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Washington Franco Mathias
        José Maria Gomes


Matemática
 Financeira
        Com + de 600 exercícios
          resolvidos e propostos


                          5ª Edição
Capítulo 3



            JUROS
          COMPOSTOS
Mathias
Gomes
Juros Compostos
          Juros Simples:
          • Apenas o capital inicial rende juros;
          • O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa.

          Juros Compostos:
          • O Juro gerado pela aplicação, em um período, será
          incorporado;
          • No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge-
          rar novos juros;
          • O regime de juros compostos é mais importante, por-
          que retrata melhor a realidade.


Mathias
Gomes
Diferença entre os regimes
          de capitalização
           Co= 1000,00
           i= 20 % a.a.
           n= 4 anos

             n            Juros Simples             Juros Compostos
                   Juro por Período Montante   Juro por período Montante
             1     1000 x 0,2 = 200     1200   1000 x 0,2 = 200 1200
             2     1000 x 0,2 = 200     1400   1200 x 0,2 = 240 1440
             3     1000 x 0,2 = 200     1600   1440 x 0,2 = 288 1728
             4     1000 x 0,2 = 200     1800   1728 x 0,2 = 346 2074

Mathias
Gomes
Montante                                        EXEMPLO



                O cálculo do montante, em juros compostos
          é dado pela fórmula:


                          C n = C o (1 + i ) n



                   Cn = montante ao fim de “n” períodos
                   Co = capital inicial
                   n = número de períodos
                   i = taxa de juros por período


Mathias
Gomes
Exemplo
          Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m.
          pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o
          montante a ser devolvido ?
          Resolução:   C0 = 1.000
                       i = 2% a .m.
                       n = 10 meses

          Temos:           C n = C 0 (1 + i ) n
                           C 10 = C 0 (1 + i )10
                           C 10 = 1.000 (1 + 0,02 )10
                           C 10 = 1.000 (1,02 )10
Mathias
                          ∴ C 10 = $1.218,99
Gomes
Cálculo de Juro                            EXEMPLO



           O juro é dado pela fórmula seguinte:


                        Jn =C.[( +i) −1
                             o 1       ] n




                     Jn = juros após “n” períodos
                     Co = capital inicial
                     n = número de períodos
                     i = taxa de juros por período




Mathias
Gomes
Exemplo
          Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa
          de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses ?


          Resolução:    C0 = 1.000
                        i = 2% a .m.
                        n = 10 meses

          Temos:         Jn = [C 0 (1 + i ) n − 1]
                         J 10 = 1.000[(1 + 0,02 )10 − 1]
                         J 10 = 1.000[(1,02 )10 − 1]
                         J 10 = 1.000[0,21899 ]
Mathias
                        ∴ J 10 = $218,99
Gomes
Valor Atual e Valor
          Nominal                                             EXEMPLO




           • O Valor Atual corresponde ao valor da aplicação
           em uma data inferior à do vencimento.
           • O Valor Nominal é o valor do título na data do
           seu vencimento.
                                        N
                                  V=
                                     (1 + i ) n

           V = valor atual
           N = valor nominal
           i = taxa de juros
           n = número de períodos que antecede o vencimento do título

Mathias
Gomes
Exemplo
          a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 me-
          ses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros com-
          postos corrente for de 2,5% a.m. ?

          Resolução:




                                                       N=1.131,40
                       V

                                   n = 5 Meses



Mathias
Gomes
Exemplo
          N = 1.131,40
          i = 2,5 % a.m.
          n = 5 meses

                                  N
                           V =
                               (1 + i ) n
                               1.131,40 1.131,40
                           V =            5
                                            ≅
                               (1,025)        1,131408
                           V ≅ $1.000,00

                  Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não esta-
          rei fazendo mau negócio.

