O documento discute os conceitos de desconto racional, comercial e bancário. O desconto racional é calculado pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso descontado antes do vencimento. O desconto comercial é calculado pelo juro simples sobre o valor nominal. O desconto bancário corresponde ao comercial acrescido de uma taxa de despesas. Exemplos ilustram os cálculos de cada tipo de desconto.

1. Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
5ª Edição

2. Capítulo 2
DESCONTOS
Mathias
Gomes

3. Descontos
Quando se faz uma aplicação com vencimento
pré-determinado, o aplicador:
• Recebe um compromisso da aplicação;
• Que é uma nota promissória;
• Ou uma letra de câmbio.
=> Obter parte do principal e dos juros, em
troca do título, é uma operação de “desconto”.
Mathias
Gomes

4. Descontos
Uma empresa faz uma venda a prazo, com venci-
mento pré-determinado:
• Recebe do comprador uma duplicata.
=> A empresa pode ir a um banco e transferir a
posse da duplicata em troca de dinheiro.
Esta á uma operação de “descontar uma duplica-
ta”.
Mathias
Gomes

5. Desconto Racional
EXEMPLO
Ou Desconto “por dentro”.
• É o desconto obtido pela diferença entre o valor
nominal e o valor atual de um compromisso que
seja saldado em n períodos antes do seu
vencimento.
Nin
Dr =
1 + in
Dr = valor do desconto
N = valor nominal (montante)
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
Mathias
Gomes

6. Exemplo
Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses
antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros cor-
rente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter ?
Resolução:
Dr {
N
Vr
3 Meses
Mathias
Gomes

7. Exemplo
Temos:
N = 5.500,00
n = 3 meses
Calculando a taxa proporcional a 1 mês:
0,40
i12 =
12
Podemos calcular:
Nin
a) O desconto: Dr =
1 + in
0 , 40
5 . 500 x x3
Dr = 12
0 , 40
Mathias 1+ x3
Gomes 12

8. Exemplo
5.500,00x0,10
Dr =
1+ 0,10
550,00
Dr = = $500,00
1,10
b) O valor descontado:
Vr = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00
$ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos
próximos 3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00
iria render:
J = Cin
J = 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00
Mathias
Gomes

9. Desconto Comercial
EXEMPLO
Ou Desconto “por fora”.
• É o valor que se obtém pelo cálculo do juro
simples sobre o valor nominal do compromisso que
seja saldado em n períodos antes do seu
vencimento.
Dc = N.i.n
Dc = desconto comercial
N = valor nominal (montante)
n =número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
Mathias
Gomes

10. Exemplo
Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de
$ 5.500,00 é descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes
do vencimento, qual é o desconto e quanto vai obter ?
Resolução: procedendo de modo análogo, temos:
Dc {
N
Vc
3 Meses
Mathias
Gomes

11. Exemplo
a) O desconto:
Dc = Nin
Dc = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00
b) O valor descontado comercial:
Vc = N (1 − in)
0,40
Vc = 5.500,00 x(1 − x3)
12
Vc = 5.500,00 x0,9
Vc = $4950,00
Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto co-
mercial, que é menos que os $ 5.000,00 que receberia se o des-
conto fosse racional.
Mathias
Gomes

12. Exemplo
É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comer-
cial a taxa de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juros
capaz de reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ga-
nha $ 550,00 sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa
de juros de operação é:
55000
,
i' = = 0,1111 ao trimestre
4.95000
,
ou i' ≅ 0,44 ao ano
Note-se então que, no desconto comercial, é preciso dis-
tingüir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa
implícita que é cobrada de fato.
Mathias
Gomes

13. Desconto Bancário EXEMPLO
Corresponde ao desconto comercial acrescido de
uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nomi-
nal.
Db = N.(in+h)
Db = desconto bancário
N = valor nominal (montante)
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
h = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas ban-
cárias)
Mathias
Gomes

14. Exemplo
Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra
2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi
descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa cor-
rente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto
bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título ?
Resolução: Lembrando que:
h = 0,02
e procedendo de modo análogo ao exemplo an-
terior:
a) Desconto bancário:
Db = N (in + h)
Db = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02)
Db = 5.500,00 (0,10 + 0,02)
Db = $ 660,00
Mathias
Gomes

15. Exemplo
b) Valor descontado bancário:
Vb = N [1 - (in + h)]
Vb = 5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02]
Vb = 5.500,00 x 0,88
Vb = $ 4.840,00
Compara-se este valor que o proprietário recebeu ao
descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via des-
conto comercial ($ 4.950,00). Mais uma vez notamos que a ta-
xa de desconto não corresponde à taxa implícita na operação:
66000
,
i" = ≅ 0,1364 ao trimestre
4.84000
,
i" ≅ 0,5456 ao ano
Mathias
Gomes

16. Exemplo
É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e
bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada na
operação.
Mathias
Gomes

17. Taxa de Juros
Efetiva EXEMPLO
É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor
descontado (comercial ou bancário), gera no
período, um montante igual ao valor nominal.
N
−1
if = V
n
onde:
if = taxa efetiva
N = valor nominal
V = valor atual (comercial ou bancário)
n = número de períodos antes do vencimento
Mathias
Gomes

18. Exemplo
Sendo o valor de desconto comercial de $ 4.950,00, o título de
$ 5.500,00 saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual é
a taxa de juros efetiva para desconto comercial utilizada ?
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:
N
−1
if = V c
n
5 .500 ,00
−1
4950 ,00 1,1111 − 1
if = ; if =
3 3
if = 0,03703 a.m . = 0, 44 a.a.
Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anterior-
mente, por cálculo direto.
Mathias
Gomes

19. Exemplo
Analogamente, com um título de $ 5.500,00 descontado 3 me-
ses antes do vencimento e com um valor de desconto bancário
de $ 4.850,00, qual a taxa efetiva para desconto bancário ?
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:
N
−1
if = V b
n
5 .500 ,00
−1
4840 ,00 1,1364 − 1
if = ; if =
3 3
if = 0,045 a.m. = 0,54 a.a.
Verifica-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obti-
do anteriormente por raciocínio direto.
Mathias
Gomes

20. Relação entre o Desconto
Comercial e o Desconto EXEMPLO
Racional
Dc = Dr (1+in)
Dc = Desconto Comercial
Dr = Desconto Racional
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
=> o Desconto Comercial pode ser entendido co-
mo sendo o montante do Desconto Racional cal-
culado para o mesmo período e à mesma taxa.
Mathias
Gomes

21. Exemplo
O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes
de seu vencimento e à taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qual
é o desconto racional ?
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula, temos:
Dc = Dr (1 + in )
0,40
550,00 = Dr (1 + x3)
12
550,00 = Dr (1 + 0,10)
550,00
Dr = = $500,00
1,10
Mathias
Gomes