O documento apresenta uma introdução à trigonometria, definindo ângulos, círculo trigonométrico e funções trigonométricas básicas como seno, cosseno e tangente. Também aborda valores relacionados como valores suplementares, complementares e opostos, além de apresentar o teorema do triângulo retângulo e suas aplicações.
1. O documento discute integrais de linha, que podem ser usadas para calcular trabalho realizado por forças variáveis ou calor em transformações termodinâmicas.
2. São introduzidos os conceitos de integrais de linha de funções de duas variáveis e campos vetoriais no plano, que podem ser transformadas em integrais simples.
3. Exemplos mostram como calcular integrais de linha para curvas no plano e no espaço, tanto em forma cartesiana quanto paramétrica.
Trigonometria – exercicios resolvidos ângulos de triângulostrigono_metria
1) A trigonometria é usada para resolver problemas envolvendo medidas de ângulos e lados de triângulos.
2) Um topógrafo usou um teodolito para medir o ângulo e a distância até um prédio e calcular sua altura.
3) A altura calculada do prédio foi de 44,75 metros.
O documento discute um curso de resistência dos materiais, enfatizando a importância da parte prática em relação à teoria. Também destaca a participação ativa dos alunos para um melhor aprendizado e fornecimento de exercícios resolvidos.
1) O documento apresenta as definições e propriedades fundamentais da trigonometria, incluindo o Teorema Fundamental da Trigonometria, as relações trigonométricas no triângulo retângulo e as leis dos senos e cossenos.
2) Inclui demonstrações das fórmulas trigonométricas e exemplos numéricos de cálculos envolvendo seno, cosseno e tangente.
3) Discutem transformações trigonométricas e como calcular valores de funções trigonométricas para ângulos não
Este documento fornece soluções comentadas para questões de matemática de vestibulares da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. As soluções abordam tópicos como meia-vida de isótopos radioativos, progressões aritméticas, probabilidades e geometria plana.
Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Linha, Vetor tangente, reta tangente, Integral de linha de campo escalar, Comprimento, Integral, linha, campo, vetorial, Campos, conservativos, Teorema de Green
Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
1. O documento discute um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. Uma barra suspensa por uma corda sustenta um peso no ponto indicado. A razão entre a tens
1. O documento descreve um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. É mostrada uma barra suspensa por uma corda, sustentando um peso no ponto indicado. A raz
1. O documento discute integrais de linha, que podem ser usadas para calcular trabalho realizado por forças variáveis ou calor em transformações termodinâmicas.
2. São introduzidos os conceitos de integrais de linha de funções de duas variáveis e campos vetoriais no plano, que podem ser transformadas em integrais simples.
3. Exemplos mostram como calcular integrais de linha para curvas no plano e no espaço, tanto em forma cartesiana quanto paramétrica.
Trigonometria – exercicios resolvidos ângulos de triângulostrigono_metria
1) A trigonometria é usada para resolver problemas envolvendo medidas de ângulos e lados de triângulos.
2) Um topógrafo usou um teodolito para medir o ângulo e a distância até um prédio e calcular sua altura.
3) A altura calculada do prédio foi de 44,75 metros.
O documento discute um curso de resistência dos materiais, enfatizando a importância da parte prática em relação à teoria. Também destaca a participação ativa dos alunos para um melhor aprendizado e fornecimento de exercícios resolvidos.
1) O documento apresenta as definições e propriedades fundamentais da trigonometria, incluindo o Teorema Fundamental da Trigonometria, as relações trigonométricas no triângulo retângulo e as leis dos senos e cossenos.
2) Inclui demonstrações das fórmulas trigonométricas e exemplos numéricos de cálculos envolvendo seno, cosseno e tangente.
3) Discutem transformações trigonométricas e como calcular valores de funções trigonométricas para ângulos não
Este documento fornece soluções comentadas para questões de matemática de vestibulares da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. As soluções abordam tópicos como meia-vida de isótopos radioativos, progressões aritméticas, probabilidades e geometria plana.
Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Linha, Vetor tangente, reta tangente, Integral de linha de campo escalar, Comprimento, Integral, linha, campo, vetorial, Campos, conservativos, Teorema de Green
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1. O documento discute um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. Uma barra suspensa por uma corda sustenta um peso no ponto indicado. A razão entre a tens
1. O documento descreve um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. É mostrada uma barra suspensa por uma corda, sustentando um peso no ponto indicado. A raz
Apresentação do Teorema de Pitágoras, triângulo pitagórico e aplicações. O objetivo é levar os alunos a visualizarem os triângulos ocultos nas situações apresentadas.
08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.luiggi50
O documento descreve propriedades e algoritmos para calcular o máximo divisor comum (m.d.c.) e mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de números. Apresenta a relação entre m.d.c. e m.m.c., onde o produto deles é igual ao produto dos números. Também explica o Algoritmo de Euclides para calcular m.d.c. de forma iterativa, subtraindo o resto das divisões sucessivas.
Este documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em função dos catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Também apresenta a relação fundamental da trigonometria e o ciclo trigonométrico.
Razones trigonométricas recíprocas y complementarias 4ºbrisagaela29
O documento apresenta várias identidades e relações trigonométricas e pede para calcular valores de ângulos ou expressões desconhecidas usando essas relações. Inclui identidades como seno x coseno, tangente x cotangente e razões trigonométricas como seno/coseno, secante/cosecante. Pede para resolver equações trigonométricas e sistemas de equações envolvendo funções trigonométricas.