Mathias
Gomes
Exemplo
          b) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a
          1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a tro-
          ca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor
          de $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é
          de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa.
          Resolução:




                                                         N=1.344,89
                N*=1.080,00




                 0            3                   12


Mathias
Gomes
Exemplo
          O valor atual na data focal zero da letra de câmbio que vence
          em 12 meses é dado por:

                                N       1344, 89
                      V1 =            =
                            (1 + i )12 (1, 025)12
                            1.344, 89
                      V1 =              ≅ 1.000, 00
                            1, 344889
                      ∴ V 1 = $1.000, 00
          Calculemos agora o valor atual na data zero, da letra que vence
          em 3 meses:
                                 N*        1080, 00
                          V2 =         3
                                         =
                               (1 + i )    (1, 025)3

Mathias
Gomes
Exemplo

                                   1.080,00
                             V2 =
                                   1,076891
                             ∴ V 2 = $1.002,89

          Comparando os dois valores atuais constatamos que:

                               V 2 > V1
          Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual um
          pouco maior que o que vence em 12 meses. Portanto, a troca
          seria vantajosa.

Mathias
Gomes
Taxas Equivalentes                                        EXEMPLO


           Duas taxas de juros são equivalentes se, consi-
           derados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo
           capital, for indiferente aplicar em uma ou em ou-
           tra.

                               iq = 1 + i − 1
                                     q




           onde:
           iq = taxa referente a uma fração 1/q a que se refere a taxa “i”.
           i = taxa referente a um intervalo de tempo unitário



Mathias
Gomes
Exemplo
          a) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a
          taxa de juros compostos equivalente mensal.

          Resolução:
                         iq = q 1 + i − 1
          Sendo que:     q = 3 meses
                         i = 9,2727% a.t.
          Portanto:      i 3 = 3 1 + 0,092727 − 1
                         i 3 = 3 1,092727 − 1
                         i 3 = 1,03 − 1
                         ∴ i 3 = 0,03a.m.
                      ou i 3 = 3% a.m.
Mathias
Gomes
Exemplo
          b) Suponhamos que C0 = 1.000,00; iq = 2% a.m.; i = 26,824%
          a.a. e n = 1 ano. Verificar se i e iq são equivalentes.
          Resolução: Para verificar se as duas taxas são equivalentes,
          vamos aplicar o capital de $ 1.000,00 pelo mesmo prazo. Va-
          mos adotar 1 ano, que é o período de aplicação corresponden-
          te à taxa i.
          O montante à taxa i, é:
                        C1 = 1.000(1,26824)
                        C1 = $ 1.268,24
          Calculando-se o montante em 12 meses para a taxa iq, tem-se:
                        C1’ = 1.000(1,02)12
                        C1’ = 1.000(1,268242)
          Logo:         C1’ = $ 1.268,24
Mathias
Gomes
Exemplo
          Portanto, como C1 = C1’, podemos concluir que a taxa de 2%
          a.m. é equivalente à taxa de 26,824% ao ano.
          Note-se que esta taxa é maior que a taxa equivalente obtida a
          juros simples (ou seja: 2% x 12 meses = 24% ao ano).

          c) Se um capital de $ 1.000,00 puder ser aplicado às taxas de
          juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio, deter-
          minar a melhor aplicação.

          Resolução: Para determinar qual a melhor aplicação, vamos a-
          plicar o capital disponível às duas taxas e por um mesmo prazo.
          Façamos a aplicação por 3 anos, que é o período da segunda ta-
          xa.


Mathias
Gomes
Exemplo
          Aplicando à taxa de 10% a.a.

                         C3 = 1.000(1 + 0,10)3
                         C3 = 1.000(1,331)
                         C3 = $ 1.331,00
          Aplicando à taxa de 33,1% ao triênio, por um triênio:

                         C1 = 1.000(1 + 0,331)1
                         C1 = 1.000(1,331)
                         C1 = $ 1.331,00

          É portanto, indiferente aplicar-se a qualquer das taxas; ou seja,
          as taxas são equivalentes.

