O documento apresenta conceitos fundamentais sobre juros compostos, incluindo:
1) A diferença entre juros simples e compostos, onde nos juros compostos o juro gerado é incorporado ao capital.
2) Fórmulas para cálculo de montante, juros e valores atuais e nominais em aplicações a juros compostos.
3) Exemplos numéricos ilustrando o cálculo de montantes, juros, valores atuais e nominais para diferentes taxas e períodos.
O documento apresenta exemplos de cálculos de empréstimos utilizando diferentes sistemas de amortização, como o Sistema de Amortização Constante (SAC) e o Sistema Francês (SF). São mostrados casos como empréstimos com e sem período de carência, com juros capitalizados ou não durante a carência, e empréstimos em parcelas. Os exemplos incluem planilhas com as informações de cada período do empréstimo, como saldo devedor, amortização, juros e prestações.
O documento discute os conceitos de juros compostos e taxas de juros. Explica como os juros são capitalizados ao longo do tempo no cálculo de juros compostos e como isso resulta em um crescimento exponencial. Também descreve como converter entre diferentes taxas de juros e períodos de tempo.
Matemática Financeira - Rendas Certas ou AnuidadesLeidson Rangel
O documento apresenta definições e classificações de anuidades e rendas certas, explicando os conceitos de valor atual, montante, taxa de juros e períodos. Inclui também exemplos numéricos de cálculos envolvendo anuidades, como o valor atual e montante do modelo básico de anuidade.
1. O documento apresenta exemplos resolvidos de cálculos de juros simples, descontos e juros compostos.
2. Nos exemplos de juros simples, são calculados os juros e montantes para diferentes capitais, taxas de juro e períodos de aplicação.
3. Nos exemplos de descontos, são calculados descontos comerciais e valores atuais para títulos descontados antes do vencimento, com taxas de desconto diferentes.
4. Também é apresentado um exemplo de cálculo de descon
No regime de capitalização composta, o juro de cada período é calculado com base no saldo total anterior, incluindo juros ganhos. Isso faz com que o montante cresça de forma exponencial ao longo do tempo. Já no regime simples, o juro é calculado apenas sobre o capital inicial, fazendo o montante crescer linearmente. O juro composto resulta em ganhos financeiros maiores do que o juro simples.
O documento explica diferentes sistemas de amortização de dívidas, incluindo o Sistema de Amortização Constante, o Sistema Price, o Sistema de Amortização Mista, o Sistema Americano e o Sistema Alemão. O autor do documento é o Professor Milton Henrique do Couto Neto da Universidade Católica do Espírito Santo.
Este documento fornece exemplos de cálculos para avaliação de investimentos pelo método da equivalência patrimonial, incluindo ajustes para lucros não realizados em transações entre empresas investidas.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre juros compostos, incluindo:
1) A diferença entre juros simples e compostos, onde nos juros compostos o juro gerado é incorporado ao capital.
2) Fórmulas para cálculo de montante, juros e valores atuais e nominais em aplicações a juros compostos.
3) Exemplos numéricos ilustrando o cálculo de montantes, juros, valores atuais e nominais para diferentes taxas e períodos.
O documento apresenta exemplos de cálculos de empréstimos utilizando diferentes sistemas de amortização, como o Sistema de Amortização Constante (SAC) e o Sistema Francês (SF). São mostrados casos como empréstimos com e sem período de carência, com juros capitalizados ou não durante a carência, e empréstimos em parcelas. Os exemplos incluem planilhas com as informações de cada período do empréstimo, como saldo devedor, amortização, juros e prestações.
O documento discute os conceitos de juros compostos e taxas de juros. Explica como os juros são capitalizados ao longo do tempo no cálculo de juros compostos e como isso resulta em um crescimento exponencial. Também descreve como converter entre diferentes taxas de juros e períodos de tempo.
Matemática Financeira - Rendas Certas ou AnuidadesLeidson Rangel
O documento apresenta definições e classificações de anuidades e rendas certas, explicando os conceitos de valor atual, montante, taxa de juros e períodos. Inclui também exemplos numéricos de cálculos envolvendo anuidades, como o valor atual e montante do modelo básico de anuidade.
1. O documento apresenta exemplos resolvidos de cálculos de juros simples, descontos e juros compostos.
2. Nos exemplos de juros simples, são calculados os juros e montantes para diferentes capitais, taxas de juro e períodos de aplicação.
3. Nos exemplos de descontos, são calculados descontos comerciais e valores atuais para títulos descontados antes do vencimento, com taxas de desconto diferentes.
4. Também é apresentado um exemplo de cálculo de descon
No regime de capitalização composta, o juro de cada período é calculado com base no saldo total anterior, incluindo juros ganhos. Isso faz com que o montante cresça de forma exponencial ao longo do tempo. Já no regime simples, o juro é calculado apenas sobre o capital inicial, fazendo o montante crescer linearmente. O juro composto resulta em ganhos financeiros maiores do que o juro simples.
O documento explica diferentes sistemas de amortização de dívidas, incluindo o Sistema de Amortização Constante, o Sistema Price, o Sistema de Amortização Mista, o Sistema Americano e o Sistema Alemão. O autor do documento é o Professor Milton Henrique do Couto Neto da Universidade Católica do Espírito Santo.
Este documento fornece exemplos de cálculos para avaliação de investimentos pelo método da equivalência patrimonial, incluindo ajustes para lucros não realizados em transações entre empresas investidas.
