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Washington Franco Mathias
        José Maria Gomes


Matemática
 Financeira
        Com + de 600 exercícios
          resolvidos e propostos


                        5ª Edição
Capítulo 6


            MODELOS
           GENÉRICOS
          DE ANUIDADES
Mathias
Gomes
Modelos Genéricos de
          Anuidades
                                                       EXEMPLO



           Anuidades Diferidas: são aquelas em que os ter-
           mos são exigíveis pelo menos a partir do segundo
           período.

           Carência: é o intervalo de tempo do diferimento.

                 Calcula-se o Valor Atual pelo modelo básico
           mais um cálculo de equivalência para a data focal
           zero.

           O cálculo do Montante é feito pelo Modelo Básico.

Mathias
Gomes
Exemplo
          Uma pessoa vai receber dezesseis prestações mensais iguais a
          $ 400,00, com um diferimento de 15 meses:


                                        400 400         400 400




                                                                                  (Meses)
                   0   1   2   ... 15   16   17   ...   30   31   ...   39   40




          Sendo a taxa de juros igual a 2% a.m., pergunta-se:
          a) Qual o valor atual das prestações na data zero ?
          b) Qual o montante na data focal 40 ?


Mathias
Gomes
Exemplo
          Resolução:          a) Valor do principal na data focal zero:


                 P0

                                    P15



                                             400 400         400 400


                                                                                       (Meses)
                      0   1     2   ... 15   16   17   ...   30   31   ...   39   40


          Procedemos de duas etapas:
          I) Calculamos o principal na data focal 15, segundo o modelo
          básico:

Mathias
Gomes
Exemplo
                         P15 = R.a¬ 2
                                  16

                         P15 = 400,00 x13,577709
                         P15 = $5.431,08

          II) A seguir, achamos o valor atual na data focal zero e à taxa
          de 2% a.m.:
                               P15
                       P0 =
                            (1,02)15
                            5.431,08
                       P0 =          ≅ $4.035,38
                            1,345868

Mathias
Gomes
Exemplo
          b) Montante na data focal 40:

          O montante na data focal 40 pode ser obtido diretamente do
          valor atual (P0):


                        P 40 = P 0(1 + i ) 40
                        P 40 = 4.035,38.(1,02) 40
                        P 40 = 4.035,38 x 2,208040
                        P 40 = $8.910,28



Mathias
Gomes
Modelo Genéricos de
          Anuidades                                    EXEMPLO




           Anuidade em que o período dos termos
           não coincide com aquele a que se refere
           a taxa.


           • Supondo os termos constantes e periódicos;

           • Calcula-se a taxa equivalente ao período dos
           termos e recai-se no modelo básico.

Mathias
Gomes
Exemplo
          Um aparelho de som estereofônico é vendido em 5 prestações
          de $ 2.000,00 a serem pagas a cada 2 meses. Sendo a taxa de
          juros cobrada de 3% a.m., qual o valor do aparelho à vista ? Se
          Se o mesmo aparelho pudesse ser pago em uma única vez após
          10 meses, qual a quantia que a loja cobraria, admitida a mesma
          taxa de juros ?
          Resolução: Graficamente, a situação é a seguinte:

                     P0




                                  2.000       2.000       2.000       2.000       2.000



                                                                                        (Meses)
                          0   1    2      3    4      5     6     7    8      9    10

Mathias
Gomes
Exemplo
          Como a taxa de juros está referida em termos mensais e as
          prestações estão referidas a bimestres, calculamos a taxa bi-
          mestral equivalente:

                         1 + i’ = (1 + 0,03)2
                         i’ = 1,0609 -1
                         i’ = 0,0609 a.b. ou i’ = 6,09% a.b.

                Agora temos uma anuidade nas mesmas condições do
          modelo básico, pois a taxa se refere ao mesmo intervalo de
          tempo dos termos e podemos calcular:

          a) Preço à vista:

                                  P 0 = R.a¬i
                                           n



Mathias
Gomes
Exemplo
          onde: R = 2.000,00 por bimestre
                 i = i’ = 6,09% a .b.
                 n = 5 bimestres
          Portanto:
                                   (1, 0609 ) 5 − 1
                       a ¬6,09
                         5
                            =
                               (1, 0609 ) 5 . 0 , 0609
                       a ¬6,09 4 , 202070
                         5
                            =
          E o valor atual:
                       P 0 = 2 . 000 , 00 x 4 , 202070
                       P 0 = $ 8 . 404 ,14

          Concluímos que o preço do aparelho à vista é $ 8.404,14.
Mathias
Gomes
Exemplo
          b) Preço após 10 meses:

          O montante na data focal 10 pode ser obtido por capitalização
          direta:

                 P10   =   P0 (1 + i’)5
                 P10   =   8.404,14 (1,0609)5
                 P10   =   8.404,14 x 1,343916
                 P10   =   $ 11.294,46




Mathias
Gomes
Modelo Genéricos de
          Anuidades                                      EXEMPLO



           Anuidade com termos constantes, segundo o
           modelo básico, mais parcelas intermediárias
           iguais.

