Âgulos e Polígonos

PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

1
EM_V_MAT_026
O curso de geometria plana começa com três
conceitos primitivos (conceitos sem definição): ponto,
reta e plano, que nos leva a uma melhor compreen-
são no estudo dos ângulos e têm grande utilidade
no dia-a-dia.
Ponto, reta e plano
A
S
(α)
PONTO RETA PLANO
Numa reta há infinitos pontos. Num plano,
há infinitas retas e, consequentemente, infinitos
pontos.
Semirreta
Se tomarmos um ponto O de uma reta r, forma-
remos duas semirretas, com origem no ponto O.
O
r
Segmento de reta
Se tomarmos dois pontos distintos A e B de uma
reta r, o pedaço da reta que vai de um ponto ao outro
é chamado de segmento de reta AB.
A B
Ângulos
Se traçarmos duas semirretas de mesma origem,
as regiões formadas no plano que as contém serão
chamadas de ângulos.
0
Tipos de ângulos
Agudo
É todo ângulo α, tal que 0° < α < 90°.
0 α
Reto
É todo ângulo α, tal que α = 90°.
Símbolo
Ângulos e
polígonos

2
EM_V_MAT_026
Muitas vezes o desenho induz ao erro, pois o
ângulo só será considerado reto se tiver o símbolo
ou vier escrito.
Obtuso
É todo ângulo α, tal que 90°< α < 180°.
α
0
Raso
É todo ângulo α, tal que α = 180°.
α
0
Reentrantes
É todo ângulo α, tal que 180° < α < 360°.
α
0
Comparação de dois ou mais
ângulos
Consecutivos
Possuem o mesmo vértice e um lado em comum.
A
B
C
AÔB e AÔC
O
Adjacentes
Possuem o mesmo vértice e um lado comum
entre eles.
A
B
C
AÔB e BÔC
O
Todo ângulo adjacente é consecutivo, mas nem
todo ângulo consecutivo é adjacente.
Complementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 90°.
α + β = 90°A
B
C
α
0
β
α é o complemento de β
ou
β é o complemento de α
Suplementares
α
0
β
α + β = 180°
α é o suplemento de β
ou
β é o suplemento de α

3
EM_V_MAT_026
Replementares
α
0
β
α + β = 360°
B
A
α é o replemento de β
ou
β é o replemento de α
Opostos pelo vértice
São dois ângulos de mesma medida, tais que os
lados de um são as respectivas semirretas opostas
aos lados do outro.
α β α = β
Bissetriz de um ângulo
É a semirreta de origem no vértice que divide o
ângulo em duas partes com a mesma medida.
OR é bissetriz de AÔB
α
α
A
R
BO
Retas paralelas cortadas
por uma transversal
a b
d c
e f
gh
(r//s)
t
r
s
Alternos
Internos: c – e; d – f
Externos: a – g; b – h
Todos os ângulos alternos são congruentes.
Colaterais
Internos: c – f; d – e
Externos: a – h; b – g
Todos os ângulos colaterais são suplementares.
Correspondentes
São os ângulos que se superpõem quando
deslocamos a reta s para cima da reta r, logo, são
congruentes.
a – e; b – f; d – h; c – g
u
s
β
θ
α
α
t
r
θ
α + β + θ = 180º. A soma dos ângulos externos
de qualquer triângulo vale 180º.

4
EM_V_MAT_026
Polígonos
As figuras poligonais geralmente são usadas
para delimitar uma região em destaque, assim poden-
do calcular a área de seu interior de acordo com seus
ângulos internos. Muito utilizado na idade média
quando as igrejas eram construídas com mosaicos
e vitrais em suas decorações interiores, atualmente
vemos duas dessas formas poligonais (pentágono e
hexágono) nos gomos da bola de futebol.
O polígono é a união de n segmentos de retas
consecutivas (n > 3).
V1
V3
V2
V4
V5
Vn
V1
∪V2
∪V2
V3
∪V3
V4
∪...∪Vn
∪V1
Classificação
Convexo
É o polígono no qual quaisquer pontos interiores
unidos formam um segmento de reta completamente
contido no polígono.
D C
BA
E
Côncavo
É o polígono no qual existem pontos interiores
que, unidos, formam um segmento de reta que não
está completamente contido no polígono.
C D
B
A
E
F
Equilátero
É todo polígono que tem lados congruentes.
D
C
B
A
CD
BA
Losango Quadrado
Equiângulo
É todo polígono que tem ângulos congruentes.
D C
BA
D C
BA
QuadradoRetângulo
Regular
É todo polígono equilátero e equiângulo.
CD
BA
D C
B
A
E
D
C
BA
F
E
Quadrado Pentágono
regular
Hexágono
regular
Gênero
É todo número de lados (ou vértices) de um
polígono.
3 lados – triângulo••
4 lados – quadrado••
5 lados – pentágono••
6 lados – hexágono••
7 lados – heptágono••
8 lados – octógono••
9 lados – eneágono••
10 lados – decágono••
11 lados – undecágono••
12 lados – dodecágono••
20 lados – icoságono••
Para os demais dizemos polígonos de n lados.••
Número de diagonais
Diagonal
É o segmento de reta que une dois vértices não
adjacentes.
(n lados)