O documento resume os principais sistemas de amortização de empréstimos: Price e Amortização Constante. Explica que o sistema Price tem prestações constantes ao longo do tempo enquanto o sistema de Amortização Constante mantém uma parcela constante de amortização. Também discute carência, commitment fee e fornece exemplos numéricos para ilustrar os cálculos envolvidos.
Este documento contém 10 questões sobre matemática financeira com suas respectivas soluções. As questões abordam tópicos como porcentagem, juros simples e compostos, taxa média, desconto, rendas certas e sistemas de amortização.
O documento fornece informações sobre porcentagem, incluindo sua definição, como calcular porcentagens e representá-las em frações e números decimais. Explica como resolver problemas envolvendo porcentagem de valores e como diferentes alunos podem chegar à mesma solução de forma distinta.
O documento descreve uma série de lançamentos contábeis para a constituição de uma empresa, incluindo a integralização do capital pelos sócios, compras de ativos como imóvel, estoque e máquina, vendas, empréstimos e aplicações financeiras. Os lançamentos resultam em um balancete e balanço patrimonial com contas como caixa, bancos, estoque, imobilizado e capital social.
- O documento apresenta uma série de exercícios de matemática financeira divididos em várias séries, cobrindo tópicos como taxas equivalentes, planos de amortização, descontos, taxas de juros, entre outros.
- A primeira série revisa o conceito de taxas equivalentes e apresenta 6 exercícios para prática. A segunda série trata de planos de amortização, exemplificando o plano PAP e apresentando 3 exercícios.
- O documento tem como objetivo proporcionar aperfeiçoamento técnico
1ª Lista de exercício de administração financeira completa com respostasFelipe Pontes
Este documento contém 10 exercícios sobre finanças corporativas. Os exercícios abordam tópicos como taxa de desconto, valor presente líquido, CAPM, hipótese do mercado eficiente, títulos e debêntures, e avaliação de projetos de investimento. As respostas fornecem cálculos, definições e exemplos para explicar os conceitos financeiros cobrados.
O documento explica conceitos de porcentagem e razão centesimal, apresentando exemplos de cálculos com porcentagens de acréscimos, descontos e proporções. Também apresenta problemas envolvendo porcentagem e suas soluções.
O documento apresenta um caderno de estudos de finanças com exemplos e exercícios resolvidos sobre juros simples, juros compostos, taxas equivalentes e capitalização composta. Inclui tópicos como cálculo de juros, montante, valor presente, taxa efetiva e exemplos numéricos para exercitar os conceitos.
Matemática Financeira - Modelos Genéricos de Anuidadesguest20a5fb
Este documento apresenta exemplos de cálculos envolvendo diferentes modelos de anuidades. O primeiro exemplo mostra o cálculo do valor atual e montante de uma anuidade diferida. O segundo exemplo trata de uma anuidade com termos em períodos diferentes da taxa de juros. O terceiro exemplo demonstra o cálculo de uma anuidade com termos constantes e parcelas intermediárias.
O documento apresenta os conceitos básicos de juros simples, definindo-o como o regime em que os juros incidem apenas sobre o capital inicial, sem compor juros sobre juros. Apresenta a fórmula para cálculo de juros simples e exemplos ilustrativos, incluindo cálculos de montante, taxa de juros e tempo de aplicação.
O documento descreve diferentes sistemas de amortização para pagamento de empréstimos, incluindo: (1) Sistema de pagamento único, onde o pagamento total é feito em uma única prestação no final; (2) Sistema de pagamento variável, com vários pagamentos diferenciados durante o período; (3) Sistema americano com pagamento único no final após cálculo de juros em várias fases.
O documento discute os conceitos básicos de matemática financeira, incluindo porcentagem, juros simples, juros compostos, montante e descontos. Explica como calcular juros, montantes e taxas usando fórmulas matemáticas e fornece exemplos numéricos para ilustrar cada conceito.
Conceito e exercícios de matemática financeiraarpetry
1) O documento apresenta vários conceitos e fórmulas de matemática financeira, incluindo juros simples e compostos, taxa de juros, valor presente, valor futuro e exemplos de exercícios.
2) São fornecidos 20 exercícios para teste dos conceitos, envolvendo cálculos de juros, taxas, valores presentes e futuros.
3) As respostas aos exercícios completam a explicação dos principais tópicos de matemática financeira.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
O documento apresenta conceitos básicos de matemática financeira, como capital, juros, taxa de juros, montante e fluxo de caixa. Explica as diferenças entre juros simples e compostos, apresentando fórmulas e exemplos para calcular juros, montantes e taxas em cada regime. Por fim, aborda a conversão entre taxas de diferentes períodos.
Este documento discute conceitos financeiros como:
1) Valor presente e valor futuro de fluxos de caixa e anuidades;
2) Taxas de juros e formação de taxas;
3) Sistemas de amortização como SAC e Price.
O documento resume os principais sistemas de amortização de empréstimos: Price e Amortização Constante. Explica que o sistema Price tem prestações constantes ao longo do tempo enquanto o sistema de Amortização Constante mantém uma parcela constante de amortização. Também discute carência, commitment fee e fornece exemplos numéricos para ilustrar os cálculos envolvidos.
Este documento contém 10 questões sobre matemática financeira com suas respectivas soluções. As questões abordam tópicos como porcentagem, juros simples e compostos, taxa média, desconto, rendas certas e sistemas de amortização.
O documento fornece informações sobre porcentagem, incluindo sua definição, como calcular porcentagens e representá-las em frações e números decimais. Explica como resolver problemas envolvendo porcentagem de valores e como diferentes alunos podem chegar à mesma solução de forma distinta.
