Áeas de Figuras Planas, Ângulos na Circunferência e Teorema de Tales

PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

1
EM_V_MAT_027
Área de
figuras planas,
ângulos na
circunferência e
Teorema de Tales
O cálculo das áreas de figuras planas é uma
ferramenta muito utilizada na Engenharia e na Arqui-
tetura, pois a maioria das plantas precisa do cálculo
de áreas para melhor compreensão do tamanho da
obra. No dia-a-dia também é muito utilizada na co-
locação de azulejos, pois a compra é dada por uma
unidade de área.
Retângulo
S = b . h
A diagonal do retângulo o divide em duas
partes iguais.
Quadrado
S = 2

2
EM_V_MAT_027
Paralelogramo
S = b . h
Demonstração:``
S1
+ S2
= b . h
Triângulo
=
b . h
S
2
Demonstração:``
+ =
+ =
1 2
1 2
2S 2S b . h
b . h
S S
2
Trapézio
=
(B+b) . h
S
2
Demonstração:``
=
−
(B+b) . h
S b . h+
2
2bh+Bh bh
S=
2
+
=
+
=
(Bh bh)
S
2
(B h) . h
S
2
Losango
=
d.D
S
2

3
EM_V_MAT_027
Demonstração:``
+ + + =
+ + + =
1 2 3 4
1 2 3 4
2S 2S 2S 2S d . D
d . D
S S S S
2
Círculo
S = R2
Circunferência é a região externa ao círculo e
o seu comprimento é dado pela fórmula 2pR.
Demonstração:``
p
= = p 22 R . R
S R
2
Setor circular
a
a a
= =
°
2
2 . R
S R ou S
360 2
, para α em radianos.
Exemplo:``
Para α = 60° temos
2
260 R
S R S
360 6
° p
= p → =
°
Coroa circular
S = R2
– r2
S = (R2
– r2
)
Casos particulares
Triângulo equilátero
=
 3
S
4

4
EM_V_MAT_027
Triângulo qualquer
a
=
a . c . sen
S
2
Dado que o perímetro (2p) é igual a a + b + c,
também temos outra relação:
2p = a + b + c
+ +
=
a b c
p
2
= − − −S p(p a)(p b)(p c)
Triângulo circunscrito
+ +
=
a b c
p
2
S = p . r
Triângulo inscrito
=
a . b . c
S
4r
Divisão de lados de um
triângulo em partes
proporcionais
SABC
=
b . h
2
SABC
= SACD
= SADE
= SAEF
Ao girar o triângulo ABF, podemos notar que as
áreas continuam iguais.
Razão entre áreas semelhantes
1 S1

5
EM_V_MAT_027
2
 
=   


2
1 1
2 2
S
S
Q1
e Q2
são quadrados:
1 2
Errado
= → = → = → =
 
 
1 1 Q1 Q1
Q2 Q1
2 2 Q2 Q2
S S S 1
S 2 . S
S S 2 S 2
Certo
   
= → = → = → =     
 
 
2 2
1 1 Q1 Q1
Q2 Q1
2 2 Q2 Q2
S S S 1
S 4 . S
S S 2 S 4
Circunferência
É o lugar geométrico dos pontos cuja distância
(raio) a um ponto fixo é constante (o centro da cir-
cunferência).
Círculo
O lugar geométrico dos pontos cuja distância
a um ponto fixo (centro) é menor (ou igual) que um
número real fixo (raio).
G
O
S
A
E
D
C
B
r
F
Raio
Segmento que une o centro a um ponto da cir-
cunferência (OD, AO, OB).
Corda
Segmento que une dois pontos da circunferência
( CE e AB).
Arco
Uma parte da circunferência (EC ou EDC).
Diâmetro
É uma corda que corta o centro da circunferência
(AB é a maior corda).
Flecha
Segmento que o une o ponto médio da corda à
circunferência, formando um ângulo reto (FD).
Secante
Reta que passa por exatamente 2 pontos da
circunferência (

s ).
Tangente
Reta que passa por apenas 1 ponto da circun-
ferência (

r ).
Arcos e ângulos
Ângulo central
É o ângulo que tem o vértice no centro da cir-
cunferência.

6
EM_V_MAT_027
A medida do ângulo central é igual à medida
do arco correspondente.
A B
α
ο
= AB
Ângulo inscrito
É o ângulo que tem vértice na circunferência.
A medida do ângulo inscrito é igual à metade
do arco correspondente.
A
αV
B
=
AB
2
Ângulo do segmento
É o ângulo que tem o vértice na circunferência
e cujos lados são formados por uma secante e uma
tangente.
A medida do ângulo de segmento é igual a
metade do arco correspondente.
A
α
B
=
AB
2
Ângulo excêntrico interior
São ângulos formados pelo cruzamento de duas
secantes no interior da circunferência, não necessa-
riamente no centro.
A medida desses ângulos é igual a semissoma
dos arcos determinados pelos seus lados.
B C
A D
α
β
 
 
+
α =
+
β =
AB CD
2
AD BC
2
Ângulo excêntrico exterior
É o ângulo formado por duas secantes que se
cruzam num ponto externo à circunferência.
A medida do ângulo é igual ao módulo da semi-
diferença dos arcos determinados pelos seus lados.
B
C
A
D
α P
 −
α =
CD AB
2
Todo quadrilátero inscritível tem a soma dos
ângulos opostos igual a 180º.
D B
A
C
^A + ^C = ^B + ^D = 180º
Retas paralelas compreendem arcos de me-
didas iguais.
A D
C
B
r
s
r//s
AB = CD
O raio é perpendicular à tangente no ponto
de tangência.
O
Q
r = tangente
OQ = raio
OQ = ⊥ r

