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Capitalização Composta


   Taxas de Juros




            Matemática Financeira
          Prof Eugênio Carlos Stieler
Juro Composto

   Cálculo do rendimento a Juros Compostos:
       Montante;
       Juros;
       Capital;
       Tempo;
       Taxa de juros;
       Equivalência em juros composto.



                        Matemática Financeira
                      Prof Eugênio Carlos Stieler
Juro Composto

   O conceito fundamental de Juros compostos é que
    os juros são capitalizados ao longo do período, ou
    seja, os juros rendem juros.
       Ex: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 4 anos a taxa
        de 10% ao ano.



    Ano (n)        0            1              2         3         4
    Juro (j)      0,00      100,00          110,00     121,00    133,10
Montante (S) 1000,00       1100,00         1210,00     1331,00   1464,10


                           Matemática Financeira
                         Prof Eugênio Carlos Stieler
Juro Composto
                                 Montante (taxa 10%a.a.)
                    300,00
 Valores em reais




                    250,00

                    200,00

                    150,00

                    100,00

                     50,00

                      0,00
                             0   2           4            6        8   10

                                          tempo (anos)

                                       Matemática Financeira
                                     Prof Eugênio Carlos Stieler
Juro Composto

   Como visto anteriormente, os juros agora são
    capitalizados, tornando assim o crescimento
    exponencial.
    0                1                 2                  3               n-1              n

        j1 = P . i       j2 = S1 . i        j3 = S2 . i       jn-1 = Sn-2 .i    jn = Sn-1 . i

    S1 = P + j1 => S1 = P (1 + i)
    S2 = S1 + j2 => S1 + S1 . i => S1 (1 +i) => P(1+i)(1+i) => P(1+i)2

    S3 = S2 + j3 => S2 + S2 . i => S2 (1 +i) => P(1+i)2 (1+i) => P(1+i)3

    Sn = Sn-1 + jn => Sn-1 + Sn-1 . i => Sn-1 (1 +i) => P(1+i)n-1 (1+i) => P(1+i)n
                                    Matemática Financeira
                                  Prof Eugênio Carlos Stieler
Juro Composto

      Os juros na capitalização composta são
       incorporados no capital para novamente serem
       calculados

       0            1            2               3          n-1             n

Valor Inicial                                                         Valor Futuro
    ou                                                                     ou
 Principal      S = P(1+i)n                       P = S(1+i)-n         Montante
                P+J = P(1+i)n                     S -J= S(1+i)-n
                J = P(1+i)n – P                   J = S – S(1+i)-n
                J = P[(1+i)n – 1]                 J = S[1- (1+i)-n]

                               Matemática Financeira
                             Prof Eugênio Carlos Stieler
Juro Composto

   O Capital representa o valor inicial de um
    fluxo de caixa podendo também ser chamado
    de:
       Principal
       Valor atual
       Investimento, etc.
0            1             2                 3           n-1       n
P                                                                  S
            S = P(1+i)n                             P = S(1+i)-n
                            Matemática Financeira
                          Prof Eugênio Carlos Stieler
Juro Composto

   A taxa é a razão que remunera o capital em
    um determinado período de tempo.
0            1              2                 3              n-1   n
P
       Podendo ser constante ou variável ao longo dos
        período.

         S = P(1+i)n                                     S
         S/P = (1+i)n                          i    n        1
                                                         P
         i = (S/P)1/n -1
                             Matemática Financeira
                           Prof Eugênio Carlos Stieler
Juro Composto

   Prazo, mostra o número de períodos de um
    fluxo de caixa completo ou não sendo
    dividido em:            n
                       S = P(1+i)
       Meses;
                       S/P = (1+i)n
       Bimestres;
                       ln(S/P) = ln(1+i)n
       Semestres;
       Anos, etc      ln(S/P) = n.ln(1+i)
                                                            S
                                                        ln
                                                            P
                                                   n
                                                       ln (1 i)
                       Matemática Financeira
                     Prof Eugênio Carlos Stieler
Juro Composto

   Capitalização Contínua
       Quando a taxa é expressa em um determinado período de
        tempo, o cálculo (em princípio) é realizado só no período
        que foi estabelecido a taxa, porém em alguns casos há a
        necessidade de se reduzir o prazo da taxa. Neste caso se
        tivermos a taxa num período de tempo ao dia, será
        indiferente receber hoje ou amanhã, chamamos isto de
        capitalização contínua.
       Temos então que converter a taxa nominal, para a
        equivalente ao dia, isto será demonstrado no próximo
        tópico.


                           Matemática Financeira
                         Prof Eugênio Carlos Stieler
Taxas de Juros

   Taxas de juro, vão incidir no cálculo
    financeiro, conforme for estabelecido no
    problema a ser resolvido. Podem ser
    divididas em:
       Proporcionais;
       Nominais
       Equivalentes, e
       Efetivas, real ou capitalizada.


