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Gestão Financeira 
Taxas Equivalentes 
Taxas Efetivas 
1
Taxas Equivalentes - Juros Simples 
• Duas Taxas são Equivalentes se resultarem em Montantes 
iguais a partir do mesmo Capital ao final de certo período 
de tempo. 
• Em Juros Simples, a Taxa Equivalente é a própria taxa 
proporcional da operação. 
• Por Exemplo: a taxa de 3% a.m. e 9% a.t (ao trimestre) 
são ditas proporcionais, 
• pois 1/3 = 3/9 
• São também equivalentes, pois promovem a igualdade dos 
montantes de um mesmo capital ao final de certo 
período de tempo. 
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2
Taxas Equivalentes - Juros Simples 
Gestão Financeira 
FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00 
FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00 
FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 12) = $ 87.200,00 
FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 4 ) = $ 87.200,00 
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3 
n = 3 meses 
n = 12 meses
Taxas Equivalentes - Juros Compostos 
• O conceito enunciado de Taxa Equivalente 
permanece válido para o regime de Juros 
Compostos. 
• A diferença fica por conta da fórmula de cálculo da 
Taxa de Juros. 
• Por se tratar de Capitalização Exponencial, a 
expressão da taxa equivalente composta 
• É a média geométrica da Taxa de Juros do período 
inteiro. 
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4
Taxas Equivalentes - Juros Compostos 
• Onde: 
• q = número de períodos de capitalização 
! 
• Por Exemplo, a Taxa Equivalente composta mensal de 10,3826% ao 
semestre é de 1,66%, ou seja: 
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= 0,0166 ou: 1,66% a.m. 
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5
Taxas Equivalentes - Juros Compostos 
• Para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente 
(equivalente) o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao 
semestre. 
• Exemplo: Um capital de $100mil aplicado por anos produz: 
• Para i = 1,66% e n = 24 meses: 
• Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: 
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6
Taxas Equivalentes - Exemplo 
• Um banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma 
aplicação financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). 
• Desta maneira, uma aplicação de $10.000 produz, ao final 
de 6 meses, o montante de $ 11.200 (10mil * 1,12). 
• Efetivamente, 12% constituem-se na Taxa de Rentabilidade da 
operação para o período inteiro de um semestre, e, 
• em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em 
termos de Taxa Equivalente Composta. 
• Assim, os 12% de rendimentos determinam uma rentabilidade 
efetiva mensal de 1,91%, e não de 2% conforme foi anunciado. 
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7 
ao mês
Taxas Equivalentes - Exemplos 
• Quais as taxas de juros compostos mensal e 
trimestral equivalentes a 25% ao ano? 
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8 
i 25,00% ao ano 
q 1 ano 12 meses = 1,877% a.m. 
i 25,00% ao ano 
q 1 ano 4 trimestres = 5,737% a.t.
Taxas Equivalentes - Exemplos 
• Explicar a melhor opção: aplicar um capital de $ 
60mil à taxa de juros compostos de 9,9% ao 
semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. 
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9 
Considerando, n = 1 ano 
= $ 72.468,00 
= $ 72.468,00 
• Produzindo resultados iguais para um mesmo período, 
• Diz-se que as taxas são Equivalentes. 
• Portanto, é indiferente, para um mesmo prazo, e para o regime de 
juros compostos aplicar a 9,9% a.s. ou a 20,78% a.a.
Taxas Equivalentes - Exemplos 
• Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre é 
equivalente à taxa de 20,4999% para 5 meses. 
• Calcular também a equivalente mensal composta dessas taxas. 
• Uma maneira de identificar a equivalência de taxas de juros é apurar o 
MMC de seus prazos e capitalizá-las para este momento. 
• Se os resultados forem iguais na data definida pelo MMC, diz-se que as 
taxas são equivalentes, 
• pois produzem, para um mesmo capital, montantes idênticos. 
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10 
para 15 meses 
• As taxas são equivalentes compostas, pois quando capitalizadas para um mesmo 
momento, produzem resultados iguais. 
Taxa Equivalente Mensal (descapitalização)
Taxas Equivalentes - Exemplos 
• Uma aplicação financeira rendeu 11,35% em 365 dias. 
