MATEMÁTICA FINANCEIRA - REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES

MATEMÁTICA FINANCEIRA
MATERIAL - AULA 1 por JESSYGA TAVARES
REGRA DE TRÊS SIMPLES / JUROS SIMPLES
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1. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhe- cidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º passo: Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º passo: Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º passo: Montar a proporção e resolver a equação.
CÁLCULOS DE EXEMPLO
Exemplo 1
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60 m² de parede. Quantos litros de tintas serão neces- sários para pintar 450 m², nas mesmas condições?
1º passo: Tabela
Observe que, quanto maior a área a ser pintada maior será a quantidade de tinta, então podemos dizer que a regra de três é diretamente proporcional. Nesse caso não invertemos os termos, multipli- camos cruzado, veja:
60 * x = 18 * 450 60x = 8.100 x = 8.100
60 x = 135 l
Resposta: Serão necessários 135 litros de tintas para pintar uma parede de 450 m².
Observação:
Diretamente proporcional = se a 1ª grandeza aumenta, a 2ª grandeza também aumenta; ou
se a 1ª grandeza diminui, a 2ª grandeza também diminui.
Litros
Área em m²
Litros
Área em m² 18 60
18 60
x
450
x
450

2
Exemplo 2
Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quanto tempo ela leria o mesmo livro?
Dias
Páginas por dia
Dias
Páginas por dia 4 15
x 15
x
6
4
6
Observe que agora a situação é a seguinte, se ela ler mais páginas por dia demorará menos tempo para ler o livro, caso ela diminua as páginas lidas por dia aumentará o tempo de leitura, nesse caso a regra de três é inversamente proporcional, então devemos inverter a coluna em que se encontra a incógnita e depois multiplicar cruzado.
6 * x = 4 * 15 6x = 60 x = 60
6 x = 10 dias Resposta: Se passar a ler 6 páginas por dia levará 10 dias para ler o livro.
Observação:
Inversamente proporcional = se a 1ª grandeza aumenta, a 2ª grandeza diminui; ou
se a 1ª grandeza diminui, a 2ª grandeza aumenta.
Tabela de Proporção Direta e Inversamente Proporcional:
1ª grandeza
2ª grandeza
proporção
Aumenta
Aumenta
Direta
Diminui
Diminui
Direta
Aumenta
Diminui
Inversa
Diminui
Aumenta
Inversa

3
2. DIFERENÇA ENTRE CAPITAL E MONTANTE
CAPITAL “C”
Quando se fala em aplicação ou empréstimo em uma questão, estaremos sempre nos referindo ao CAPITAL investido ou adquirido, a mesma coisa acontece quando a questão se refere ao valor principal, esta também é uma referência ao CAPITAL.
Logo, aplicação ou financiamento ou empréstimo ou valor principal = CAPITAL = C.
O Capital pode ser representado por várias siglas e sinônimos.
As representações mais usuais são: C (de Capital); P (de Principal).
Sem o CAPITAL você não tem como calcular nem o JUROS nem o MONTANTE.
MONTANTE “M”
O MONTANTE é o valor da soma total de algo ou de alguma coisa. Nesse sentido, podemos dizer que, se você tem 3 chocolates e uma pessoa lhe dá de presente mais 3 chocolates, o seu MONTANTE será de 6 chocolates, ou seja, o valor final que se obteve. Também pode ser chamado de valor de resgate, quando se tratar de investimento; e valor de pagamento (dívida total), quando se tratar de empréstimos. Também quando se fala em valor futuro, faz-se referência ao MONTANTE.
Logo, valor de resgate ou de pagamento ou valor futuro ou final = MONTANTE = M.
No que nos referimos às fórmulas de juros simples e composto, temos que o MONTANTE será igual o CAPITAL + JUROS incidentes.
Fórmula do MONTANTE:
3. DEFINIÇÃO DE JUROS E PRAZO.
JUROS “j”
O JURO é a quantia que se paga além do valor principal.
Por definição, o JURO é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro.
Ao solicitar um empréstimo em uma financeira, você estará obrigado a pagar um valor maior que o valor que você recebeu emprestado.
Este valor pago a mais se chama JURO.
M = C + j
Onde:
M = Montante C = Capital j = juros