O documento descreve uma série de lançamentos contábeis para a constituição de uma empresa, incluindo a integralização do capital pelos sócios, compras de ativos como imóvel, estoque e máquina, vendas, empréstimos e aplicações financeiras. Os lançamentos resultam em um balancete e balanço patrimonial com contas como caixa, bancos, estoque, imobilizado e capital social.
- O documento apresenta uma série de exercícios de matemática financeira divididos em várias séries, cobrindo tópicos como taxas equivalentes, planos de amortização, descontos, taxas de juros, entre outros.
- A primeira série revisa o conceito de taxas equivalentes e apresenta 6 exercícios para prática. A segunda série trata de planos de amortização, exemplificando o plano PAP e apresentando 3 exercícios.
- O documento tem como objetivo proporcionar aperfeiçoamento técnico
1ª Lista de exercício de administração financeira completa com respostasFelipe Pontes
Este documento contém 10 exercícios sobre finanças corporativas. Os exercícios abordam tópicos como taxa de desconto, valor presente líquido, CAPM, hipótese do mercado eficiente, títulos e debêntures, e avaliação de projetos de investimento. As respostas fornecem cálculos, definições e exemplos para explicar os conceitos financeiros cobrados.
O documento explica conceitos de porcentagem e razão centesimal, apresentando exemplos de cálculos com porcentagens de acréscimos, descontos e proporções. Também apresenta problemas envolvendo porcentagem e suas soluções.
O documento apresenta um caderno de estudos de finanças com exemplos e exercícios resolvidos sobre juros simples, juros compostos, taxas equivalentes e capitalização composta. Inclui tópicos como cálculo de juros, montante, valor presente, taxa efetiva e exemplos numéricos para exercitar os conceitos.
Matemática Financeira - Modelos Genéricos de Anuidadesguest20a5fb
Este documento apresenta exemplos de cálculos envolvendo diferentes modelos de anuidades. O primeiro exemplo mostra o cálculo do valor atual e montante de uma anuidade diferida. O segundo exemplo trata de uma anuidade com termos em períodos diferentes da taxa de juros. O terceiro exemplo demonstra o cálculo de uma anuidade com termos constantes e parcelas intermediárias.
O documento apresenta os conceitos básicos de juros simples, definindo-o como o regime em que os juros incidem apenas sobre o capital inicial, sem compor juros sobre juros. Apresenta a fórmula para cálculo de juros simples e exemplos ilustrativos, incluindo cálculos de montante, taxa de juros e tempo de aplicação.
O documento descreve diferentes sistemas de amortização para pagamento de empréstimos, incluindo: (1) Sistema de pagamento único, onde o pagamento total é feito em uma única prestação no final; (2) Sistema de pagamento variável, com vários pagamentos diferenciados durante o período; (3) Sistema americano com pagamento único no final após cálculo de juros em várias fases.
O documento discute os conceitos básicos de matemática financeira, incluindo porcentagem, juros simples, juros compostos, montante e descontos. Explica como calcular juros, montantes e taxas usando fórmulas matemáticas e fornece exemplos numéricos para ilustrar cada conceito.
Conceito e exercícios de matemática financeiraarpetry
1) O documento apresenta vários conceitos e fórmulas de matemática financeira, incluindo juros simples e compostos, taxa de juros, valor presente, valor futuro e exemplos de exercícios.
2) São fornecidos 20 exercícios para teste dos conceitos, envolvendo cálculos de juros, taxas, valores presentes e futuros.
3) As respostas aos exercícios completam a explicação dos principais tópicos de matemática financeira.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
O documento apresenta conceitos básicos de matemática financeira, como capital, juros, taxa de juros, montante e fluxo de caixa. Explica as diferenças entre juros simples e compostos, apresentando fórmulas e exemplos para calcular juros, montantes e taxas em cada regime. Por fim, aborda a conversão entre taxas de diferentes períodos.
Este documento discute conceitos financeiros como:
1) Valor presente e valor futuro de fluxos de caixa e anuidades;
2) Taxas de juros e formação de taxas;
3) Sistemas de amortização como SAC e Price.
João pagará juros de R$ 160 na última parcela de R$ 2.000. O credor cobrará juros de 8% a.m. sobre cada parcela. A primeira parcela de R$ 3.000 foi paga em 30 dias e a segunda de R$ 2.000 será paga em 90 dias.
1. O documento apresenta os conceitos de juros e descontos simples, juros compostos, descontos compostos e rendas. Inclui fórmulas e exemplos para calcular esses valores.
2. Aborda também empréstimos, funções financeiras na calculadora HP-12C e análise de investimentos.
3. Fornece uma bibliografia no final com referências sobre o assunto.
1) O documento apresenta um capítulo sobre juros e descontos simples, definindo conceitos como capital, juro, taxa de juro, montante e tipos de juro.
2) São apresentadas fórmulas para cálculo de juros, descontos, montante e conversão entre taxas percentuais e unitárias.
3) Exemplos ilustram o cálculo de juros, descontos, montante e conversão de taxas em diferentes situações.
1) A Matemática Financeira é uma ferramenta útil para análise de investimentos e financiamentos, simplificando as operações em fluxos de caixa. 2) O documento explica os conceitos de capital, juros simples, juros compostos e taxa de juros, e como aplicá-los em cálculos financeiros. 3) A maioria das operações financeiras utiliza juros compostos, que cobram juros sobre juros ao longo do tempo.
O documento discute operações financeiras, definindo-as como transformações de capitais ao longo do tempo considerando taxas. Apresenta os conceitos de mutuário, mutuante, fluxo de caixa, juros simples versus juros compostos e cálculos de taxas equivalentes anuais e mensais.