5
EM_V_MAT_026
Diagonais de cada vértice
Como podemos observar, de cada vértice sai
(n – 3) diagonais, pois não pode sair diagonal para os
vértices adjacentes e nem para o próprio vértice.
Logo, se o polígono tem n lados ele terá n vér-
tices, o que nos leva a pensar errado que o número
de diagonais é igual a n (n – 3).
Total de diagonais
Como podemos observar, cada diagonal é con-
tada duas vezes, então a relação correta do número
de diagonais é:
n(n 3)
2
−
Pentágono
n(n 3)
nd
2
−
=
5(5 3)
nd 5
2
−
= =
Somente em polígonos regulares de gênero par
podemos afirmar que o número de diagonais que
passam pelo centro é igual à metade do número
de lados n
2
.
Ângulos internos (ai
) e
ângulos externos (ae
)
Em cada vértice temos um ângulo interno e um
ângulo externo adjacente.
An
A1
ae1
ai1
ai2
ae2
A3
A4
A2
Soma dos ângulos internos
(Sai
)
ai
≠ ae
= 180º
V1
V3
V2
V4
V5
Vn
n lados
Como podemos observar, temos n lados nos
dando n triângulos, assim concluímos que a soma
dos ângulos internos será:
Sai
= 180° (n – 2)
Soma dos ângulos externos
(Sae
)
Consideremos, como exemplo, o polígono da
figura a seguir:
Tracemos, pelo ponto p, paralelas aos lados do
polígono. Os ângulos formados em torno do ponto
p são congruentes, respectivamente, aos ângulos
externos do polígono.
Logo, é fácil concluir que:
ae1
+ ae2
+ ae3
+ae4
+ae5
= 360°
ae1
ae2
ae3
ae5
ae4
ae3
ae2
ae1
ae4
ae5

6
EM_V_MAT_026
A soma dos ângulos externos de um polígono
convexo é dada por:
Sae
= 360°
Para todo polígono regular podemos afirmar
que:
Ângulo interno =
soma dos ângulos internos
o número de ângulos internos
a
n
n
i =
° −180 2( )
Ângulo externo =
soma dos ângulos externos
o número de ângulos externos
a
n
e =
°360
Quadriláteros
É a figura plana determinada por quatro seg-
mentos de reta consecutivos (polígono de quatro
lados).
A
B
C
D
x
A
B
D
C z
^
^
^
^
w
y
^A, ^B , ^C e ^D são ângulos internos.
x, y, z, w são ângulos externos.
^A + ^B + ^C + ^D = 360°
x + y + z + w = 360°
AC e BD são diagonais.
Classificação
Paralelogramo
É todo quadrilátero que possui os lados opostos
paralelos.
A B
CD
AB // CD e AD // BC
Propriedades``
Os lados e os ângulos opostos são congruentes, as
diagonais cortam-se mutuamente ao meio e os ângulos
consecutivos são suplementares.
O paralelogramo, de acordo com sua forma, cria algumas
propriedades, formando, assim, retângulos, losangos e
quadrados.
Retângulo
É todo paralelogramo que possui os quatro
ângulos congruentes.
A B
CD
O
•
Propriedades``
As diagonais são congruentes e cortam-se ao meio.
Losango
É todo paralelogramo que possui os quatro lados
congruentes.
B
A
C
D
O
•
Propriedades``
As diagonais são perpendiculares entre si bissetrizes dos
ângulos internos e se cortam ao meio.
Quadrado
É todo paralelogramo que possui os quatro lados
e os quatro ângulos congruentes.
A B
C D
O
•

7
EM_V_MAT_026
Propriedades``
As diagonais são congruentes, perpendiculares entre si,
bissetrizes dos ângulos internos e se cortam ao meio.
É interessante observarmos que, ao destacar-
mos uma das partes do retângulo dividido por sua
diagonal, teremos um triângulo retângulo e deste
tiramos algumas propriedades:
A B
C D
x O x
x x
x
O
xx
A
C D
A mediana relativa à hipotenusa de um triân-
gulo mede a metade da hipotenusa.
Por consequência, teremos dois triângulos
isósceles, AOC e COD.
Trapézio
É todo quadrilátero que possui somente um par
de lados paralelos, chamados bases.
A B
CD
AB // CD
O trapézio, de acordo com sua forma, é subdivi-
dido em três: escaleno, isósceles e retângulo.
Escaleno
Os lados não-paralelos não são congruentes.
A B
CD
AD ≠ BC
Isósceles
Os lados não-paralelos são congruentes.
A B
C
D
AD // BC
AC // BD
Os ângulos pertencentes à mesma base são
congruentes.
Retângulo
Um dos lados não-paralelos é perpendicular às
bases (possui dois ângulos retos).
A B
CD
AD // AB
AD // CD
O trapézio retângulo é também escaleno.
Base média e mediana de
Euler
Agora vamos estudar como se calcula a base
média e a mediana de Euler do trapézio, para isso
temos:
Base média do triângulo
A
B C
NM
MN // BC
MN =
BC
2
M e N são pontos médios de AB e AC respec-
tivamente.
MN é a base média do triângulo.