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É expresso como um percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos. Pode ser pelo empréstimo de dinheiro, lucro de capital emprestado, atraso de pagamento, etc..
Quando se fala em rendimento em alguma questão, esta é uma referência ao valor dos JUROS cobrados.
PRAZO
Prazo tem a ver com período, assim como vencimento, que nos cálculos de juros é a mesma coisa que tempo, este sendo representado pela letra “n” ou “t”.
Logo, prazo ou período ou vencimento = TEMPO = n
MEDIDAS DE TEMPO
1 mês (comercial) = 30 dias
1 ano (comercial) = 360 dias
1 ano (normal) = 365 dias e 6 horas
1 ano (bissexto) = 366 dias
1 semana = 7 dias
1 quinzena = 15 dias
1 bimestre = 2 meses
1 trimestre = 3 meses
1 quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
1 biênio = 2 anos
1 lustro ou 1 quinquênio = 5 anos
1 década = 10 anos
1 século = 100 anos
1 milênio = 1.000 anos
Os períodos mais utilizados são os destacados na cor verde.
4. TRANSFORMAÇÃO DE TAXA
A TAXA é representada pela letra “i” e pode ser identificada em sua forma percentual e unitária.
Na forma percentual, vê-se o símbolo da porcentagem “%”.
Para transformar um valor percentual em unitário, deve-se apenas dividi-lo por 100;
E para transformar um valor unitário em percentual, deve-se multiplicá-lo por 100.
Exemplo 1
Transformar os valores a seguir para a forma unitária:
a) i = 12%
i = 12
100
i = 0,12
b) i = 145%
i = 145
100
i = 1,45
c) i = 1,7%
i = 1,7
100
i = 0,017
d) i = 0,00003%
i = 0,00003
100
i = 0,0000003
Dica: Para facilitar o cálculo, quando um número é dividido por 100, basta deslocar a vírgula duas casas decimais para a esquerda. Desta forma:
a) i = 12%
i = 0, 1 2
i = 0,12
b) i = 145%
i = 1, 4 5
i = 1,45
c) i = 1,7%
i = 0, 0 1 7
i = 0,017
d) i = 0,00003%
i = 0, 0 0 00003
i = 0,0000003

5
Exemplo 2
Transformar os valores a seguir para a forma percentual:
a) i = 0,1234
i = 0,1234 * 100
i = 12,34%
b) i = 0,000671
i = 0,000671 * 100
i = 0,0671%
c) i = 3,219
i = 3,219 * 100
i = 321,9%
d) i = 0,00003
i = 0,00003 * 100
i = 0,003%
Dica: Para facilitar o cálculo, quando um número é multiplicado por 100, basta deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita. Desta forma:
a) i = 0, 1 2 34
i = 12,34%
b) i = 0, 0 0 0671
i = 0,0671%
c) i = 3, 2 1 9
i = 321,9%
d) i = 0, 0 0 003
i = 0,003%
5. INTERPRETAÇÃO
Deve-se prestar bastante atenção no enunciado das questões, por tudo é uma questão de interpretação.
Capital: Valor que está sendo emprestado ou investido.
Juro: É a remuneração paga pelo uso do dinheiro. O juro é uma forma de produção de renda, através de certo capital.
Período: É o tempo durante o qual o capital será aplicado.
Montante: É a soma do capital com o juro produzido em todo o período.
Sempre, quando for resolver uma questão de juro simples ou compostos, faça a identificação dos valores que foram dados na questão, para poder se organizar e assim descobrir qual fórmula deverá utilizar em sua resolução.
6. JUROS SIMPLES
Na modalidade de JUROS SIMPLES o cálculo do juro de cada período é sempre calculado com base no capital inicial.
Ao trabalhamos com juros, consideramos as seguintes variáveis:
C: Capital ou principal é quantia aplicada ou tomada emprestada.
n: É o período de tempo em que o capital será aplicado.
j: É o juro resultante da operação.
i: É a taxa percentual aplicada ao capital para a apuração do juro.
M: O montante é a soma do capital com o juro produzido em todo o período.