7
EM_V_MAT_027
Duas tangentes traçadas do mesmo ponto
possuem medidas iguais.
A
B
P
PA = PB
Posições relativas de duas
circunferências
d = distância entre os centros.
Exteriores
d > R + r
d
O O’
Tangentes exteriores
d = R + r
d
O
O’
Secantes
R – r < d < R + r
O
d
O’
Tangentes interiores
d = R – r
O
d
O’
Interiores
d < R – r
O O’
Concêntrica
d = 0
O ≡ O’
Lei Linear de Tales
As linhas proporcionais foram muito utilizadas
por Tales para realizar a medição de algumas distân-
cias de pontos localizados em lugares muito altos,
de difícil acesso, ou da proa do navio em relação ao
cais, assim criando o seu teorema.
Um feixe de retas paralelas cortadas por retas
secantes determina sobre as secantes segmentos
proporcionais.
a1
a2
a3
an
bn
b1
b2
b3
r1
r4
r3
r2
rn+1
Para, r1
// r2
// r3
// r4
//... // rn + 1
temos:
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
a a a a a a ...
... K
b b b b b b ...
+ + +
= = = = =
+ + +
K = constante de proporcionalidade.
Ao traçarmos uma reta paralela a um dos lados
de um triângulo, ela divide os outros dois lados em
segmentos proporcionais.
A
E D
B C
AE EB AB
K
AD DC AC
= = =

8
EM_V_MAT_027
Teorema das Bissetrizes
Bissetriz interna
A bissetriz de um ângulo interno do triângulo
divide o lado oposto em segmentos que são propor-
cionais aos lados do ângulo que foi dividido.
Demonstração:``
Traçando PC tal que:
A
B C
M
P
α
α
αα
AM // PC
AB AP
, como AP AC
BM MC
= =
temos:
AB AP
BM CM
=
b
m n
cθ θ
A
B CM
b c
m n
=
Bissetriz externa
A bissetriz de um ângulo externo de um triângu-
lo divide externamente o lado oposto em segmentos
proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido.
Demonstração:``
Traçando CP, tal que:
A
B
C
M
P
α
α
α
α
AM // PC
AB AP
BM CM
= , como AP // AC
Temos: AB AC
BM CM
=
m n
b
α
c α
b c
m n n
=
+
Potência de pontos
O estudo da potência de um ponto está direta-
mente relacionado com a posição do ponto no interior
ou exterior de uma circunferência dada. Também é
muito utilizado em construções trigonométricas.
Ponto P no interior da circunferência:
1.° Caso
Cordas: AA’, BB’, CC’
Ponto P no exterior da circunferência:
2.° Caso
Secantes: PB’, PC’, PD’
Tangentes: PA, PE
Observando a posição do ponto P, reparamos
que no primeiro caso ele foi a interseção de cordas,
enquanto no segundo caso o ponto foi a interseção
de secantes e tangentes.

9
EM_V_MAT_027
Ao destacarmos duas cordas com interseção em
P, podemos obter a seguinte relação:
O produto das partes de uma corda é igual ao
produto das partes da outra corda.
∆PAB’
~ ΔPA’B
PA
PB
= PB’
PA’
(PA.PA’ = PB.PB’)
Ao destacarmos duas secantes com interseção
em P, podemos obter a seguinte relação:
O produto da secante por sua parte exterior
é igual ao produto da outra secante por sua parte
exterior.
∆PB’D
~ ΔPBD’
PD
PB
= PB’
PD’
(PB.PB’ = PD.PD’)
Ao destacarmos uma secante e uma tangente
com interseção em P, obtemos a seguinte relação:
O quadrado da tangente é igual ao produto da
secante por sua parte exterior.
∆PAC
~ ΔPAC’
PC
PA
= PA
PC’
(PA2
= PC.PC’)
Podemos observar que, se duas tangentes
concorrem de um mesmo ponto P, elas terão me-
didas iguais.
PA = PC
Teorema de Pitot
Em todo quadrilátero convexo circunscrito a
uma circunferência, a soma de dois lados opostos é
igual à soma dos outros dois lados opostos.
AB+CD=AD+ BC

10
EM_V_MAT_027
Demonstração:``
AB = x + y
CD = z + w
AB + CD = x + y + z + w
AD = x + w
BC = y + z
AD + BC = x + w + y + z
O quadrado ABC da figura tem 4cm de lado, calcule a1.
área da região hachurada.
Solução:``
∆= −
p
= −
p
= −

c
1 ACD
2 2
1
2
1
S
S S
4
R
S
4 2
.4 4.4
S
4 2
= p −
= p −
→ = p −
1
1
2
2
F 1 F
S 4 8
S 4( 2 )cm
Logo S = 2S S 8( 2 )cm
Ache a razão entre a área do retângulo ABCD e do2.
retângulo BDEF, na figura.
Solução:``
= +
= +
+
= =
+
ABCD 1 2
BDEF 1 2
ABCD 1 2
BDEF 1 2
S 2S 2S
S 2S 2S
S 2S 2S
Logo 1
S 2S 2S
Calcule a área da região hachurada na figura, sendo os3.
círculos concêntricos, com a corda AB do círculo maior
tangente ao menor, valendo 10cm.
M = Ponto médio de AB

11
EM_V_MAT_027
Solução:``
R0
= r2
+ 52
R2
– r2
= 25
Como SF
= π (R2
– r2
)
SF
= 25πcm2
João pretende escolher entre dois muros para pintar4.
ganhando a mesma quantia em ambos. O muro A tem
base 20% maior que a base do muro B e altura 20%
menor do que a altura do muro B. Qual a melhor escolha,
entre os muros, que João pode fazer? Justifique.
Solução:``
Muro B: altura = h e base = b
Muro A: altura = 0,8 h e base = 1,2b
Área B = b . h
Área A = 1,2 b . 0,8 h = 0,96b . h
Área de A < Área de B. Logo o muro A é o mais vanta-
joso para o João.
A área do triângulo ABC vale S, calcule a área da região5.
hachurada, se CD = DE = EA e BF = FD.
Solução:``
= =
= = =
ABC
BDE
BDE
BDF
S S
S
3 3
S
S S3S
2 2 6
A área do quadrilátero ABCD da figura vale 32cm6. 2
.
Calcule a área da região hachurada, se M e N são
pontos médios.
Solução:``
2S1
+ 2S2
= 32
S1
+ S2
= 16m2
A área do triângulo ABC da figura vale k, calcule a área7.
do trapézio BCDE em função de k.