Mathias
Gomes
Períodos Não-Inteiros
          Convenção Exponencial                                  EXEMPLO


                  Nesta convenção, os juros do período não-
           inteiro são calculados utilizando-se a taxa equiva-
           lente.
                                                  n+ p / q
                       Cn , p / q = Co(1 + i )
           Co = Capital inicial
           n = número de períodos inteiros
           i = taxa de juros
           p/q = fração própria (p<q) de um período a que se refere a ta-
           xa “i”
           Cn,p/q = montante ao fim de (n+p/q) períodos

Mathias
Gomes
Exemplo
          Um capital de $ 1.000,00 é emprestado à taxa de juros com-
          postos de 10% a.a., pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo
          por base a capitalização anual, qual será o montante ?
          Resolução:
          a) por etapas:
             1ª etapa: calculamos o montante para os períodos inteiros:
                         C5 = C0(1 + i)5
                         C5 = 1.000(1,10)5
                         C5 = 1.000(1,61051)
                         C5 = $ 1.610,51
             2ª etapa: como a taxa está em base anual (12 meses), te-
          mos:
                         p = 6 meses         p 1
                         q = 12 meses } ∴     =
                                            q    2
Mathias
Gomes
Exemplo
          Portanto:
                         C’n,p/q   =   Cn(1 + i)p/q
                         C’5,1/2   =   C5(1,10)1/2
                         C’5,1/2   =   1.610,51(1,048809)
                         C’5,1/2   =   $ 1.689,12

          b) usando a fórmula:
                        C’n,p/q =      C0(1 + i)n+p/q
                        C’5,1/2 =      1.000(1,10)5+1/2
                        C’5,1/2 =      1.000(1,10)5,5
                        C’5,1/2 =      $ 1.689,12



Mathias
Gomes
Taxa Efetiva e Nominal

                 Diz-se que a taxa é nominal quando o pe-
           ríodo de capitalização não coincide com o período
           da taxa.

                                         i kn
                       C nk   = C o (1 + )
                                        k
                 e
                                  i k
                       i f = (1 + ) − 1
                                 k

Mathias
Gomes
Taxa Efetiva e Nominal
                                                      EXEMPLO

          i = taxa nominal
          if = taxa efetiva
          k = número de capitalizações para 1 período da taxa
          efetiva
          n = número de períodos de capitalização da taxa no-
          minal
          C0 = Principal
          Cnk = Montante



Mathias
Gomes
Exemplo
          1) Um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotando
          a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por
          um empréstimo de $ 10.000,00, feito por 1 ano ?

          Resolução: Adotando-se a convenção de que a taxa por perío-
          do de capitalização seja a taxa proporcional simples à taxa no-
          minal dada, tem-se:
                                        i 5
                 i = 5% a.a.       i ' = = = 2,5%a.s.
                                        k 2
                  Onde k corresponde ao prazo de formação de juros, ou
          seja, é o número de vezes em que foi dividido o período corres-
          pondente à taxa dada.
                  Nestas condições, o montante no primeiro semestre é
          dado por:
Mathias
Gomes
Exemplo
                        C1 = C0 (1+i/k)1
                        C1 = 10.000 (1 + 0,025)1 = $ 10.250,00

          E, no segundo semestre, tem-se:

                        C2 = 10.250(1 + 0,025)1=$ 10.506,25

          O montante que seria devido caso a capitalização fosse anual é
          dado por:
                       C’ = C0(1 + i)1
                       C’ = 10.000(1 + 0,05) = $ 10.500,00

          Constatamos que existe uma pequena diferença para mais no
          montante, quando o prazo de capitalização não coincide com o
          prazo da taxa.
Mathias
Gomes
Exemplo
      A taxa efetiva nesta operação, em que temos duas capitalizações,
      é dada por:

                    if = 506,25/10.000,00 = 0,050625 a.a.
             ou     if = 5,0625% a.a.

      E a taxa efetiva quando a capitalização é feita no período da taxa
      é:
                     i’f = 500,00/10.000,00 = 0,05 a.a.
             ou      i’f = 5% a.a.




Mathias
Gomes
Exemplo
           Observe-se que podemos obter o resultado diretamente, a-
    plicando os $ 10.000,00 em dois semestres:

                 C2 = 10.000 (1,025)2 = 10.506,25

          A taxa efetiva é dada por:

                 1 + if = (1,025)2 = 1,050625
                 if = 5,0625% a.a.




Mathias
Gomes
Exemplo
          2) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de
          10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e
          a taxa efetiva da operação.