                         Matemática Financeira
                       Prof Eugênio Carlos Stieler
Taxas de Juros

   Proporcionais
       A taxa é expressa em período de tempo, porém em alguns
        casos haverá a necessidade de adequação ao período
        solicitado. Veja no exemplo abaixo que 2 semestres
        correspondem a 1 ano, logo multiplicamos a taxa por dois.
        Toda vez que houver a necessidade de conversão, ela
        deverá ser feita de forma linear.
                                                                       Semestres
    0              1                 2              3              4                 5
    P                                                                              S
         3% a.s.          3% a.s.         3% a.s.            3% a.s.       3% a.s.

                   3 x 2 = 6% a.a.
                                 Matemática Financeira
                               Prof Eugênio Carlos Stieler
Taxas de Juros

   Nominais
       Corresponde a taxa de um período inteiro como
        por exemplo:
                        Ano       12%
                          Semestre              6%
                          Mês                   1%

       A conversão é feita de forma linear, ou seja, na
        forma da capitalização simples. (proporcional)

                        Matemática Financeira
                      Prof Eugênio Carlos Stieler
Taxas de Juros

   Equivalentes
       Na capitalização composta, todos os valores ao
        longo do tempo são capitalizados de forma
        exponencial (acumulativa), portanto o mesmo
        principio será aplicado na taxa.
       A taxa equivalente corresponde a um valor que é
        estabelecido no tempo, e se houver mudança no
        período da taxa o resultado não será alterado.
        Veja exemplo:


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Taxas de Juros

   Exemplo para um período semestral, onde se
    deseja converter para anual.
                                                                 Semestres
0               1             2              3               4                5
P                                                                            S
      5% a.s.       5% a.s.        5% a.s.             5% a.s.      5% a.s.


         10,25% a.a.




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Taxas de Juros

   Equivalentes
       No exemplo anterior a diferença de valor e justamente
        pela acumulação dos juros na forma composta.
       Quando o período da taxa é maior que o período se
        deseja descobrir, utilizamos a seguinte formula:
         iq = (1+it)q - 1

       Caso seja o inverso, utilizamos a fórmula:
           iq = (1 + it)1/q – 1
               iq = taxa que quero
               it = taxa que tenho



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Taxas de Juros

   Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às
    taxas que se tem e taxas que se quer são os mais
    variados, vamos apresentar uma fórmula genérica,
    que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:
                                            q
                                            t
                           iq     (1 it )         1
       Para efeito de memorização denominamos as variáveis
        como segue:
           iq = taxa para o prazo que eu quero
           it = taxa para o prazo que eu tenho
           q = prazo que eu quero
           t = prazo que eu tenho

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Taxas de Juros

   Vejamos alguns exemplos:
       Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a
        65% ao ano:
           i183 = (1,65)183/360 - 1=28,99%


       Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a
        5% ao mês:
           i491 = (1,05)491/30 — 1 = 122,23%




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Taxas de Juros

   Pontos importantes
       Observar o enunciado da questão a ser resolvida.
        Em caso de capitalização simples a conversão
        sempre é linear.
       Capitalização composta será utilizada a taxa
        equivalente.
       Tudo isto é para adequar o período da taxa com o
        período da capitalização.



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Bibliografia

   FARO, Clovis de. Fundamentos de Matemática
    Financeira. São Paulo: Saraiva, 2006.

   VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática
    Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2000.