12
EM_V_MAT_027
Solução:``
 
=   
=
=
2
AED
ABC
AED
AED
S 2x
S 3x
S 4
k 9
4k
S
9
= −
= −
=
BCDE ABC AED
BCDE
BCDE
S S S
4k
S k
9
5k
S
9
Um aluno pegou uma figura geométrica de área igual a k,8.
em formato de um retângulo com diagonal d. Tirou uma
cópia com redução da figura e a nova diagonal passou a
valer d/3. Calcule a nova área em função de k.
Solução:``
=
 
=   


1 1
2 2
2
2
S
S
k d
S d / 3
=
=
2
2
k
9
S
k
S
9
No círculo da figura a corda9. BC é paralela ao diâmetro
AD. Se A^EB vale 20°, calcule o ângulo B^CO.
D
B
A
α
E
C
o
Solução:``
D
B
A
α
E
C
o
40º
20º
α
Como BC // AD, os arcos AB e CD são côngruos,
assim α = 40º.
Os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência.10.
Determine o valor de α na figura.
A
EB
C D
α30º
100º
Solução:``
A
EB
C D
αα
30º
80º
100º
Como ABCE é um quadrilátero inscrito na circunferência,
^A + ^C = 180º, assim ^C = 80º. Logo:
α + 30º + 80º = 180º
α= 70º
Na figura, O é o centro da circunferência e SR é igual11.
ao raio desta. Calcule α em função de β.
R P
T
S
β
α
O
Q
Solução:``
R P
T
S
β α
OQ
β
2β
αα = β β+ 2ββ
αα = 3ββ
O diagrama abaixo representa a distribuição da popula-12.
ção de uma cidade pela sua renda familiar. Os ângulos
centrais dos setores divididos são proporcionais a 1, 3, 4
e 7. As maiores rendas são destinadas ao menor número
de pessoas. Determine o percentual de pessoas com
renda acima de 20 salários mínimos.
Abaixo de 5
salários mínimos
Entre 5 e 10
salários mínimos
Acima de 20
salários mínimos De 10 a 20
salários mínimos
Solução:``
Como os ângulos centrais são proporcionais a 1, 3, 4 e
7, temos:
α + 3αα + 4αα + 7αα = 360º
5αα = 360º
α = 24º
Assim, temos:
360º _________ 100%
24º_________ x
360 x = 24 . 100
x =
24.100
360
x = 6.66%

13
EM_V_MAT_027
Calcule x, se as retas r, s e t são paralelas:13.
u v
r
s
t
x
8
12
6
Solução:``
A figura acima é equivalente a:
uv
r
s
t x
812
6
12 x
8 6
8x 72
x 9
=
=
=
No triângulo ABC da figura,14. AB // EF //DG e os seg-
mentos CD, DE, EF são proporcionais a 1, 2 e 3. Se BC
vale 12cm, calcule FG.
Solução:``
A
B
E
G
F
D
C
3x 2x
y
x
12
= → =
= =
12 y
6 x . y 12 . 2x
6 x 2x
24x
y 4
6 x
O perímetro de um triângulo ABC é 25cm. Sabendo que15.
AB = 4cm e AC = 6cm, calcular os segmentos determi-
nados pela bissetriz interna de A no lado oposto.
Solução:``
A
B CM
4
αα 6
x y
x + y + 4 + 6 = 25
x + y = 15
4 6
x y
4y 6 x
3x
y
2
=
=
=
+ =
= → = =
3x
x 15
2
5x 30 x 6 e y 9
Na figura, O é o centro da circunferência com16. AB CD.
Calcule o raio da circunferência se CE = 4cm e OE=
2cm.
D
B
Solução:``
x – 2
Raio = x
(x + 2) (x – 2) = 4 . 4
x2
– 4 = 16,
x2
= 20 x = 2 5 cm

14
EM_V_MAT_027
Na figura,17. PT é tangente da circunferência de raio r.
Sabendo-se que PT = 2r, calcule o valor de PB.
Solução:``
x (x + 2r) = (2r)2
x2
+ 2rx = 4r2
x2
+ 2rx – 4r2
= 0
x – r – r 5 → não pode, por ser menor que zero.
– r + r 5
x = r ( 5 – 1 )
Na figura,18. PA = 15cm. Calcule o perímetro do triângulo
PRS, se PA , PB e RS são tangentes.
B
Solução:``
PA = PB = 15
B
2PPRS
= 15 – x + 15 – y + x + y
2PPRS
= 30cm
João tem uma horta em formato circular e a cercou19.
com arame tangenciando, construindo um triângulo
conforme a figura.
Calcule a quantidade de metros usados por João para
cercar a horta se algumas medidas já estão ilustradas.
v
Solução:``
ou seja: 8 + 10 + 12 = 30m
(UFF) Considere o triângulo PMN, retângulo em M,1.
representado na figura a seguir.
A área, em cm2
, do triângulo obtido, unindo-se os pontos
médios de ,PM MN e NP , é:
4a)
6b)
12c)
20d)
24e)
(UERJ) O decágono da figura a seguir foi dividido em 92.
partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2
triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes
ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos.

15
EM_V_MAT_027
Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área
do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono
é equivalente a:
14T + 3Qa)
14T + 2Qb)
18T + 3Qc)
18T + 2Qd)
(UFF) Determine a área da coroa circular da figura abai-3.
xo, sabendo-se que o segmento PQ , medindo 8cm, é
tangente à circunferência menor no ponto T.
8a) pcm2
16b) pcm2
24c) pcm2
32d) pcm2
(PUC) Triplicando-se o raio de uma circunferência:4.
a área é multiplicada por 9a) p.
o comprimento é multiplicado por 3b) p.
a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3.c)
a área e o comprimento são ambos multiplicadosd)
por 3.
a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9.e)
(Unirio) A figura representa um hexágono regular.5.
Calcule a área da região sombreada.
(Unicamp) Quantos ladrilhos de 20cm por 20cm são6.
necessários para ladrilhar um cômodo de 4m por 5m?
(Unirio) A área da região hachurada, na figura a seguir,7.
onde ABCD é um quadrado e o raio de cada circunfe-
rência mede 5cm, é igual a:
2
25(4 )
2
cmp−
a)
25(b) p – 2) cm2
25(4 –c) p) cm2
25 2
2
2
( )π − cmd)
5 4
4
2
( )−π cm
e)
Se o lado de um quadrado aumenta de 20%, sua área8.
aumentará de:
10%a)
20%b)
40%c)
44%d)
50%e)
(Cesgranrio) A base de um retângulo de área S é au-9.
mentada de 20% e sua altura diminuída de 20%. A área
do novo retângulo formado é:
1,04Sa)
1,02Sb)
Sc)
0,96Sd)
0,98Se)
(UFF) Duas circunferências de raios iguais a 2cm e uma10.
reta tangenciam-se em três pontos distintos.
O valor da área delimitada pelas circunferências e pela
reta é igual a:
2(4 –a) p)cm2
2(5 –b) p)cm2
2(6 –c) p)cm2
2(7 –d) p)cm2
2(8 –e) p)cm2

16
EM_V_MAT_027
Na figura a seguir, os círculos iguais têm raios iguais11.
e 2cm e tangenciam-se externamente nos pontos A,
B e C.
Calcule a área hachurada delimitada pelos menores
arcos.
(Unirio) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo.12.
Qual a medida do segmentoa) EF ?
Qual a área do triângulo AED?b)
(PUC) Consideremos o círculo C de raio r e um qua-13.
drado Q circunscrito a C. A área interior a Q e exterior
a C se subdivide em quatro áreas idênticas, cada uma
valendo:
(4–a) p) r2
1
4
2
−




p
rb)
3
2
2
−




p
rc)
p
3
1 2
−



 rd)
p
2
1 2
−



 re)
(PUC) Os pontos A, B, C, D, E e F dividem em seis partes14.
iguais o círculo de raio R.
Determine a área hachurada.
(PUC) Dois lados de um triângulo medem, respectiva-15.
mente, 5cm e 6cm. O valor máximo que pode ter a área
desse triângulo é de:
11cma) 2
15cmb) 2
20cmc) 2
25cmd) 2
30cme) 2
(UERJ) O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e sua16.
diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais,
respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}.
A área do triângulo FBG é uma fração da área do
paralelogramo (ABCD). Calcule essa fração.
(UFC) Sejam r e s retas paralelas conforme a figura:17.
Se S1
representa a área do triângulo ABC, S2
representa
a área do paralelogramo ADEF e B é o ponto médio do
segmento AD , então a razão
S
S
1
2
é igual a:
1a)
4b)
1
4
c)
2d)
1
2
e)
(UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado18.
duas vezes de forma que dois lados adjacentes se
sobreponham sobre a diagonal correspondente. Ao
desdobrarmos o papel, vemos os quatro ângulos assi-
nalados na figura.

17
EM_V_MAT_027
Determine as medidas dos ângulosa) a, b, c e d� � �  .
Calcule a razão entre a área sombreada e a área dob)
quadrado.
(Cesgranrio) No paralelogramo ABCD de área 24cm19. 2
,
os pontos P, Q e R dividem a diagonal BD em 4 partes
iguais.
A área do triângulo AQR é:
2cma) 2
3cmb) 2
4cmc) 2
5cmd) 2
6cme) 2
(UFRGS) No triângulo ABC desenhado abaixo, P, Q e20.
R são os pontos médios dos lados.
Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a
medida da área do triângulo ABC é:
20a)
25b)
30c)
35d)
40e)
(UFRJ) Um arquiteto projetou um salão quadrangular21.
10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes, I e II,
através de um segmento de reta passando pelo ponto
B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme
mostra a figura:
A área do ambiente I é a sétima parte da área do
ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B.
(UFRJ) Observe a figura a seguir (ABCD), que sugere22.
um quadrado de lado a, onde M e N são, respectiva-
mente, os pontos médios dos segmentos CD e AD, e F
a interseção dos segmentos AM e BN.
Utilizando esses dados, resolva os itens a e b.
Demonstre que o ânguloa) AFNˆ é reto.
Calcule a área do triângulo AFN em função de a.b)
(UFRJ) A figura abaixo mostra dois arcos de circunferên-23.
cia de centro O, raios R e 2R, e três ângulos iguais.
Calcule a razão entre as áreas das regiões hachurada
e não-hachurada.

18
EM_V_MAT_027
(UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir de24.
semicircunferências e AC = CD = DE = EB.
Determine S1
/S2
, a razão entre as áreas hachuradas.
(Unirio) Um artista plástico pretende fazer uma monta-25.
gem fixando, uns sobre outros, quadrados de acrílico
de cores e tamanhos diferentes, como mostra a figura
a seguir.
O lado de cada quadrado é o dobro do lado do quadrado
anterior. Sabendo-se que o preço do metro quadrado de
acrílico é R$6,40, o custo total do material será de:
R$34,00a)
R$48,00b)
R$68,00c)
R$96,00d)
R$102,00e)
Dois círculos se cortam de tal forma que determinam26.
três regiões, como mostra o esquema abaixo:
Sabemos que o raio do menor círculo mede 5cm, que
a região S1
equivale ao dobro de S2
e que a região
S3
equivale ao triplo de S2
. Calcule o raio do maior
círculo.
Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas27.
das regiões hachuradas são iguais.
Se o raio do circulo menor é 5m e do maior é 13m, então
o raio do circulo intermediário é:
12ma)
10mb)
11mc)
65md)
5 3me)
Na figura a seguir, calcule a razão entre a área do triân-28.
gulo ABC e do triângulo hachurado.
A
B C
3
1
3
1
A29. 1
A2
... An
é um polígono regular convexo, de n lados,
inscrito em um círculo. Se o vértice A15
é diametralmente
oposto ao vértice A46
, o valor de n é:
62a)
60b)
58c)
56d)
54e)
Na figura a seguir, os pontos M, N e P são de um tri-30.
ângulo equilátero e os pontos M, Q, R, S são vértices
de um quadrado.

