2.3 Determine a curva representada pela equação dada.
148442 22
−=−−−− yxyxyx (1)
• Reescrevendo (1) como:
14−=+ KXAXX t
(...
Matriz diagonal dos autovalores (com 1λ e 2λ posicionados de acordo com
os autovetores em P ):

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
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
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Gráfico de 148442 22
−=−−−− yxyxyx
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C nica 2.3

  1. 1. 2.3 Determine a curva representada pela equação dada. 148442 22 −=−−−− yxyxyx (1) • Reescrevendo (1) como: 14−=+ KXAXX t (2); Onde:       −− − = 12 22 A       = y x X [ ]84 −−=K • Autovalores de A :    −= = ⇒=−−= −−− −− 2 3 )(6 12 22 2 12 λ λ λλλ λ λ p • Autoespaço associado a 1λ :       −− −− =      −−− −− =⋅− 42 21 12 22 )( 1 1 21 λ λ λ IA Soluções do seguinte sistema: ( ) }{ RS ∈−=⇒ − =⇒=+⇒      =      ⋅      −− −− ααα α ββα β α ;,2 2 02 0 0 42 21 • Autoespaço associado a 2λ :       − − =      −−− −− =⋅− 12 24 12 22 )( 2 2 22 λ λ λ IA Soluções do seguinte sistema: ( ) }{ RS ∈=⇒=⇒=−⇒      =      ⋅      − − βββ β αβα β α ;2, 2 02 0 0 12 24 • Substituindo α por 1− e β por 1, encontra-se dois autovetores, 1 → V e 2 → V , associados à 1λ e 2λ , respectivamente: ( )[ ]1;21 −= → V ; ( )[ ]2;12 = → V • Normalizando 1 → V e 2 → V :                 − =            − =→ → 5 5 ; 5 52 5 1 ; 5 2 |||| 1 1 V V ;                 =            =→ → 5 52 ; 5 5 5 2 ; 5 1 |||| 2 2 V V • Definindo P , D e X ′ : Matriz dos autovetores de A (gera yx ′′ - rotação anti-horária: 0det > ):       − =         = → → → → 55552 55255 |||| , |||| 1 1 2 2 V V V V P ;
  2. 2. Matriz diagonal dos autovalores (com 1λ e 2λ posicionados de acordo com os autovetores em P ):      − ==      = 30 02 0 0 1 2 APPD t λ λ ; Matriz X ′ : XPX ′= , onde:       ′ ′ =′ y x X . • Substituindo os dados acima em (2): 14)()( −=′+′′=′+′⋅⋅′=′+′⋅′ XKPXDXXKPXAPPXXKPXAPXP tttt • Voltando à forma não-matricial: [ ] [ ] 14 55552 55255 84 30 02 −=      ′ ′ ⋅      − ⋅−−+      ′ ′ ⋅     − ⋅′′ y x y x yx Realizando as operações: 145432 5 20 32 5 8 5 8 5 16 5 4 32 222222 −=′−′+′−=′−′+′−=′−′+′−′−′+′− xyxxyxyyxxyx Completando o quadrado: ( ) ( ) ( ) 24352 143552 143522 145432 22 22 22 22 −=′++′− −=′+     −+′− −=′+′+′− −=′−′+′− yx yx yxx xyx • Substituindo ( )5+′x por x ′′ e y′ por y ′′ : 2432 22 −=′′+′′− yx 1 812 22 = ′′ − ′′ yx • Tem-se uma hipérbole com as seguintes características no sistema de coordenadas yx ′′′′ : Focos: ( )0,20 e ( )0,20− Assíntotas: xy ′′=′′ 4 3 e xy ′′−=′′ 4 3
  3. 3. Gráfico de 148442 22 −=−−−− yxyxyx 1 → V → 2 → V y′ y ′′ x ′′

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