1. O documento apresenta 10 questões sobre álgebra linear, incluindo cálculo de produtos internos entre vetores, determinação de ortogonalidade e normas de vetores, e aplicação do processo de Gram-Schmidt. 2. As questões abordam tópicos como subespaços, projeções ortogonais, auto-adjunção de aplicações lineares e propriedades de operadores nulos. 3. O documento fornece uma lista de exercícios sobre conceitos fundamentais de álgebra linear para avaliação dos estudantes.

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 5 - Parte 2 - Produto Interno
Álgebra Linear
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Calcule três produtos internos entre os vetores u = (1, 0, −1), v = (4, 1, 4), w = (−3, 24, −3) e
conclua que eles são LI.
2. Determine m ∈ R a m de que os vetores u = (m + 1, 2) e v = (−1, 4) do R2
sejam ortogonais.
3. Determine todos os vetores o R3
de norma igual a 2 que sejam ortogonais simultaneamente a
(2, 1, 2) e (−1, 3, 4).
4. Determine uma base ortonormal do subespaço W = {(x, y, z) ∈ R3
| x − y = 0}.
5. Determine, usando o processo de Gram-Schmidt, uma base ortonormal dos seguintes subespaços
do R4
(a) W = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)]
(b) W = [(2, 0, 0, 0), (1, 3, 3, 0), (3, −3, −3, 0)]
6. Para todo número natural n, prove que a norma do vetor v = (n, n + 1, n(n + 1)) ∈ R3
é um
número natural.
7. Ache a projeção ortogonal de (1, 1, 1, 1) ∈ R4
sobre o subespaço W = [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)].
8. Seja V um espaço euclidiano de dimensão nita. Se W ⊂ V é subespaço, mosque que (W⊥
)⊥
=
W.
9. Seja H um subespaço de um espaço euclidiano V . Sabemos que cada v ∈ V se expressa, de
modo único, como
v = h + t
onde h ∈ H e t ∈ H⊥
. Considere a aplicação A : V → V denida por
A(v) = h − t
para qualquer v ∈ V .
(a) Mostre que A é linear e é auto-adjunto.
(b) Se V = R3
, com o produto interno usual, e H = [(1, 1, 0)], ache a matriz de A relativa a
base canônica do R3
.
10. Seja T um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V . Suponha que T(u), u = 0 para
todo vetor u, mostre que T = 0 (aplicação nula).