Este documento contém 10 exercícios sobre funções seno, co-seno e tangente. Os exercícios envolvem resolver equações e condições dessas funções nos intervalos especificados e identificar o número e valores das soluções.

1. Exercícios
Bom estudo.
Cristiana Pedroso Marta - crisfmarta@hotmail.com
Matemática A 11º ano
Funções seno, co-seno e tangente 2
1. Considera a condição sen x = - 0,7. Indica o número de soluções da condição dada pertencentes ao intervalo:
a) [0, 2π];
b)[− 휋 2,휋];
c) [π, 2π|.
2. Considera a condição sen x = 푠푒푛 휋 5.
a) Quantas soluções tem no intervalo [0, 2π]? A que quadrantes pertencem? Quais são essas soluções?
b) Quais os valores do intervalo [− 3휋 2,0] que satisfazem a condição?
3. Resolve as seguintes equações no intervalo [0, 2π]:
a) 2sen x = √3
b) sen x = - sen 휋 8
c) sen2 x – 1 = 0
d) sen2 x – sen x = 0
e) 2sen2 x – 3sen x – 2 = 0
4. Considera a condição 4sen x + 2√3 = 0.
a) Mostra que 240 ⁰ é uma solução.
b) Determina, no sistema sexagesimal, uma expressão geral das soluções da equação.
5. Das seguintes condições, indica, justificando, se alguma é possível em IR.
a) 3cos2 x + 2cos x – 8 = 0.
b) 3cos2 x + 5cos x – 2 = 0.
6. Considera a condição cos x = cos 2휋 7
a) Quantas soluções tem no intervalo [0, 2π]? A que quadrantes pertencem?

2. Exercícios
Bom estudo.
Cristiana Pedroso Marta - crisfmarta@hotmail.com
b) Identifica essas soluções.
7. Indica um intervalo de números reais do tipo [a, b] de modo que a condição cos x = 0,37 tenha nesse intervalo exactamente:
a) Uma solução;
b) Duas soluções;
c) Três soluções.
8. Resolve, em IR, as seguintes equações, indicando valores exactos ou, quando não for possível, valores aproximados às centésimas:
a) √2 cos x + 1 = 0;
b) cos (2x) = - cos 휋 12 ;
c) cos x = sen 2휋 5 ;
d) cos2 (푥+ 휋 3) – 1 = 0
9. Resolve, em IR, as seguintes equações:
a) tg x + √3 = 0;
b) 3 tg x = - √3;
c) tg2 x - 1 = 0;
d) tg x + tg ( 3휋 8) – 1 = 0
10. Considera a condição tg x = 2. Indica o número de soluções da condição dada no intervalo:
a)[− 휋 2, 휋 2];
c) ]− 휋 2,휋].

3. Exercícios
Bom estudo.
Cristiana Pedroso Marta - crisfmarta@hotmail.com
Resolução
1.
a) 2 soluções, no 3º e 4º quadrante.
b) 1 solução.
c) 2 soluções.
2.
a) 2 soluções, nos quadrantes 1 e 2.
x = 휋 2
x = π - 휋 5 = 4휋 5
b) −휋− 휋 5= − 6휋 5
3.
a) x = 휋 3 헏 x= 2휋 3
2sen x = √3 <=> sen x = √32 <=> x = 휋 3
π - 휋 3 = 2휋 3
b) x = 15휋 8 헏 x= 9휋 8
2π - 휋 8 = 15휋 8
π + 휋 8 = 9휋 8
c) x = 휋 2 헏 x= 3휋 2
sen2 x - 1 = 0 <=> sen2 x = 1
d) 0; 휋 2 ; π ; 2π
sen2 x – sen x = 0 <=> sen2 x = sen x

4. Exercícios
Bom estudo.
Cristiana Pedroso Marta - crisfmarta@hotmail.com
e) x = 7휋 6 헏 x= 11휋 6
sen2 x – 3sen x - 2 = 0 <=> sen x = 2 헏 sen x = - 12= 휋 6
π - 휋 6 = 7휋 6
2π - 휋 6 = 11휋 6
4.
a) 4sen x + 2√3 = 0 <=> 4sen x = - 2√3 <=> sen x = - 2√34 <=> sen x = - √32 <=> x = 60 ⁰
x = 240 ⁰ = - 60 ⁰
b) x = α + 2kπ 헏 x = π - α + 2kπ, k ϵ Z <=> x = - 휋 6 + 2kπ 헏 x = - 5휋 6 + 2kπ, k ϵ Z
5.
a) Impossível.
3cos2 x + 2cos x – 8 = 0 <=> cos x = 43 헏 cos x = - 2
b) Possível.
3cos2 x + 5cos x – 2 = 0 <=> cos x = 13 헏 cos x = - 2
6.
a) 2 soluções, nos quadrantes 1 e 4.
b) x = 2휋 7 헏 x= 12휋 7
2π - 2휋 7= 12휋 7
7.
a) [0, π]
b) [0, 2π]

5. Exercícios
Bom estudo.
Cristiana Pedroso Marta - crisfmarta@hotmail.com
c) [− 휋 2,2휋]
8.
a) x = 3휋 4 + 2kπ 헏 x = - 3휋 4 + 2kπ, k ϵ Z
√2 cos x + 1 = 0 <=> √2 cos x = -1 <=> cos x = - 1√2 <=> x = 135 ⁰ <=> x = 3휋 4
b) x = 11휋 24 + 2kπ 헏 x = - 11휋 24 + 2kπ, k ϵ Z
cos (2x) = - cos 휋 12 <=> cos (2x) = cos (휋− 휋 12) <=> cos (2x) = cos ( 11휋 12) <=>
cos (2x) = cos (2 × 11휋 24) <=> cos x = cos ( 11휋 24) <=> x = 11휋 24
c) x = 휋 10 + 2kπ 헏 x = - 휋 10 + 2kπ, k ϵ Z
cos x = sen 2휋 5 <=> cos x = sen ( 휋 2− 휋 10) <=> cos x = cos ( 휋 10)<=> x = 휋 10
d) x = - 휋 3 + kπ, k ϵ Z
cos2 (푥+ 휋 3) – 1 = 0 <=> cos2 (푥+ 휋 3) = 1 <=> cos (푥+ 휋 3) = 1
cos 0 = 1
x + 휋 3 = 0 <=> x = - 휋 3
9.
a) x = - 휋 3 + kπ, k ϵ Z
tg x + √3 = 0 <=> tg x = - √3 <=> x = - 휋 3
b) x = - 휋 6 + kπ, k ϵ Z
3 tg x = - √3 <=> tg x = - √33 <=> x = - 휋 6

6. Exercícios
Bom estudo.
Cristiana Pedroso Marta - crisfmarta@hotmail.com
c) x = 휋 4 + k 휋 2, k ϵ Z
tg2 x - 1 = 0 <=> tg2 x = 1 <=> x = 휋 4 헏 x = - 휋 4
d) x = - 3휋 8 + kπ, k ϵ Z
tg x + tg ( 3휋 8) – 1 = 0
x + 3휋 8 = 0 <=> x = - 3휋 8
10.
a) 1 solução.
b) Não tem soluções.