R e a reta r : X =
(1, 1, 1) + α(3, 2, 1), α ∈ R, verifique que r é transversal a π e ache o ponto P onde r fura π.
r é transversal a π, pois os vetores (1, −1, 1), (0, 1, 3) e (3, 2, 1) são linearmente independen-
tes(determinante não nulo). O ponto P onde a reta fura o plano é P = (11
17, 13
17, 15
17)(basta resolver o
sistema 3 × 3).
Exercício 15 Obtenha uma equação geral do plano π que passa por A = (1, 1, 0), B = (1, −1, −1)
e é paralelo ao vetor v = (2, 1, 0)
O vetor u = BA = A − B = (1 − 1, 1 − (−1), 0 − (−1)) = (0, 2, 1) é paralelo ao plano π e u e v
são linearmente independentes. Logo, o vetor n = v × u = (4, −2, 4) é perpendicular ao plano π e,
portanto, a equação geral do plano é dada por 4x - 2y + 4z + d = 0. Substituindo essa equação no
ponto A = (1, 1, 0) dado, obtemos que d = −2 e, portanto, o plano tem equação 4x−2y+4z−2 = 0
ou 2x − y + 2z − 1 = 0.
Exercício 16 Obtenha uma equação paramétrica do plano que tem por equação geral x+2y−z−1 =
0.
Temos que z = −1 + x + 2y, logo temos uma possível equação paramétrica dada por x = α, y =
β, z = −1 + α + 2β; α, β ∈ R.
Exercício 17 Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto P = (1, 1, 2) e é paralelo
ao plano π : x − y + 2z + 1 = 0.
A equação geral do plano é dada por x − y + 2z + d = 0. Substituindo essa equação no ponto
P = (1, 1, 2) dado, obtemos que d = −4 e, portanto, o plano tem equação x − y + 2z − 4 = 0.
4
Exercício 18 Dê uma equação geral do plano que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é perpendicular
à reta r : X = (0, 0, 1) + λ(1, 2, −1).
A equação geral do plano é dada por x + 2y − z + d = 0. Substituindo essa equação no ponto
P = (1, 0, 1) dado, obtemos que d = 0 e, portanto, o plano tem equação x + 2y − z = 0.
Exercício 19 Escreva uma equação vetorial da reta que passa por A = (1, 2, 3) e é perpendicular
ao plano π : 2x + y − z = 2.
O vetor n = (2, 1, −1) é perpendicular ao plano e, portanto, paralelo à reta pedida. Logo, a
equação vetorial da reta é dada por A + t.n; t ∈ R ou ainda, (1, 2, 3) + t.(2, 1, −1); t ∈ R.
Exercício 20 Escreva equações paramétricas da reta intersecção dos planos π1 : (x, y, z) = (1 +
λ, −2, −λ − µ), λ, µ ∈ R e π2 : (x, y, z) = (1 + λ − µ, 2λ + µ, 3 − µ), λ, µ ∈ R.
Resolver o sistema 3 × 4 mudando o nome de 2 incógnitas e deixar uma variável livre que
parametriza a reta.

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exercicios de calculo

  • 1. 1 Lista 1 - Cálculo III Exercício 1 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e que seja paralela à direção do vetor v = (−1, 1). Como v = (−1, 1) é paralelo à reta, temos que n = (1, 1) é perpendicular à reta, pois v.n = 0. Logo, a reta tem equação 1.x + 1.y + c = 0. Substituindo essa equação no ponto (1, 2) dado, obtemos que c = −3 e, portanto, a reta tem equação x + y − 3 = 0 ou y = −x + 3. Exercício 2 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1, −1) e que é perpendi- cular à reta 2x + y = 1. A reta 2x + y = 1 é perpendicular ao vetor v = (2, 1). Logo, a equação pedida é dada por (1, −1) + t.