           • Uniformiza-se a anuidade, de modo que todos
           os termos sejam iguais entre si e com taxas de
           juros referida ao período dos termos. Esta é uma
           anuidade tipo modelo básico.

           • Por diferença calcula-se o valor das parcelas in-
           termediárias. Recai-se no modelo básico.
Mathias
Gomes
Exemplo
          Um carro é vendido em oito prestações mensais. As prestações
          de ordem ímpar são iguais a $ 1.000,00, enquanto que as de or-
          dem par são iguais a $ 2.000,00. Considerando-se a taxa de ju-
          ros de 2% a.m., qual é o preço à vista ?

          Resolução: Graficamente, tem-se:


                                    2.000       2.000           2.000        2.000
                            1.000        1.000          1.000           1.000




                                                                                  (Meses)
                        0    1       2      3    4       5        6      7    8




Mathias
Gomes
Exemplo
          a) Uniformizando a anuidade de modo a se ter 8 termos iguais a
          $ 1.000,00:

                       P0




                                1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000




                                                                                  (Meses)
                            0    1     2      3    4      5   6      7     8


          O valor atual (P0’) dessa anuidade na data focal zero, é:
Mathias
Gomes
Exemplo
                                 P 0 ' = R.a¬2
                                             8
                                 P 0 ' = 1.000 x 7,325481
                                 P 0 ' = $7.325,48
          b) Considerando apenas a diferença entre a anuidade original e
          a anuidade uniformizada (item a), obtemos a anuidade consti-
          tuída pelas parcelas intermediárias:
                        P0




                                       1.000       1.000       1.000       1.000




                                                                                   (Meses)
                             0     1    2      3   4       5   6       7    8
Mathias
Gomes
Exemplo
          Calculando-se a taxa equivalente bimestral, tem-se:

                  1 + i ' = (1,02 ) 2
                  i ' = 0,0404 a.b. = 4,04 % a.b.

          Podemos calcular agora:

                                  (1, 0404 ) 4 − 1
                   a ¬4,04
                     4
                          =               4
                                                      ≅ 3 , 626476
                             (1, 0404 ) . 0 , 0404
                   P 0 ' ' = 1 . 000 , 00 x 3 , 626476
                   P 0 ' ' = $ 3 . 626 , 48


Mathias
Gomes
Exemplo
          Agora podemos determinar o preço do carro à vista:


                    P 0 = P 0 '+ P 0 ' '
                    P 0 = 7.325,48 + 3.626 ,48
                    P 0 = $10 .951,96

          Logo, o preço do carro à vista é $ 10.951,96.




Mathias
Gomes
Modelo Genéricos de
          Anuidades                                      EXEMPLO



           Anuidade compostas por duas anuidades
           diferidas em seqüência.

                 Calcula-se o Valor Atual em datas focais
           intermediárias e, em seguida, o valor atual na
           data focal zero.

                  O montante pode ser obtido a partir do
           valor atual, fazendo-se a capitalização até a da-
           ta focal requerida.

Mathias
Gomes
Exemplo
          Uma pessoa comprou um gravador, para pagar em 7 presta-
          ções, do seguinte modo:
          - 3 prestações de $ 100,00 no 7°, 8° e 9° mês:
          - 4 prestações de $ 100,00 no 13°, 14°, 15° e 16° mês.
          A taxa de juros cobrada foi de 2% a.m. Pergunta-se o valor
          do gravador à vista.

          Resolução: O cálculo é o seguinte:

                           P 6 = 100,00.a¬ 2
                                          3

                           P 6 = 100,00.2,883883
                           P 6 = $288,39


Mathias
Gomes
Exemplo
          E, para a segunda anuidade:


                           P12 = 100 ,00 .a¬ 2
                                           4

                           P12 = 100 ,00 x3,807729
                           P12 = $380 ,77

          Portanto:                P6           P12
                          P0 =             +
                                (1 + i ) 6
                                             (1 + i )12
                          P 0 = 256 ,08 + 300 ,23
                          P 0 = $556 ,31

          Portanto, o preço do gravador à vista é $ 556,31.