Este documento discute conceitos fundamentais de análise estrutural, incluindo:
- Tipos de carregamentos aplicados em estruturas (distribuídos, pontuais)
- Tipos de apoios em estruturas (simples, rótula, engaste)
- Classificação de estruturas (vigas, pórticos, treliças)
O documento descreve os conceitos de tensões de cisalhamento em vigas sob flexão. Discute as hipóteses básicas, a fórmula de cisalhamento e a distribuição das tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Também apresenta exemplos numéricos de dimensionamento de seções sob tensões de cisalhamento e flexão.
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Exercício de TrigonometriaClarice Leclaire
Matemática - VideoAulas Sobre Exercícios Resolvidos de Trigonometria – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Superfcie, Vetor normal, plano tangente, Integral, superfície, campo escalar, campo vetorial, Teorema da divergência, Teorema de Stokes
Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
O documento descreve o Campeonato Interplanetário de Futebol que será realizado em Marte em 2100. Ele estabelece que o comprimento do campo em Marte será igual à distância máxima de chute de um bom jogador na Terra, que é de 100m. Em seguida, fornece informações sobre as massas e raios de Marte e Terra para calcular propriedades físicas em Marte, como a gravidade e o tempo máximo de voo da bola.
1) O documento apresenta os cálculos para determinar as reações de apoio, o diagrama de esforço cortante (DEC) e o diagrama de momento fletor (DMF) de uma viga isostática com seis apoios.
2) No DEC, os valores de cortante são calculados para cada trecho da viga e traçado o gráfico. O cortante se anula nos trechos entre os apoios A-B, B-E e E-F.
3) No DMF, são calculados os momentos fletores no início e fim de cada trecho
O documento descreve métodos para determinar as forças internas em treliças planas, incluindo o Método dos Nós de Cremona e o Método de Seções de Ritter. O Método dos Nós envolve verificar o equilíbrio de cada nó da treliça para calcular as forças nas barras, enquanto o Método de Seções corta a treliça em seções para isolar grupos de barras e nós. Exemplos ilustram a aplicação destes métodos para diferentes treliças sob diferentes carregamentos.
1. O documento contém exercícios resolvidos de álgebra linear, incluindo verificação de espaços vetoriais, subespaços vetoriais e bases.
2. Os exercícios envolvem encontrar geradores e bases para subespaços definidos por conjuntos de vetores ou matrizes.
3. As respostas explicam detalhadamente os passos para resolver cada exercício e encontrar os geradores ou bases solicitados.
O documento descreve os conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) razões trigonométricas no triângulo retângulo como seno, cosseno e tangente; 2) conversão entre graus e radianos; 3) comprimento de arcos.
1) O documento discute estruturas em treliça, incluindo diferentes tipos de treliças, hipóteses para cálculos, esforços solicitantes, treliças isostáticas e hiperestáticas, treliças simples, e processos de resolução.
2) São descritos processos para resolução de treliças incluindo o processo dos nós, casos de simplificação, processo dos coeficientes de força e processo das seções.
3) Exemplos ilustram conceitos como treliças isostáticas versus hiperestá
[1] O documento apresenta um capítulo sobre cinemática vetorial, com conexões, exercícios e suas respostas.
[2] Inclui definições de grandezas vetoriais como deslocamento, velocidade e aceleração, além de exercícios sobre cálculo de módulos e componentes de vetores.
[3] Aborda conceitos como movimento uniforme e variado, aceleração centrípeta e tangencial em curvas, além de identificar grandezas como escalares ou vetoriais.
Mario Ferreras ganó el primer puesto en el concurso de cálculo mental del curso 2010/2011 para la clase 3o A, mientras que Diego Larea ganó el primer puesto para la clase 3o B. Diego Sánchez y Álex González terminaron en segundo y tercer lugar respectivamente para la clase 3o A, y Mario Molina y Marcos García terminaron en segundo y tercer lugar para la clase 3o B. Denis Valentín, Adrián Vega, Mireia Abreu y Fran Lara fueron finalistas en el concurso.
The document discusses the history of chocolate, describing how it originated from cacao beans grown by the Olmecs and Mayans in Mexico and Central America. It then explains how Spanish conquistadors brought cacao back to Europe in the 16th century, where it eventually became popular as a drink among the elite. Over time, chocolate became widely consumed in powder and solid forms across Europe and North America.
Este documento apresenta um plano de aula sobre Cálculo Diferencial e Integral II. Contém uma lista de exercícios sobre plano tangente e reta normal em superfícies. A lista pede para determinar equações de planos tangentes e retas normais em pontos específicos de funções como z = 4x^2 - y^2 + 2y e z = √x*y.
O documento discute o uso de softwares educacionais GeoGebra e WinPlot no ensino de cálculo diferencial e integral. O GeoGebra permite construir objetos geométricos e representar funções algebraicamente e graficamente, enquanto o WinPlot é uma ferramenta para plotar gráficos 2D e 3D de funções. O texto argumenta que esses recursos tecnológicos podem ser valiosos para a compreensão de conceitos matemáticos.
8ª lista de exercícios exponencial e logaritmomaiaadri
1) O documento apresenta 8 questões sobre cálculo diferencial e integral envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.
2) A questão 5 descreve a técnica de datação por carbono usada em arqueologia para estimar a idade de fósseis.
3) O gabarito fornece as respostas detalhadas para cada uma das 8 questões.
Apresentação do Teorema de Pitágoras, triângulo pitagórico e aplicações. O objetivo é levar os alunos a visualizarem os triângulos ocultos nas situações apresentadas.