19
EM_V_MAT_027
QN corresponde ao lado do:
hexágono regular.a)
octógono regular.b)
eneágono regular.c)
decágono regular.d)
dodecágono regular.e)
(Cesgranrio) Um quadrilátero convexo está inscrito em31.
um círculo.
A soma, em radianos, dos ângulos e mostrados na
figura é:
4
a)
2
b)
c)
2
d)
2e)
(Cesgranrio) Na figura abaixo,32. AB = 20°, BC= 124°, CD
= 36° e DE = 90°.
Calcule o ângulo .
56ºa)
48ºb)
46ºc)
39ºd)
37ºe)
As semirretas PM e PN são tangentes ao círculo da33.
figura e o comprimento do arco MGN é 4 vezes o do
arco MFN.
O ângulo ΜMPN vale:
76°a)
80°b)
90°c)
108°d)
120°e)
(UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada34.
na figura abaixo.
o
A medida , do ângulo assinalado, é:
30°a)
40°b)
50°c)
60°d)
70°e)
Calcule35. nas questões de 35 a 39.
10°a)
20°b)
30°c)
40°d)
50°e)

20
EM_V_MAT_027
(Unisantos-SP)36.
31°a)
38°b)
48°c)
50°d)
56ºe)
(Cesgranrio)37.
20ºa)
30ºb)
40ºc)
50ºd)
60ºe)
(UCBA)38.
10ºa)
15ºb)
20ºc)
25ºd)
30ºe)
(UFES)39.
50ºa)
52ºb)
54ºc)
56ºd)
58ºe)
O valor de x, na figura abaixo, é:40.
30ºa)
35ºb)
55ºc)
75ºd)
90ºe)
(UFF) Os pontos M, N, P, Q e R são vértices de um41.
pentágono regular.
A soma + + + + é:
360ºa)
330ºb)

21
EM_V_MAT_027
270ºc)
240ºd)
180ºe)
(UFRJ) Na figura dada a seguir:42.
ΑΒAB•• é lado de um octógono regular inscrito;
t é uma tangente.••
Qual a medida de ?
Na figura, as retas s e t são paralelas.43.
O valor de x + y é:
6a)
7b)
8c)
9d)
10e)
O valor de x na figura, é:44.
16a)
14b)
12c)
8d)
6e)
7a)
6b)
5c)
4d)
3e)
10a)
11b)
12c)
14d)
16e)
(Cesgranrio) As retas r47. 1
, r2
, r3
são paralelas e os com-
primentos dos segmentos de transversais são indicados
na figura.
Então x é igual a:
4a)
1
5
15
2
b)
5c)

22
EM_V_MAT_027
8
5
d)
6e)
(Vunesp) Na figura, o triângulo ABD é reto em B, e AC48.
é a bissetriz de BÂD.
Se AB = 2BC, fazendo BC = b e CD = d, então:
d = ba)
d =b)
5
2
b
d =c)
5
3
b
d =d)
6
5
b
d =e)
5
4
b
(UNI-RIO) No desenho abaixo apresentado, as frentes49.
para a rua “A” dos quarteirões I e II medem, respectiva-
mente, 250m e 200m, e a frente do quarteirão I para a
rua “B” mede 40m a mais que a frente do quarteirão II
para a mesma rua.
Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros,
da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é:
160a)
180b)
200c)
220d)
240e)
(MAPFEI) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para50.
a rua “B”, como na figura.
As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a
medida de frente para a rua “B” de cada lote, sabendo-se
que a frente total para essa rua é 180m.
80m, 60m, 40ma)
90m, 70m, 40mb)
80m, 50m, 30mc)
60m, 40m, 30md)
80m, 50m, 20me)
Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas.51.
Na figura, os pontos A, B, C e D situam-se na circunfe-52.
rência de centro O e raio r.
Ponto P é tal que OP r< . Então:
BD
AC
CP
BP
=a)
BD
AC
AP
DP
=b)
AP
DP
CP
BP
=c)

23
EM_V_MAT_027
DP
AP
CP
BP
=d)
BD
AC
AP
PC
=e)
O valor de X na figura é:53.
20
3
a)
3
5
b)
1c)
4d)
5e)
Na figura, são dados54. AE
EC
=
1
3
BE = 8cm e ED = 6cm.
Calcule
BD
AC
AP
PC
=
:
10a)
12b)
16c)
18d)
20e)
Na figura, ABC representa um trecho reto de uma estra-55.
da que cruza o pátio circular de centro O e raio r.
O
Se AC = 2r = AO, então BC vale:
o dobro de AB.a)
2
3
b) de AB.
AB.c)
a metade de AB.d)
1
3
e) de AB.
(UFRJ) Na figura a seguir, vale a relação:56.
O
aa) 2
= xy
a = x (x + y)b)
ac) 2
= x (x + y)
ad) 2
= y (x + y)
a = x (x – y)e)
(Cesgranrio) Na figura abaixo, AB = 8cm, BC = 10cm,57.
AD = 4cm e o ponto O é o centro da circunferência.
O
O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:
26a)
45b)
48c)
50d)
54e)
Em um círculo de centro O e raio 10, traçam-se dois58.
diâmetros perpendiculares AB e EF e a corda AC, como
mostra a figura.
O
Se AC = 16, o segmento AD mede:
8 2a)
12,0b)