6
No caso de juros compostos, após cada período, o valor dos juros é adicionado ao capital (montante) antes do cálculo do próximo juro. Desse modo temos juros calculados sobre juros. Imagine que você tome emprestado, a juros simples, a importância de R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% ao mês. Qual será o valor que você deverá pagar como juro, decorrido este período de tempo? Qual o montante a ser pago? Embora você possa se utilizar de fórmulas para a resolução deste problema, o ideal é que você consiga abstrair a ideia por trás do mesmo. Vamos aos cálculos! O valor do juro em cada período será: 100 * x = 5 * 5.000 100x = 25.000 x = 25.000 100 x = R$ 250,00 Ou seja ao final de cada período, além dos cinco mil reais emprestados, você estará devendo mais R$ 250,00 correspondente ao juro do período em questão. Compreendida a esquemática por trás do cálculo dos juros, do explicado acima, podemos deduzir várias fórmulas. Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do juro iremos utilizar a fórmula: Quando tivermos o valor do juro, a taxa de juros e o tempo da aplicação, para a obtenção do valor do capital utilizaremos a fórmula: Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e o tempo da aplicação, para a obtenção da taxa de juros utilizaremos a fórmula: Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e a taxa de juros, para a obtenção do tempo da aplicação iremos utilizar a fórmula: Para o cálculo do montante utilizaremos a fór- mula: As suas variantes são: e Utilizando-se destas fórmulas, o problema acima pode ser resolvido da seguinte forma: Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: A calcular temos:  j: O valor do juro.  M: O valor do montante.
Valor
Porcentagem R$ 5.000,00 100%
x
5%

7 Inicialmente utilizaremos a fórmula: Substituindo o valor dos termos temos: Logo: Para o cálculo do montante utilizaremos a fór- mula: Substituindo o valor dos termos temos: Portanto: Ou seja, uma importância de R$ 5.000,00 emprestada a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 5% a.m. resultaria em juros totais de R$ 750,00 e em um montante de R$ 5.750,00 como já havíamos apurado anteriormente.
Resposta: Juros totais de R$ 750,00
Montante de R$ 5.750,00
Para a forma de capitalização simples (juros simples), também podemos usar a fórmula de MONTANTE:
Questões resolvidas de juros simples:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS SIMPLES
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
SOLUÇÃO:
Temos: j = C*i*n
C = R$ 40.000,00
i = 36% a.a.  36÷100 = 0,36 a.a.
n = 125 dias  125÷360 = 0,347222222 ano
j = ?
j = 40000*0,36*0,347222222 = R$ 5.000,00
REGRA!
Taxa e período devem ficar sempre na mesma unidade de tempo!
Deve-se converter sempre a unidade de período “n” para a unidade da taxa “i”, pois alterações na taxa podem interferir no resultado a longo prazo.
M = C(1+ i*n)
Onde:
M = Montante C = Capital i = taxa
n = juro
M = C + j (1ª fórmula)
j = C*i*n (2ª fórmula)
Então podemos substituir na 1ª fórmula:
M = C + C*i*n
Colocando o C em evidência, temos M = C(1 + i*n)

