Teorema de Bhaskara na 8o s´rie do Ensino Fundamental                           e                    Eduardo Mauricio     ...
Passei pela UNICAMP    Um dia destes eu estava caminhando pelo ciclo b´sico da Universidade quando me deparei             ...
Para o caso de n = 1 temos:                                                     1                                         ...
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Teorema de Bhaskara na 8º série do Ensino Fundamental

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Teorema de Bhaskara

  1. 1. Teorema de Bhaskara na 8o s´rie do Ensino Fundamental e Eduardo Mauricio 17 de maio de 2011 1
  2. 2. Passei pela UNICAMP Um dia destes eu estava caminhando pelo ciclo b´sico da Universidade quando me deparei acom dois amigos. Trocamos id´ias sobre como estava sendo as nossas vidas e um deles me eperguntou se eu sabia como era resolvido a Equa¸˜o de 2o para os alunos da 8o s´rie!!! Para ca eser sincero eu havia acabado de sair do Instito de Matem´tica, Estat´ a ıstica e Computa¸˜o caCient´ıfica(IMECC) e havia visto a aula (um pouco complicada) conhecida como “TeoriaAritm´tica dos N´meros” lecionada pela Professora Dessislava H. Kochloukova e no embalo e un˜o demorei para responder o trivial...”Teorema de Bhaskara“!!!! a Ele sorriu e me lembrou que os alunos de 8o s´rie acabaram de ver assuntos sobre produtos enot´veis(express˜o alg´brica do tipo (a + b)2 ) fatora¸˜o, entre outros assuntos... a a e ca Eu confirmei a sua palavra e lembrei da possibilidade de reduzir a equa¸˜o de 2o grau capara a forma de um produto not´vel e depois desenvolver a express˜o alg´brica. a a e Pensei no seguinte exemplo te´rico: o a.x2 + b.x + c = 0 onde a,b,c ∈ N e x ∈ R Dividindo ambos os lados por a obtemos: a 2 b c 0 .x + .x + = a a a a b c x2 + .x + = 0 a a c Subtraindo a em ambos os lados da igualdade: b c c c x2 + .x + − = 0 − a a a a b c x2 + .x = − a a b2 Somando 4.a2 em ambos os lados da igualdade: b b2 b2 c x2 + .x + 2 = 2 − a 4.a 4.a a b 2 b2 −4.a.c (x + 2.a ) = 4.a2 Note que o lado direito da equa¸˜o esta com uma cara conhecida muito similar ao ca”Teorema de Bhaskara” para melhorar a visualiza¸˜o vamos fazer a seguinte modifica¸˜o: ca ca∆ = b2 − 4.a.c, logo: b 2 ∆ (x + 2.a ) = 4.a2 Lembrando que: A norma euclidiana ou norma-2 ´ dada por: e n 2 x = |xi |2 i=1 2
  3. 3. Para o caso de n = 1 temos: 1 2 x = |xi |2 = |x1 |2 = (x1 )2 i=1 Ou seja, 2 x = |x1 |2 = (x1 )2 (Express˜o I) a Como resolver a Express˜o I quando x1 ∈ R????(Equa¸˜o de 2o logo cont´m duas raizes) a ca e 1 Sabemos que (x1 )2 = x1 .x1 = K ⇒ x1 = (K) 2 , paraK ∈ R Pela Express˜o I temos: |x1 |2 = (x1 )2 a Logo: |x1 |2 = (x1 )2 = K Pela defini¸˜o de m´dulo: ca o x se x>0 |x| = −x se x≤0 Logo: x1 2 se x1 > 0 |x1 |2 = (−x1 )2 se x1 ≤ 0 ou seja, |x1 |2 = K, x1 2 = K se x1 > 0 K = |x1 |2 = (−x1 )2 = K se x1 ≤ 0 Podemos concluir: 1 se x1 > 0 ⇒ x1 2 = K ⇒ x1 = (K) 2 1 1 2 se x1 ≤ 0 ⇒ (−x1 ) = K ⇒ −x1 = (K) 2 ⇒ x1 = −(K) 2 Agora podemos voltar ao nosso problema: b 2 ∆ (x + 2.a ) = 4.a2 1 b ±(∆) 2 x+ = 2.a 2.a b Subtraindo 2.a em ambos os lados da igualdade: 1 b b b ±(∆) 2 x+ − =− + 2.a 2.a 2.a 2.a 1 −b ± (∆) 2 x= 2.a Muito interessante essa solu¸˜o depois disto pensei que os jovens da 8o s´rie poderiam ca eenriquecer mais cultura matem´tica!!!! a 3

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