08 algoritmo de euclides propriedades do m.m.c. e m.d.c.luiggi50
O documento descreve propriedades e algoritmos para calcular o máximo divisor comum (m.d.c.) e mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de números. Apresenta a relação entre m.d.c. e m.m.c., onde o produto deles é igual ao produto dos números. Também explica o Algoritmo de Euclides para calcular m.d.c. de forma iterativa, subtraindo o resto das divisões sucessivas.
Este documento apresenta os conceitos básicos da trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente em função dos catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Também apresenta a relação fundamental da trigonometria e o ciclo trigonométrico.
Razones trigonométricas recíprocas y complementarias 4ºbrisagaela29
O documento apresenta várias identidades e relações trigonométricas e pede para calcular valores de ângulos ou expressões desconhecidas usando essas relações. Inclui identidades como seno x coseno, tangente x cotangente e razões trigonométricas como seno/coseno, secante/cosecante. Pede para resolver equações trigonométricas e sistemas de equações envolvendo funções trigonométricas.
Este documento discute conceitos fundamentais de análise estrutural, incluindo:
- Tipos de carregamentos aplicados em estruturas (distribuídos, pontuais)
- Tipos de apoios em estruturas (simples, rótula, engaste)
- Classificação de estruturas (vigas, pórticos, treliças)
O documento descreve os conceitos de tensões de cisalhamento em vigas sob flexão. Discute as hipóteses básicas, a fórmula de cisalhamento e a distribuição das tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Também apresenta exemplos numéricos de dimensionamento de seções sob tensões de cisalhamento e flexão.
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Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
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Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Superfcie, Vetor normal, plano tangente, Integral, superfície, campo escalar, campo vetorial, Teorema da divergência, Teorema de Stokes
Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
O documento descreve o Campeonato Interplanetário de Futebol que será realizado em Marte em 2100. Ele estabelece que o comprimento do campo em Marte será igual à distância máxima de chute de um bom jogador na Terra, que é de 100m. Em seguida, fornece informações sobre as massas e raios de Marte e Terra para calcular propriedades físicas em Marte, como a gravidade e o tempo máximo de voo da bola.
1) O documento apresenta os cálculos para determinar as reações de apoio, o diagrama de esforço cortante (DEC) e o diagrama de momento fletor (DMF) de uma viga isostática com seis apoios.
2) No DEC, os valores de cortante são calculados para cada trecho da viga e traçado o gráfico. O cortante se anula nos trechos entre os apoios A-B, B-E e E-F.
3) No DMF, são calculados os momentos fletores no início e fim de cada trecho
O documento descreve métodos para determinar as forças internas em treliças planas, incluindo o Método dos Nós de Cremona e o Método de Seções de Ritter. O Método dos Nós envolve verificar o equilíbrio de cada nó da treliça para calcular as forças nas barras, enquanto o Método de Seções corta a treliça em seções para isolar grupos de barras e nós. Exemplos ilustram a aplicação destes métodos para diferentes treliças sob diferentes carregamentos.
1. O documento contém exercícios resolvidos de álgebra linear, incluindo verificação de espaços vetoriais, subespaços vetoriais e bases.
2. Os exercícios envolvem encontrar geradores e bases para subespaços definidos por conjuntos de vetores ou matrizes.
3. As respostas explicam detalhadamente os passos para resolver cada exercício e encontrar os geradores ou bases solicitados.
O documento descreve os conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) razões trigonométricas no triângulo retângulo como seno, cosseno e tangente; 2) conversão entre graus e radianos; 3) comprimento de arcos.
1) O documento discute estruturas em treliça, incluindo diferentes tipos de treliças, hipóteses para cálculos, esforços solicitantes, treliças isostáticas e hiperestáticas, treliças simples, e processos de resolução.
2) São descritos processos para resolução de treliças incluindo o processo dos nós, casos de simplificação, processo dos coeficientes de força e processo das seções.
3) Exemplos ilustram conceitos como treliças isostáticas versus hiperestá
[1] O documento apresenta um capítulo sobre cinemática vetorial, com conexões, exercícios e suas respostas.
[2] Inclui definições de grandezas vetoriais como deslocamento, velocidade e aceleração, além de exercícios sobre cálculo de módulos e componentes de vetores.
[3] Aborda conceitos como movimento uniforme e variado, aceleração centrípeta e tangencial em curvas, além de identificar grandezas como escalares ou vetoriais.
Mario Ferreras ganó el primer puesto en el concurso de cálculo mental del curso 2010/2011 para la clase 3o A, mientras que Diego Larea ganó el primer puesto para la clase 3o B. Diego Sánchez y Álex González terminaron en segundo y tercer lugar respectivamente para la clase 3o A, y Mario Molina y Marcos García terminaron en segundo y tercer lugar para la clase 3o B. Denis Valentín, Adrián Vega, Mireia Abreu y Fran Lara fueron finalistas en el concurso.
The document discusses the history of chocolate, describing how it originated from cacao beans grown by the Olmecs and Mayans in Mexico and Central America. It then explains how Spanish conquistadors brought cacao back to Europe in the 16th century, where it eventually became popular as a drink among the elite. Over time, chocolate became widely consumed in powder and solid forms across Europe and North America.
Este documento apresenta um plano de aula sobre Cálculo Diferencial e Integral II. Contém uma lista de exercícios sobre plano tangente e reta normal em superfícies. A lista pede para determinar equações de planos tangentes e retas normais em pontos específicos de funções como z = 4x^2 - y^2 + 2y e z = √x*y.