Mathias
Gomes
Modelo Genéricos de
      Anuidades
                                                       EXEMPLO
          Anuidades Perpétuas

          • São as anuidades com duração ilimitada.
          • Só tem sentido calcular o valor atual, porque o
          montante será infinito.
          • O valor atual é dado por:
                                R
                             P=
                                i
                         P = valor atual
                         R = termo constante
                         i = taxa de juros
Mathias
Gomes
Exemplo
          Se um apartamento está rendendo um aluguel de $ 500,00 por
          mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é
          de 1% a.m., qual seria uma primeira estimativa do valor do i-
          móvel.

          Resolução: Admitindo-se as hipóteses de duração ilimitada do
          apartamento e de ser o aluguel constante, tem-se:

                               R
                            P=
                               i
                               500,00
                            P=        = $50.000,00
                                 0,01

          Ou seja, numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliado
          em $ 50.000,00.
Mathias
Gomes
Modelo Genéricos de
          Anuidades                                   EXEMPLO


           Anuidades Variáveis: são anuidades cujos ter-
           mos não são iguais entre si.
           Dada uma anuidade:
           - Temporária;
           - Imediata e postecipada;
           - Periódica.

                 O Valor Atual é a soma dos valores atuais
           de cada um de seus termos.
                 O Montante pode ser obtido pela soma do
           montante de cada um dos seus termos.
Mathias
Gomes
Exemplo
          Um terreno foi comprado para ser pago em 5 prestações tri-
          mestrais, com os seguintes valores:
          1° trimestre: 20.000,00
          2° trimestre: 5.000,00
          3° trimestre: 10.000,00
          4° trimestre: 3.000,00
          5° trimestre: 30.000,00
          Sendo a taxa de juros para aplicações financeiras vigente no
          mercado de 2,5% a.m., pergunta-se o valor do terreno à vis-
          ta.

          Resolução: Como a taxa de juros está referida ao mês e as
          prestações são trimestrais, calculamos a taxa trimestral equi-
          valente:


Mathias
Gomes
Exemplo
                            1 + i ' = (1 + i ) 3
                            1 + i ' = (1,025 ) 3
                            i ' = 0,07689 a.t. = 7,689 % a.t .
          Calculando-se o valor atual de cada prestação à taxa de juros
          i’, tem-se:
                 20.000       5.000       10.000        3.000       30.000
          P0 =            +            +            +            +
               (1,07689) (1,07689) (1,07689) (1,07689) (1,07689)5
                        1            2            3            4


          P0 = 18.572,00 + 4.311,49 + 8.007,30 + 2.230,67 + 20.714,03
          P0 = $53.835,49

          Portanto, o preço do terreno à vista é de, aproximadamente,
          $ 54.000,00

Mathias
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Matemática Financeira - Modelos Genéricos de Anuidades