          Resolução:    i = 10% a.a.
                        K=2
                        n = 3 anos

          Portanto:     Cnk = C0 (1 + i/k)kn
                        C6 = 1.000 (1 + 0,10/2)2.3
                        C6 = 1.000 (1 + 0,05)6
                        C6 = $ 1.340,10
                        A taxa efetiva é dada por:
                        if = (1 + i/k)2 - 1
                        if = (1 + 0,05)2 - 1
                        if = 10,25% a.a.
Mathias
Gomes
Exemplo
          3) Sabendo-se que uma taxa nominal de 12% a.a. é capitalizada
          trimestralmente, calcular a taxa efetiva.

          Resolução: Como em 1 ano existem 4 trimestres, temos k=4.

          Então:       if   = (1+i/k)k - 1
                       if   = (1+0,12/4)4 - 1
                       if   = (1,03)4 - 1
                       if   =1,12551 - 1
                       if   =0,12551 a.a. ou if = 12,551% a.a.




Mathias
Gomes

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  • 2. Capítulo 3 JUROS COMPOSTOS Mathias Gomes
  • 3. Juros Compostos Juros Simples: • Apenas o capital inicial rende juros; • O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa. Juros Compostos: • O Juro gerado pela aplicação, em um período, será incorporado; • No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge- rar novos juros; • O regime de juros compostos é mais importante, por- que retrata melhor a realidade. Mathias Gomes
  • 4. Diferença entre os regimes de capitalização Co= 1000,00 i= 20 % a.a. n= 4 anos n Juros Simples Juros Compostos Juro por Período Montante Juro por período Montante 1 1000 x 0,2 = 200 1200 1000 x 0,2 = 200 1200 2 1000 x 0,2 = 200 1400 1200 x 0,2 = 240 1440 3 1000 x 0,2 = 200 1600 1440 x 0,2 = 288 1728 4 1000 x 0,2 = 200 1800 1728 x 0,2 = 346 2074 Mathias Gomes
  • 5. Montante EXEMPLO O cálculo do montante, em juros compostos é dado pela fórmula: C n = C o (1 + i ) n Cn = montante ao fim de “n” períodos Co = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros por período Mathias Gomes
  • 6. Exemplo Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido ? Resolução: C0 = 1.000 i = 2% a .m. n = 10 meses Temos: C n = C 0 (1 + i ) n C 10 = C 0 (1 + i )10 C 10 = 1.000 (1 + 0,02 )10 C 10 = 1.000 (1,02 )10 Mathias ∴ C 10 = $1.218,99 Gomes
  • 7. Cálculo de Juro EXEMPLO O juro é dado pela fórmula seguinte: Jn =C.[( +i) −1 o 1 ] n Jn = juros após “n” períodos Co = capital inicial n = número de períodos i = taxa de juros por período Mathias Gomes
  • 8. Exemplo Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses ? Resolução: C0 = 1.000 i = 2% a .m. n = 10 meses Temos: Jn = [C 0 (1 + i ) n − 1] J 10 = 1.000[(1 + 0,02 )10 − 1] J 10 = 1.000[(1,02 )10 − 1] J 10 = 1.000[0,21899 ] Mathias ∴ J 10 = $218,99 Gomes
  • 9. Valor Atual e Valor Nominal EXEMPLO • O Valor Atual corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à do vencimento. • O Valor Nominal é o valor do título na data do seu vencimento. N V= (1 + i ) n V = valor atual N = valor nominal i = taxa de juros n = número de períodos que antecede o vencimento do título Mathias Gomes
  • 10. Exemplo a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 me- ses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros com- postos corrente for de 2,5% a.m. ? Resolução: N=1.131,40 V n = 5 Meses Mathias Gomes