8
EM_V_MAT_026
Base média do trapézio
NM
D
A B
C
MN // AB
MN // CD
MN = AB + CD
2
M e N são pontos médios de AD e BC respec-
tivamente.
MN é a base média do trapézio.
Mediana de Euler
D
A B
C
P Q
M N
PQ // AB
PQ // CD
PQ = CD – AB
2
M e N são pontos médios de AD e BC respec-
tivamente.
MN é a base média do trapézio.
PQ é a mediana de Euler.
Trapezoide
É todo quadrilátero que não possui lados pa-
ralelos.
D C
A
B
Polígonos inscritos
Como já foi estudado anteriormente, um po-
lígono convexo é regular se seus lados e ângulos
são congruentes.
A grande importância dos polígonos regulares
na geometria plana é tirada pela inscrição e circuns-
crição das figuras.
Vamos estudar os três principais polígonos re-
gulares: triângulo equilátero, quadrado e hexágono
regular, calculando os lados e os apótemas em função
dos raios das circunferências inscritas e circunscritas
(os apótemas são as distâncias do centro da circun-
ferência aos pontos médios dos lados).
Triângulo equilátero
a = R
2
=R 3
Demonstração:``
2a = R a= R
2
hTE
= 3
2
3a=
3
2
2
3R
=
3
2 =
3R
3
= R 3

9
EM_V_MAT_026
Quadrado
a= 2
2
R
=R 2
Demonstração:``
d= 2
2a=
2R= 2
2a=R 2
2
2R
=
a=
2
R 2
=R 2
Hexágono regular
a= 3R
2
= R
Demonstração:``
=
=

TE
3
h
2
R 3
a
2
Polígonos circunscritos
Triângulo equilátero
a = R
=2 3 R
Demonstração:``
a=R
a = R
=2R
=
=


TE
3
h
2
3
3a
2
=
=


3
3R
2
6R
3
= 2 3R

10
EM_V_MAT_026
Quadrado
a = R
= 2a
= 2R
Demonstração:``
Hexágono regular
=
=
a R
2R 3
3
Demonstração:``
a=R
=
=


TE
3
h
2
3
a
2
=
=


3
R
2
2R
3
=
2R 3
3
Um ângulo é igual a1.
5
4
do seu suplemento. Calcule o
replemento do dobro desse ângulo.
Solução:``
= ° −
° −
=
= ° −
5
x (180 x )
4
900 5x
x
4
4x 900 5x
= °
= °
9x 900
x 100
° − =
° − = °
Log o :
( 360 2x ) ?
360 2.100 160
Determine o menor ângulo formado pelas bissetrizes de2.
dois ângulos adjacentes e suplementares.
β/2
α/2
α/2
β/2
β
α
r
B
s
CA
O
Solução``
α + β = °
α β
= +
α + β °
= = = °
180
RÔS
2 2
180
RÔS 90
2 2
Na figura, calcule α se r//s.3.
160º
2α
r
30°
40°
s

11
EM_V_MAT_026
20°
10°
160°
160°
10°
30°
30°
30°
2α = 20°+ 10°
2α = 30°
α = 15°
Um raio de luz é refletido por três espelhos planos,4.
dois dos quais são paralelos, como mostra a figura.
Lembrando que o raio de luz é refletido por um espelho
segundo o seu ângulo de incidência, ou seja, o ângulo
de reflexão é igual ao ângulo de incidência, o valor do
ângulo α é, em graus:
45°
110°
α
90ºa)
85ºb)
80ºc)
75ºd)
65ºe)
Solução:`` B
110°
70°
25°
25°
45° 45°
45° 45°α
αα + 70° + 25 = 180°
α = 85°
Determine o polígono convexo, cujo número de diago-5.
nais é o triplo do número de lados.
Solução:``
=
−
=
−
=
nd 3n
n( n 3 )
nd
2
n( n 3 )
3n
2
2
2
6n n 3n
n 9n 0
n 9 eneágono
= −
− =
= →
Em um polígono regular, o ângulo interno é o quádruplo6.
do ângulo externo. Calcule a soma dos ângulos internos
desse polígono.
Solução:``
=
+ = °
+ = °
= °
= °
i e
i e
e e
e
e
a 4a
a a 180
4a a 180
5a 180
a 36
°
= °
°
=
°
=
360
36
n
360
n
36
n 10
ai
ai
ai
ai
S 180 ( n 2 )
S 180 (10 2 )
S 180 .8
S 1 440
= ° −
= ° −
= °
= °
Determine o número de diagonais que não passam7.
pelo centro de um polígono regular cujo ângulo externo
vale 45°.
Solução:``
e
360
a
n
360
45
n
360
n
45
n 8
°
=
°
° =
°
=
°
=
−
= = =
= = =
= −
= − =
pc
npc pc
npc
8(8 3 ) 8.5
nd 20
2 2
n 8
nd 4
2 2
nd nd nd
nd 20 4 16
Na construção civil, é muito comum a utilização de8.
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o
revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são
todas as combinações de polígonos que se prestam a
pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou
superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras.

