Vetores - Tratamento Algébrico

1. GEOMETRIA ANALÍTICA
VETORES – Tratamento Algébrico
• Prof.ª Ma. Índia Andréia Costa Siqueira
• india.siqueira@cnp.ifmt.edu.br

2. Tratamento Algébrico
1
v
2
v
t
x
w
u
1
3v
1
2v
 1
4v
1
3v

2
3v
2
2v

2
3v

2
2v
Considere 𝑣1 e 𝑣2 não paralelos de
mesma origem e de mesmo
vértice O.
𝒓𝟏
𝒓𝟐
E 𝑟1 e 𝑟2 contendo os
representantes de 𝑣1
e de 𝑣2.

3. Tratamento Algébrico
1
v
2
v
t
x
w
u
1
3v
1
2v
 1
4v
1
3v

2
3v
2
2v

2
3v

2
2v
Os vetores 𝑢 , 𝑡 , 𝑤 e 𝑥
representados em função de 𝑣1 e
𝑣2
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝑢 = 3𝑣1+ 3𝑣2
𝑡 = -2𝑣1+ 2𝑣2
𝑤 = -3𝑣1 -3𝑣2
𝑥 = 4𝑣1- 2𝑣2

4. • Em geral, dados vetores quaisquer 𝑣1 e 𝑣2 não paralelos , para cada vetor 𝑣
representado no mesmo plano de 𝑣1 e 𝑣2, existe uma só dupla de números
reais 𝑎1 e 𝑎2 tal que:
Tratamento Algébrico
𝒗 = 𝒂𝟏𝒗𝟏 + 𝒂𝟐𝒗𝟐
Diz-se que 𝑣 pode ser escrito como combinação linear de 𝑣1 e 𝑣2
O conjunto 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2 é dito base no plano. Sendo B um conjunto ordenado.
O vetor 𝑣 também pode ser representado por:
𝒗 = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐)𝑩
As bases mais utilizadas são as ortonormais;
Base ortonormal: é a base 𝑒1, 𝑒2 tal que 𝑒1 e 𝑒2 sejam vetores ortogonais e
unitários.

5. Base Canônica
Entre as bases ortogonais existentes, uma é particularmente importante, a base
que determina o sistema cartesiano ortogonal xOy. Os vetores ortogonais nessa
base são representados por 𝑖 e 𝑗.
Os vetores 𝑖 e 𝑗 tem origem no ponto O e extremidades em (1,0) e (0,1)
respectivamente.
Qualquer vetor no plano pode ser escrito como combinação linear deles dois.
Sendo assim:
)
1
,
0
(
)
0
,
1
(


j
i j
i

6. Base Canônica
Dado um vetor 𝑣 qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal
que:
j
y
i
x
j
y
i
x
v 

j
i
o
y
x
v

7. Base Canônica
O Vetor 𝑣 será também representado por:
O Par (x,y) é chamado expressão analítica
de 𝑣
)
,
( y
x
v 
)
0
,
0
(
0
)
0
,
4
(
4
)
3
,
0
(
3
)
5
,
3
(
5
3








i
j
j
i

8. Vetores
• Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) são iguais se, e somente se,
x1 = x2 e y1 = y2, escrevemos 𝑢 = 𝑣
Igualdade entre vetores:
Operações entre vetores:
• Sejam vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) e 𝛼 ∈ ℝ. Define-se:
1. 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
2. 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)

9. Adição Multiplicação por escalar
Operações entre Vetores
𝑥2 𝑥1 𝑥1 + 𝑥2
𝑦1
𝑦2
𝑦1 + 𝑦2
𝑢
𝑣
𝑢 + 𝑣
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑢
𝛼𝑢
𝑦1
𝑥1 𝛼𝑥1
𝛼𝑦1
𝑂
𝑂

10. Exercícios
1. Dados os vetores 𝑢 = (2, −3) e 𝑣 = (−1,4), determinar:
a)
b)
v
u 2
3 
v
u 2
3 
3. 2, −3 + 2 −1, 4
6, −9 + −2, 8 = (4, −1)
3. 2, −3 − 2 −1, 4
6, −9 − −2, 8 = (8, −17)

11. Exercício
O vetor 𝑢 = (𝑥 + 1, 4) é igual ao vetor 𝑦 = (5, 2𝑦 − 6)determine x e y.
x + 1, 4 = 5, 2y − 6
x + 1 = 5
x = 5 − 1
x = 4
4 = 2y − 6
4 + 6 = 2y
10 = 2y
y = 5