  • 11. Exemplo N = 1.131,40 i = 2,5 % a.m. n = 5 meses N V = (1 + i ) n 1.131,40 1.131,40 V = 5 ≅ (1,025) 1,131408 V ≅ $1.000,00 Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não esta- rei fazendo mau negócio. Mathias Gomes
  • 12. Exemplo b) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a tro- ca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor de $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa. Resolução: N=1.344,89 N*=1.080,00 0 3 12 Mathias Gomes
  • 13. Exemplo O valor atual na data focal zero da letra de câmbio que vence em 12 meses é dado por: N 1344, 89 V1 = = (1 + i )12 (1, 025)12 1.344, 89 V1 = ≅ 1.000, 00 1, 344889 ∴ V 1 = $1.000, 00 Calculemos agora o valor atual na data zero, da letra que vence em 3 meses: N* 1080, 00 V2 = 3 = (1 + i ) (1, 025)3 Mathias Gomes
  • 14. Exemplo 1.080,00 V2 = 1,076891 ∴ V 2 = $1.002,89 Comparando os dois valores atuais constatamos que: V 2 > V1 Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual um pouco maior que o que vence em 12 meses. Portanto, a troca seria vantajosa. Mathias Gomes
  • 15. Taxas Equivalentes EXEMPLO Duas taxas de juros são equivalentes se, consi- derados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou em ou- tra. iq = 1 + i − 1 q onde: iq = taxa referente a uma fração 1/q a que se refere a taxa “i”. i = taxa referente a um intervalo de tempo unitário Mathias Gomes
  • 16. Exemplo a) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos equivalente mensal. Resolução: iq = q 1 + i − 1 Sendo que: q = 3 meses i = 9,2727% a.t. Portanto: i 3 = 3 1 + 0,092727 − 1 i 3 = 3 1,092727 − 1 i 3 = 1,03 − 1 ∴ i 3 = 0,03a.m. ou i 3 = 3% a.m. Mathias Gomes
  • 17. Exemplo b) Suponhamos que C0 = 1.000,00; iq = 2% a.m.; i = 26,824% a.a. e n = 1 ano. Verificar se i e iq são equivalentes. Resolução: Para verificar se as duas taxas são equivalentes, vamos aplicar o capital de $ 1.000,00 pelo mesmo prazo. Va- mos adotar 1 ano, que é o período de aplicação corresponden- te à taxa i. O montante à taxa i, é: C1 = 1.000(1,26824) C1 = $ 1.268,24 Calculando-se o montante em 12 meses para a taxa iq, tem-se: C1’ = 1.000(1,02)12 C1’ = 1.000(1,268242) Logo: C1’ = $ 1.268,24 Mathias Gomes
  • 18. Exemplo Portanto, como C1 = C1’, podemos concluir que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 26,824% ao ano. Note-se que esta taxa é maior que a taxa equivalente obtida a juros simples (ou seja: 2% x 12 meses = 24% ao ano). c) Se um capital de $ 1.000,00 puder ser aplicado às taxas de juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio, deter- minar a melhor aplicação. Resolução: Para determinar qual a melhor aplicação, vamos a- plicar o capital disponível às duas taxas e por um mesmo prazo. Façamos a aplicação por 3 anos, que é o período da segunda ta- xa. Mathias Gomes
  • 19. Exemplo Aplicando à taxa de 10% a.a. C3 = 1.000(1 + 0,10)3 C3 = 1.000(1,331) C3 = $ 1.331,00 Aplicando à taxa de 33,1% ao triênio, por um triênio: C1 = 1.000(1 + 0,331)1 C1 = 1.000(1,331) C1 = $ 1.331,00 É portanto, indiferente aplicar-se a qualquer das taxas; ou seja, as taxas são equivalentes. Mathias Gomes
  • 20. Períodos Não-Inteiros Convenção Exponencial EXEMPLO Nesta convenção, os juros do período não- inteiro são calculados utilizando-se a taxa equiva- lente. n+ p / q Cn , p / q = Co(1 + i ) Co = Capital inicial n = número de períodos inteiros i = taxa de juros p/q = fração própria (p<q) de um período a que se refere a ta- xa “i” Cn,p/q = montante ao fim de (n+p/q) períodos Mathias Gomes