12
EM_V_MAT_026
Num trapézio isósceles, a base menor é igual a um dos9.
lados não-paralelos. Prove que as diagonais são bisse-
trizes dos ângulos agudos.
Solução:``
D
A B
C
α α
αα
α α
Se B^DC = α, então A^BD = α, como AB = AD, A^BD =
A^DB = α, assim, a diagonal também é bissetriz do vértice
D analogamente com AC.
Na figura, ABCD é um quadrado e CDE um triângulo10.
equilátero, calcule α.
α
A B
D C
E
Solução:``
α
α
30º
60º
EA B
D C
Como CD é lado do triângulo e do quadrado, temos CE
= BC = α, logo BCE é um triângulo isósceles, assim
ααα + αα + 30º = 180º 2α αα = 150º α = 75º.
No trapézio ABCD da figura, E e F são pontos médios. De11.
AD e BC, respectivamente. Sabendo-se que DC = 4cm
e MN= 3cm, calcule a diferença entre os perímetros dos
trapézios ABFE e EFCD.
A B
E F
D C
M N
Figura1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam
o plano (há falhas ou superposição).
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares,
com as respectivas medidas de seus ângulos internos.
Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Eneágono
Figura
Ângulo
interno
60° 90° 108º 120º 135º 140º
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois
tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela,
sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá
ter a forma de um:
triângulo.a)
quadrado.b)
pentágono.c)
hexágono.d)
eneágono.e)
Solução:`` B
135º
135º α
α + 135° + 135° = 360°
α = 90º, logo é ângulo interno de um quadrado.

13
EM_V_MAT_026
Solução:``
A B
E F
D C
M N
b = 4
y
y
x
x
B = ?
3
B – b
2
= 3 → B – 4 = 6 → B = 10
EF =
10+4
2
= 7
2PABFE
= 10 + x + y + 7 = 17 + x + y
2PCDEF
= 4 + x + y + 7 = 11 + x + y
2PABFE
- 2PCDEF
= 6
E
A
C
B
F
DD
A B
C
Figura 1 Figura 2 Figura 3
A B
D C
Origamiéaartejaponesadasdobradurasdepapel.Observe12.
asfigurasanteriores,ondeestãodescritosospassosiniciais
para fazer um passarinho: comece marcando uma das dia-
gonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça
coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de
modo que o vértice A e C se encontrem. Considerando-se
o quadrilátero BEDF da figura 3, pode-se concluir que o
ângulo BED mede:
100ºa)
112º 30’b)
115ºc)
125º 30’d)
135ºe)
Solução:`` B
67,5º
45º45º
22,5º
B
F
E
C
D
BED = 45º + 67,5º = 112,5º = 112º30’
Calcule o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa13.
circunferência com 12cm de diâmetro.
Solução:``
A
B C
2R = 12 R = 6cm
= R 3
= 6 3cm
2PABC
= 3 = 18 3cm
Ache a razão entre o lado do quadrado inscrito e o14.
lado do quadrado circunscrito a uma mesma circun-
ferência.
Solução:``
2R
R
= R 2
Razão =
2
2R
R
=
L
=
2
2
Uma moeda tem em seu interior um hexágono regular15.
inscrito. Se o raio mede 1cm, calcule o perímetro do
hexágono inscrito na moeda.
Solução:``
Como = R = 1cm, temos 2p = 6 = 6cm

14
EM_V_MAT_026
Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então1.
esse ângulo vale:
30°a)
60ºb)
45°c)
80ºd)
90°e)
O ângulo igual a2.
5
4
do seu suplemento mede:
100°a)
144°b)
36°c)
72°d)
80°e)
Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e3.
x + 50°. Um deles mede:
20°a)
70ºb)
30°c)
45ºd)
80°e)
Calcule x e determine o valor dos ângulos adjacentes4.
da figura:
3x α 30º
xα +α 10º
–
120º e 60ºa)
105º e 75ºb)
100º e 80ºc)
90º e 90ºd)
110º e 70ºe)
A semirreta OC é exterior ao ângulo AÔB de bissetriz5.
OX. Se AÔC = 32° e BÔC = 108º, determine CÔX:
70°a)
64°b)
54°c)
66°d)
82°e)
Mostre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo6.
vértice são colineares.
A medida da soma de dois ângulos é 125º e a metade de7.
um deles é igual à terça parte da medida do suplemento
do outro. Calcule a diferença entre esses ângulos.
Nas figuras a seguir, as retas r e s são paralelas. Encontre8.
a medida de cada caso.
a)
b)
c)
d)
Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes9.
e suplementares formam ângulo reto.
(UFF) Sabendo que o replemento do dobro de um ângu-10.
lo é igual ao suplemento do complemento desse mesmo
ângulo. Determine a quarta parte desse ângulo.
15ºa)
22,5ºb)
45ºc)