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Juro composto

  • 1. Capitalização Composta Taxas de Juros Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 2. Juro Composto  Cálculo do rendimento a Juros Compostos:  Montante;  Juros;  Capital;  Tempo;  Taxa de juros;  Equivalência em juros composto. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 3. Juro Composto  O conceito fundamental de Juros compostos é que os juros são capitalizados ao longo do período, ou seja, os juros rendem juros.  Ex: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 4 anos a taxa de 10% ao ano. Ano (n) 0 1 2 3 4 Juro (j) 0,00 100,00 110,00 121,00 133,10 Montante (S) 1000,00 1100,00 1210,00 1331,00 1464,10 Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 4. Juro Composto Montante (taxa 10%a.a.) 300,00 Valores em reais 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00 0 2 4 6 8 10 tempo (anos) Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 5. Juro Composto  Como visto anteriormente, os juros agora são capitalizados, tornando assim o crescimento exponencial. 0 1 2 3 n-1 n j1 = P . i j2 = S1 . i j3 = S2 . i jn-1 = Sn-2 .i jn = Sn-1 . i S1 = P + j1 => S1 = P (1 + i) S2 = S1 + j2 => S1 + S1 . i => S1 (1 +i) => P(1+i)(1+i) => P(1+i)2 S3 = S2 + j3 => S2 + S2 . i => S2 (1 +i) => P(1+i)2 (1+i) => P(1+i)3 Sn = Sn-1 + jn => Sn-1 + Sn-1 . i => Sn-1 (1 +i) => P(1+i)n-1 (1+i) => P(1+i)n Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 6. Juro Composto  Os juros na capitalização composta são incorporados no capital para novamente serem calculados 0 1 2 3 n-1 n Valor Inicial Valor Futuro ou ou Principal S = P(1+i)n P = S(1+i)-n Montante P+J = P(1+i)n S -J= S(1+i)-n J = P(1+i)n – P J = S – S(1+i)-n J = P[(1+i)n – 1] J = S[1- (1+i)-n] Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 7. Juro Composto  O Capital representa o valor inicial de um fluxo de caixa podendo também ser chamado de:  Principal  Valor atual  Investimento, etc. 0 1 2 3 n-1 n P S S = P(1+i)n P = S(1+i)-n Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 8. Juro Composto  A taxa é a razão que remunera o capital em um determinado período de tempo. 0 1 2 3 n-1 n P  Podendo ser constante ou variável ao longo dos período. S = P(1+i)n S S/P = (1+i)n i n 1 P i = (S/P)1/n -1 Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 9. Juro Composto  Prazo, mostra o número de períodos de um fluxo de caixa completo ou não sendo dividido em: n S = P(1+i)  Meses; S/P = (1+i)n  Bimestres; ln(S/P) = ln(1+i)n  Semestres;  Anos, etc ln(S/P) = n.ln(1+i) S ln P n ln (1 i) Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 10. Juro Composto  Capitalização Contínua  Quando a taxa é expressa em um determinado período de tempo, o cálculo (em princípio) é realizado só no período que foi estabelecido a taxa, porém em alguns casos há a necessidade de se reduzir o prazo da taxa. Neste caso se tivermos a taxa num período de tempo ao dia, será indiferente receber hoje ou amanhã, chamamos isto de capitalização contínua.  Temos então que converter a taxa nominal, para a equivalente ao dia, isto será demonstrado no próximo tópico. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 11. Taxas de Juros  Taxas de juro, vão incidir no cálculo financeiro, conforme for estabelecido no problema a ser resolvido. Podem ser divididas em:  Proporcionais;  Nominais  Equivalentes, e  Efetivas, real ou capitalizada. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 12. Taxas de Juros  Proporcionais  A taxa é expressa em período de tempo, porém em alguns casos haverá a necessidade de adequação ao período solicitado. Veja no exemplo abaixo que 2 semestres correspondem a 1 ano, logo multiplicamos a taxa por dois. Toda vez que houver a necessidade de conversão, ela deverá ser feita de forma linear. Semestres 0 1 2 3 4 5 P S 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3 x 2 = 6% a.a. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 13. Taxas de Juros  Nominais  Corresponde a taxa de um período inteiro como por exemplo: Ano 12% Semestre 6% Mês 1%  A conversão é feita de forma linear, ou seja, na forma da capitalização simples. (proporcional) Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 14. Taxas de Juros  Equivalentes  Na capitalização composta, todos os valores ao longo do tempo são capitalizados de forma exponencial (acumulativa), portanto o mesmo principio será aplicado na taxa.  A taxa equivalente corresponde a um valor que é estabelecido no tempo, e se houver mudança no período da taxa o resultado não será alterado. Veja exemplo: Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 15. Taxas de Juros  Exemplo para um período semestral, onde se deseja converter para anual. Semestres 0 1 2 3 4 5 P S 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 10,25% a.a. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 16. Taxas de Juros  Equivalentes  No exemplo anterior a diferença de valor e justamente pela acumulação dos juros na forma composta.  Quando o período da taxa é maior que o período se deseja descobrir, utilizamos a seguinte formula:  iq = (1+it)q - 1  Caso seja o inverso, utilizamos a fórmula:  iq = (1 + it)1/q – 1  iq = taxa que quero  it = taxa que tenho Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 17. Taxas de Juros  Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja: q t iq (1 it ) 1  Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue:  iq = taxa para o prazo que eu quero  it = taxa para o prazo que eu tenho  q = prazo que eu quero  t = prazo que eu tenho Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 18. Taxas de Juros  Vejamos alguns exemplos:  Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano:  i183 = (1,65)183/360 - 1=28,99%  Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês:  i491 = (1,05)491/30 — 1 = 122,23% Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 19. Taxas de Juros  Pontos importantes  Observar o enunciado da questão a ser resolvida. Em caso de capitalização simples a conversão sempre é linear.  Capitalização composta será utilizada a taxa equivalente.  Tudo isto é para adequar o período da taxa com o período da capitalização. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  • 20. Bibliografia  FARO, Clovis de. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2006.  VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2000. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler