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MATEMÁTICA


                            CONJUNTOS - OPERAÇÕES
1. INTRODUÇÃO                                                                        S=∅ ou S={ }
       A noção de conjunto é fundamental em Mate-                 3. OS SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO
mática. Poderíamos considerar um conjunto como
                                                                         É a relação que se faz entre dois ou mais con-
uma reunião de objetos, elementos, coleção, ou um
sinônimo desta palavra, ou dizer que um conjunto é...             juntos e para isso usamos os símbolos: ⊂ )¨(está con-
um conjunto, ora~.                                                tido), ⊃ (contém), ⊄ (não está contido).
       Conceitos como este, isto é, que não são defi-             Exemplo:
nidos, são chamados em Matemática de conceitos
primitivos.                                                                         A         .1
       Um conjunto, em geral, é constituído por ele-                                    .2
mentos, o que também é um conceito primitivo.                                                  B
                                                                                                       .5
Exemplo:                                                                             .3            .6 .4
       Quando peço a alguém dizer as vogais do alfa-
beto, os dias da semana ou as letras da palavra “esco-
la”, terei conjuntos formados por elementos
determinados                                                             Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e
       a) as vogais são: a, e, i, o, u.                           B = {4,5,6} podemos afirmar que:
       b) os dias da semana são: segunda, terça, quar-
                                                                         B ⊂ A (B está contido em A) ou
ta, quinta, sexta, sábado e domingo.
                                                                         A ⊃ B (A contém B) ou
       Existem duas maneiras de representar um con-
                                                                         A ⊄ B (A não está contido em B)
junto: por extensão ou por diagrama.
                                                                         São exemplos de subconjuntos:
           Por extensão: é quando escrevemos todos
                                                                         a) A = {1,2}, B = {1,2,3} , A ⊂ B ,
           os elementos do conjunto, separados por
           vírgula.                                                      b) A = {0,1} , B = {0,1,2,3} , A ⊂ B ,
       Exemplo:                                                          c) A = {a,e,i,} , B = {i,e,a} , A ⊂ B e B ⊂ A .
       A = {a,e,i,o,u}                                                   O exemplo (c) é um caso de igualdade entre
       B = {e,s,c,o,l,a}                                          conjuntos: dois conjuntos A e B são iguais se, e so-
       C = {1,2,3, 4,5}                                           mente se, A ⊂ B e B ⊂ A .
        Por diagrama: é quando escrevemos todos                   4. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
        os elementos do conjunto dentro de uma li-
        nha fechada.                                              Intersecção
      Exemplo:                                                           O conjunto formado pelos elementos que per-
                                                                  tencem a A e, também, pertencem a B é chamado de
                 .a             .s
                                   .e             .1              intersecção entre A e B e é indicado por:
                      .i              .c
    A=     .e              B=      .o      C = .2 .3
            .o        .u         .l .a           .4 .5                                         A ∩B

                                                                         assim, se consideramos                 A = {1,2,3,4}   e
2. CONJUNTOS ESPECIAIS
                                                                  B = {2,3,4,5} , temos:
Conjunto Unitário
      É todo conjunto formado por um único ele-                                         A ∩ B = {2,3,4}
mento.
Exemplo:                                                                em um diagrama:
      Dias da semana que começam com a letra D:
                  S={Domingo}                                                             A                 B
Conjunto Vazio
      É o conjunto que não possui elementos, e re-
presentamos por ∅ ou por { }.
Exemplo:
      Dias da semana que começam com a letra V:                                                A ∩B