12. Exercícios
2. Determinar o vetor na igualdade
Sendo : e
)
1
,
3
( 

u
x x
v
u
x 


2
1
2
3
)
4
,
2
(

v
3𝑥 − 𝑥 = −2𝑢 +
1
2
𝑣
2𝑥 = −2𝑢 +
1
2
𝑣
𝑥 = −𝑢 +
1
4
𝑣
𝑥 = −(3, −1) +
1
4
(−2,4)
𝑥 = (−3,1) + (−
1
2
, 1)
𝑥 = (−
7
2
, 2)
𝑥 = −𝑢 +
1
4
𝑣

13. 3. Encontrar os números a1 e a2 tais que 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 , sendo 𝑣 = (10,2),
𝑣1 = (3,5) e 𝑣2 = (−1,2)
10,2 = 𝑎1 3,5 + 𝑎2(−1,2)
10,2 = (3𝑎1, 5𝑎1) + (−1𝑎2, 2𝑎2)
10,2 = (3𝑎1, 5𝑎1) + (−1𝑎2, 2𝑎2)
Exercícios
10,2 = (3𝑎1−1𝑎2, 5𝑎1 + 2𝑎2)
3𝑎1 − 1𝑎2 = 10
5𝑎1 + 2𝑎2 = 2
6𝑎1 − 2𝑎2 = 20
5𝑎1 + 2𝑎2 = 2
(2)
11𝑎1 = 22
𝑎1 = 2
5𝑎1 + 2𝑎2 = 2
5.2 + 2𝑎2 = 2
10 + 𝑎2 = 2
𝑎2 = −8

14. Vetor definido por dois
pontos
• Considere o vetor 𝐴𝐵de origem no ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1) extremidade em B(𝑥2, 𝑦2)
.
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
y
y
x
x
AB
y
x
y
x
AB
OA
OB
AB
OB
AB
OA
y
x
OB
y
x
OA











A
B
AB 

B
A
O

15. Vetor posição ou
Representante Natural
• Um vetor tem infinitos representantes;
• Um representante tem o mesmo módulo,
mesma direção e mesmo sentido do vetor
considerado;
• O vetor representante que melhor
representa um vetor 𝐴𝐵 é aquele que tem
origem em O (0,0) e extremidade em P
(𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1)
• Esse vetor 𝑣 = 𝑂𝑃 é chamado vetor
posição ou representante natural;
𝐴(𝑥1, 𝑦1)
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
𝑃(𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1)
𝑂
𝑥
𝑦

16. Se tivermos:
𝑣 = 𝐴𝐵 ou 𝑣 = 𝐵 − 𝐴
Podemos também concluir que:
B = A + 𝑣 ou B = A + 𝐴𝐵
Isto é, o vetor 𝑣 “transporta” o
ponto inicial A para o ponto extremo
B.
A palavra “Vetor” vem do latim
“Vehere” que significa transportar.
Curiosidade
1 2 3 4
1
2
3
– 2
4
𝐵(1,4)
𝐴(−2,3)
𝐶(1,2)
D(4,3)
𝑃(3,1)
𝑂
𝑣
𝑥
𝑦

17. Vértices de um
triângulo
Os vértices do triângulo abaixo são os pontos
𝐴 4,1 , 𝐵 5,3 e 𝐶 3,5 .
Os vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são:
𝑢 = 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (1,2)
𝑣 = 𝐵𝐶 = 𝐶 − 𝐵 = (−2,2)
𝑤 = 𝐶𝐴 = 𝐴 − 𝐶 = (1, −4)
Observe ainda que:
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 0
1
1
2 3 4 5
2
3
4
5
– 1
– 2
– 1
– 2
– 3
– 4
𝑥
𝑦
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝑢
𝑢
𝑣
𝑣
𝑤
𝑤

18. Exemplo
1. Dados os pontos A(–1,2), B(3, –1) e C(–2, 4), determinar o ponto D de modo
que 𝐶𝐷 =
1
2
𝐴𝐵
D − C =
1
2
(𝐵 − 𝐴)
𝑥𝐷, 𝑦𝐷 − −2,4 =
1
2
[ 3, −1 − −1,2 ]
𝑥𝐷 + 2, 𝑦𝐷 − 4 =
1
2
(4, −3)
𝑥𝐷 + 2, 𝑦𝐷 − 4 = (2, −
3
2
)
𝑥𝐷 + 2 = 2
𝑥𝐷 = 0
𝑦𝐷 − 4 = −
3
2
𝑦𝐷 = −
3
2
+ 4
𝑦𝐷 =
5
2
O ponto D é (𝟎,
𝟓
𝟐
)