O documento discute conceitos de juros compostos, apresentando fórmulas e exemplos numéricos para cálculo de montantes, juros, valores atuais e nominais. É abordada a diferença entre juros simples e compostos, assim como taxas equivalentes, períodos não inteiros e a distinção entre taxas nominais e efetivas.
O documento discute (1) o conceito de títulos caucionados e como eles são usados como garantia para empréstimos, e (2) como as transações de títulos caucionados são registradas contabilmente, incluindo um exemplo de como lançamentos contábeis são feitos quando duplicatas são usadas como garantia para um empréstimo bancário.
1) O documento discute conceitos de juros simples, descontos e períodos de capitalização aplicados a operações financeiras no varejo. 2) Explica como calcular valor presente, futuro, taxa de juros e períodos sob o regime de juros simples e como aplicar a fórmula de desconto. 3) Apresenta uma tabela para conversão de períodos que facilita os cálculos.
O documento discute diferentes sistemas de amortização de empréstimos, incluindo o Sistema Francês, o Método Price e o Sistema de Amortização Constante (SAC). Fornece exemplos de como calcular as prestações, juros e saldo devedor para cada sistema.
O documento discute três tipos de financiamento imobiliário no Brasil: SFH, SFI e CH. O SFH tem taxas de juros limitadas entre 8%-12% para imóveis de até R$350 mil. O SFI permite taxas mais flexíveis definidas por cada banco. A maioria das transações financeiras utiliza juros compostos.
O documento apresenta conceitos básicos de matemática financeira, como taxa de juros, capital, montante, fluxo de caixa e regimes de capitalização e juros. Explica como esses conceitos são usados para quantificar e comparar parâmetros econômico-financeiros de alternativas de investimento.
Este documento discute conceitos fundamentais de matemática financeira, como juros, capitalização, taxas de juros, sistemas de amortização e juros compostos. Explica que juros são o custo ou retorno do dinheiro emprestado ou investido, normalmente expressos como uma taxa percentual. Discutem-se os critérios de capitalização linear (juros simples) e exponencial (juros compostos), assim como sistemas de amortização como o constante e o francês.
O documento discute os conceitos de descontos simples e compostos, apresentando:
1) As definições e fórmulas para calcular descontos simples por fora e por dentro;
2) Exemplos numéricos de cálculos de descontos simples;
3) As definições e fórmulas para calcular descontos compostos por fora e por dentro;
4) Exemplos numéricos de cálculos de descontos compostos.
O documento apresenta um exemplo resolvido de equivalência de capitais utilizando equações de valor. Nele, são comparados os valores atuais de diferentes aplicações financeiras considerando taxas de juros compostas.
apresentação serie de pagamentos aula 4.pptxVladiaArruda
1) O documento discute os conceitos de juros, taxa de juros, capital e montante na teoria econômica.
2) Apresenta diferentes regimes de capitalização como simples e composto e explica a diferença entre eles.
3) Discutem o valor do dinheiro no tempo e apresenta o diagrama de fluxo de caixa para ilustrar esse conceito.
O documento apresenta os objetivos e agenda de um módulo sobre cálculo financeiro e atuarial. Aborda conceitos como juros, taxas de juro, capitalização, rendas e equivalência de capitais. Explica os regimes de capitalização, tipos de investimento e cálculo de juros simples e compostos.
Este documento apresenta os objetivos e programa da disciplina de Cálculo Financeiro para o ano letivo de 2023/2024. Inclui conceitos básicos como capitalização, juros, taxas de juro e regimes de capitalização. Explora também exemplos práticos de cálculos financeiros usando a fórmula de capitalização simples.
Semelhante a Matemática Financeira - Empréstimos (20)
3. Empréstimos - Introdução
A dívida é gerada quando uma importância
é emprestada por um certo prazo.
Os empréstimos podem ser de:
• curto prazo;
• médio prazo;
• longo prazo.
Os juros devem ser calculados sempre so-
bre o saldo devedor.
Mathias
Gomes
4. Empréstimos - Definições
Mutante ou Credor: a pessoa ou instituição que dá o em-
préstimo.
Mutuário ou Devedor: a pessoa ou instituição que rece-
be o empréstimo.
Taxa de juros: é a taxa de juros contratada entre as par-
tes.
IOF: imposto sobre operações financeiras.
Prazo de Utilização: intervalo de tempo em que recursos
estão disponíveis para o saque.
Prazo de Carência: intervalo de tempo entre o prazo de u-
tilização e o pagamento da primeira amortização.
Mathias
Gomes
5. Empréstimos - Definições
Parcelas de Amortização: corresponde às parcelas de de-
volução do principal.
Prazo de Amortização: tempo em que são pagas as amor-
tizações.
Prestação: é a soma da amortização mais juros e outros
encargos.
Planilha: quadro com o cronograma do empréstimo e a-
mortizações.
Prazo Total do Financiamento: é a soma do prazo de ca-
rência com o prazo de amortização.
Saldo Devedor: é o estado da dívida num dado instante.
Período de Amortização: é o intervalo entre duas amorti-
zações.
Mathias
Gomes
6. Classificação das Modalidades de
Amortização
Sistema de Amortização Constante (SAC)
• As parcelas de amortização são iguais entre si.
• Os juros são calculados sobre o saldo devedor.
Representação:
Prestação
Juros
Amortização
Períodos
EXEMPLO
Mathias
Gomes
7. Exemplo
1) Uma empresa pede emprestado $ 100.000,00 que o banco
entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de ca-
rência, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de
juros é de 10% ao ano e que o principal será amortizado em
4 parcelas anuais, construir a planilha.