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2 - Um empréstimo de R$ 8.000,00 rendeu juros de R$ 2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de juros do empréstimo?
SOLUÇÃO:
Temos: j = C*i*n
C = R$ 8.000,00
i = ?
n = 7 meses
j = R$ 2.520,00
2520 = 8000*i*7
2520 = 56000*i
56000i = 2520
i = 2520÷56000 = 0,045 a.m
0,045 * 100 = 4,5% a.m.
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias?
SOLUÇÃO:
Temos: j = C*i*n
C = ?
i = 1,2% a.m. = 1,2÷100 = 0,012 a.m.
n = 75 dias = 75÷30 = 2,5 mês
j = R$ 3.500,00
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.
Logo,
3500 = C*0,012*2,5
3500 = C*0,03
0,03C = 3500
C = 3500÷0,03
C = R$ 116.666,67

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4 - Por quanto tempo um capital de R$ 11.500,00 foi aplicado para que rendesse R$ 1.725,00 de juros simples, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.?
SOLUÇÃO:
Temos: j = C*i*n
C = R$ 11.500,00
i = 4,5% a.m. = 4,5÷100 = 0,045 a.m.
n = ?
j = R$ 1.725,00
1725 = 11500*0,045*n
1725 = 517,5*n
517,5n = 1725
n = 1725÷517,5
n = 3,3333... meses
n = 3 meses + 0,3333... de um mês
n = 3 meses + 1/3 de um mês
= 3 meses e 10 dias
5 - Que capital produziu um montante de R$ 20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12% a.a.?
SOLUÇÃO:
Temos: M = C*(1 + i*n)
C = ?
i = 12% a.a. = 12÷100 = 0,12 a.a.
n = 8 anos
M = R$ 20.000,00
20000 = C(1 + 0,12*8)
20000 = C(1 + 0,96)
20000 = C(1,96)
1,96C = 20000
C = 20000÷1,96 = R$ 10.204,08

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EXERCÍCIOS - REGRA DE TRÊS 1. Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de areia, quantos ca- minhões iguais a esse seriam necessários? 2. A comida que restou para 3 náufragos seria su- ficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadan- do. Com um náufrago a menos, qual será a dura- ção dos alimentos? 3. Para atender todas as ligações feitas a uma em- presa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diá- rias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média? 4. Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta 7.500 telhas. Quantas horas por dia deve trabalhar esse pintor para que ele possa pintar 6.000 telhas em 4 dias? 5. Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operan- do durante 6 baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras. Quantas pedras lançará em 10 baterias de 12 minutos cada? 6. Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia? 7. Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestio- namento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus? 8. Sabendo que os números a, 12 e 15 são diretamente proporcionais aos números 28, b e 20, determine os números a e b. 9. Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colo- cada na vertical em relação ao chão e projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra pro- jetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura? 10. Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco?
EXERCÍCIOS - JUROS SIMPLES 1. Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros? 2. Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material? 3. Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? 4. O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.? 5. Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou- o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos juros? 6. Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumenta- do por este investimento? 7. Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi a taxa de juros a.a. da aplicação? 8. Maria Gorgonzola realizou uma aplicação por um período de 1 bimestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada? 9. Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria havia emprestado?