O documento discute o uso de softwares educacionais GeoGebra e WinPlot no ensino de cálculo diferencial e integral. O GeoGebra permite construir objetos geométricos e representar funções algebraicamente e graficamente, enquanto o WinPlot é uma ferramenta para plotar gráficos 2D e 3D de funções. O texto argumenta que esses recursos tecnológicos podem ser valiosos para a compreensão de conceitos matemáticos.
8ª lista de exercícios exponencial e logaritmomaiaadri
1) O documento apresenta 8 questões sobre cálculo diferencial e integral envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.
2) A questão 5 descreve a técnica de datação por carbono usada em arqueologia para estimar a idade de fósseis.
3) O gabarito fornece as respostas detalhadas para cada uma das 8 questões.
Este documento apresenta o plano de ensino para o curso de Licenciatura em Matemática à Distância na Universidade do Estado da Bahia. O componente curricular em questão é Cálculo Diferencial, ministrado no semestre de 2010.2, com carga horária de 60 horas. São descritos a ementa, objetivos, conteúdo programático, metodologia, avaliação, recursos didáticos e cronograma.
1) O cálculo é um ramo da matemática que trata de limites e conceitos dinâmicos como variação e movimento.
2) O cálculo generaliza conceitos como área e tangente à curva utilizando o conceito de limites para calcular áreas sob curvas e a inclinação da tangente.
3) O cálculo permite calcular velocidades instantâneas, declividades, comprimentos de curvas e áreas sob curvas como limites de sequências.
A flauta doce Yamaha YRS-23G é uma flauta soprano feita de resina ABS cor marfim, com afinação em Dó e digitação alemã. Ela possui um duto de ar reto que proporciona fácil controle e precisão de entonação. Embora outras flautas de plástico possam ter aparência semelhante, a Yamaha é um instrumento superior.
A derivada e a integral são conceitos importantes da matemática. A derivada mede a taxa de variação de uma função, enquanto a integral calcula a área sob uma curva ou o acumulado de uma grandeza ao longo do tempo. Estes conceitos são amplamente utilizados em diversas áreas como física, engenharia e economia.
Calculo diferencial e integral (piskunov) tomo i cap 1 a 7Eustáquio Andrade
La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial. Muchos países experimentaron fuertes caídas en el PIB y aumentos en el desempleo debido a los cierres. Ahora, a medida que se levantan las restricciones, la recuperación económica será gradual a medida que los consumidores y las empresas se readaptan a la nueva normalidad.
Logaritmo e função logaritmica (exercícios resolvidos sobre logaritmos, logar...wilkerfilipel
1) O documento apresenta conceitos sobre logaritmos e funções logarítmicas, incluindo sua história, definição, propriedades e aplicações.
2) É explicado que os logaritmos transformam operações de multiplicação em soma e divisão em subtração, facilitando cálculos.
3) As propriedades dos logaritmos incluem a soma de logaritmos de produtos e a diferença de logaritmos de quocientes.
Segundo a física, movimento é a variação de posição espacial de um objeto ou ponto material no decorrer do tempo. A área da Física que estuda o movimento é a Mecânica. Ela se preocupa tanto com o movimento em si quanto com o agente que o faz iniciar ou parar.
1) O documento apresenta um método para ensinar crianças a tocar flauta doce de forma lúdica e passo a passo.
2) Inclui instruções sobre como segurar o instrumento, produzir sons, reconhecer notas musicais e tocar canções simples.
3) Fornece dicas para professores e pais orientarem as crianças na aprendizagem.
O documento apresenta um capítulo sobre funções circulares da trigonometria. Inclui definições das principais funções circulares como seno, cosseno e tangente, suas representações geométricas no círculo trigonométrico, domínios, períodos e gráficos. Também apresenta exemplos de aplicação destas funções na resolução de exercícios.
1. O documento discute topologia de espaços métricos, incluindo definições de espaço métrico, métricas, bolas, conjuntos abertos e fechados, sequências em espaços métricos e propriedades topológicas.
2. As seções abordam espaços métricos, normas, produtos internos, bolas no plano complexo, isometrias, pontos de acumulação e sequências.
3. O documento fornece definições e propriedades fundamentais relacionadas a espaços métricos e topologia.
O documento apresenta um teste de avaliação de matemática do 8o ano com 11 questões sobre geometria, álgebra e transformações geométricas. As questões abordam tópicos como cálculos algébricos, propriedades de triângulos retângulos, translações, reflexões e perímetros de polígonos. O teste é composto por questões de múltipla escolha e questões que requerem demonstrações e cálculos.
Este documento descreve diferentes tipos de funções matemáticas, incluindo suas propriedades e representações gráficas. Aborda funções constantes, identidade, do primeiro grau, módulo, quadrática, polinomial, racional, exponencial, logarítmica, trigonométricas, hiperbólicas e periódicas.
20. Cálculo Vetorial (Portugués) Autor Universidade Federal do Rio Grande do ...OSCONEYRALEIBNIZ
1. O documento apresenta um livro colaborativo sobre cálculo vetorial, com seções sobre curvas, superfícies, campos vetoriais e outros tópicos.
2. Os organizadores convidam professores, alunos e interessados a colaborarem na escrita e revisão do livro, que tem seu código-fonte disponível publicamente sob licença Creative Commons.
3. O objetivo do projeto é fomentar o desenvolvimento colaborativo de materiais didáticos sobre cálculo vetorial.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, o teorema de Pitágoras, definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas de adição e multiplicação para as funções trigonométricas.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, e valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°. Também discute os conceitos de período e gráficos das funções seno, cosseno e tangente.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas para adição e multiplicação de arcos.
Este documento apresenta um curso introdutório de álgebra linear. Ele inclui seções sobre noções preliminares, espaços vetoriais, transformações lineares, polinômios, formas canônicas e espaços vetoriais com produto interno.
O documento apresenta um capítulo sobre introdução à geometria analítica. Apresenta conceitos como localização unidimensional e bidimensional, eixos, sistema cartesiano, coordenadas de pontos no plano cartesiano e propriedades dos pontos no plano. Também aborda cálculo da distância entre dois pontos.
O documento apresenta conceitos básicos sobre circunferência e círculo, incluindo elementos como raio, corda, diâmetro e suas relações métricas. Também aborda polígonos regulares inscritos na circunferência, definindo seus elementos e estabelecendo relações entre o raio da circunferência, o lado do polígono e o apótema.
O documento apresenta os principais conceitos de álgebra linear, incluindo matrizes, determinantes, sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. O sumário lista os tópicos principais discutidos ao longo das seções, como matrizes e determinantes, sistemas lineares, espaços vetoriais reais, transformações lineares, autovalores e autovetores e produto interno.
Este documento apresenta um curso sobre argumentação matemática ministrado por Lenimar Nunes de Andrade. O curso aborda noções básicas de lógica matemática como proposições, conectivos lógicos, tabelas-verdade e equivalências lógicas. Também discute técnicas de demonstração matemática como modus ponens, modus tollens e silogismo.
Este documento apresenta um curso introdutório de álgebra linear com os seguintes tópicos: noções preliminares sobre corpos e sistemas de equações lineares; operações elementares em matrizes; espaços vetoriais, subespaços vetoriais e bases; transformações lineares; polinômios e determinantes; formas canônicas de matrizes e operadores lineares.
Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte IIIMaths Tutoring
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre trigonometria de triângulos retângulos. Os exercícios abordam cálculos envolvendo funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente, bem como propriedades fundamentais como o Teorema de Pitágoras e a Fórmula Fundamental da Trigonometria. Alguns exercícios pedem para provar relações trigonométricas ou aplicá-las em problemas geométricos.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo definições de triângulo retângulo, relações trigonométricas, funções seno, cosseno e tangente. Explica as relações entre os elementos do triângulo retângulo e introduz noções como ângulos notáveis, ciclo trigonométrico e arcos congruentes. Fornece definições formais das funções trigonométricas e apresenta suas propriedades gráficas.
1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008Erick Fernandes
O documento discute trigonometria em triângulos retângulos, relacionando lados e ângulos. Apresenta as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo em termos dos catetos e hipotenusa. Fornece exemplos de cálculo destas razões trigonométricas e introduz outras identidades trigonométricas.
Este documento apresenta 13 aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza para alunos do 3o colegial. As aulas abordam conceitos básicos como pontos, retas, ângulos e triângulos, além de propriedades de figuras planas como quadriláteros, polígonos e círculos. Exercícios complementam cada aula para fixação dos conceitos.
O documento apresenta uma série de aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza. A primeira aula introduz conceitos básicos como retas, segmentos, ângulos e classificação de triângulos. Exercícios complementam o conteúdo teórico.
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em Cristo, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
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Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
3. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 3
1 Introdução: definições e fatos básicos
Círculo trigonométrico e ângulos: tomemos um sistema de eixos ortogonais XOY ,
onde O é a origem. Um círculo de centro O e raio r = 1 é chamado um círculo
trigonométrico ou um círculo unitário.
Percorrer o círculo no sentido anti-horário é a orientação positiva na trigonometria.
Ângulos são medidos iniciando no eixo dos x. As duas unidades de medidas de ângulos
mais usadas são o grau (em inglês degree) e o radiano.
2 radianos. Aqui usaremos mais fre-quentemente
Um ângulo reto mede 90 graus que equivale a
a medida de ângulos em radianos.
A cada número real t corresponde a exatamente um ângulo, e a um ponto sobre o
círculo, quando iniciamos a medida a partir do eixo dos x. Chamamos este ponto de a
imagem de t. Veja a figura 1.
Figura 1: Círculo trigonométrico
Exemplos:
(a) a
6 corresponde o ângulo t e o ponto P sobre o círculo.
(b) a −
2 corresponde o ângulo u e o ponto Q sobre o círculo.
2 Números trigonométricos de um número real t
A t radianos corresponde exatamente um ponto P sobre o círculo unitário
• À coordenada x de P é chamada de cosseno de t. Escrevemos cos(t).
• À coordenada y de P é chamada de seno de t. Escrevemos sin(t).
• Ao número sin(t)
cos(t) chamamos a tangente de t. Escrevemos tan(t).
• Ao número cos(t)
sin(t) chamamos a cotangente de t. Escrevemos cot(t).
cos(t) chamamos a secante de t. Escrevemos sec(t).
• Ao número 1
• Ao número 1
sin(t) chamamos a cossecante de t. Escrevemos csc(t).
4. c
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A reta dada pela equação sin(t).x − cos(t).y = 0 passa pela origem O e pelo ponto
P = (cos(t), sin(t)). Então a reta é a reta OP. Nesta reta tomamos o ponto de interseção
S = (1, a) com a reta vertical x = 1. É fácil resolver o sistema e obter que a = tan(t).
Assim, tan(t) é a y-coordenada do ponto S. Veja a figura 2.
Figura 2: A tangente
Analogamente, a interseção da reta horizontal y = 1 com a reta OP é o ponto S′ =
(b, 1). Resolvendo, vemos que b é a x-coordenada do ponto. Assim, cot(t) é a x-coordenada
do ponto S′.