15
EM_V_MAT_026
60ºd)
67,5ºe)
(Unirio) A diferença entre o suplemento e o comple-11.
mento de um ângulo qualquer é:
um ângulo raso.a)
um ângulo agudo.b)
um ângulo reto.c)
um ângulo obtuso.d)
não pode ser determinada.e)
Calcular os valores dos ângulos internos e externos do12.
polígono regular convexo que possui 27 diagonais.
No polígono regular ABCD... da figura, as diagonais AC13.
e BD formam, entre si, um ângulo que mede 20º.
Determine o número de lados do polígono.
O número de diagonais do polígono convexo cuja soma14.
dos ângulos internos é 1 440° é:
20a)
27b)
35c)
44d)
48e)
Qual o gênero do polígono convexo em que a diagonal15.
AC faz com o lado BC um ângulo de 20º?
Qual o polígono convexo em que o número de diagonais16.
é o triplo do número de lados?
As mediatrizes de dois lados consecutivos de um po-17.
lígono regular formam um ângulo igual a 20°. Determine
o número de diagonais desse polígono.
De cada vértice de um polígono regular só podemos18.
traçar três diagonais, sendo que a maior mede T. O
perímetro desse polígono vale:
Ta)
2Tb)
3Tc)
6Td)
8Te)
Três polígonos convexos têm lados expressos por nú-19.
meros consecutivos. Sendo 2 700° a soma de todos os
ângulos internos dos três polígonos, determine o número
de diagonais de cada um deles.
Determine o número de lados de um polígono regular20.
ABCDE, sabendo que as bissetrizes de AP e CP, dos
ângulos A e C, formam um ângulo que vale 2/9 do seu
ângulo interno.
(UFJF) Em um pentágono convexo, os ângulos internos21.
formam uma progressão aritmética de razão r. O valor
de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça
128° é:
10°a)
15ºb)
20°c)
27ºd)
36°e)
Na figura, ABCDE é um pentágono regular.22.
Determine a soma:
Assinaleaalternativaquecontémapropriedadediferencia-23.
da do quadrado em relação aos demais quadriláteros.
Todos os ângulos são retos.a)
Os lados são todos iguais.b)
As diagonais são iguais e perpendiculares entre si.c)
As diagonais se cortam ao meio.d)
Os lados opostos são paralelos e iguais.e)
Q, T, P, L, R e D denotam, respectivamente, o conjunto24.
dos quadriláteros, dos trapézios, dos paralelogramos,
dos losangos, dos retângulos e dos quadrados. De
acordo com a relação de inclusão entre esses conjuntos,
a alternativa verdadeira é:
Da) R L P
Db) L P Q
Qc) P L D
Td) P Q R D
Qe) T P R C

16
EM_V_MAT_026
Prove que a figura formada pelas bissetrizes internas de25.
um paralelogramo propriamente dito é um retângulo.
Na figura, os triângulos A26. ^BM e B^CP são equiláteros e
ABCD é um quadrado.
Calcule o ângulo .
24°a)
22°b)
15°c)
45°d)
30°e)
(Fuvest) No retângulo a seguir, o valor em graus de27.
+ é:
50°a)
90°b)
120°c)
130°d)
220°e)
A afirmativa “um quadrado foi subdividido em n quadra-28.
dos congruentes” acarreta que:
n pode ser 12.a)
n não pode ser par.b)
n não pode ser ímpar.c)
n pode ser 36.d)
n pode ser 29.e)
(UFMG) Sobre figuras planas, é correto afirmar que:29.
um quadrilátero convexo é um retângulo se os la-a)
dos opostos têm comprimentos iguais.
umquadriláteroquetemsuasdiagonaisperpendicub)
lares é um quadrado.
um trapézio que tem dois ângulos consecutivosc)
congruentes é isósceles.
um triângulo equilátero é também isósceles.d)
um triângulo retângulo é aquele cujos ângulos sãoe)
retos.
(PUC-SP) Sendo:30.
A = {x | x é quadrilátero}
B = {x | x é quadrado}
C = {x | x é retângulo}
D = {x | x é losango}
E = {x | x é trapézio}
F = {x | x é paralelogramo}
então vale a relação:
Aa) D E
Ab) F D B
Fc) D A
Ad) F B C
Be) D A E
Na figura, ABCD é um quadrado e AMB um triângulo31.
equilátero.
Determine a medida do ângulo A^MD.
75°a)
68°b)
60°c)
48°d)
50°e)