  • 1. Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 5ª Edição
  • 2. Capítulo 6 MODELOS GENÉRICOS DE ANUIDADES Mathias Gomes
  • 3. Modelos Genéricos de Anuidades EXEMPLO Anuidades Diferidas: são aquelas em que os ter- mos são exigíveis pelo menos a partir do segundo período. Carência: é o intervalo de tempo do diferimento. Calcula-se o Valor Atual pelo modelo básico mais um cálculo de equivalência para a data focal zero. O cálculo do Montante é feito pelo Modelo Básico. Mathias Gomes
  • 4. Exemplo Uma pessoa vai receber dezesseis prestações mensais iguais a $ 400,00, com um diferimento de 15 meses: 400 400 400 400 (Meses) 0 1 2 ... 15 16 17 ... 30 31 ... 39 40 Sendo a taxa de juros igual a 2% a.m., pergunta-se: a) Qual o valor atual das prestações na data zero ? b) Qual o montante na data focal 40 ? Mathias Gomes
  • 5. Exemplo Resolução: a) Valor do principal na data focal zero: P0 P15 400 400 400 400 (Meses) 0 1 2 ... 15 16 17 ... 30 31 ... 39 40 Procedemos de duas etapas: I) Calculamos o principal na data focal 15, segundo o modelo básico: Mathias Gomes
  • 6. Exemplo P15 = R.a¬ 2 16 P15 = 400,00 x13,577709 P15 = $5.431,08 II) A seguir, achamos o valor atual na data focal zero e à taxa de 2% a.m.: P15 P0 = (1,02)15 5.431,08 P0 = ≅ $4.035,38 1,345868 Mathias Gomes
  • 7. Exemplo b) Montante na data focal 40: O montante na data focal 40 pode ser obtido diretamente do valor atual (P0): P 40 = P 0(1 + i ) 40 P 40 = 4.035,38.(1,02) 40 P 40 = 4.035,38 x 2,208040 P 40 = $8.910,28 Mathias Gomes
  • 8. Modelo Genéricos de Anuidades EXEMPLO Anuidade em que o período dos termos não coincide com aquele a que se refere a taxa. • Supondo os termos constantes e periódicos; • Calcula-se a taxa equivalente ao período dos termos e recai-se no modelo básico. Mathias Gomes
  • 9. Exemplo Um aparelho de som estereofônico é vendido em 5 prestações de $ 2.000,00 a serem pagas a cada 2 meses. Sendo a taxa de juros cobrada de 3% a.m., qual o valor do aparelho à vista ? Se Se o mesmo aparelho pudesse ser pago em uma única vez após 10 meses, qual a quantia que a loja cobraria, admitida a mesma taxa de juros ? Resolução: Graficamente, a situação é a seguinte: P0 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 (Meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mathias Gomes
  • 10. Exemplo Como a taxa de juros está referida em termos mensais e as prestações estão referidas a bimestres, calculamos a taxa bi- mestral equivalente: 1 + i’ = (1 + 0,03)2 i’ = 1,0609 -1 i’ = 0,0609 a.b. ou i’ = 6,09% a.b. Agora temos uma anuidade nas mesmas condições do modelo básico, pois a taxa se refere ao mesmo intervalo de tempo dos termos e podemos calcular: a) Preço à vista: P 0 = R.a¬i n Mathias Gomes
  • 11. Exemplo onde: R = 2.000,00 por bimestre i = i’ = 6,09% a .b. n = 5 bimestres Portanto: (1, 0609 ) 5 − 1 a ¬6,09 5 = (1, 0609 ) 5 . 0 , 0609 a ¬6,09 4 , 202070 5 = E o valor atual: P 0 = 2 . 000 , 00 x 4 , 202070 P 0 = $ 8 . 404 ,14 Concluímos que o preço do aparelho à vista é $ 8.404,14. Mathias Gomes
  • 12. Exemplo b) Preço após 10 meses: O montante na data focal 10 pode ser obtido por capitalização direta: P10 = P0 (1 + i’)5 P10 = 8.404,14 (1,0609)5 P10 = 8.404,14 x 1,343916 P10 = $ 11.294,46 Mathias Gomes
  • 13. Modelo Genéricos de Anuidades EXEMPLO Anuidade com termos constantes, segundo o modelo básico, mais parcelas intermediárias iguais. • Uniformiza-se a anuidade, de modo que todos os termos sejam iguais entre si e com taxas de juros referida ao período dos termos. Esta é uma anuidade tipo modelo básico. • Por diferença calcula-se o valor das parcelas in- termediárias. Recai-se no modelo básico. Mathias Gomes
  • 14. Exemplo Um carro é vendido em oito prestações mensais. As prestações de ordem ímpar são iguais a $ 1.000,00, enquanto que as de or- dem par são iguais a $ 2.000,00. Considerando-se a taxa de ju- ros de 2% a.m., qual é o preço à vista ? Resolução: Graficamente, tem-se: 2.000 2.000 2.000 2.000 1.000 1.000 1.000 1.000 (Meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Mathias Gomes