3 Fórmulas Básicas
A t radianos corresponde exatamente um ponto P = (cos(t), sin(t)) sobre o círculo
unitário. O quadrado da distância [OP] é igual a 1. Calculando esta distância, usando as
coordenadas de P, temos para cada t a seguinte igualdade
cos2(t) + sin2(t) = 1.
Dividindo a igualdade acima por cos2(t), obtemos
1 + tan2(t) =
1
cos2(t)
= sec2(t).
Analogamente,
1 + cot2(t) =
1
sin2(t)
= csc2(t).
Resumindo, já obtivemos as seguintes relações:
cos2(t) + sin2(t) = 1 (1)
1 + tan2(t) = sec2(t) (2)
1 + cot2(t) = csc2(t). (3)
5. c
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4 Valores relacionados
4.1 Valores suplementares
Dizemos que t e t′ são valores suplementares se, e somente se, t + t′ = .
Com ajuda do círculo unitário vemos que os pontos imagens correspondentes são
simétricos com relação ao eixo dos Y . Portanto, temos:
Se t e t′ são valores suplementares, então:
sin(t) = sin(t′) (4)
cos(t) = −cos(t′) (5)
tan(t) = −tan(t′) (6)
cot(t) = −cot(t′). (7)
4.2 Valores complementares
Dizemos que t e t′ são complementares se, e somente se, t + t′ =
2 .
Os pontos imagens correspondentes sobre o círculo unitário são simétricos com relação
a reta y = x.
Portanto, se t e t′ são complementares, então:
sin(t) = cos(t′) (8)
cos(t) = sin(t′) (9)
tan(t) = cot(t′) (10)
cot(t) = tan(t′). (11)
4.3 Valores opostos
Dizemos que t e t′ são valores opostos se, e somente se, t + t′ = 0.
Neste caso, os pontos imagens correspondentes são simétricos com relação ao eixo dos
X.
Portanto, se t e t′ são valores opostos, então:
sin(t) = −sin(t′) (12)
cos(t) = cos(t′) (13)
tan(t) = −tan(t′) (14)
cot(t) = −cot(t′). (15)
4.4 Valores anti-suplementares
Dizemos que t e t′ são anti-suplementares se, e somente se, t − t′ = .
Os pontos imagens correspondentes são simétricos com relação a origem O .
Portanto, se t e t′ são anti-suplementares, então:
6. c
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sin(t) = −sin(t′) (16)
cos(t) = −cos(t′) (17)
tan(t) = tan(t′) (18)
cot(t) = cot(t′). (19)
5 O triângulo retângulo
Um triângulo é dito retângulo se ele tem um ângulo reto. É fácil ver que um triângulo só
pode ter um ângulo reto.
Consideremos o triângulo ABC com ângulo reto em A. Tomemos o ponto B como
centro do círculo trigonométrico. Veja a figura 3.
Figura 3: Triângulo retângulo
Os lados AB e AC são chamados catetos e BC é chamado a hipotenusa. As distâncias
|AC| e |AB| são usualmente denotadas por b e c, respectivamente. Por a denotamos a
medida da hipotenusa BC.
Da figura vemos que sin(ˆB
), cos(ˆB
) e 1 são diretamente proporcionais a b, c e a, re-spectivamente
. Assim, temos:
sin(ˆB
)
b
=
cos(ˆB
)
c
=
1
a
, (20)
o que implica que
sin(ˆB
) =
b
a
(21)
cos(ˆB
) =
c
a
(22)
tan(ˆB
) =
b
c
. (23)
7. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 7
Como os ângulos B e C são complementares, temos:
cos( ˆ C) =
b
a
(24)
sin( ˆ C) =
c
a
(25)
tan( ˆ C) =
c
b
. (26)
Em todo triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A, temos:
sin(ˆB
) =
b
a
, cateto oposto sobre hipotenusa (27)
cos(ˆB
) =
c
a
, cateto adjacente sobre hipotenusa (28)
tan(ˆB
) =
b
c
, cateto oposto sobre cateto adjacente (29)
cos( ˆ C) =
b
a
, cateto adjacente sobre hipotenusa (30)
sin( ˆ C) =
c
a
, cateto oposto sobre hipotenusa (31)
tan( ˆ C) =
c
b
, cateto oposto sobre cateto adjacente.. (32)
6 Área de um triângulo
A área do triângulo é dada pelo semi produto das medidas da base pela sua altura, isto
é,
A =
ah
2
.
Veja a figura 4.
Figura 4: Área de um triângulo
c . E assim a sua altura é h = c. sin(ˆB
No triângulo retângulo BAH, temos sin(ˆB
) = h
).
A altura do triângulo BAH e BAC é a mesma. Portanto, a área do triângulo BAC é
a.c. sin(ˆB
)
2
.
8. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 8
Do mesmo modo, temos que área do triângulo também é dada por
b.c. sin(A)
2
=
a.b. sin( ˆ C)
2
.
A área do triângulo ABC é dada por
a.c. sin(ˆB
)
2
ou por
b.c. sin(Aˆ)
2
ou por
a.b. sin( ˆ C)
2
.
7 Regra do Seno
No triângulo ABC temos que a área é
a.c. sin(ˆB
)
2
=
b.c. sin(Aˆ)
2
=
a.b. sin( ˆ C)
2
.