24
EM_V_MAT_027
12,5c)
13,0d)
6 3e)
Nesta figura59. AT é tangente à circunferência do raio r.
Sabendo-se que AT r= 2 , então o valor de AC é:
( )5 1+ ra)
1 + 2 rb)
rc) 2
5 rd)
( )5 1− re)
(RURAL) O raio de um círculo mede 6m. Por um ponto P,60.
distante 10m do centro, traça-se uma tangente. O com-
primento da tangente entre P e o ponto de contato, é:
4ma)
6mb)
8mc)
10md)
12me)
Na figura,61. AB = 8, AC =10 e BC = 6.
A medida do segmento BT é:
0,5a)
1,0b)
1,5c)
2,0d)
2,5e)
(UFRJ) Na figura abaixo, o quadrado ABCD tem lados1.
6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região
hachurada tem área 16.
Determine x.
(UFRJ) Na figura abaixo, R é um ponto pertencente ao2.
lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC.
Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida
de AR e q a medida de AS.
Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS
e ABC vale
pq
bc
.
(UFRJ) O hexágono ABCDEF é construído de modo3.
que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM
e DEPN sejam quadrados.
A área do hexágono ABCDEF é igual a ( )3 3 2
+ cm .
Determine o comprimento, em centímetros, do lado do
triângulo MNP.

25
EM_V_MAT_027
(UFRJ) Os três lados do triângulo equilátero ABC foram4.
prolongados de segmentos AA’ = BB’ = CC’, de modo
que a medida do segmento AA’ corresponde a 20%
da medida do lado AC, conforme indicado na figura a
seguir.
Determine o percentual de aumento que a área do
triângulo A’B’C’ apresenta em relação à área do triângulo
original ABC.
(UFF) Considere uma folha de papel em forma do5.
retângulo RSTU, como na figura 1. São feitas, suces-
sivamente, 2 dobras nessa folha. A primeira é feita de
modo que o ponto S caia sobre o segmento MN, sendo
M e N, respectivamente, pontos médios de RS e UT,
de acordo com a figura 2. A segunda é feita de modo
que o ponto P também caia sobre o segmento MN,
conforme a figura 3.
A área do triângulo MPQ é:
18 2 2
cma)
36 2 2
cmb)
30cmc) 2
45 3 cm2
d)
(Unificado) OPQ é um quadrante de círculo, no qual6.
foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ.
Determine o valor da razão das áreas hachuradas,
a
b
.
1
2
a)
1
2
b)
π
4
c)
1d)
π
3
e)
Traçaram-se semicírculos justapostos a cada um dos7.
lados de um triângulo retângulo ABC, como mostra a
figura.
O semicírculo de hipotenusa AB sobrepõe-se, em parte,
aos dois outros semicírculos, produzindo duas lúnulas,
tracejadas na figura. Que relação existe entre a área total
das duas lúnulas e a área do triângulo?
(Associado) Um espiral, começando na origem dos eixos8.
coordenados, é construído traçando-se semicírculos de
diâmetros OM MS SP, e .
A área da região hachurada vale:
π
2
a)
3
4
π
b)
4 3 3
6
π −
c)
7 3 3
6
π −
d)
11 6 3
12
π −
e)

26
EM_V_MAT_027
Na figura, ABCD é um quadrado e os dos semicírculos9.
encontram-se em P.
Sabendo que PC = 2 2 , a área hachurada é igual a:
2a)
4b)
2 6c)
4 6d)
6e)
(UFRJ) Há um conhecido quebra-cabeça que consiste10.
em formar um quadrado com as partes de um triângulo
equilátero, como mostram as figuras.
Partindo de um triângulo equilátero de perímetro 24cm,
calcule o perímetro do quadrado.
(UFRJ) A figura abaixo é formada por dois quadrados11.
ABCD e A’B’C’D’, cujos lados medem 1cm, inscritos
numa circunferência. A diagonal AC forma com a dia-
gonal A’C’ um ângulo de 45º.
Determine a área da região sombreada da figura.
(UFRJ) Na figura dada temos um semicírculo de raio R12.
e centro O. O ângulo entre o raio OB e o lado DC é a.
Calcule a área do retângulo ABCD, em função dea)
R e a.
Mostre que a área do retângulo ABCD é máximab)
para a = 45º.
(UFRJ) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo13.
WXYZ, como mostra a figura.
Sabendo que AB = 2 e AD =1, determine o ângulo q
para que a área de WXYZ seja a maior possível.
(Unicamp) Construir “fractais” no computador corres-14.
ponde a um procedimento como descrito a seguir. A
partir de um triângulo equilátero de área A, acrescenta-
mos no meio de cada lado um outro triângulo equilátero
de lado igual a um terço do anterior; aos lados livres
desses triângulos acrescentamos triângulos de lados
iguais a um terço dos anteriores e assim, sucessiva-
mente, construímos uma figura com uma infinidade de
triângulos (veja o desenho).
Calcule a área, em termos de A, da região determinada
por esse processo.

27
EM_V_MAT_027
(UFF) Na figura, cada lado do quadrado de lado 3cm15.
é dividido em três partes iguais, sobre cada um desses
lados, na divisão central, constrói-se outro quadrado
cujos lados também são divididos em três partes iguais
e, mais uma vez, nas divisões centrais, novos quadrados
são construídos.
Determine a área total da figura que será obtida se o
processo for repetido análoga e indefinidamente.
(UFPI) Para colocar o piso de um terraço retangular,16.
um construtor usaria 880 unidades de cerâmica nas
dimensões de 20cm x 30cm. Entretanto, ele possui,
em estoque, 1 300 cerâmicas do mesmo tipo, nas
dimensões de 20cm x 20cm. Usando o seu estoque,
o construtor teria:
que comprar mais 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.a)
que comprar mais 20 cerâmicas de 20cm x 20cm.b)
o número exato de cerâmicas a serem aplicadas.c)
uma sobra de 20 cerâmicas de 20cm x 20cm.d)
uma sobra de 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.e)
Na figura, ABC é um triângulo retângulo isósceles com17.
AC CB= . DEF é um arco de circunferência de centro A.
Calcule a razão
AD
CB
, sabendo que as áreas hachuradas
são iguais.
(UFF) Sendo 4cm18. 3
a área do menor quadrado da figura,
determine a área do maior.
Em um triângulo ABC, M é o ponto médio de19. AB e N é
o ponto médio de AC . Calcule a área do triângulo ABC,
sabendo que a área do quadrilátero BMNC vale 15m2
.
(Cesgranrio) O quadrado da figura tem diagonal20. CD igual
a 10cm. Os segmentos paralelos AB CD e EF, , dividem
o quadrado em 4 regiões de mesma área. Calcule o
comprimento do segmento AB .
Na figura abaixo, S21. 1
é a área do quadrilátero MNBA, S2
é a área do triângulo ABC e MN é paralelo a BA .
Calcule x, sabendo que S1
= 51% de S2
.
Nas figuras a seguir, calcule as áreas hachuradas em22.
função da área S do triângulo ABC.
a)

