O documento apresenta os conceitos básicos de anuidades e rendas certas em finanças. Explica como calcular o valor atual, montante e prestações de anuidades temporárias constantes e imediatas usando fórmulas e exemplos numéricos. Também classifica os tipos de anuidades e apresenta relações entre valor atual e montante.

1. Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
5ª Edição

2. Capítulo 5
RENDAS CERTAS
OU
ANUIDADES
Mathias
Gomes

3. Rendas Certas ou
Anuidades
Definições: Dada uma série de capitais, referidos às
suas respectivas datas:
R1 n1
R2 n2
... ...
Rm nm
Estes capitais, referidos a uma dada taxa de ju-
ros “i” caracterizam uma anuidade ou renda certa.
VALORES = Termos da anuidade;
PERÍODO = Intervalo de tempo entre dois termos;
DURAÇÃO DA ANUIDADE = Soma dos períodos.
Mathias
Gomes

4. Valor Atual e Montante de
uma Anuidade
Valor Atual: é a soma dos valores atuais dos
seus termos, na mesma data focal e à mesma
taxa de juros “i”.
Montante: é a soma dos montantes dos seus ter-
mos, considerada uma dada taxa de juros “i” e
uma data focal.
Mathias
Gomes

5. Classificação das
Anuidades
QUANTO AO PRAZO:
• Temporárias: quando a duração for limitada.
• Perpétuas: quando a duração for ilimitada.
QUANTO AO VALOR DOS TERMOS:
• Constante: quando todos os termos são iguais.
• Variável: quando os termos não são iguais entre
si.
Mathias
Gomes

6. Classificação das
Anuidades
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE
RECEBIMENTO:
• Imediatas: quando os termos são exigíveis a
partir do primeiro período.
-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
exigíveis no fim dos períodos.
-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
início dos períodos.
Mathias
Gomes

7. Classificação das
Anuidades
QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO OU DE
RECEBIMENTO:
• Diferidas: quando os termos forem exigíveis a
partir de uma data que não seja o primeiro perío-
do.
-> Postecipadas ou Vencidas: se os termos são
exigíveis no fim dos períodos.
-> Antecipadas: se os termos são exigíveis no
início dos períodos.
Mathias
Gomes

8. Classificação das
Anuidades
QUANTO À PERIODICIDADE:
• Periódicas: se todos os períodos são iguais.
• Não-periódicas: se os períodos não são i-
guais entre si.
Mathias
Gomes

9. Modelo Básico de Anuidade
São as anuidades que são:
• Temporárias;
• Constantes;
• Imediatas e Postecipadas;
• Periódicas;
• A taxa de juros “i” está referida ao mesmo pe-
ríodo dos termos.
Mathias
Gomes

10. Valor Atual do Modelo
Básico
P = principal P
n = número de termos
R
R = termos R R
i = taxa de juros 0 1 2 n
P = R.a¬
n i
Diz-se que o principal vai ser pago em “n” par-
celas (prestações) iguais a “R”.
Mathias
Gomes

11. Valor Atual do Modelo
Básico EXEMPLO
a¬ = lê-se “a, n, cantoneira, i” ou “a, n, i”.
n i
O cálculo de a¬n i
é feito do seguinte modo:
(1+ i)n −1
a¬ =
n i i(1+ i)n
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos
valores de “n” e de “i” (veja tabelas no fim do li-
vro).
Mathias
Gomes

12. Exemplo
I) João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações men-
sais de $ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a
partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou es-
tar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergun-
ta-se o preço do carro à vista.
Resolução: (1+ i)n −1
a¬ =
n i
i(1+ i)n
onde: n = 4 meses
i = 2% a.m.
(1,02) − 1
4
a¬ i=
n 4
≅ 3,807729
0,02.(1,02)
Portanto, como R = 2.626,24:
P = 2.626,24 x 3,807729 = 10.000,00
Mathias
Gomes

13. Exemplo
II) Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode
ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa
de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador.
Resolução: P
R=
a¬ i
n
onde: P = 5.000,00
n = 10 m.
i = 3% a.m.
Procurando numa tabela ou calculando diretamente,
tem-se:
a 10 3 ≅ 8 , 530203
¬
5 . 000 , 00
R = = $ 586 ,15
8 , 530203
Mathias
Gomes

14. Exemplo
Portanto, o comprador deverá pagar uma prestação men-
sal de $ 586,15, por 10 meses.
III) Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas
seguintes condições: $ 1.500,00 de entrada e 3 prestações men-
sais iguais de $ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lo-
jas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço a vista.
Resolução: Chamando a entrada de E e as prestações de R, te-
mos:
P
E { R R R
0 1 2 3
Mathias
Gomes