(2, 1); t ∈ R. Exercício 3 Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta 3x + 2y = 2. Como n = (3, 2) é perpendicular à reta, temos que v = (2, −3) é paralelo à reta, pois n.v = 0. Exercício 4 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto (1 2, 1) e que seja paralela à reta 3x + 2y = 2. Como v = (−2, 3) é paralelo à reta, a equação pedida é dada por (1 2, 1) + t.(−2, 3); t ∈ R. Exercício 5 Determine um vetor cuja direção seja paralela à reta dada: (a) x − 2y = 3; (b) x + y = 1; (c) 2x − 5y = 4; (d) x + 2y = 3. (a) Como n = (1, −2) é perpendicular à reta, temos que v = (2, 1) é paralelo à reta, pois n.v = 0; (b) Como n = (1, 1) é perpendicular à reta, temos que v = (1, −1) é paralelo à reta, pois n.v = 0; (c) Como n = (2, −5) é perpendicular à reta, temos que v = (5, 2) é paralelo à reta, pois n.v = 0; (d) Como n = (1, 2) é perpendicular à reta, temos que v = (2, −1) é paralelo à reta, pois n.v = 0. Exercício 6 Determine um vetor cuja direção seja perpendicular à reta dada: (a) 2x + y = 1; (b) 3x − y = 3; (c) x + 3y = 2; (d) 2x − 3y = 1. (a) n = (2, 1) é perpendicular à reta; (b) n = (3, −1) é perpendicular à reta;
  • 2. 2 (c) n = (1, 3) é perpendicular à reta; (d) n = (2, −3) é perpendicular à reta. Exercício 7 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja paralela à reta dada: (a) (2, −5) e x − y = 1; (b) (1, −2) e 2x + y = 3. (a) Como n = (1, −1) é perpendicular à reta, temos que v = (1, 1) é paralelo à reta, pois n.v = 0. Logo, a equação pedida é dada por (2, −5) + t.(1, 1); t ∈ R; (b) Como n = (2, 1) é perpendicular à reta, temos que v = (1, −2) é paralelo à reta, pois n.v = 0. Logo, a equação pedida é dada por (1, −2) + t.(1, −2); t ∈ R; Exercício 8 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendi- cular à reta dada: (a) (1, 2) e 2x + y = 3; (b) (2, −2) e x + 3y = 1. (a) O vetor n = (2, 1) é perpendicular à reta, logo a equação pedida é dada por (1, 2)+t.(2, 1); t ∈ R; (b) O vetor n = (1, 3) é perpendicular à reta, logo a equação pedida é dada por (2, −2)+t.(1, 3); t ∈ R. Exercício 9 Determine a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à direção do vetor n dado: (a) (1, 1, 1) e n = (2, 1, 3); (b) (2, 1, −1) e n = (2, 1, 2). (a) O vetor n = (2, 1, 3) é perpendicular ao plano, logo a equação desse plano é dada por 2.x + 1.y + 3.z + c = 0. Substituindo essa equação no ponto (1, 1, 1) dado, obtemos que c = −6 e, portanto, o plano tem equação 2x + y + 3z − 6 = 0; (b) O vetor n = (2, 1, 2) é perpendicular ao plano, logo a equação desse plano é dada por 2.x + 1.y + 2.z + c = 0. Substituindo essa equação no ponto (2, 1, −1) dado, obtemos que c = −3 e, portanto, o plano tem equação 2x + y + 2z − 3 = 0. Exercício 10 Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpen- dicular ao plano dado: (a) (0, 1, −1) e x + 2y − z = 3; (b) (2, 1, −1) e 2x + y + 3z = 1. (a) O vetor n = (1, 2, −1) é perpendicular ao plano, logo a equação pedida é dada por (0, 1, −1) + t.(1, 2, −1); t ∈ R; (b) O vetor n = (2, 1, 3) é perpendicular ao plano, logo a equação pedida é dada por (2, 1, −1) + t.(2, 1, 3); t ∈ R. Exercício 11 Dados os pontos A = (−5, 2, 3) e B = (4, −7, −6), escreva equações vetorial e paramétricas da reta determinada por A e B. O ponto C = (3, 1, 4) pertence a esta reta?