• Determinar a Taxa Equivalente de retorno para 360 dias. 
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= 11,1186% p/ 360 dias 
11
Taxas Equivalentes - Exemplos 
• Calcular a taxa de juro que equivale, em 44 dias, a 
uma taxa anual de 11,2%. 
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12 
= 1,306% p/ 44 dias
Taxas Equivalentes - Exemplos 
• Uma mercadoria pode ser adquirida com desconto de 7% sobre o 
seu preço a prazo. 
• Calcular a Taxa Efetiva mensal de juros que é cobrada na venda 
a prazo, admitindo um prazo de pagamento de: 
a) 30 dias b) 40 dias 
i = 0,0753 (7,53% a.m.) i = 0,0753 (7,53% p/40 dias.) 
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13 
i = 5,59% a.m.
Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
• A Taxa Efetiva de Juros é a taxa dos juros apurada 
durante todo o prazo n, 
• sendo formada exponencialmente através dos 
períodos de capitalização. 
• Taxa Efetiva é o processo de formação dos juros pelo 
regime de juros compostos ao longo dos períodos de 
capitalização. 
• q representa o número de períodos de capitalização dos juros 
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14
Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
• Uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante 
efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja: 
• Quando se diz, por outro lado, que uma Taxa de Juros é 
Nominal, 
• geralmente, é admitido que o prazo de capitalização dos 
juros (ou seja, período de formação e incorporação dos 
juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a 
taxa de juros. 
• Prazo de capitalização dos juros é o período de formação e 
incorporação dos juros ao principal. 
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15
Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
• Seja a Taxa Nominal de Juros de 36% ao ano capitalizada 
mensalmente. Os prazos não são coincidentes. 
• O prazo de Capitalização é de um mês; e; 
• O prazo a que se refere a Taxa de Juros igual a de 1 ano 
(12 meses). 
• Assim, 36% ao ano representa uma Taxa Nominal de juros, 
• Expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída 
ao período de capitalização. 
• Quando se trata de Taxa Nominal é comum admitir-se que a 
capitalização ocorre por juros proporcionais simples. 
• A Taxa por período de Capitalização seria de 36%/12 = 3% 
ao mês (Taxa Proporcional ou Linear). 
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16
Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
• Ao Capitalizar-se a Taxa Nominal, 
• apura-se uma Taxa Efetiva de Juros superior àquela 
declarada para a operação. 
• Sendo assim, no exemplo anterior, temos: 
• Taxa Nominal da operação para o período = 36% 
ao ano. 
• Taxa Proporcional Simples (taxa definida para o 
período de capitalização) = 3% ao mês. 
• Taxa efetiva de Juros: 
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17
Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
• Para que os 36% a.a. fosse considerada a Taxa Efetiva, 
a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir 
da Taxa Equivalente Composta. 
Taxa Equivalente Mensal de 36% a.a. 
• Capitalizando-se exponencialmente esta taxa de juros equivalente 
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18 
mensal chega-se aos 36% a.a. 
Taxa Efetiva Anual
Taxa Nominal e Taxa Efetiva - Exercícios 
1. Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de 
um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, 
capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o 
custo efetivo do empréstimo. 
2. A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com 
capitalização mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva 
desta aplicação financeira. 
3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma 
instituição, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período 
de capitalização dos juros seja: (a) mensal; (b) trimestral; (c) 
semestral. 
4. Um aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo 
de um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua 
rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% a.a. como: (a) 
Taxa Efetiva; (b) Taxa Nominal. 
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19
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Para Estudar 
• Mathias e Gomes (2010) 
• Capítulo 4 - Equivalência de Capitais 
• Fazer Exercícios proposta (página 154). 
! 
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. 
Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010. 
20
Gestão Financeira 
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www.facebook.com/AdmFabioLima 
Bibliografia 
• Bibliografia Básica 
• ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São 
Paulo: Atlas, 2012. 
• ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração 
Financeira. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2014. 
• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a 
ed., São Paulo: Atlas, 2010. 
• Hoji, Masakazu. Administração Financeira na prática: guia para para educação 
financeira corporativa e gestão financeira pessoal. 4a ed., São Paulo: Atlas, 2012. 