15. Exemplo
Portanto, o principal (P), que é o valor atual das prestações na
data zero somado à entrada (E), pode ser expresso do seguinte
modo:
P = E + Ra¬ 3 2,5
onde: E = 1.500,00
R = 1.225,48
a ¬ 2,5≅ 2 , 856024
3
Logo: P = 1.500,00 + 1.225,48 x 2,856024
P = 1.500,00 + 3.500,00
P = $ 5.000,00
Portanto, o preço à vista nas condições dadas é de $ 5.000,00.
Mathias
Gomes

16. Exemplo
V) Um tapete persa é vendido por $ 15.000,00 à vista. Pode ser
adquirido também em prestações mensais de $ 885,71, a juros
de 3% a.m. Sabendo que as prestações vencem a partir do mês
seguinte ao da compra, pede-se para calcular o número de pres-
tações.
Resolução: P = R .a ¬ i
n
15 . 000 = 885 , 71 .a ¬ 3
n
15 . 000
a ¬3 =
n = 16 ,935566
885 , 71
Temos que: 16 ,935566 = 1 − (1, 03 ) − n
0 , 03
1 − (1, 03 ) − n = 0 ,508067
(1, 03 ) − n = 0 , 491933
Mathias
Gomes

17. Exemplo
Extraindo o logaritmo dos dois membros, tem-se:
−n log(1, 03) = log(0, 491933)
log(0, 491933)
n=−
log(1, 03)
−0,308094
n=− ≅ 24 meses
0, 012837
Mathias
Gomes

18. Montante do Modelo
Básico EXEMPLO
S = montante S
n = número de termos
R
R = termos R R
i = taxa de juros 0 1 2 n-1 n
S = R.s¬ i
n
Diz-se que “s” é o resultado de um processo de
capitalização (aplicação) de “n” parcelas iguais a
“R”.
Mathias
Gomes

19. Exemplo
I) Uma pessoa deposita $ 1.000,00 mensalmente. Sabendo-se
que ela está ganhando 2% a.m., quanto possuirá em 2 anos ?
Resolução:
S = R .S ¬ i
n
onde: R =1.000,00
S 24 2= 30 , 421862
¬
Portanto: S = 1.000,00 x 30,421862
S = $ 30.421,86
Logo, após 2 anos, a pessoa possuirá $ 30.421,86.
Mathias
Gomes

20. Montante do Modelo
Básico EXEMPLO
s¬ = lê-se “s, n, cantoneira, i” ou “s, n, i”.
n i
O cálculo de s¬ é feito do seguinte modo:
n i
(1+ i)n −1
s¬ =
n i
i
Esta fórmula encontra-se tabelada para diversos
valores de “n” e de “i” (ver tabelas no fim do li-
vro).
Mathias
Gomes

21. Exemplo
II) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ 40.000,00 à vis-
ta, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma cer-
ta quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio ren-
dendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto deve
ser poupado mensalmente.
Resolução: Neste caso, o montante é dado:
S = 40.000,00
Como a taxa de 2,2% não se encontra tabelada, faze-
mos o cálculo diretamente:
(1, 022 ) 12 − 1 1, 298407 − 1
¬=
S12 2,2 =
0 , 022 0 , 022
0 , 298407
= = 13 ,563955
0 , 022
Mathias
Gomes

22. Exemplo
Temos:
S
R=
¬
S 12 2,2
40 . 000
R= 2 . 948 ,99
13 ,563955
∴ R = $ 2 . 949 , 00
Então, se a pessoa poupar $ 2.949,00 por mês e fizer a
aplicação a 2,2% a.m. por 12 meses poderá comprar o carro
pretendido.
Mathias
Gomes

23. Relação entre o Valor Atual e o
Montante do Modelo Básico
EXEMPLO
A relação é:
S =P(1+i)n
E a relação entre os fatores é a seguinte:
s¬ = (1+ i)n .a¬
n i n i
Mathias
Gomes

24. Exemplo
Uma pessoa possui $ 30.000,00, que pode aplicar do seguinte
modo:
a) no banco A, que paga um juro de 3% a.m. ao fim de cada
mês, devolvendo o capital no fim do 12º mês;
B) no banco B, que devolve $ 42.000,00 no fim do 12º mês.
Pede-se determinar a melhor aplicação.
Resolução: A melhor aplicação será aquela que conduzir ao
maior montante na data focal 12:
Banco A: A aplicação de $ 30.000,00 a um juro de 3%
a.m. produz uma renda mensal de $ 900,00. Portanto, o mon-
tante na data focal 12 é:
Mathias
Gomes

25. Exemplo
SA = 30.000 + 900,00.S¬ 3
12
SA = 30.000 + 900,00 x14,192030
SA = 30.000 + 12.772,83
SA = $42.772,83
Note-se que pela fórmula este resultado pode ser obtido dire-
tamente:
S = P (1 + i ) n
SA = 30.000.(1,03)12
SA = 30.000 x1,425761
SA = $42.772,83
Mathias
Gomes

26. Exemplo
Já sabemos que o Banco B devolve:
SB = $ 42.000,00
Logo, concluímos que é melhor aplicar no Banco A, ganhando
um adicional de $ 772,83.
Mathias
Gomes