  • 3. 3 O vetor AB = B − A = (4 − (−5), −7 − 2, −6 − 3) = (9, −9, −9) é paralelo à reta pedida. Podemos tomar um múltiplo qualquer de AB, logo tomaremos v = (−1, 1, 1). A equação vetorial pedida é dada por A + t.v; t ∈ R, ou ainda (−5, 2, 3) + t.(−1, 1, 1); t ∈ R. A equação paramétrica é dada por (−5−t, 2+t, 3+t); t ∈ R, ou ainda x = −5−t, y = 2+t, z = 3 + t; t ∈ R. O ponto C não pertence à reta, pois não há parâmetro t que faça com que C = (3, 1, 4) = (−5 − t, 2 + t, 3 + t). Exercício 12 Dados os pontos A = (0, 2, 1) e a reta r : X = (0, 2, −2) + λ(1, −1, 2); λ ∈ R, ache os pontos de r que distam √ 3 de A. √ 3 = d(A, r(λ)) ⇒ 3 = d2((0, 2, 1), (λ, 2−λ, −2+2λ)) = (λ−0)2 +(2−λ−2)2 +(−2+2λ−1)2 = λ2+(−λ)2+(2λ−3)2 = λ2+λ2+4λ2−12λ+9 ⇒ 6λ2−12λ+6 = 0 ⇒ λ2−2λ+1 = 0 ⇒ λ = 1. Logo, o ponto de r que dista √ 3 de A é o ponto de parâmetro λ = 1, isto é r(1) = (1, 2 − 1, −2 + 2.1) = (1, 1, 0). Exercício 13 Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1, −1) e C = (1, −1, 0), escreva equações vetorial e paramétricas do planto determinado por A, B e C. Os vetores u = AB = B − A = (2 − 1, 1 − 0, −1 − 1) = (1, 1, −2) e v = AC = C − A = (1 − 1, −1 − 0, 0 − 1) = (0, −1, −1) são linearmente independentes e paralelos ao plano pedido. Portanto, a equação vetorial pedida é dada por A + t.u + λ.v; t, λ ∈ R, ou ainda (1, 0, 1) + t.(1, 1, −2) + λ.(0, −1, −1); t, λ ∈ R. A equação paramétrica é dada por (1 + t, t − λ, 1 − 2t − λ); t, λ ∈ R, ou ainda x = 1 + t, y = t − λ, z = 1 − 2t − λ; t ∈ R. Exercício 14 Dados o plano π : (1, 1, 3) + λ(1, −1, 1) + µ(0, 1, 3), λ, µ ∈ R e a reta r : X = (1, 1, 1) + α(3, 2, 1), α ∈ R, verifique que r é transversal a π e ache o ponto P onde r fura π. r é transversal a π, pois os vetores (1, −1, 1), (0, 1, 3) e (3, 2, 1) são linearmente independen- tes(determinante não nulo). O ponto P onde a reta fura o plano é P = (11 17, 13 17, 15 17)(basta resolver o sistema 3 × 3). Exercício 15 Obtenha uma equação geral do plano π que passa por A = (1, 1, 0), B = (1, −1, −1) e é paralelo ao vetor v = (2, 1, 0) O vetor u = BA = A − B = (1 − 1, 1 − (−1), 0 − (−1)) = (0, 2, 1) é paralelo ao plano π e u e v são linearmente independentes. Logo, o vetor n = v × u = (4, −2, 4) é perpendicular ao plano π e, portanto, a equação geral do plano é dada por 4x - 2y + 4z + d = 0. Substituindo essa equação no ponto A = (1, 1, 0) dado, obtemos que d = −2 e, portanto, o plano tem equação 4x−2y+4z−2 = 0 ou 2x − y + 2z − 1 = 0. Exercício 16 Obtenha uma equação paramétrica do plano que tem por equação geral x+2y−z−1 = 0. Temos que z = −1 + x + 2y, logo temos uma possível equação paramétrica dada por x = α, y = β, z = −1 + α + 2β; α, β ∈ R. Exercício 17 Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto P = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano π : x − y + 2z + 1 = 0. A equação geral do plano é dada por x − y + 2z + d = 0. Substituindo essa equação no ponto P = (1, 1, 2) dado, obtemos que d = −4 e, portanto, o plano tem equação x − y + 2z − 4 = 0.
  • 4. 4 Exercício 18 Dê uma equação geral do plano que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é perpendicular à reta r : X = (0, 0, 1) + λ(1, 2, −1). A equação geral do plano é dada por x + 2y − z + d = 0. Substituindo essa equação no ponto P = (1, 0, 1) dado, obtemos que d = 0 e, portanto, o plano tem equação x + 2y − z = 0. Exercício 19 Escreva uma equação vetorial da reta que passa por A = (1, 2, 3) e é perpendicular ao plano π : 2x + y − z = 2. O vetor n = (2, 1, −1) é perpendicular ao plano e, portanto, paralelo à reta pedida. Logo, a equação vetorial da reta é dada por A + t.n; t ∈ R ou ainda, (1, 2, 3) + t.(2, 1, −1); t ∈ R. Exercício 20 Escreva equações paramétricas da reta intersecção dos planos π1 : (x, y, z) = (1 + λ, −2, −λ − µ), λ, µ ∈ R e π2 : (x, y, z) = (1 + λ − µ, 2λ + µ, 3 − µ), λ, µ ∈ R. Resolver o sistema 3 × 4 mudando o nome de 2 incógnitas e deixar uma variável livre que parametriza a reta.