Material de Apoio do livro Matemática Financeira, dos autores Washington Franco Matias e José Maria Gomes, da Editora Atlas.

1. Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
5ª Edição

2. Capítulo 4
EQUIVALÊNCIA
DE
CAPITAIS
Mathias
Gomes

3. Equivalência de
Capitais EXEMPLO
• Data Focal: é a data que se considera como base
de comparação dos valores referidos a datas dife-
rentes.
• Equação de Valor: é a equação que torna possí-
vel igualar capitais diferentes, referidos a datas di-
ferentes, para uma mesma data focal, fixada uma
certa taxa de juros.
• Capitais equivalentes: dois ou mais capitais, com
datas de vencimento determinadas, são equivalen-
tes quando, levados para uma mesma data focal à
mesma taxa de juros, tiverem valores iguais nesta
data.
Mathias
Gomes

4. Exemplo
Certa pessoa tem um nota promissória a receber com valor no-
minal de $ 15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disso,
possui $ 20.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m., du-
rante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do
capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é de
2% a.m., pergunta-se:
a) Quanto possui hoje ?
b) Quanto possuirá daqui a um ano ?
c) Quanto possuirá daqui a dois anos ?
Resolução: Representamos o problema graficamente:
Z
Y
20.000 X
(Meses)
0 12 24
Mathias
Gomes

5. Exemplo
Sejam: x = quantia que possui na data zero.
y = quantia que possuirá na data 12 meses.
z = quantia que possuirá na data 24 meses.
Temos então:
a) Hoje: x = 20.000 + 15.000/(1,02)24 = 20.000 + 9.325,82
Portanto: x = 29.325,82
b) Daqui a 1 ano:
y = 20.000 (1,02)12 + 15.000/(1,02)12
y = 25.364,84 + 11.827,40
y = 37.192,24
Mathias
Gomes

6. Exemplo
c) Daqui a 2 anos:
z = 20.000 (1,02)24 + 15.000
z = 32.168,74 + 15.000
z = 47.168,74
Assim, à taxa considerada, podemos dizer que a pessoa
possui hoje $ 29.325,82. Ela possuirá $ 37.192,24 daqui a um
ano e $ 47.168,74 daqui a 2 anos.
Mathias
Gomes

7. Exemplo
Considere-se o exercício resolvido anteriormente. As expres-
sões de primeiro grau em x, y e z são equações de valor.
Assim, o valor y = 37.192,24, calculado na data focal
12, é composto de duas parcelas: $ 25.364,84, que é o mon-
tante de $ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m.
e $ 11.827,40, que é o valor atual ou valor presente de
$ 15.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m.
O valor z = 47.168,74 foi obtido através de uma equa-
ção de valor, com a qual passamos diretamente da data focal
0 para a data 24.
Podemos pensar em uma nova equação de valor, em
que usemos o valor y = 37.192,44 referido à data focal 12 e,
daí, passemos à data focal 24.
Nestas condições, temos:
z´= 37.192,24 (1,02)12
z’ = 47.168,74
Mathias
Gomes

8. Exemplo
Podemos concluir que, usando a taxa de juros compos-
tos a que se referem as aplicações de capital, as equações de
valor em z e z’ dão resultados iguais. Logo, a solução deste
problema de comparação de capitais no regime de juros com-
postos não depende da data focal considerada.
Mathias
Gomes

9. Exemplo
Consideremos os valores nominais seguintes:
Capital ($) Datas de vencimento (anos)
1.100,00 1
1.210,00 2
1.331,00 3
1.464,10 4
1.610,51 5
Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10%
a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data focal
zero.
Resolução: Calculemos os valores atuais na data zero:
Mathias
Gomes

10. Exemplo
C1 1.100,00
V1 = = = 1.000,00
(1 + i )1
(1,10)1
C2 1.210,00
V2 = = = 1.000,00
(1 + i ) 2
(1,10) 2
C3 1.331,00
V3 = = = 1.000,00
(1 + i ) 3
(1,10) 3
C4 1.464,10
V4 = = = 1.000,00
(1 + i ) 4
(1,10) 4
C5 1.610,51
V5 = = = 1.000,00
(1 + i ) 5
(1,10) 5
Mathias
Gomes