• Bibliografia Complementar 
• KUHNEN, Osmar Leonardo. Finanças Empresariais. 2a ed., São Paulo: Atlas, 
2008. 
• VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C: 
tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2008. BRUNI, Adriano leal. 
Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, 2010. 
• CRESPO, Antonio Arnot. Matemática Financeira Fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. 
• BOGGIS, George Josep. Matemática Financeira. São Paulo, 2009. 
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  • 1. Grupo da Disciplina: www.facebook.com/groups/gesfin/ Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima Gestão Financeira Taxas Equivalentes Taxas Efetivas 1
  • 2. Taxas Equivalentes - Juros Simples • Duas Taxas são Equivalentes se resultarem em Montantes iguais a partir do mesmo Capital ao final de certo período de tempo. • Em Juros Simples, a Taxa Equivalente é a própria taxa proporcional da operação. • Por Exemplo: a taxa de 3% a.m. e 9% a.t (ao trimestre) são ditas proporcionais, • pois 1/3 = 3/9 • São também equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 2
  • 3. Taxas Equivalentes - Juros Simples Gestão Financeira FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 3) = $ 87.200,00 FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 1) = $ 87.200,00 FV (3% a.m.) = 80mil (1 + 0,03 x 12) = $ 87.200,00 FV (9% a.t. ) = 80mil (1 + 0,09 x 4 ) = $ 87.200,00 www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 3 n = 3 meses n = 12 meses
  • 4. Taxas Equivalentes - Juros Compostos • O conceito enunciado de Taxa Equivalente permanece válido para o regime de Juros Compostos. • A diferença fica por conta da fórmula de cálculo da Taxa de Juros. • Por se tratar de Capitalização Exponencial, a expressão da taxa equivalente composta • É a média geométrica da Taxa de Juros do período inteiro. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 4
  • 5. Taxas Equivalentes - Juros Compostos • Onde: • q = número de períodos de capitalização ! • Por Exemplo, a Taxa Equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é de 1,66%, ou seja: Gestão Financeira = 0,0166 ou: 1,66% a.m. www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 5
  • 6. Taxas Equivalentes - Juros Compostos • Para um mesmo capital e prazo de aplicação, é indiferente (equivalente) o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. • Exemplo: Um capital de $100mil aplicado por anos produz: • Para i = 1,66% e n = 24 meses: • Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 6
  • 7. Taxas Equivalentes - Exemplo • Um banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). • Desta maneira, uma aplicação de $10.000 produz, ao final de 6 meses, o montante de $ 11.200 (10mil * 1,12). • Efetivamente, 12% constituem-se na Taxa de Rentabilidade da operação para o período inteiro de um semestre, e, • em bases mensais, esse percentual deve ser expresso em termos de Taxa Equivalente Composta. • Assim, os 12% de rendimentos determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não de 2% conforme foi anunciado. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 7 ao mês
  • 8. Taxas Equivalentes - Exemplos • Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 8 i 25,00% ao ano q 1 ano 12 meses = 1,877% a.m. i 25,00% ao ano q 1 ano 4 trimestres = 5,737% a.t.
  • 9. Taxas Equivalentes - Exemplos • Explicar a melhor opção: aplicar um capital de $ 60mil à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 9 Considerando, n = 1 ano = $ 72.468,00 = $ 72.468,00 • Produzindo resultados iguais para um mesmo período, • Diz-se que as taxas são Equivalentes. • Portanto, é indiferente, para um mesmo prazo, e para o regime de juros compostos aplicar a 9,9% a.s. ou a 20,78% a.a.