28
EM_V_MAT_027
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)

29
EM_V_MAT_027
n)
o)
Os pontos ABCDE da figura resultaram da divisão de25.
uma circunferência em 5 pares congruentes.
E A
B
C
D
Por consequência, a soma dos ângulos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 é igual a:
800°a)
700°b)
720ºc)
760°d)
780°e)
Na figura, os círculos são iguais. AC contém os dois26.
centros e AD é tangente ao círculo de centro O’.
Prove que CD = BD + BE
Determine x na figura a seguir.27.
100a)
110b)
120c)
130d)
140e)
Rodrigo gasta 3 latas de tinta para pintar uma estátua.23.
Se cada lata custa R$25,00, calcule o valor gasto por
Rodrigo para pintar uma outra estátua semelhante a
primeira, porém com o dobro da altura.
(PUC) São dados 3 pontos P, Q e R sobre cada um dos24.
lados do triângulo ABC da figura abaixo.
Sabendo que
AP
AB
BQ
BC
CR
BC
= = =
2
3
, encontre
S
T
, onde
S é a área do triângulo ABC e T é a área do triângulo
PQR.

30
EM_V_MAT_027
(Unificado) Em relação à figura a seguir, considere:28.
ABI. é um diâmetro da circunferência de centro O;
a reta t, paralela à cordaII. ΑΒAR, é tangente à circunfe-
rência no ponto T;
o ângulo BÂR mede 20°.III.
Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela
corda AT é:
25ºa)
35ºb)
40ºc)
45ºd)
60ºe)
(FGV) A medida do ângulo29. ΑADC inscrito na circunfe-
rência de centro O é:
125°a)
110°b)
120°c)
100°d)
135°e)
O pentágono ABCDE, da figura, está inscrito em um30.
círculo de centro O. O ângulo central, COD, mede 60°.
Então, x + y é igual a:
180ºa)
185ºb)
190ºc)
210ºd)
250ºe)
(U.F. Uberlândia) Em um dado triângulo retângulo31.
inscrevemos uma circunferência de diâmetro d e cir-
cunscrevemos outra de diâmetro D. O perímetro do
triângulo vale:
d + Da)
2d + Db)
d + 2Dc)
3/2(d + D)d)
2(d + D)e)
O quadrilátero PQRS está inscrito numa circunferência,32.
como mostra a figura abaixo.
Calcule a medida do ângulo QSR^ .
Seja P o centro de um quadrado construído sobre a33.
hipotenusa AC do triângulo ABC.
Calcule o ângulo PBC .

31
EM_V_MAT_027
Na figura abaixo, XÔY é reto, e o arco PX é o dobro35.
do arco XL.
Y
XO
Com esses dados, determine a medida do ângulo
LÔX.
São dados da figura abaixo: AB = x, BC = 4, CD = 12.37.
Pede-se o valor de AB.
Determine o valor da razão38.
JA
JD
, considerando a figura
e as medidas abaixo.
AB = 9
AC = 6
BC = 10
O perímetro de um triângulo ABC é 45cm. Sabendo que39.
AB = 10cm e AC = 15cm, calcular os segmentos deter-
minados pela bissetriz interna de Â no lado oposto.
Na figura abaixo, ABCD é um trapézio, AB = 22cm,40.
CD = 13cm, MA
MD
=
1
2
e MN é paralelo a AB .
O comprimento do segmento MN é:
16cma)
17cmb)
13cmc)
19cmd)
nenhuma das anteriores.e)
Na figura a seguir,34. AD e BE são duas alturas do triân-
gulo ABC.
Sabendo que o ângulo BAC mede 64º, calcule o ângulo
ADE .
Seja uma partícula A com velocidade angular w36. A
= 2
rad/min. Se ela parte do ponto P do círculo abaixo, em
quanto tempo ela atinge a partícula B que está com
velocidade igual a wB
=
2
rad/min (ambas no sentido
horário)?
P
A
120o
WA
WB
B

32
EM_V_MAT_027
(IME) Considere a figura abaixo, onde APOR é um41.
paralelogramo. AO é bissetriz interna, AB= 6cm e AC
= 3cm.
Calcule o perímetro do paralelogramo APOR e a razão
BO
BC
.
Na figura abaixo, x e y são paralelos às bases do tra-42.
pézio.
Calcule y – x.
Num triângulo ABC,43. AB = 12cm, AC = 8cm e BC =
5cm. Seja D o pé da bissetriz interna AD e I o incentro
do triângulo, calcule a razão
IA
ID
.
Um triângulo ABC é tal que44. AC /BC = 3/4. A bissetriz
do ângulo externo^C corta AB no ponto P. Calcule a
razão PA /AB.
(Integrado) Considere um decágono regular convexo45.
inscrito em uma circunferência de raio R.
Sabendo que BC é bissetriz do ângulo ABO, prove que
o lado do decágono é 10
= ( 5 – 1)R
2
.
O circuito triangular de uma corrida está esquema-47.
tizado na figura a seguir:
As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S,
cada corredor deve percorrer o circuito passando,
sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, final
mente, a S.
Assinale a opção que indica o perímetro do
circuito.
4,5kma)
19,5kmb)
20,0kmc)
22,5kmd)
24,0kme)
Na figura a seguir,46. BC = 32, BD
BA
=
1
4
DE//BC,
DF//AC e EG//AB.
Calcule o segmento FG.
(IME) Prolonga-se o raio AO de um círculo de um48.
comprimento AB igual a AO; traça-se uma tangente ao
círculo, sobre a qual se levantam as perpendiculares
NA e BC.
Se OAC^ = 126°, qual o valor do ângulo ACB^ ?

33
EM_V_MAT_027
O valor de x, considerando que o quadrilátero ABCD49.
está circunscrito ao círculo, é:
1a)
2b)
3c)
4d)
5e)
Nas figuras abaixo, mostre que50. PA PB PC PD. .= .
a)
b)
Na figura abaixo, mostre que51. PT PA PB d R2 2 2
= = −. ,
onde d é a distância do ponto P ao centro do círculo
e R o raio.
Na figura abaixo, O é o centro do círculo.52.
Calcule as potências de A, B, C e O.
Calcule x para que a53. pot A pot B pot C+ + seja igual a
zero.
O
Um ponto P está no interior de uma circunferência de54.
13cm de raio e dista 5cm do centro da mesma. Pelo
ponto P traça-se uma corda AB de 25cm. Determine
os comprimentos dos segmentos que P determina sobre
a corda AB .
Considere as cordas55. AP =13 e BD =12 de uma circun-
ferência, que se interceptam no ponto Q; e um ponto C
da corda AP =13tal que ABCD seja um paralelogramo.
Determinado este ponto C, calcule AC .
Por um ponto P, distante 9cm do centro de círculo de56.
7cm de raio, traça-se a secante PBC ao círculo de modo
que PB valha a metade do PC. Calcule o comprimento
do segmento PC.
Na figura abaixo,57. PA é tangente em A ao círculo.
PA PC CB= = , PD =1 e DE = 8.
Calcule AC .

34
EM_V_MAT_027
O palco de uma casa de espetáculos tinha o formato61.
do trapézio da figura, e por motivos estéticos foi
cortado formando um círculo que seria inscrito no
trapézio.
A
Calcule o raio do círculo, se AB m= 12 , AD m= 6 e
BC = 8m.
(PUC-SP) A figura é uma circunferência de centro O62.
e o raio a com os segmentos de tangentes CB em T
e BA em A.
Se AB mede b, a medida de AC é igual a:
2ab
b a+
a)
ab
b a−
b)
2 2
2 2
ab
b a−
c)
a b
b a
2
2 2
+d)
a b
b a
2 2
2 2
−
e)
Considere um arco AB de um círculo. Seja N o pon-58.
to médio do arco e M o ponto médio da corda AB cm= 18.
Calcule o raio do círculo sabendo que AB cm= 18 e
MN cm= 3 .
As bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma59.
circunferência medem 4m e 9m respectivamente. Calcule
a altura do trapézio.
Um trapézio isósceles ABC tem base igual a 4cm e está60.
circunscrito a um círculo de 1cm de raio.
Seja EF uma paralela à base e tangente ao círculo
inscrito. Calcule o segmento EF .

35
EM_V_MAT_027
B1.
A2.
B3.
C4.
24 3
32
3
2
−






π
cm5. cm2
5006.
A7.
D8.
D9.
A10.
2 2 3 2
−( )π cm11. cm2
12.
14
5
a)
216
25
b)
B13.
π
3
3
2
2
−





R14. R2
B15.
1
18
16.
C17.
18.
22°30’a)
2 1−b)
B19.
E20.
5m21.
22.
Resposta pessoal.a)
a2
20
b)
5
7
23.

36
EM_V_MAT_027
124.
A25.
10 3
3
26. cm
A27.
228.
A29.
E30.
C31.
E32.
D33.
E34.
B35.
C36.
E37.
C38.
E39.
A40.
E41.
157° 30’42.
B43.
A44.
E45.
C46.
E47.
C48.
A49.
A50.
y = 16;51.
x = 15
C52.
B53.
C54.
E55.
C56.
E57.
C58.
E59.
C60.
D61.
x = 1 ou x = 21.
Demonstração.2.
1cm3.
72%4.
A5.
D6.
São iguais.7.
E8.
B9.
16 34
cm10. cm
6 4 2 2
−( )cm11.
12.
Ra) 2
.sen2a
Resposta pessoal.b)
45°13.
10
7
A
14.
15cm15. 2
B16.
2 π
π
17.
16cm18. 2
20m19. 2
5 2cm20.
8,421.
22.
S/2a)
2S/3b)
S/6c)
S/3d)
S/6e)
S/12f)
S/3g)
S/4h)
S/24i)

37
EM_V_MAT_027
S/21j)
S/7k)
S/6l)
2S/15m)
S/3n)
S/70o)
R$300,00 (trezentos reais)23.
324.
C25.
Demonstração.26.
E27.
B28.
A29.
D30.
C31.
45°32.
33.
A
C
B
P P^BC = 45°
26°34.
235. = 300 = 15°
2636. 2
3
segundos
x = 837.
x = 638.
AJ
JD
=
3
2
BD39. = 8cm
DC = 12cm
D40.
O perímetro de APOR vale 8cm.41.
BO
BC
= OC
OC
2
2
= 2
3
y – x = 442.
AI
DI
43. = 4
PA
PB
44. =
3
4
45.
R
=
R –
l2
= R2
– Rl
l2
+ Rl – R2
= 0
=
( 5 – 1)R
2
FG46. = 16
B47.
A48. ^CB = 54°
B49.
Resposta pessoal.50.
Resposta pessoal.51.
96; 0; –16; –2552.
2 253.
16cm e 9cm54.
855.
8cm56.
457.
15cm58.
6m59.
1cm60.
Raio = 2,4cm61.
C62.

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