Simplificando temos,
a.c. sin(ˆB
) = b.c. sin(Aˆ) = a.b. sin(Cˆ),
dividindo por a.b.c, obtemos que em qualquer triângulo ABC temos:
a
sin(Aˆ)
=
b
sin(ˆB
)
=
c
sin( ˆ C)
. (33)
Esta fórmula é chamada de regra do seno (ou lei dos senos) no triângulo ABC. Seja
R o raio do círculo de centro O que passa pelos pontos A,B e C. Seja B′ o segundo
ponto de interseção de BO e o círculo. O ângulo B′ no triângulo BB′C é igual a A. No
triângulo retângulo BB′C vemos que a = 2Rsin(ˆB
′) = 2Rsin(Aˆ). Assim, as frações na
lei dos senos são iguais a 2R.
8 Expressões homogêneas em a, b e c
Se uma expressão entre os lados de um triângulo é homogênea em a, b e c temos uma
expressão equivalente substituindo a, b e c por sin( ˆ A), sin(ˆB
), sin( ˆ C).
Exemplo: Num triângulo
b. sin(Aˆ − Cˆ) = 3.c. cos(Aˆ + Cˆ)
é equivalente a
sin(ˆB
). sin(Aˆ − Cˆ) = 3. sin(Cˆ). cos(Aˆ + Cˆ).
9 Regra do cosseno
Em todo triângulo ABC temos
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(Aˆ) (34)
b2 = c2 + a2 − 2ca cos(ˆB
) (35)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos( ˆ C). (36)
9. c
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10 Funções trigonométricas
10.1 A função seno
A função definida por:
sin : R → R
x7→ sin(x)
é chamada a função seno.
A imagem desta função é o intervalo fechado [−1, 1] e o seu período é 2. Veja o seu
gráfico na figura 5, desenhado apenas no intervalo [0, 2].
Figura 5: Função seno
10.2 A função cosseno
A função cosseno é definida por:
cos : R → R
x7→ cos(x)
A imagem da função cosseno é o intervalo [−1, 1] e seu período 2. Veja o seu gráfico na
figura 6, desenhado apenas no intervalo [0, 2].
Figura 6: Função cosseno
10. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 10
10.3 A função tangente
A função tangente é definida por:
tan : R − S → R
x7→ tan(x)
onde S = {x; x =
2 + k, k ∈ Z}.
Agora, o seu período é . Note que a função tangente não está definida em x =
2 +k,
onde k é um inteiro.
A sua imagem é R. Veja o seu gráfico na figura 7, desenhado apenas no intervalo [0, ].
Figura 7: Função tangente Figura 8: Função cotangente
11 A função cotangente
É a função definida por:
cot : R − S → R
x7→ cot(x)
onde S = {x; x = k, k ∈ Z}.
O seu período é . Note que cot(x) não está definida em x = k, onde k é um inteiro.
A imagem da função cot é R. Veja o seu gráfico na figura 8, desenhado apenas no
intervalo [0, ].
11. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 11
12 Funções trigonométricas inversas
12.1 A função arco seno: arcsin
Restringimos o domínio da função seno ao intervalo [−
2 ,
2 ]. Agora esta restrição é uma
função invertível, pois cada valor x na imagem [−1, 1] tem exatamente um ponto t em
[−
2 ,
2 ] tal que sin(t) = x.
A função inversa desta restrição é chamada de função arco seno. Escrevemos arcsin(x).
O gráfico de y = arcsin(x) é a reflexão em torno da reta y = x do gráfico da função
seno restrita ao intervalo [−
2 ,
2 ].
O seu domínio é [−1, 1] e a sua imagem é [−
2 ,
2 ].
Veja o seu gráfico na figura 9, desenhado apenas nos intervalos apropriados.
Figura 9: seno e arcosseno Figura 10: arcsin(x)
12.2 A função arco cosseno: arccos
Restringimos o domínio da função cosseno ao intervalo [0, ]. Esta restrição é invertível,
pois para cada valor x da imagem [−1, 1] existe exatamente um t no intervalo [0, ] tal
que cos(t) = x.
A função inversa da restrição da função cosseno é chamada de função arccosseno.
Escrevemos arccos.
O gráfico de y = arccos(x) é a reflexão do gráfico da restrição do cosseno com relação
a reta y = x.
O domínio é [−1, 1] e sua imagem é [0, ].
12.3 A função arco tangente: arctan
Restringimos o domínio da função tangente ao intervalo aberto (−
2 ,
2 ). Retiramos os
extremos do intervalo para o denominador não se anular. Agora esta restrição é invertível
12. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 12
porque para cada valor x da imagem, existe um único t em (−
2 ,
2 ) tal que tan(t) = x. A
função inversa da restrição da tangente é chamada de função arco tangente. Escrevemos
arctan(x).
O gráfico de y = arctan(x) é dado pela reflexão do gráfico da restrição da tangente
2 ,
2 ).
com relação a reta y = x. O domínio é R e sua imagem é (−
Veja o seu gráfico na figura 11, desenhado apenas no intervalo [0, ].
Figura 11: Função arcotangente
12.4 A função arco cotangente: accot
Restringimos o domínio da função cotangente ao intervalo (0, ). Agora esta restrição é
invertível, pois cada valor da imagem corresponde a exatamente um ponto do domínio. A
função inversa desta restrição da cotangente é chamada função arco cotangente. Escreve-mos
arccot(x).
O gráfico de y = arccot(x) é dado pela reflexão do gráfico da restrição da cotangente
com relação a reta y = x. O domínio de R e a imagem é (0, ).
13 Fórmulas de soma
13.1 cos(u + v)
cos(u + v) = cos(u). cos(v) − sin(u). sin(v).
Vamos dar uma prova elementar dessa fórmula da soma.