  • 15. Exemplo a) Uniformizando a anuidade de modo a se ter 8 termos iguais a $ 1.000,00: P0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 (Meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 O valor atual (P0’) dessa anuidade na data focal zero, é: Mathias Gomes
  • 16. Exemplo P 0 ' = R.a¬2 8 P 0 ' = 1.000 x 7,325481 P 0 ' = $7.325,48 b) Considerando apenas a diferença entre a anuidade original e a anuidade uniformizada (item a), obtemos a anuidade consti- tuída pelas parcelas intermediárias: P0 1.000 1.000 1.000 1.000 (Meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Mathias Gomes
  • 17. Exemplo Calculando-se a taxa equivalente bimestral, tem-se: 1 + i ' = (1,02 ) 2 i ' = 0,0404 a.b. = 4,04 % a.b. Podemos calcular agora: (1, 0404 ) 4 − 1 a ¬4,04 4 = 4 ≅ 3 , 626476 (1, 0404 ) . 0 , 0404 P 0 ' ' = 1 . 000 , 00 x 3 , 626476 P 0 ' ' = $ 3 . 626 , 48 Mathias Gomes
  • 18. Exemplo Agora podemos determinar o preço do carro à vista: P 0 = P 0 '+ P 0 ' ' P 0 = 7.325,48 + 3.626 ,48 P 0 = $10 .951,96 Logo, o preço do carro à vista é $ 10.951,96. Mathias Gomes
  • 19. Modelo Genéricos de Anuidades EXEMPLO Anuidade compostas por duas anuidades diferidas em seqüência. Calcula-se o Valor Atual em datas focais intermediárias e, em seguida, o valor atual na data focal zero. O montante pode ser obtido a partir do valor atual, fazendo-se a capitalização até a da- ta focal requerida. Mathias Gomes
  • 20. Exemplo Uma pessoa comprou um gravador, para pagar em 7 presta- ções, do seguinte modo: - 3 prestações de $ 100,00 no 7°, 8° e 9° mês: - 4 prestações de $ 100,00 no 13°, 14°, 15° e 16° mês. A taxa de juros cobrada foi de 2% a.m. Pergunta-se o valor do gravador à vista. Resolução: O cálculo é o seguinte: P 6 = 100,00.a¬ 2 3 P 6 = 100,00.2,883883 P 6 = $288,39 Mathias Gomes
  • 21. Exemplo E, para a segunda anuidade: P12 = 100 ,00 .a¬ 2 4 P12 = 100 ,00 x3,807729 P12 = $380 ,77 Portanto: P6 P12 P0 = + (1 + i ) 6 (1 + i )12 P 0 = 256 ,08 + 300 ,23 P 0 = $556 ,31 Portanto, o preço do gravador à vista é $ 556,31. Mathias Gomes
  • 22. Modelo Genéricos de Anuidades EXEMPLO Anuidades Perpétuas • São as anuidades com duração ilimitada. • Só tem sentido calcular o valor atual, porque o montante será infinito. • O valor atual é dado por: R P= i P = valor atual R = termo constante i = taxa de juros Mathias Gomes
  • 23. Exemplo Se um apartamento está rendendo um aluguel de $ 500,00 por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de 1% a.m., qual seria uma primeira estimativa do valor do i- móvel. Resolução: Admitindo-se as hipóteses de duração ilimitada do apartamento e de ser o aluguel constante, tem-se: R P= i 500,00 P= = $50.000,00 0,01 Ou seja, numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliado em $ 50.000,00. Mathias Gomes
  • 24. Modelo Genéricos de Anuidades EXEMPLO Anuidades Variáveis: são anuidades cujos ter- mos não são iguais entre si. Dada uma anuidade: - Temporária; - Imediata e postecipada; - Periódica. O Valor Atual é a soma dos valores atuais de cada um de seus termos. O Montante pode ser obtido pela soma do montante de cada um dos seus termos. Mathias Gomes
  • 25. Exemplo Um terreno foi comprado para ser pago em 5 prestações tri- mestrais, com os seguintes valores: 1° trimestre: 20.000,00 2° trimestre: 5.000,00 3° trimestre: 10.000,00 4° trimestre: 3.000,00 5° trimestre: 30.000,00 Sendo a taxa de juros para aplicações financeiras vigente no mercado de 2,5% a.m., pergunta-se o valor do terreno à vis- ta. Resolução: Como a taxa de juros está referida ao mês e as prestações são trimestrais, calculamos a taxa trimestral equi- valente: Mathias Gomes
  • 26. Exemplo 1 + i ' = (1 + i ) 3 1 + i ' = (1,025 ) 3 i ' = 0,07689 a.t. = 7,689 % a.t . Calculando-se o valor atual de cada prestação à taxa de juros i’, tem-se: 20.000 5.000 10.000 3.000 30.000 P0 = + + + + (1,07689) (1,07689) (1,07689) (1,07689) (1,07689)5 1 2 3 4 P0 = 18.572,00 + 4.311,49 + 8.007,30 + 2.230,67 + 20.714,03 P0 = $53.835,49 Portanto, o preço do terreno à vista é de, aproximadamente, $ 54.000,00 Mathias Gomes