  • 21. Exemplo Um capital de $ 1.000,00 é emprestado à taxa de juros com- postos de 10% a.a., pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o montante ? Resolução: a) por etapas: 1ª etapa: calculamos o montante para os períodos inteiros: C5 = C0(1 + i)5 C5 = 1.000(1,10)5 C5 = 1.000(1,61051) C5 = $ 1.610,51 2ª etapa: como a taxa está em base anual (12 meses), te- mos: p = 6 meses p 1 q = 12 meses } ∴ = q 2 Mathias Gomes
  • 22. Exemplo Portanto: C’n,p/q = Cn(1 + i)p/q C’5,1/2 = C5(1,10)1/2 C’5,1/2 = 1.610,51(1,048809) C’5,1/2 = $ 1.689,12 b) usando a fórmula: C’n,p/q = C0(1 + i)n+p/q C’5,1/2 = 1.000(1,10)5+1/2 C’5,1/2 = 1.000(1,10)5,5 C’5,1/2 = $ 1.689,12 Mathias Gomes
  • 23. Taxa Efetiva e Nominal Diz-se que a taxa é nominal quando o pe- ríodo de capitalização não coincide com o período da taxa. i kn C nk = C o (1 + ) k e i k i f = (1 + ) − 1 k Mathias Gomes
  • 24. Taxa Efetiva e Nominal EXEMPLO i = taxa nominal if = taxa efetiva k = número de capitalizações para 1 período da taxa efetiva n = número de períodos de capitalização da taxa no- minal C0 = Principal Cnk = Montante Mathias Gomes
  • 25. Exemplo 1) Um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotando a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por um empréstimo de $ 10.000,00, feito por 1 ano ? Resolução: Adotando-se a convenção de que a taxa por perío- do de capitalização seja a taxa proporcional simples à taxa no- minal dada, tem-se: i 5 i = 5% a.a. i ' = = = 2,5%a.s. k 2 Onde k corresponde ao prazo de formação de juros, ou seja, é o número de vezes em que foi dividido o período corres- pondente à taxa dada. Nestas condições, o montante no primeiro semestre é dado por: Mathias Gomes
  • 26. Exemplo C1 = C0 (1+i/k)1 C1 = 10.000 (1 + 0,025)1 = $ 10.250,00 E, no segundo semestre, tem-se: C2 = 10.250(1 + 0,025)1=$ 10.506,25 O montante que seria devido caso a capitalização fosse anual é dado por: C’ = C0(1 + i)1 C’ = 10.000(1 + 0,05) = $ 10.500,00 Constatamos que existe uma pequena diferença para mais no montante, quando o prazo de capitalização não coincide com o prazo da taxa. Mathias Gomes
  • 27. Exemplo A taxa efetiva nesta operação, em que temos duas capitalizações, é dada por: if = 506,25/10.000,00 = 0,050625 a.a. ou if = 5,0625% a.a. E a taxa efetiva quando a capitalização é feita no período da taxa é: i’f = 500,00/10.000,00 = 0,05 a.a. ou i’f = 5% a.a. Mathias Gomes
  • 28. Exemplo Observe-se que podemos obter o resultado diretamente, a- plicando os $ 10.000,00 em dois semestres: C2 = 10.000 (1,025)2 = 10.506,25 A taxa efetiva é dada por: 1 + if = (1,025)2 = 1,050625 if = 5,0625% a.a. Mathias Gomes
  • 29. Exemplo 2) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e a taxa efetiva da operação. Resolução: i = 10% a.a. K=2 n = 3 anos Portanto: Cnk = C0 (1 + i/k)kn C6 = 1.000 (1 + 0,10/2)2.3 C6 = 1.000 (1 + 0,05)6 C6 = $ 1.340,10 A taxa efetiva é dada por: if = (1 + i/k)2 - 1 if = (1 + 0,05)2 - 1 if = 10,25% a.a. Mathias Gomes
  • 30. Exemplo 3) Sabendo-se que uma taxa nominal de 12% a.a. é capitalizada trimestralmente, calcular a taxa efetiva. Resolução: Como em 1 ano existem 4 trimestres, temos k=4. Então: if = (1+i/k)k - 1 if = (1+0,12/4)4 - 1 if = (1,03)4 - 1 if =1,12551 - 1 if =0,12551 a.a. ou if = 12,551% a.a. Mathias Gomes