Resolução: A amortização anual é
100.000,00
= 25.000,00
4
Vamos admitir que o principal fora emprestado no início do pri-
meiro ano e que as prestações e os juros sejam pagos no fim
de cada ano.
Mathias
Gomes
8. Exemplo
Temos:
Ano Saque Saldo Devedor Amortização Juros (Jk ) Prestação
(k) (Sdk ) (Ak) (Ak +Jk )
0 100.000,00 100.000,00 - - -
1 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
2 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
3 - 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00
4 - 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00
5 - 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00
6 - - 25.000,00 2.500,00 27.500,00
Total - - 100.000,00 45.000,00 145.000,00
O raciocínio foi o seguinte:
a) Do início do primeiro ano (data zero) até o fim do terceiro a-
no, temos 3 períodos, que correspondem à carência.
Mathias
Gomes
9. Exemplo
Logo após terminado o período de carência, temos a primeira a-
mortização de $ 25.000,00.
b) Os juros são calculados sempre sobre o saldo devedor do pe-
ríodo anterior.
Ou seja: sendo Jk o juro devido no período k, sendo i a taxa de
juros e Sdk-1 o saldo devedor do período anterior, temos:
Jk = iSdk − 1
Observe, no exemplo, que o juro do período é calculado multi-
plicando-se a taxa (na forma unitária) pelo saldo devedor do
período anterior.
c) A prestação é obtida somando-se, ao final de cada período, a
amortização com os juros.
d) A linha de total serve para verificar se as somas batem, e,
portanto, se as contas estão certas.
Mathias
Gomes
10. Exemplo
2) Em alguns casos, como o da implantação de uma fábrica no-
va, as partes podem combinar o não-pagamento dos juros du-
rante o período de carência. Diz-se então que os juros foram
capitalizados durante a carência. Tudo se passa como se a enti-
dade financeira tivesse concedido um empréstimo adicional pa-
ra o pagamento dos juros.
Podemos ter dois casos:
a) As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial
emprestado e os juros capitalizados são pagos no primeiro ano
de amortização.
b) As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial
emprestado mais os juros capitalizados durante a carência.
Tomando como base o exemplo apresentado no item anterior,
vejamos os dois casos:
Mathias
Gomes
11. Exemplo
CASO A
Ano Saque Saldo Devedor Amortização Juros (Jk ) Prestação
(k) (Sdk ) (Ak) (Ak +Jk )
0 100.000,00 100.000,00 - - -
1 - 110.000,00 - - -
2 - 121.000,00 - - -
3 - 75.000,00 25.000,00 33.100,00 58.100,00
4 - 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00
5 - 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00
6 - - 25.000,00 2.500,00 27.500,00
Total - - 100.000,00 48.100,00 148.100,00
Ao saldo devedor, no fim de cada período, foi acrescentado o
juro devido, calculado à taxa de 10% a.a. Ao final do 3° ano,
os juros capitalizados foram pagos juntamente com a primei-
ra prestação, como no exemplo do item anterior.
Mathias
Gomes
12. Exemplo
CASO B
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
(k) (1) (2) (1+2)
0 100.000,00 - - -
1 110.000,00 - - -
2 121.000,00 - - -
3 99.825,00 33.275,00 - 33.275,00
4 66.550,00 33.275,00 9.982,50 43.257,50
5 33.275,00 33.275,00 6.655,00 39.930,00
6 - 33.275,00 3.327,50 36.602,50
Total - 133.100,00 19.965,00 153.065,00
Neste caso, ao fim de cada período foi calculado o juro
de 10% sobre o saldo devedor e acrescido ao mesmo.
No terceiro período, o saldo devedor era:
Mathias
Gomes
13. Exemplo
Sd3 = 133.100,00
Portanto, as parcelas de amortização:
133.100,00
A= = 33.275,00
4
O cálculo restante da planilha é processado como no ca-
so anterior. Observe-se que o fluxo de prestações é mais unifor-
me que no caso anterior.
Comparando os totais das prestações nos três casos já a-
presentados, temos para um empréstimo de $ 100.000,00:
SAC 145.000,00
CASO A: 148.100,00
CASO B: 153.065,00
Mathias
Gomes
14. Exemplo
Aparentemente está havendo um acréscimo no custo total,
mas este acréscimo é devido ao fato de que está amortizan-
do o principal com maior defasagem. Verifique que o valor
atual das prestações descontadas a 10% a.a. é exatamente
igual a $ 100.000,00 e, portanto, o custo do empréstimo é
de 10% a.a.
3) Seja ainda o exemplo 1), mas admitindo-se que o emprés-
timo de $ 100.000,00 seja dado pelo banco em duas parcelas
iguais, defasadas em 1 ano e que as demais condições sejam
as mesmas.
A planilha, então, é montada do seguinte modo:
Mathias
Gomes
15. Exemplo
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
(k) (Sdk ) (Ak ) (Jk ) (Ak +Jk )
0 50.000,00 - - -
1 100.000,00 - 5.000,00 5.000,00
2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
3 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00
4 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00
5 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00
6 - 25.000,00 2.500,00 27.500,00
Total - 100.000,00 40.000,00 140.000,00
O leitor deve comparar esta planilha com aquela o-
btido no item 1) e constatar que, à exceção do juro pago
após o primeiro período, os demais valores são iguais. Nes-
tas condições o único efeito de um prazo de utilização não-
-utilitário é gerar um fluxo de prestações mais uniforme.
Mathias
Gomes
16. Exemplo
A capitalização dos juros no prazo de carência pode
ser feita como já se analisou.