17
EM_V_MAT_026
(Cesgranrio) As bases32. MQ e np de um trapézio medem
42cm e 112cm, respectivamente.
Se o ângulo M^QP é o dobro do ângulo P^NM, então o
lado PQ mede:
154cma)
133cmb)
91cmc)
77cmd)
70cme)
Na figura33. ad = dc = cb e bd = ba
A medida do ângulo Â do trapézio ABCD mede:
30°a)
36°b)
72°c)
48°d)
80°e)
Ligando-se os pontos médios dos lados de um quadri-34.
látero convexo de diagonais 6 e 8, obtém-se um outro
quadrilátero convexo de perímetro:
7a)
10b)
12c)
14d)
16e)
(UFRJ) Os ângulos internos de um quadrilátero convexo35.
estão em progressão aritmética de razão igual a 20°.
Determine o valor do maior ângulo desse quadrilátero.
Calcule o lado e o apótema do triângulo equilátero36.
inscrito num círculo de raio R.
Calcule o lado e o apótema do quadrado inscrito num37.
círculo de raio R.
Calcule o lado e o apótema do hexágono regular inscrito38.
num círculo de raio R.
Calcule o lado do triângulo equilátero circunscrito a um39.
círculo de raio R.
Calcule o lado do hexágono regular circunscrito a um40.
círculo de raio R.
Calcule a distância entre dois lados opostos de um41.
hexágono regular de 2cm de lado.
Calcule a razão entre os perímetros de dois hexágonos42.
regulares, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito
a um mesmo círculo.
ABCDE é um polígono regular convexo de 2cm de43.
lado. As diagonais AC BDe formam um ângulo de 18º.
Calcule o perímetro do polígono.
(UFF) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o44.
lado do quadrado circunscrito em uma circunferência
de raio R é:
1
3
a)
1
2
b)
3
3
c)
2
2
d)
2e)
(PUC) A45. 1
A2
... An
é um polígono regular convexo, de n
lados, inscrito em um círculo. Se o vértice A15
é diame-
tralmente oposto ao vértice A46
, o valor de n é:
62a)
60b)
58c)
56d)
54e)
(Unirio) Às 13 horas e 15 minutos, os ponteiros de um1.
relógio formam um ângulo de:
7°30’a)
17°30’b)
22°30’c)
37°d)
52°30’e)

18
EM_V_MAT_026
Nesta figura, as retas r e s são paralelas e t e u são2.
transversais.
O valor em graus de (2x + 3y) é:
64°a)
500°b)
520°c)
660°d)
580°e)
O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça3.
parte do seu suplemento aumentada da metade do
replemento do quádruplo desse ângulo. Determine o
valor do complemento desse ângulo.
4. e são, respectivamente, as bissetrizes dos ângu-
los adjacentes MÔN e NÔP. é a bissetriz do ângulo
QÔR. Calcule as medidas, em graus, dos ângulos MÔN
e NÔP, sabendo que MÔP = 100° e MÔT = 55°.
Sendo r//s na figura abaixo, o valor de5. a é:
6ºa)
10ºb)
15ºc)
20ºd)
30ºe)
(ITA) Entre 4 e 5 horas, o ponteiro das horas de um6.
relógio fica duas vezes em ângulo reto com o ponteiro
dos minutos. Os momentos dessas ocorrências serão:
4h 5a) min e 4h 38 min.
4h5b) min e 4h 38 min.
4hc) min e 4h 38 min.
4h 5d) min e 4h 38 min.
(UFRRJ) As semirretas consecutivas7. e
são tais que são colineares e BÔC = 72°.
Calcule a medida do ângulo PÔQ, sabendo-se que e
são as bissetrizes dos ângulos AÔB e DÔC.
36°a)
54°b)
90°c)
92°d)
126°e)
Pelo ponto C de uma reta AB traçam-se, num mesmo8.
semiplano dos determinados por AB, as semirretas
. O ângulo é o dobro do ângulo e o
ângulo é o dobro do ângulo . Calcule o ângulo
formado pelas bissetrizes dos ângulos e .
Na figura abaixo, calcule9. .
(OBM) Quantos ângulos retos são formados pelos10.
ponteiros (horas e minutos) de um relógio em um
dia completo que se inicia às 0:00 h?
48a)
40b)
44c)
96d)
(CMC) Na figura a seguir:11.
AÔC = 108°I.
ZÔB = 4°II.

19
EM_V_MAT_026
Sabendo-se que OX, OY e OZ são as bissetrizes de
AÔB, BÔC e XÔY, respectivamente, determine a medida
de AÔB.
Duas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos12.
de um polígono regular formam um ângulo dado por:
a)
b)
c)
d)
e)
(Cesgranrio) Na figura ABCDE é um polígono13. regular.
Determine a medida do ângulo CÂD.
(Consart) Se cada ângulo interno de um polígono não14.
excede , então o polígono tem, no máximo:
4 lados.a)
5 lados.b)
6 lados.c)
8 lados.d)
12 lados.e)
Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são15.
prolongados para formar uma estrela. O número de graus
em cada vértice da estrela é:
a)
b)
c)
d)
e)
O número de diagonais de um polígono16. regular de 2n
lados que não passam pelo centro da circunferência
circunscrita nesse polígono, é dado por:
2n (n – 2)a)
2n (n – 1)b)
2n (n – 3)c)
d)
2ne)
(UFF) A figura representa um triângulo equilátero FHN17.
de lado e um hexágono regular.
Sabendo que I é ponto médio do lado e pertence
ao segmento , assinale a alternativa que representa
o perímetro do quadrilátero FGLM.
7a)
6b)
5c)
4d)
3e)
Se a razão entre o número de diagonais e o número18.
de lados de um polígono é um número inteiro positivo,
então o número de lados do polígono é:
par.a)
ímpar.b)
múltiplo de 3.c)
não existe.d)
nenhuma das anteriores.e)
A soma dos (n–1) ângulos internos de um polígono19.
regular de n lados é 945º. Determine o número de lados
do polígono.
(FEI) O menor ângulo de um polígono convexo mede20.
139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma
progressão aritmética de razão 2. Determine o número
de lados do polígono.