11. Exemplo
Logo, podemos concluir que:
V1 = V2 = V3 = V4 = V5
Como os capitais são equivalentes a esta taxa de juros, isto
quer dizer que o possuidor de dois ou mais destes capitais,
ficará indiferente quanto aos valores nominais. Em outras pa-
lavras, a pessoa fica indiferente a possuir $ 1.100,00 em 1 a-
no ou $ 1.464,10 daqui a 4 anos, desde que a taxa de juros
seja de 10% a.a.
Mathias
Gomes

12. Valor Atual de um Conjunto
de Capitais EXEMPLO
Conjunto de Capitais: é uma carteira de aplicações.
Pode ser caracterizada pelo valor nominal do título
e por sua data de vencimento.
CAPITAL DATA DE
VENCIMENTO
C1 1
C2 2
Cn n
Valor da carteira na data “zero” à taxa de juros “i”:
c1 c2 cn
V= + + ...+
(1+ i) (1+ i)
1 2
(1+ i)n
Mathias
Gomes

13. Exemplo
Consideremos os valores nominais seguintes:
Capital ($) Data de Vencimento (Mês)
1.000,00 6
2.000,00 12
5.000,00 15
Admitindo-se taxa de juros de 3% a.m., pergunta-se
qual o valor atual deste conjunto na data focal zero.
Resolução: A situação é a seguinte:
V
5.000
2.000
1.000
(Meses)
0 6 12 15
Mathias
Gomes

14. Exemplo
Temos, então:
1.000 2.000 5.000
V = 6
+ 12
+
(1,03) (1,03) (1,03)15
V = 837,48 + 1.402,76 + 3.209,31
V = 5.449,55
Podemos concluir que $ 5.449,55 é o valor da carteira
na data zero, à taxa de 3% a.m. Ou seja, se a pessoa vender
a carteira hoje (data zero) por $ 5.449,55, o comprador esta-
rá ganhando uma taxa de 3% a.m.
Mathias
Gomes

15. Conjuntos Equivalentes
de Capitais EXEMPLO
Dados dois conjuntos de valores nominais com
seus prazos contados a partir da mesma data de ori-
gem: 1º Conjunto 2º Conjunto
Capital Data de Capital Data de
vencimento vencimento
C1 m1 C'1 m'1
C2 m2 C'2 m'2
... ... ... ...
Cn mn C'n m'n
Dada uma taxa de juros “i”, os conjuntos são
equivalentes em uma data focal se os seus valores a-
tuais forem iguais:
c1 c2 cn c '1 c' n
+ + ... + = + ... +
(1 + i ) m 1 (1 + i ) m 2 (1 + i ) m n (1 + i ) m '1 (1 + i ) m '1
Mathias
Gomes

16. Exemplo
Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos
à data zero, são equivalentes à taxa de juros de 10% a.a.
1º Conjunto 2º Conjunto
Capital Data de Capital Data de
($) vencimento ($) vencimento
1.100,00 1º ano 2.200,00 1º ano
2.420,00 2º ano 1.210,00 2º ano
1.996,50 3º ano 665,5 3º ano
732,05 4º ano 2.196,15 4º ano
Resolução: Para fazer a comparação dos valores atuais
à taxa dada, escolhemos a data focal zero:
a) 1º conjunto de capitais:
1.100 2.420 1.996,50 732,05
V1 = 1
+ 2
+ 3
+
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 4
Mathias
Gomes

17. Exemplo
V 1 = 1.000,00 + 2.000,00 + 1.500,00 + 500,00
V 1 = 5.000,00
b) 2º conjunto de capitais:
2.200 1.210 665,50 2196,15
V2 = 1
+ 2
+ 3
+
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 4
V 2 = 2.000,00 + 1.000,00 + 500,00 + 1.500,00
V 2 = 5.000,00
Como V1 = V2, concluímos que, à taxa de 10% a.a., os dois
conjuntos são equivalentes. Isto quer dizer que uma pessoa
ficará indiferente entre possuir uma carteira de títulos igual
ao 1º ou ao 2º conjunto, desde que a taxa de juros vigen-
tes no mercado seja 10% a.a.
Mathias
Gomes