  • 10. Taxas Equivalentes - Exemplos • Demonstrar se a taxa de juros de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para 5 meses. • Calcular também a equivalente mensal composta dessas taxas. • Uma maneira de identificar a equivalência de taxas de juros é apurar o MMC de seus prazos e capitalizá-las para este momento. • Se os resultados forem iguais na data definida pelo MMC, diz-se que as taxas são equivalentes, • pois produzem, para um mesmo capital, montantes idênticos. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 10 para 15 meses • As taxas são equivalentes compostas, pois quando capitalizadas para um mesmo momento, produzem resultados iguais. Taxa Equivalente Mensal (descapitalização)
  • 11. Taxas Equivalentes - Exemplos • Uma aplicação financeira rendeu 11,35% em 365 dias. • Determinar a Taxa Equivalente de retorno para 360 dias. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima = 11,1186% p/ 360 dias 11
  • 12. Taxas Equivalentes - Exemplos • Calcular a taxa de juro que equivale, em 44 dias, a uma taxa anual de 11,2%. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 12 = 1,306% p/ 44 dias
  • 13. Taxas Equivalentes - Exemplos • Uma mercadoria pode ser adquirida com desconto de 7% sobre o seu preço a prazo. • Calcular a Taxa Efetiva mensal de juros que é cobrada na venda a prazo, admitindo um prazo de pagamento de: a) 30 dias b) 40 dias i = 0,0753 (7,53% a.m.) i = 0,0753 (7,53% p/40 dias.) Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 13 i = 5,59% a.m.
  • 14. Taxa Nominal e Taxa Efetiva • A Taxa Efetiva de Juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, • sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. • Taxa Efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. • q representa o número de períodos de capitalização dos juros Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 14
  • 15. Taxa Nominal e Taxa Efetiva • Uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja: • Quando se diz, por outro lado, que uma Taxa de Juros é Nominal, • geralmente, é admitido que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. • Prazo de capitalização dos juros é o período de formação e incorporação dos juros ao principal. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 15
  • 16. Taxa Nominal e Taxa Efetiva • Seja a Taxa Nominal de Juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Os prazos não são coincidentes. • O prazo de Capitalização é de um mês; e; • O prazo a que se refere a Taxa de Juros igual a de 1 ano (12 meses). • Assim, 36% ao ano representa uma Taxa Nominal de juros, • Expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao período de capitalização. • Quando se trata de Taxa Nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples. • A Taxa por período de Capitalização seria de 36%/12 = 3% ao mês (Taxa Proporcional ou Linear). Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 16
  • 17. Taxa Nominal e Taxa Efetiva • Ao Capitalizar-se a Taxa Nominal, • apura-se uma Taxa Efetiva de Juros superior àquela declarada para a operação. • Sendo assim, no exemplo anterior, temos: • Taxa Nominal da operação para o período = 36% ao ano. • Taxa Proporcional Simples (taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês. • Taxa efetiva de Juros: Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 17
  • 18. Taxa Nominal e Taxa Efetiva • Para que os 36% a.a. fosse considerada a Taxa Efetiva, a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da Taxa Equivalente Composta. Taxa Equivalente Mensal de 36% a.a. • Capitalizando-se exponencialmente esta taxa de juros equivalente Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 18 mensal chega-se aos 36% a.a. Taxa Efetiva Anual
  • 19. Taxa Nominal e Taxa Efetiva - Exercícios 1. Um empréstimo no valor de $ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo. 2. A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira. 3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: (a) mensal; (b) trimestral; (c) semestral. 4. Um aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de 42% a.a. como: (a) Taxa Efetiva; (b) Taxa Nominal. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima 19
  • 20. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima Para Estudar • Mathias e Gomes (2010) • Capítulo 4 - Equivalência de Capitais • Fazer Exercícios proposta (página 154). ! • MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010. 20
  • 21. Gestão Financeira www.facebook.com/groups/gesfin/ www.facebook.com/AdmFabioLima Bibliografia • Bibliografia Básica • ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São Paulo: Atlas, 2012. • ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de Administração Financeira. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2014. • MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010. • Hoji, Masakazu. Administração Financeira na prática: guia para para educação financeira corporativa e gestão financeira pessoal. 4a ed., São Paulo: Atlas, 2012. • Bibliografia Complementar • KUHNEN, Osmar Leonardo. Finanças Empresariais. 2a ed., São Paulo: Atlas, 2008. • VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C: tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2008. BRUNI, Adriano leal. Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, 2010. • CRESPO, Antonio Arnot. Matemática Financeira Fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. • BOGGIS, George Josep. Matemática Financeira. São Paulo, 2009. 21