19. • Seja o segmento de extremos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) e 𝐵(𝑥2, 𝑦2) e 𝑀(𝑥, 𝑦) o ponto
médio de 𝐴𝐵, podemos expressar de forma vetorial como:
𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 Ou 𝑥 − 𝑥1, 𝑦 − 𝑦1 = (𝑥2 − 𝑥, 𝑦2 − 𝑦)
E daí
𝑥 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑦 − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦
2𝑥 = 𝑥2 + 𝑥1 2𝑦 = 𝑦2 + 𝑦1
𝑥 =
𝑥2+𝑥1
2
𝑦 =
𝑦2+𝑦1
2
Então:
𝑀
𝑥2 + 𝑥1
2
,
𝑦2 + 𝑦1
2
Ponto médio de um
segmento
𝐴
𝑂
𝑥
𝑦
𝐵
𝑀

20. • Vimos que, se dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 são paralelos,
existe um número real 𝛼 tal que 𝑢 = 𝛼𝑣, ou seja,
𝑥1, 𝑦1 = 𝛼 𝑥2, 𝑦2
𝑥1, 𝑦1 = 𝛼𝑥2, 𝛼𝑦2
Pela condição de igualdade
𝑥1 = 𝛼𝑥2 e 𝑦1 = 𝛼𝑦2
𝛼 =
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
Ou seja, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem
proporcionais.
Paralelismo de dois
vetores

21. Módulo de um vetor
Seja o vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦). Pelo Teorema de Pitágoras, vem:
Observações:
a) Distância entre dois pontos
b) Vetor Unitário.
é o versor de 𝑣
e é versor de 𝑣
2
2
y
x
v 

v
v
v :
2
1
2
2
1
2
)
,
( )
(
)
( y
y
x
x
d A
O 



v
y
y
x
x
o
A
v
v


22. Exercício
1. Calcule o versor de 𝑣 = (3, −4):
Resolução:
𝑢 =
𝑣
𝑣
𝑢 =
(3, −4)
32 + (−4)2
𝑢 =
(3, −4)
25
𝑢 =
(3, −4)
5
𝑢 =
3
5
, −
4
5
O versor na verdade é um vetor unitário
3
5
2
+ −
4
5
2
9
25
+
16
25
25
25
1

23. Exercício
2. Dados os pontos e os vetores e
Determinar:
a)
b)
c)
3) A distância entre os pontos A e B.
)
3
,
1
(

u
)
1
,
2
( 
A
u
v
u 
v
u 3
2 
)
4
,
1
(
B
)
1
,
2
( 


v
(−1)2+32 ⇒ 1 + 9 ⇒ 10
𝑢 + 𝑣 = −3,2 ⇒ −3 2 + 22 ⇒ 9 + 4 ⇒ 13
2𝑢 − 3𝑣 = 4,9 ⇒ 42 + 92 ⇒ 16 + 81 ⇒ 97
𝐵 − 𝐴 = −3,6 ⇒ −3 2 + 52 ⇒ 9 + 25 ⇒ 34

24. 3 – Dado o vetor 𝒗 = −𝟐, 𝟏 , achar o vetor paralelo a 𝒗 que tenha:
a) O mesmo sentido de 𝒗 e três vezes o módulo de 𝒗:
b) Sentido contrário ao de 𝒗 e a metade do módulo de 𝒗:
c) O mesmo sentido de 𝒗 e módulo 4:
d) Sentido contrário ao de 𝒗 e módulo 2:
Exercício
a) Basta multiplicar o vetor por 3 ⇒ 𝟑 −𝟐, 𝟏 = (−𝟔, 𝟑)
b) Basta multiplicar o vetor por −
𝟏
𝟐
⇒ −
𝟏
𝟐
−𝟐, 𝟏 = (𝟏, −
𝟏
𝟐
)
c) Vetor unitário:
𝒗
𝒗
⇒
(−𝟐,𝟏)
−𝟐 𝟐+𝟏𝟐
⇒
(−𝟐,𝟏)
𝟒+𝟏
⇒
(−𝟐,𝟏)
𝟓
⇒ −
𝟐
𝟓
,
𝟏
𝟓
versor de 𝒗
Vetor paralelo: 𝟒 −
𝟐
𝟓
,
𝟏
𝟓
= −
𝟖
𝟓
,
𝟒
𝟓
d) Vetor paralelo: −𝟐 −
𝟐
𝟓
,
𝟏
𝟓
=
𝟒
𝟓
, −
𝟐
𝟓

25. Perguntas???