11 10. Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação em meses? 11. Calcule o montante e os juros referentes a um capital de R$ 45.423,50 investido a 0,3% a.d., durante 1,5 anos. 12. Gusmão tomou emprestado R$ 32.000,00, pagando durante 2 anos, à taxa de juros simples de 2,54% a.t. Qual o juro resultante após os 2 anos? 13. Para reformar o seu carro, um taxista realizou um empréstimo a uma taxa de juros simples de 2,64% a.m. A duração do empréstimo foi de 220 dias, qual o juro pago para o empréstimo de R$ 7.000,00? 14. Qual o valor dos juros e do montante resultan- tes de um empréstimo de R$ 15.478,50 feito pelo prazo de 5 bimestres, à taxa de 7,5% a.b.? 15. Qual o valor dos juros correspondente a um empréstimo de R$ 37.200,00 realizado pelo prazo de 3 bimestres, à taxa de 91,2% a.a.? 16. Minha irmã, ao todo, pagou R$ 322.800,00 por sua casa. Sei que de juros ela pagou R$ 172.800,00. A taxa foi de 1,2% a.m. Por quantos anos ela pagou pelo imóvel? Qual o preço da casa sem os juros? 17. Comprei uma joia a prazo, pagando um total de R$ 9.825,20. O seu valor à vista era de R$ 7.700,00 e a taxa de juros é de 4,6% a.m. Por quantos semestres eu fiquei com esta dí- vida? 18. Marcinha retirou de uma aplicação o total R$ 80.848,00, após decorridos 5 trimestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 15.648,00. Qual a taxa de juros a.b.? 19. O valor principal de uma aplicação é de R$ 10.000,00. Resgatou-se um total de R$ 19.000,00 após 1 semestre. Qual o valor da taxa de juros a.d.? 20. Pedro pagou mensalmente, pelo período de 3 semestres, por um equipamento que custa R$ 5.300,00, a uma taxa de juros simples de 1,89% a.m. Qual o valor total pago? Qual o valor dos juros?

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GABARITOS
GABARITO - REGRA DE TRÊS
1. 24 caminhões
2. 18 dias
3. 75 ligações
4. 16 horas
5. 400 pedras
6. 75 caixas
7. 60 Km / h
8. 16
9. 371 cm
10. 40 latas
GABARITO - JUROS SIMPLES 1. O valor do computador sem os juros era de R$ 2.500,00 e o prazo de pagamento foi de 2 anos. 2. Eu ficarei pagando pelo material da reforma por 1,5 anos. 3. 4,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Aninha investiu. 4. A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,75% a.d. 5. O valor dos juros foi de R$ 280,80, que acrescentado ao preço do curso de R$ 1.800,00, totalizou R$ 2.080,80. 6. Com investimento o capital aumentou R$ 4.326,00. 7. 32,4% a.a. foi a taxa de juros simples da aplicação. 8. A aplicação de Maria Gorgonzola foi realizada à uma taxa de juros simples de 37,2% a.a. 9. Maria havia emprestado R$ 160.000,00, pelo qual recebeu R$ 5.000,00 de juros, à taxa de 37,5% a.a. pelo período de 1 mês. 10. O prazo da aplicação foi de 4 meses. Aplicação esta que rendeu a Ambrózio R$ 1.049,60 de juros ao investir R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. 11. Ao aplicarmos um capital de R$ 45.423,50 investido a 0,3% a.d., durante 1,5 anos, obteremos um juro total de R$ 73.586,07 e um montante de R$ 119.009,57. 12. Ao tomar emprestado R$ 32.000,00 à taxa de juros simples de 2,54% a.t., por 2 anos Gusmão pagará de juros um total de R$ 6.502,40. 13. O capital de R$ 7.000,00 emprestado a 2,64% a.m., durante 220 dias resultou em um juro total de R$ 1.355,20. 14. O valor dos juros será de R$ 5.804,44, resultante do empréstimo de R$ 15.478,50 à taxa de 7,5% a.b., pelo prazo de 5 bimestres. O montante será de R$ 21.282,94. 15. O valor dos juros será de R$ 16.963,20, correspondente ao empréstimo de R$ 37.200,00 à taxa de 91,2% a.a., pelo prazo de 3 bimestres. 16. O valor da casa sem os juros era de R$ 150.000,00 e o prazo de pagamento foi de 8 anos. 17. Eu fiquei pagando tal dívida por 1 semestre. 18. 3,2% a.b. é a taxa de juros da aplicação na qual Marcinha aplicou. 19. A taxa de juros da aplicação resgatada é de 0,5% a.d. 20. O valor dos juros foi de R$ 1.803,06, que acrescentado ao preço do equipamento de R$ 5.300,00, totalizou R$ 7.103,06.

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