Editora Exato                                                17
Observação:                                                 2   Determine A ∩ B ∩ C :
      Se A ∩ B = φ , dizemos que A e B são disjuntos.                 Resolução:
                                                                      Elementos que E (pertencem) a A, B e C:
Reunião                                                                                   A ∩ B ∩ C = {5}
      O conjunto formado por todos os elementos
que pertencem a A ou pertencem a B é chamado Re-
união ou União entre A e B e é indicado por:                                          EXERCÍCIOS
                          A ∪B                                    1   (FMJSP) São dados os conjuntos A = {0,1,2,3} ,
                                                                      B = {2,3, 4} e C = {1,2,3, 4,5,6} . O conjunto X tal
       Assim, se consideramos:           A = {1,2,3,4}   e
B = {2,3,4,5} , temos:
                                                                      que C − X = A ∩ (B ∪ C ) é:
                                                                      a) {1,2}
                  A ∪ B = {1,2,3, 4,5}
                                                                      b) {2,3}
                                                                      c) {4,6}
                                                                      d) {2,3,4}
      em um diagrama:                                                 e) {4,5,6}
                     A              B
                                                                  2   (ACAFE-SC) Se M = {1,2,3,4,5} e N são conjun-
                                                                      tos tais que e M ∪ N = {1,2,3, 4,5} e M ∩ N = {1,2,3} ,
                                                                      então o conjunto N é:
                                                                      a) vazio.
                          A ∪B
                                                                      b) impossível de ser determinado.
Diferença                                                             c) {4,5}.
       O conjunto formado pelos elementos de A que                    d) {1,2,3}.
não pertencem a B é chamado de diferença entre A e                    e) {1,2,3,4,5}.
B e é indicado por:

                          A −B                                    3   (PUC-RS) Se A, B e A ∩ B são conjuntos com
                                                                      90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o
       Assim, se consideramos            A = {1,2,3,4}   e            número de elementos do conjunto A ∪ B é:
B = {2,3,4,5} , temos:
                                                                      a) 10.
                                                                      b) 70.
                      A − B = {1}
                                                                      c) 110.
      em um diagrama:                                                 d) 85.
                                                                      e) 170.
                     A              B

                                                                  4   (UNIFAP) O dono de um canil vacinou todos os
                                                                      seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e
                                                                      60% contra cinomose. O percentual de animais
                                                                      que foram vacinados contra as duas doenças é de:
                          A −B
                                                                      a) 14%.
                                                                      b) 22%.
           EXERCÍCIOS RESOLVIDOS                                      c) 40%.
                                                                      d) 68%.
    Dados os conjuntos A = {1,2,5,6} , B = {1,3,5,7} e
                                                                      e) 70%.
    C = {2,5,7} responda às questões de 01 e 02:

1   Determine A ∩ B
    Resolução:
    Os elementos que E (pertencem) a A e B:
                         A ∩ B = {1,5}




Editora Exato                                                18
5   (PUC) Numa comunidade constituída de 1800
    pessoas, há três programas de tevê favoritos: es-
    porte (E), novela (N) e humorismo (H). A tabela
    a seguir indica quantas pessoas assistem a esses
    programas:

      Programas        Número de Telespectadores
            E                        400
            N                      1220
            H                      1080
         EeN                         220
         NeH                         800
         EeH                         180
        E, N e H                     100
    Através desses dados, verifica-se que o número
    de pessoas da comunidade que não assistem a
    qualquer dos três programas é:
    a) 100.
    b) 200.
    c) 900.
    d) Os dados do problema estão incorretos.
    e) Nenhuma.

                    GABARITO

1   E
2   D
3   C
4   C
5   B




Editora Exato                                           19

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Apostila 001 conjuntos operações