O fato de o total das prestações ser inferior aos to-
tais dos casos anteriores também não quer dizer que a taxa
seja menor. Ela é exatamente de 10% a.a., como podemos
verificar.
a) O valor atual, na data zero, dos desembolsos feitos pelo
banco, à taxa de 10% a.a., é:
50.000,00 50.000,00
VB = 0
+ 1
≅ 95.454,55
(1,10) (1,10)
b) E o valor das prestações pagas pelo cliente, nas mes-
mas condições:
Mathias
Gomes
17. Exemplo
5.000,00 10.000,00 35.000,00 32.500,00
Vc = 1
+ 2
+ 3
+ 4
+
(1,10) (1,10) (1,10) (1,10)
30.000,00 27.500,00
+ 5
+ 6
≅ 95.454,55
(1,10) (1,10)
Logo, VB = VC, ou seja, os capitais são equivalentes na
data zero. Isto quer dizer que o cliente do banco devolveu exa-
tamente o que lhe foi emprestado, à taxa de juros contratada.
Mathias
Gomes
18. Classificação das Modalidades de
Amortização
EXEMPLO
Sistema Francês (SF)
• As prestações são iguais entre si.
• Também é conhecido como sistema PRICE (lê-se
“PRAICE”).
Representação:
Prestação
Amortização
Juro
Períodos
Mathias
Gomes
19. Exemplo
Sistema Francês (SF), com prazo de utilização unitário
e sem prazo de carência
1) Um banco empresta $ 100.000,00, entregues no ato, sem
prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema fran-
cês, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer
a devolução em 5 prestações, construir a planilha.
Resolução: Se o principal vai ser devolvido em 5 prestações i-
guais e postecipadas, temos exatamente uma anuidade que se
conforma ao nosso modelo básico:
P = R.a¬i
n
100.000,00 100.000,00
Ou seja: R= = ≅ 26.379,75
a¬ 10
5 3,790787
Mathias
Gomes
20. Exemplo
Teremos então 5 prestações iguais de $ 26.379,75. Os juros se-
rão calculados do modo já visto no sistema de amortização cons-
tante, ou seja, aplicando a taxa de juros ao saldo devedor do pe-
ríodo anterior.
A amortização será calculada pela diferença entre a prestação
e o juro do período. Por sua vez, o saldo devedor do período
será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor
do período anterior e a amortização do período:
Mathias
Gomes
21. Exemplo
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
(k) (Sdk ) (Ak ) (Jk=iSdk-1) (Ak +Jk )
0 100.000,00 - - -
1 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75
2 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75
3 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75
4 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,75
5 - 23.981,58 2.398,16 26.379,74
Total - 100.000,00 31.898,74 131.898,74
Nota: Fez-se um pequeno acerto no último período:
O procedimento, portanto, é o seguinte:
Mathias
Gomes
22. Exemplo
a) Calcula-se a prestação R.
b) Calculam-se para cada período (k) os juros sobre
o saldo devedor do período anterior:
Jk = iSdk − 1
c) Faz-se para cada período (k) a diferença entre a
prestação e o juro, obtendo-se o valor da amortização:
Ak = R − Jk
d) A diferença, em cada período (k), entre o saldo
devedor do período anterior e a amortização do período dá o
saldo devedor do período:
Sdk = Sdk − 1 − Ak
Mathias
Gomes
23. Exemplo
Sistema Francês (SF), com prazo de utilização unitário
e com prazo de carência
2) Quando se tem prazo de carência, podem ocorrer duas hi-
póteses:
CASO A: durante a carência o mutuário paga os juros devidos.
CASO B: durante a carência, os juros são capitalizados e incor-
porados ao principal, para serem amortizadas nas prestações.
É possível pensar também nos juros como sendo capi-
talizados e pagos de uma só vez juntamente com a primeira
prestação, mas esta modalidade raramente é utilizada nas a-
plicações práticas.
A fim de ilustrar os dois casos, admitamos o exemplo
do item anterior com 3 anos de carência e as demais condi-
ções iguais.
Mathias
Gomes
24. Exemplo
CASO A:
O procedimento durante o período de carência é o mes-
mo já visto para o SAC, ou seja, os juros são calculados sobre
o saldo devedor.
O cálculo das prestações e a separação entre amortiza-
ções e juros se processa como explicado no item anterior:
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
(k) (Sdk ) (Ak ) (Jk=iSdk-1) (R=Ak +Jk )
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
3 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,75
4 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,75
5 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,75
6 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,75
7 - 23.981,58 2.398,16 26.379,74
Total - 100.000,00 51.898,74 151.898,74
Mathias
Gomes
25. Exemplo
A única diferença, portanto, é obtermos um fluxo maior
de prestações. O leitor deve calcular o valor atual das presta-
ções de 10% a.a., na data focal zero e constatar que é igual a
$100.000,00.