20
EM_V_MAT_026
(Mackenzie) A medida em graus de um ângulo interno21.
de um polígono regular é um número inteiro. O número
de polígonos não semelhantes que possuem essa
propriedade é:
24a)
22b)
20c)
18d)
15e)
Um polígono P22. 1
tem 3 lados a mais e 30 diagonais a mais
que um polígono P2
. Quantas diagonais possui P1
?
(CN) O número de polígonos regulares, tais que quais-23.
quer duas de suas diagonais, que passam pelo seu
centro, formam entre si ângulo expresso em graus por
número inteiro, é:
17a)
18b)
21c)
23d)
24e)
O hexágono da figura abaixo é equiângulo e não equi-25.
látero. Determine o valor de X e Y.
ABCD é um quadrado cujas diagonais cortam-se no26.
ponto I. Constrói-se, exteriormente, um triângulo equi-
látero ABM.
Calcule o ângulo AÎJ, sabendo-se que J é o ponto médio
do lado am.
Observe a figura abaixo:27.
O trapézio ABCD é isósceles e o lado oblíquo BC tem
para o dobro da medida da base menor ab. O ponto M
é médio de bc e dm = dc
Se o ângulo A^DM mede 30°, calcule o valor da medida
do ângulo B^CD.
Na figura a seguir, A não pertence ao plano determi-28.
nado pelos pontos B, C, e D. Os pontos E, F, G e H são
os pontos médios dos segmentos ab, bc, cd E da
respectivamente.
Prove que EFGH é um paralelogramo.
(CEFET) Para ladrilhar o chão de uma varanda foram24.
usadas lajotas na forma de pentágonos regulares e
losangos, como mostra a figura.
Os ângulos agudos de cada losango medem:
36°a)
42°b)
48°c)
56°d)
72°e)

21
EM_V_MAT_026
Dado o triângulo acutângulo ABC da figura AH, tal29.
que ab = 8, bc = 12 e bh = 3, calcule o perímetro do
quadrilátero convexo MNPH, onde M, N e P são pontos
médios dos lados ab, ac e bc.
(Unificado) No quadrilátero ABCD da figura a seguir30.
são traçadas as bissetrizes cm e bn, que formam entre
si o ângulo .
A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero
corresponde a:
3a)
2b)
c)
2
d)
e)
4
Na figura, ABCD é um paralelogramo.31.
B
Considere:
ap1. bissetriz de Â, bp bissetriz de ^B e cq bissetriz
de ^C .
M e N pontos médios, respectivamente, de2. ab e
bc
pm3. = 5cm e qn = 3cm.
O perímetro do paralelogramo ABCD é igual a:
48cma)
46cmb)
40cmc)
36cmd)
32cme)
Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado OX32.
do ângulo XÔY da figura.
Traçamos, então:
ab1. OY
aq2. // OY
opq3. tal que pq = 2oa
Se PÔB = 26°, XÔY mede:
61°a)
66°b)
72ºc)
78ºd)
80ºe)
No paralelogramo ABCD, as distâncias de A, B e C a33.
uma reta exterior que contém D são, respectivamente,
a, b e c.
Prove que b = a + c.

22
EM_V_MAT_026
Na figura, M é o ponto médio do lado34. bc, an bissetriz
do ângulo BÂC e bn perpendicular a an.
Se AB = 14 e ac = 20, calcule o comprimento do
segmento mn.
(Fuvest) Em um trapézio isósceles, a altura é igual à35.
base média. Determinar o ângulo que a diagonal forma
com a base.
No quadrilátero ABCD, temos AD =36. bc = 2 e o prolon-
gamento desses lados forma um ângulo de 60°.
Indicando por A, B, C e D, respectivamente, as me-a)
didas dos ângulos internos do quadrilátero de vér-
tice A, B, C e D, calcule A + B e C + D.
Sejam J o ponto médio deb) dc, M o ponto médio de
ac e N o ponto médio de bd. Calcule jm e jn.
Calcule a medida do ângulo Mc) ^J N.
Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero onde37. ad =
bc e DÂB + A^BC = 120º.
Calcule o perímetro do triângulo PQR. Sabendo que
P, Q e R são respectivamente os pontos médios dos
segmentos ac, bd E dc e que ad = 6m
Na figura abaixo, ABCD é um trapézio e M e N os pontos38.
médios dos lados não-paralelos.
Mostre que:
Os pontos P, M, N e Q são colineares.a)
O perímetro do trapézio ABCD vale o dobro dob)
segmento pq.
Ao montar um quebra-cabeça, Joãozinho montou o39.
retângulo abaixo de dimensões a e b, decomposto
em quatro quadrados.
a
b
Qual o valor da razão a/b?
5
3
a)
2
3
b)
2c)
3
2
d)
1
2
e)