  • 1. MATEMÁTICA CONJUNTOS - OPERAÇÕES 1. INTRODUÇÃO S=∅ ou S={ } A noção de conjunto é fundamental em Mate- 3. OS SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO mática. Poderíamos considerar um conjunto como É a relação que se faz entre dois ou mais con- uma reunião de objetos, elementos, coleção, ou um sinônimo desta palavra, ou dizer que um conjunto é... juntos e para isso usamos os símbolos: ⊂ )¨(está con- um conjunto, ora~. tido), ⊃ (contém), ⊄ (não está contido). Conceitos como este, isto é, que não são defi- Exemplo: nidos, são chamados em Matemática de conceitos primitivos. A .1 Um conjunto, em geral, é constituído por ele- .2 mentos, o que também é um conceito primitivo. B .5 Exemplo: .3 .6 .4 Quando peço a alguém dizer as vogais do alfa- beto, os dias da semana ou as letras da palavra “esco- la”, terei conjuntos formados por elementos determinados Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e a) as vogais são: a, e, i, o, u. B = {4,5,6} podemos afirmar que: b) os dias da semana são: segunda, terça, quar- B ⊂ A (B está contido em A) ou ta, quinta, sexta, sábado e domingo. A ⊃ B (A contém B) ou Existem duas maneiras de representar um con- A ⊄ B (A não está contido em B) junto: por extensão ou por diagrama. São exemplos de subconjuntos: Por extensão: é quando escrevemos todos a) A = {1,2}, B = {1,2,3} , A ⊂ B , os elementos do conjunto, separados por vírgula. b) A = {0,1} , B = {0,1,2,3} , A ⊂ B , Exemplo: c) A = {a,e,i,} , B = {i,e,a} , A ⊂ B e B ⊂ A . A = {a,e,i,o,u} O exemplo (c) é um caso de igualdade entre B = {e,s,c,o,l,a} conjuntos: dois conjuntos A e B são iguais se, e so- C = {1,2,3, 4,5} mente se, A ⊂ B e B ⊂ A . Por diagrama: é quando escrevemos todos 4. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS os elementos do conjunto dentro de uma li- nha fechada. Intersecção Exemplo: O conjunto formado pelos elementos que per- tencem a A e, também, pertencem a B é chamado de .a .s .e .1 intersecção entre A e B e é indicado por: .i .c A= .e B= .o C = .2 .3 .o .u .l .a .4 .5 A ∩B assim, se consideramos A = {1,2,3,4} e 2. CONJUNTOS ESPECIAIS B = {2,3,4,5} , temos: Conjunto Unitário É todo conjunto formado por um único ele- A ∩ B = {2,3,4} mento. Exemplo: em um diagrama: Dias da semana que começam com a letra D: S={Domingo} A B Conjunto Vazio É o conjunto que não possui elementos, e re- presentamos por ∅ ou por { }. Exemplo: Dias da semana que começam com a letra V: A ∩B Editora Exato 17
  • 2. Observação: 2 Determine A ∩ B ∩ C : Se A ∩ B = φ , dizemos que A e B são disjuntos. Resolução: Elementos que E (pertencem) a A, B e C: Reunião A ∩ B ∩ C = {5} O conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou pertencem a B é chamado Re- união ou União entre A e B e é indicado por: EXERCÍCIOS A ∪B 1 (FMJSP) São dados os conjuntos A = {0,1,2,3} , B = {2,3, 4} e C = {1,2,3, 4,5,6} . O conjunto X tal Assim, se consideramos: A = {1,2,3,4} e B = {2,3,4,5} , temos: que C − X = A ∩ (B ∪ C ) é: a) {1,2} A ∪ B = {1,2,3, 4,5} b) {2,3} c) {4,6} d) {2,3,4} em um diagrama: e) {4,5,6} A B 2 (ACAFE-SC) Se M = {1,2,3,4,5} e N são conjun- tos tais que e M ∪ N = {1,2,3, 4,5} e M ∩ N = {1,2,3} , então o conjunto N é: a) vazio. A ∪B b) impossível de ser determinado. Diferença c) {4,5}. O conjunto formado pelos elementos de A que d) {1,2,3}. não pertencem a B é chamado de diferença entre A e e) {1,2,3,4,5}. B e é indicado por: A −B 3 (PUC-RS) Se A, B e A ∩ B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o Assim, se consideramos A = {1,2,3,4} e número de elementos do conjunto A ∪ B é: B = {2,3,4,5} , temos: a) 10. b) 70. A − B = {1} c) 110. em um diagrama: d) 85. e) 170. A B 4 (UNIFAP) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. O percentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças é de: A −B a) 14%. b) 22%. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS c) 40%. d) 68%. Dados os conjuntos A = {1,2,5,6} , B = {1,3,5,7} e e) 70%. C = {2,5,7} responda às questões de 01 e 02: 1 Determine A ∩ B Resolução: Os elementos que E (pertencem) a A e B: A ∩ B = {1,5} Editora Exato 18
  • 3. 5 (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de tevê favoritos: es- porte (E), novela (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas: Programas Número de Telespectadores E 400 N 1220 H 1080 EeN 220 NeH 800 EeH 180 E, N e H 100 Através desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: a) 100. b) 200. c) 900. d) Os dados do problema estão incorretos. e) Nenhuma. GABARITO 1 E 2 D 3 C 4 C 5 B Editora Exato 19