CASO B:
Devemos, inicialmente, capitalizar o saldo devedor à ta-
xa de 10% a.a., durante os 2 anos de carência, isto porque a
amortização deve começar no fim do 3° ano de carência:
S1 = 100.000,00(1,10) = 110.000,00
S2 = 100.000,00(1,10)2 = 121.000,00
Sobre este saldo devedor, calcula-se o valor da presta-
ção:
Mathias
Gomes
26. Exemplo
121.000,00 121.000,00
R= = = 31.919,49
a¬10
5
3,790787
A partir da prestação, o cálculo segue o sistema francês
como já explicado:
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
(k) (Sdk ) (Ak ) (Jk=iSdk-1) (R=Ak +Jk )
0 100.000,00 - - -
1 110.000,00 - - -
2 121.000,00 - - -
3 101.180,51 19.819,49 12.100,00 31.919,49
4 79.379,07 21.801,44 10.118,05 31.919,49 =======
5 55.397,49 23.981,58 7.937,91 31.919,49
6 29.017,75 26.379,74 5.539,75 31.919,49
7 - 29.017,75 2.901,78 31.919,53
Total - 121.000,00 38.597,49 159.597,49 =======
Mathias
Gomes
27. Exemplo
Sistema Francês (SF), quando o período a que se refere
a taxa de juros não coincide com o período a que se re-
fere a amortização
3) Foi emprestada a importância de $ 100.000,00 para uma em-
presa a qual deve fazer a amortização em 4 parcelas semestrais
pelo SF, sem carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada
é de 12% a.a. e que se vai trabalhar com a taxa efetiva, cons-
truir a planilha.
Resolução: A taxa de juros efetiva é:
i" = 1,12 − 1 ≅ 0,0583
i" = 5,83%a.s.
ou, portanto, com r = 4:
Mathias
Gomes
29. Exemplo
Sistema Price
4) Um banco emprestou $ 100.000,00, entregues no ato, sem
prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pe-
lo banco é de 12% a.a., tabela Price, e que a devolução deve
ser feita em 8 meses, construir a planilha.
Resolução: Se o sistema adotado é “tabela Price” e sendo de
12% a.a. a taxa, temos que a taxa proporcional mensal é:
0,12
i12 = = 0,01a.m. = 1%a.m.
12
Como são 8 prestações, calculamos:
Mathias
Gomes
31. Exemplo
O leitor deve observar que, como foi feita a taxa pro-
porcional simples, a taxa de juros composta equivalente a-
nual é maior.
Neste caso, tem-se:
1 + i' = (1,01) ≅ 1,126825
12
A taxa efetiva que está sendo cobrada pelo banco é
de 12,68% a.a., ou seja, é um pouco maior que a taxa nomi-
nal de 12% a.a. que o banco diz cobrar.
Mathias
Gomes
32. Classificação das Modalidades de
Amortização
EXEMPLO
Sistema Americano
• Após um certo prazo, o devedor paga o empréstimo
em uma única parcela.
• Em geral, os juros são pagos durante a carência.
• Fundo de amortização (“sinking fund”) é uma aplica-
ção que iguala o pagamento.
Representação:
Prestação
Principal
Juro
Períodos
Mathias
Gomes
33. Exemplo
Sistema Americano (SA), com devolução dos juros du-
rante a carência
1) Um banco empresta $ 100.000,00 a uma empresa, a uma
taxa de juros de 6% a.s. com prazo de utilização unitário, pa-
ra ser devolvido após uma carência de 2 anos. Sabendo-se que
que os juros serão cobrados semestralmente, calcular a plani-
lha pelo sistema americano. Qual é a taxa efetiva anual ?
Resolução: Como já é dada a taxa em termos semestrais, te-
mos:
Mathias
Gomes
35. Exemplo
Sistema Americana (SA), com a capitalização dos juros
2. Seja o mesmo exemplo do item anterior, em que se admite
a capitalização dos juros durante a carência.
Resolução:
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
(k) (Sdk ) (Ak ) (Jk ) (Ak +Jk )
0 100.000,00 - - -
1 106.000,00 - - -
2 112.360,00 - - -
3 119.101,60 - - -
4 - 100.000,00 26.247,70 126.247,70
Total - 100.000,00 26.247,70 126.247,70
Nota: O leitor deve constatar que a taxa efetiva anual continua sendo de 12,36% a.a.
Mathias
Gomes
36. Exemplo
Sinking Fund
Um banco empresta $ 100.000,00 a uma empresa, cobrando a
taxa de juros de 12% a.a. Sabendo que o prazo de utilização é
unitário, que não há carência, que os juros serão cobrados em
base anual e que o método utilizado pelo banco é o sistema a-
mericano com um prazo total de 4 anos, pede-se:
a) Construir a planilha do empréstimo.
b) Admitindo-se uma taxa de aplicação de 10% a.a., construir
a planilha do fundo de amortização.
Resolução:
a) Planilha pelo sistema americano
Mathias
Gomes
37. Exemplo
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
(k) (Sdk ) (Ak ) (Jk ) (Ak +Jk )
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 12.000,00 12.000,00
2 100.000,00 - 12.000,00 12.000,00
3 100.000,00 - 12.000,00 12.000,00
4 - 100.000,00 12.000,00 112.000,00
Total - 100.000,00 48.000,00 148.000,00
b) Planilha do fundo de amortização
Sendo: P = 100.000,00
ia = 10% a.a.
n = 4 anos
Tem-se:
S ¬10 4 ,641
4
=
Mathias
Gomes
38. Exemplo
Portanto, o depósito anual deve ser:
P
R=
S¬ 10
4
100.000,00
R= ≅ 21.547,08
4,641
Ano Saldo Credor Depósito Juros
(k) (Sc k ) (Ak ) (Jk )
0 - - -
1 21.547,08 21.547,08 -
2 45.248,87 21.547,08 2.154,71
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89
4 100.000,00 21.547,08 7.132,08
Total - 86.188,32 13.811,68
Mathias
Gomes
39. Exemplo
Nota: O leitor deve observar que quando se calculou o depó-
sito (Rk) estava-se encontrando um valor que, capitalizado,
será igual ao principal. Daí a necessidade do cálculo de juros
sobre o saldo credor.
Mathias
Gomes
40. Classificação das Modalidades de
Amortização
EXEMPLO
Sistema de Amortização Variáveis
• As parcelas de amortização são contratadas entre as
partes.