23
EM_V_MAT_026
Na figura a seguir, calcule o ângulo40. , sabendo que
ABCDE é um pentágono onde B = D^ = 90º, ab = bc,
cd = de e que M é o ponto médio do lado ae.
Em uma circunferência de centro O e raio 2, têm-se41.
duas cordas paralelas, AB e CD, que são os lados do
quadrado e do hexágono regular convexo inscritos,
respectivamente.
A distância EF entre essas cordas é, aproximadamente,
igual a:
5a)
b)
6c)
2d)
π
2
e)
Na figura a seguir, AB e AC são, respectivamente, lados42.
do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na cir-
cunferência de raio r. Com centro em A, traçam-se os
arcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a
reta t em B’ e C’.
A medida que está mais próxima do comprimento do
segmento B’C’ é:
o perímetro do quadrado de lado AC.a)
o comprimento da semicircunferência de raio r.b)
o dobro do diâmetro da circunferência de raio r.c)
o semiperímetro do triângulo equilátero de ladod)
AB.
Calcule o perímetro do triângulo equilátero circunscrito43.
ao círculo que circunscreve um quadrado de 8 6 cm
de perímetro.
Calcule a distância entre dois lados opostos de um hexá-44.
gono regular inscrito num círculo inscrito num triângulo
equilátero de 6m de lado.
Calcule a razão entre os perímetros do triângulo45.
equilátero inscrito num círculo e do hexágono regular
circunscrito ao mesmo círculo.
Calcule o lado do octógono regular convexo inscrito num46.
círculo de raio igual a 2cm.
Calcule o lado do dodecágono regular convexo inscrito47.
num círculo de raio 3cm.
Calcule o comprimento da diagonal do pentágono re-48.
gular convexo, de lado = 2cm.
A razão entre os comprimentos das circunferências49.
circunscrita e inscrita a um quadrado é:
1
2
a)
2b)
3c)
2 2d)
2e)
(Unirio) Um carimbo com o símbolo de uma empre-50.
sa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado
por um triângulo equilátero que está inscrito numa
circunferência e que circunscreve um hexágono
regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve
medir 3cm, então a soma das medidas, em cm, do
lado do hexágono com a do diâmetro da circunfe-
rência deve ser:
7a)
2 3 1+b)
2 3c)

24
EM_V_MAT_026
Ache o lado do decágono regular inscrito em um círculo51.
de raio R.
3 1+d)
77
22
e)

25
EM_V_MAT_026
A1.
A2.
B3.
A4.
A5.
Demonstração6.
95°7.
8.
120°a)
18ºb)
40°c)
55ºd)
Demonstração9.
B10.
C11.
140° e 40°12.
1813.
C14.
Eneágono.15.
Eneágono.16.
135 diagonais.17.
C18.
9, 14 e 2019.
20 lados20.
A21.
216°22.
C23.
B24.
225. + 2 = 180°
+ = 90°
C26.
D27.
D28.

26
EM_V_MAT_026
D29.
B30.
A31.
E32.
C33.
D34.
120°35.
R
R
3
2
e36.
R
R
2
2
2
e37.
R
R
e
3
2
38.
2 3R39.
2 3
3
R40.
2 3 cm41.
3
2
42.
40cm43.
D44.
A45.
E1.
B2.
45°3.
60° e 40°4.
B5.
B6.
E7.
30°8.
135°9.
C10.
62°11.
B12.
36º13.
D14.
B15.
A16.
D17.
B18.
D19.
12 lados.20.
B21.
35 diagonais.22.
A23.
A24.
x = 125.
y = 4
26. = 30°
27. = 70°
H e FG é um paralelogramo.28.
17cm.29.
B30.
E31.
D32.
Demonstração33.
Como34. an é bissetriz, temos dois triângulos congruentes
ABN e ANQ, logo aq = 14 e qc = 6.
No triângulo BCQ, N e M são pontos médios, assim
mn = 3.
45°, com as bases.35.
36.
120° e 240°a)
1b)
60°c)
9cm37.
38.
2a) + 2 = 180°
+ = 90°
2 + 2 = 180°
+ = 90
pqb) = pm + mn + nq
mn = B + b
2
pq = x + B + b
2
+ y
pq = 2x B + b + 2y
2
2PABCD
= 2x + B + b + 2y
2PABCD
= 2.pq

27
EM_V_MAT_026
A39.
90°40.
B41.
B42.
36cm43.
3m44.
3
4
45.
2 2 2− cm46.
3 2 3− cm47.
1 5+( )cm48.
B49.
B50.
R
2
5 1−( )51.

28
EM_V_MAT_026

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