![2.3 Determine a curva representada pela equação dada.
148442 22
−=−−−− yxyxyx (1)
• Reescrevendo (1) como:
14−=+ KXAXX t
(2); Onde:
−−
−
=
12
22
A
=
y
x
X [ ]84 −−=K
• Autovalores de A :
−=
=
⇒=−−=
−−−
−−
2
3
)(6
12
22
2
12
λ
λ
λλλ
λ
λ
p
• Autoespaço associado a 1λ :
−−
−−
=
−−−
−−
=⋅−
42
21
12
22
)(
1
1
21
λ
λ
λ IA
Soluções do seguinte sistema:
( ) }{ RS ∈−=⇒
−
=⇒=+⇒
=
⋅
−−
−−
ααα
α
ββα
β
α
;,2
2
02
0
0
42
21
• Autoespaço associado a 2λ :
−
−
=
−−−
−−
=⋅−
12
24
12
22
)(
2
2
22
λ
λ
λ IA
Soluções do seguinte sistema:
( ) }{ RS ∈=⇒=⇒=−⇒
=
⋅
−
−
βββ
β
αβα
β
α
;2,
2
02
0
0
12
24
• Substituindo α por 1− e β por 1, encontra-se dois autovetores, 1
→
V
e 2
→
V , associados à 1λ e 2λ , respectivamente:
( )[ ]1;21 −=
→
V ; ( )[ ]2;12 =
→
V
• Normalizando 1
→
V e 2
→
V :
−
=
−
=→
→
5
5
;
5
52
5
1
;
5
2
|||| 1
1
V
V
;
=
=→
→
5
52
;
5
5
5
2
;
5
1
|||| 2
2
V
V
• Definindo P , D e X ′ :
Matriz dos autovetores de A (gera yx ′′ - rotação anti-horária: 0det > ):
−
=
= →
→
→
→
55552
55255
||||
,
|||| 1
1
2
2
V
V
V
V
P ;](https://image.slidesharecdn.com/c-nica2-130817114455-phpapp02/85/C-nica-2-3-1-320.jpg)
![Matriz diagonal dos autovalores (com 1λ e 2λ posicionados de acordo com
os autovetores em P ):
−
==
=
30
02
0
0
1
2
APPD t
λ
λ
;
Matriz X ′ :
XPX ′= , onde:
′
′
=′
y
x
X .
• Substituindo os dados acima em (2):
14)()( −=′+′′=′+′⋅⋅′=′+′⋅′ XKPXDXXKPXAPPXXKPXAPXP tttt
• Voltando à forma não-matricial:
[ ] [ ] 14
55552
55255
84
30
02
−=
′
′
⋅
−
⋅−−+
′
′
⋅
−
⋅′′
y
x
y
x
yx
Realizando as operações:
145432
5
20
32
5
8
5
8
5
16
5
4
32 222222
−=′−′+′−=′−′+′−=′−′+′−′−′+′− xyxxyxyyxxyx
Completando o quadrado:
( )
( )
( ) 24352
143552
143522
145432
22
22
22
22
−=′++′−
−=′+
−+′−
−=′+′+′−
−=′−′+′−
yx
yx
yxx
xyx
• Substituindo ( )5+′x por x ′′ e y′ por y ′′ :
2432 22
−=′′+′′− yx
1
812
22
=
′′
−
′′ yx
• Tem-se uma hipérbole com as seguintes características no sistema de
coordenadas yx ′′′′ :
Focos:
( )0,20 e ( )0,20−
Assíntotas:
xy ′′=′′
4
3
e xy ′′−=′′
4
3](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. 2.3 Determine a curva representada pela equação dada. 148442 22 −=−−−− yxyxyx (1) • Reescrevendo (1) como: 14−=+ KXAXX t (2); Onde: −− − = 12 22 A = y x X [ ]84 −−=K • Autovalores de A : −= = ⇒=−−= −−− −− 2 3 )(6 12 22 2 12 λ λ λλλ λ λ p • Autoespaço associado a 1λ : −− −− = −−− −− =⋅− 42 21 12 22 )( 1 1 21 λ λ λ IA Soluções do seguinte sistema: ( ) }{ RS ∈−=⇒ − =⇒=+⇒ = ⋅ −− −− ααα α ββα β α ;,2 2 02 0 0 42 21 • Autoespaço associado a 2λ : − − = −−− −− =⋅− 12 24 12 22 )( 2 2 22 λ λ λ IA Soluções do seguinte sistema: ( ) }{ RS ∈=⇒=⇒=−⇒ = ⋅ − − βββ β αβα β α ;2, 2 02 0 0 12 24 • Substituindo α por 1− e β por 1, encontra-se dois autovetores, 1 → V e 2 → V , associados à 1λ e 2λ , respectivamente: ( )[ ]1;21 −= → V ; ( )[ ]2;12 = → V • Normalizando 1 → V e 2 → V : − = − =→ → 5 5 ; 5 52 5 1 ; 5 2 |||| 1 1 V V ; = =→ → 5 52 ; 5 5 5 2 ; 5 1 |||| 2 2 V V • Definindo P , D e X ′ : Matriz dos autovetores de A (gera yx ′′ - rotação anti-horária: 0det > ): − = = → → → → 55552 55255 |||| , |||| 1 1 2 2 V V V V P ;
- 2. Matriz diagonal dos autovalores (com 1λ e 2λ posicionados de acordo com os autovetores em P ): − == = 30 02 0 0 1 2 APPD t λ λ ; Matriz X ′ : XPX ′= , onde: ′ ′ =′ y x X . • Substituindo os dados acima em (2): 14)()( −=′+′′=′+′⋅⋅′=′+′⋅′ XKPXDXXKPXAPPXXKPXAPXP tttt • Voltando à forma não-matricial: [ ] [ ] 14 55552 55255 84 30 02 −= ′ ′ ⋅ − ⋅−−+ ′ ′ ⋅ − ⋅′′ y x y x yx Realizando as operações: 145432 5 20 32 5 8 5 8 5 16 5 4 32 222222 −=′−′+′−=′−′+′−=′−′+′−′−′+′− xyxxyxyyxxyx Completando o quadrado: ( ) ( ) ( ) 24352 143552 143522 145432 22 22 22 22 −=′++′− −=′+ −+′− −=′+′+′− −=′−′+′− yx yx yxx xyx • Substituindo ( )5+′x por x ′′ e y′ por y ′′ : 2432 22 −=′′+′′− yx 1 812 22 = ′′ − ′′ yx • Tem-se uma hipérbole com as seguintes características no sistema de coordenadas yx ′′′′ : Focos: ( )0,20 e ( )0,20− Assíntotas: xy ′′=′′ 4 3 e xy ′′−=′′ 4 3
- 3. Gráfico de 148442 22 −=−−−− yxyxyx 1 → V → 2 → V y′ y ′′ x ′′