• Os juros são calculados sobre o saldo devedor.
Representação:
Prestação
Juros
Amortização
Períodos
Mathias
Gomes
41. Exemplo
Uma empresa pede emprestado $ 100.000,00, que serão a-
mortizados anualmente do seguinte modo:
- 1° ano: 10.000,00 - 3° ano: 30.000,00
- 2° ano: 20.000,00 - 4° ano: 40.000,00
Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência
para o início das amortizações, que a taxa de juros é de 10%
a.a. e que os juros devidos serão pagos anualmente, construir
a planilha.
Resolução: A planilha é constituída colocando-se inicialmente
as amortizações. A seguir, são calculados os juros sobre o sal-
do devedor do período anterior e calculada a prestação:
Mathias
Gomes
42. Exemplo
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
(k) (Sdk ) (Ak ) (Jk ) (Rk )
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
3 90.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00
4 70.000,00 20.000,00 9.000,00 29.000,00
5 40.000,00 30.000,00 7.000,00 37.000,00
6 - 40.000,00 4.000,00 44.000,00
Total - 100.000,00 50.000,00 150.000,00
Nota: Deixamos de analisar o chamado sistema alemão (ou
de juros antecipados) por ter utilidade prática reduzida. O lei-
tor pode encontrar tal método na bibliografia citada.
Mathias
Gomes
43. Custo Efetivo de um
Empréstimo EXEMPLO
Uma operação financeira envolve im-
postos (IOF), taxas administrativas e outros
encargos.
Para calcular o Custo Real ou Custo Efe-
tivo de um empréstimo, deve-se utilizar o
conceito de Taxa de Retorno.
Mathias
Gomes
44. Exemplo
Uma empresa obtém um empréstimo de $ 100.000,00, nas se-
guintes condições:
- taxa de juros: 10% a.a. ou 5% a.s.;
- prazo de utilização unitário;
- prazo de carência: 2 semestres;
- IOF: 1% sobre o total de amortizações e encargos, cobrado
no ato;
- aval: 2% sobre o saldo devedor ao fim de cada ano;
- sistema de amortização constante, em parcelas semestrais.
Pede-se para construir a planilha e calcular a taxa de juros re-
al do empréstimo.
Resolução: Nas condições enunciadas a prestação deve levar
em conta a despesa de IOF mais a de aval.
Mathias
Gomes
45. Exemplo
Semestres Saldo Devedor IOF Aval Amortizações Juros Prestação
(k) (Sdk ) (1) (2) (3) (Ak ) (4) (Jk ) (1)+(2)+(3)+(4)
0 100.000,00 1.195,00 - - - 1.195,00
1 100.000,00 - - - 5.000,00 5.000,00
2 75.000,00 - 1.500,00 25.000,00 5.000,00 31.500,00
3 50.000,00 - - 25.000,00 3.750,00 28.750,00
4 25.000,00 - 500,00 25.000,00 2.500,00 28.000,00
5 - - - 25.000,00 1.250,00 26.250,00
Total - 1.195,00 2.000,00 100.000,00 17.500,00 120.695,00
O valor do IOF foi obtido calculando-se 1% sobre o total
do aval, amortização e juros.
Para calcular a taxa de retorno, consideremos o fluxo de
caixa sobre o ponto de vista do banco que fez o empréstimo:
Mathias
Gomes
46. Exemplo
Semestres Aplicação Recebimentos Fluxo de caixa
(1) (2) (2)-(1)
0 100.000,00 1.195,00 -98.805,00
1 - 5.000,00 5.000,00
2 - 31.500,00 31.500,00
3 - 28.750,00 28.750,00
4 - 28.000,00 28.000,00
5 - 26.250,00 26.250,00
Para calcular a taxa de retorno devemos determinar a ta-
xa i”, tal que: − 98 . 805 5 . 000 31 . 500 28 . 750
V ( i" ) = + + +
(1 + i " ) 0 (1 + i " ) 1 (1 + i " ) 2 (1 + i " ) 3
28 . 000 26 . 250
+ + =0
(1 + i " ) 4 (1 + i " ) 5
Mathias
Gomes
47. Exemplo
onde V(i”) é o valor atual do fluxo à taxa i”.
Vamos determinar i” por tentativa de erro:
a) 1ª iteração: começamos com a taxa de 5% ao semestre,
pois é a taxa de juros cobrada:
i1 = 5% a.s. => V(i1) = 2.966,90
Como o valor ainda é positivo, usamos uma taxa de
juros um pouco maior (7% a.s.):
i2 = 7% a.s. => V(i2) = -3.073,27
Sendo V(i2)<0, fazemos a interpolação linear e assim:
i '−5 0 − 2.966,90
=
7 − 5 − 3.073,27 − 2966,90
i ' = 5 + 2 x 0,4912
i ' ≅ 5,98% a.s.
Mathias
Gomes
48. Exemplo
Calculando-se o valor atual do fluxo com esta taxa,
obtemos:
i’ = 5,98% a.s. => V(i’) = -59,52
Ou seja, o valor atual ainda não é nulo.
b) 2ª iteração: partindo do resultado inferior, fazemos a se-
gunda iteração: i"−5 0 − 2.966,90
=
5,98 − 5 − 59,52 − 2966,90
i" = 5 + 0,98 x0,9803
i" ≅ 5,961
Como verificação, calculamos o valor atual a esta ta-
xa:
i” = 5,961 => V(i”) = -2,1 => 0
Portanto, concluímos que o custo do empréstimo é
de 5,96% a.s.
Mathias
Gomes