O documento discute conjuntos e suas propriedades. Em três frases ou menos: O documento apresenta os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo definição de conjunto, elementos, pertinência, inclusão e operações entre conjuntos. Explica como representar conjuntos através de listagem dos elementos ou por meio de propriedades comuns a todos os elementos. Discutem conjuntos vazios, unitários e as partes de um conjunto.

1. Teleport Educacional
Preparatório para o ENEM
Aula 1
Conteúdo: Conjunto
Professor (a): Alexandre Sena

2. MATEMÁTICA E SUAS
TECNOLOGIAS• Quem somos?
• De onde viemos?
• Para onde vamos?
• Tem perguntas que nos fazemos quando somos
mais jovens que a nossa vida cuida de sufocar.
• Mas num certo momento, olhamos para dentro de
nós e então, as perguntas voltam com a mesma
força.

3. É a Filosofia onde não há margens para interpretações que
dependa do estado emocional, social, temporal de quem pensa a
respeito. Não abre margem para duvidas, por conta de credo, cor
ou localização geográfica. Raciocínio lógico e abstrato.
Alice's Adventures in Wonderland, frequentemente abreviado
para Alice in Wonderland (Alice no País das Maravilhas) é a
obra mais conhecida de Charles Lutwidge Dodgson, publicada a 4
de julho de 1865 sob o pseudônimo de Lewis Carroll.
Para onde eu vou? Para onde quer ir?

4. O know-how, é o conhecimento prático de como executar alguma tarefa,
ao contrário de know-what (fatos), know-why (ciência), ouknow-
who (comunicação).
Para viver o homem faz conta, ou faz de conta.
Não é possível viver sem know-how!
O homem pensa sobre o seu mundo e a cerca dele mesmo, nesse
ponto entra as quantidades.
Eu tenho comida, tem um, dois, três ou mais animais me
perseguindo?
O que me faz igual a outro ser humano?

5. P A R A C O N S T R U I R U M A C A S A

6. Base, fundação

8. A linguagem escrita pode ser simplificada com os símbolos descritos
nos exemplos a seguir:
- O elemento 1(um) pertence ao conjunto A: 3∈A
- O elemento 3 não pertence ao conjunto A: 3∉A
- Existe algum: ∃∃
- Qualquer que seja: ∀∀
- Tal que: |
- E : 
- Ou : 
Conjuntos importantes:
- Conjunto vazio: não possui nenhum elemento. É representado
por ∅ ou { }.
- Conjunto unitário: possui um único elemento.

9. Conjunto
Teoria dos conjuntos
Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de objetos
chamados elementos e que cada elemento é um dos
componentes do conjunto.
Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra
maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos por letras
minúsculas do nosso alfabeto.

10. Representação dos conjuntos
Enumeração ou listagem dos elementos:
Nesta representação, todos os elementos do conjunto são
representados numa lista, envolvidos por um par de chaves e separados por
ponto e virgula ou por vírgula.
Seja “A” o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
A = {a, e, i, o, u}
Uma propriedade de seus elementos:
É a apresentação de um conjunto por meio de uma listagem de seus
elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos
em que o conjunto apresente uma infinidade de elementos. Para estas
situações, podemos fazer uma apresentação do conjunto por meio de uma
propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes
elementos.
Seja “A” o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
A = {x | x são as vogais do nosso alfabeto}

11. Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número
natural, então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com
uma cardinalidade de n ou número cardinal n.
A = {a, e, i, o, u}
O conjunto A tem número cardinal 5.

12. Diagrama de Venn – Euler:
A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Venn-
Euler é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são
representados por pontos interiores a uma linha fechada e não
entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores a linha
representação elementos que não pertencem ao conjunto
considerado.

13. Relação de Pertinência
Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz
parte de um conjunto A, dizemos que o elementos x pertence ao
conjunto A, indicado por:
Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A,
indicamos:
Obs.: Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos,
necessariamente, relacionando um elemento a um conjunto,
nesta ordem.

14. Consideremos o conjunto A={0; 2; 4; 6; 8}. Indique se
verdadeiro ou falso as sentenças abaixo.
( ) 7  A.
( ) 2  A.

15. Relação de inclusão
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo
elemento que pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos
que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte
simbologia:
Em outra notação para relação de inclusão, temos:
B
A

16. O conjunto A não está contido em B quando existe pelo
menos um elemento de A que não pertence a B.
B
A
Inclusão, estamos necessariamente,
relacionado um conjunto a outro
conjunto.
Se um conjunto A está contido no Conjunto B, dizemos
que A é um subconjunto de B.

17. Tipos de Conjuntos
Conjunto vazio
É o conjunto que não possui elementos.
{ } ou 
Quando vem dentro de um conjunto deve ser tratado
como subconjunto.
A={ { }, 0, 1}

18. Exemplo
Seja o conjunto A={ ;1 ; 2; 3}. São corretas as afirmações:
( )   A
( )   A
( ) A  

19. Conjunto Unitário
É o conjunto formado por um único elemento.
Conjunto dos números primos, pares e positivos.
{ 2 }
Conjunto de satélites naturais da Terra.
{ Lua }
Conjunto da raiz da equação x+5=11.
{ 6 }

20. Conjunto das Partes
Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por
P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Assim o conjunto das partes é o conjunto dos subconjuntos.
Obs.:  é um dos subconjuntos de qualquer conjunto e o
próprio conjunto.
Seja o conjunto A={2; 3; 5} determine o P(A).
vazio { }
Um elemento {2}; {3}; {5}
Dois elementos {2; 3} , {2; 5} , {3; 5}
Três elementos { 2; 3; 5 }
Assim o Conjuntos das partes é
{ ; {2}; {3}; {5} ; {2; 3} , {2; 5} , {3; 5} ; { 2; 3; 5 } }

21. Número de elementos dos conjunto das partes
Podemos determinar o número de elementos do
conjunto das partes de um conjunto A dado, ou seja, o
número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja a
necessidade de escrevermos todos os elementos do
conjuntos P(A).
Assim o número de subconjuntos de A={2, 3, 5}, será:

22. Algumas Operações de Conjunto

24. Número de elementos na relação de conjuntos

27. 0

28. Dizimas simples
É aquela em que a parte periódica vem logo após a vírgula.
0,111; 0,2525; 6,3434
Gerar número racional de uma dizimas:
Colocasse no numerador o período e no denominador tatos noves
quantos forem os algarismos do período, em seguida, simplifica-se.
Após a vírgula, a parte periódica vem depois de uma parte não
periódica.
0,1222 2,1444
Como obter:
Colocamos no numerador a parte não periódica seguida da
parte periódica, menos a parte não periódica. No denominador,
colocamos tantos noves quantos forem algarismos da parte
periódica, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos
da parte não periódica.
Dizimas composta

30. Conjunto dos números reais podem ser associados
biunivocamente com cada ponto de uma reta, estabelecendo o que
nós chamamos de reta real ou eixo real.

31. (UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente,
representados abaixo. Considere a seguinte figura que estes
conjuntos formam.
A região hachurada pode ser representada
por:
a) M ∪ (N ∩ P)
b) M – (N ∪ P)
c) M ∪ (N – P)
d) N – (M ∪ P)
e) N ∪ (P ∩ M)
Solução
Opção (B).
Os elementos da região
hachurada pertencem a
M e não pertencem
a N∪P-N∪P.

32. Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é torcedor
do Flamengo?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é
nascido na cidade do Rio de Janeiro?” 28 levantaram o braço.
Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos
determinar quantos alunos são flamenguistas e cariocas.
Flamenguistas: F
Cariocas: C

33. Das companhias que publicam anúncios nos jornais C, D ou F, sabemos que:
- 30 publicam no C,
- 25 publicam no D,
- 30 publicam no F,
- 10 publicam em C e D,
- 9 publicam em F e D,
- 11 publicam em C e F, e
- 6 publicam em C, D e F.
Considerando estas informações, analise as sentenças a seguir.
0-0) Onze companhias publicam anúncios em exatamente dois dos jornais.
1-1) Dezoito companhias publicam anúncios em pelo menos dois dos jornais.
2-2) Quarenta e três companhias publicam anúncios em um único jornal.
3-3) Sessenta e uma companhias publicam anúncios em pelo menos um dos três
jornais.
4-4) Treze companhias publicam anúncios apenas no jornal D.
O gráfico inclui o número de companhias que publicam anúncios em três jornais, em
dois jornais e em um jornal. Segue do gráfico que: 4 + 5 + 3 = 12 companhias
publicam em exatamente dois dos jornais; 12 + 6 = 18 companhias publicam em
pelo menos dois dos jornais; 12 + 15 + 16 = 43 companhias publicam em um único
jornal; 43 + 12 + 6 = 61 companhias anunciam em pelo menos um jornal; 12
companhias publicam anúncios apenas no jornal D. FVVVF

34. (UFBA – 96) Na questão a seguir escreva
no parêntese a soma dos itens corretos,
considerando os conjuntos:
É verdade que:
A={0,1,2,3,}
B={2}
C={-2,-3}