Consideremos dois ângulos a e b. Tomemos os pontos P e B, sobre o círculo trigonométrico,
como indicados na figura 12. Vamos calcular a distância entre P e B. Tomemos o sistema
de coordenadas usuais, assim P = (1, 0) e B = (cos(a + b), sin(a + b)). Se d é a distância
entre P e B, então
d2 = sin2(a + b) + (cos(a + b) − 1)2 = −2 cos(a + b) + 2.
Agora mudamos o nosso sistema de coordenadas: fazemos o eixo dos X coincidirem
com a reta OA. Assim, as coordenadas de
P = (cos(−a), sin(−a)) = (cos(a),−sin(a)).
13. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 13
Figura 12: fórmula da soma
As coordenadas de B são simples B = (cos(b), sin(b)). Agora,
d2 = (sin(b) + sin(a))2 + (cos(b) − cos(a))2 = 2 + 2 sin(a) sin(b) − 2 cos(a) cos(b).
Como a distância d é igual, comparamos e obtemos
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) .
13.2 cos(u − v)
Observemos que
cos(u−v) = cos(u+(−v)) = cos(u) cos(−v)−sin(u) sin(−v) = cos(u) cos(v)+sin(u) sin(v).
Logo,
cos(u − v) = cos(u). cos(v) + sin(u). sin(v).
13.3 sin(u − v)
Observemos que
sin(u−v) = cos(
2
−(u−v)) = cos((
2
−u)+v) = cos(
2
−u). cos(v)−sin(
2
−u). sin(v).
Logo,
sin(u − v) = sin(u). cos(v) − cos(u). sin(v) .
13.4 sin(u + v)
Observemos que
sin(u + v) = cos(
2
− (u + v)) = cos((
2
− u) − v)
= = cos(
2
− u). cos(v) + sin(
2
− u). sin(v)
= sin(u). cos(v) + cos(u). sin(v). sin(u). cos(v) + cos(u). sin(v).
15. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 15
14 Fórmulas de Carnot
1 + cos(2u) = 1 + cos2(u) − sin2(u) = 2 cos2(u)
1 − cos(2u) = 1 − cos2(u) + sin2(u) = 2 sin2(u).
1 + cos(2u) = 2 cos2(u) e 1 − cos(2u) = 2 sin2(u).
15 t-fórmulas
Das fórmulas de Carnot, obtemos
cos(2u) = 2 cos2(u) − 1
=
2
1 + tan2(u)
− 1
=
1 − tan2(u)
1 + tan2(u)
Como
tan(2u) =
2 tan(u)
1 − tan2(u)
,
então
sin(2u) =
2 tan(u)
1 + tan2(u)
Fazendo t = tan(u) , então
cos(2u) =
1 − t2
1 + t2
sin(2u) =
2t
1 + t2
tan(2u) =
2t
1 − t2 .
Estas 3 fórmulas são chamadas t-fórmulas.
16 Equações trigonométricas
16.1 Equações básicas cos(u) = cos(v)
Com a ajuda do círculo trigonométrico vemos que:
cos(u) = cos(v) ⇔ u = ±v + k.2,
onde k ∈ Z.
16. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 16
16.2 sin(u) = sin(v)
Com a ajuda do círculo trigonométrico vemos que:
sin(u) = sin(v) ⇔ u = v + 2.k. ou u = − v + 2.k..
16.3 tan(u) = tan(v)
Com a ajuda do círculo trigonométrico vemos que:
tan(u) = tan(v) ⇔ u = v + k..
16.4 cot(u) =cot(v)
Com a ajuda do círculo trigonométrico vemos que:
cot(u) = cot(v) =⇔ u = v + k..
17 Reduzindo a equações básicas
17.1 Exemplo 1
Resolver cos(2x) = cos( − 3x).
cos(2x) = cos( − 3x)
⇔ 2x = ( − 3x) + 2.k. ou 2x = −( − 3x) + 2.k′.
⇔ 5x = + 2.k. ou − x = − + 2.k′.
⇔ x =
5
+
2.k.
5
ou x = − 2.k′..
17.2 Exemplo 2
Resolver tan(x −
2 ) = tan(2x)
tan(x −
2
) = tan(2x)
⇔ x −
2
= 2x + k.
⇔ x = −
2
− k.
17. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 17
17.3 Usando uma variável adicional
17.4 Exemplo 3
Resolver 2 sin2(2x) + sin(2x) − 1 = 0.
Fazendo t = sin(2x), obtemos a equação
2t2 + t − 1 = 0.
Resolvendo, obtemos t = 0.5 ou t = −1.
Assim, sin(2x) = 0.5 ou sin(2x) = −1. Segue que sin(2x) = sin(
6 ) ou sin(2x) =
sin(−
2 ).
Donde obtemos:
2x =
6
+ 2k ou 2x = −
6
+ 2k
2x = −
2
+ 2k ou 2x = +
2
= 2k
x =
12
+ k ou x =
5
12
+ k
ou x = −
4
+ k ou x =
3
4
+ k.
18 Usando fatoração
18.1 Exemplo 1
Resolver 3 sin(2x) − 2 sin(x) = 0.
3 sin(2x) − 2 sin(x) = 0
⇔ 6 sin(x) cos(x) − 2. sin(x) = 0
⇔ 2 sin(x) (3 cos(x) − 1) = 0
⇔ sin(x) = 0 ou cos(x) =
1
3
⇔ x = k ou x = 1.23095 + 2k ou x = −1.23095 + 2k′
18.2 Exemplo 2
Resolver a equação a sin(u) + b cos(u) = c. Vamos transformar a sin(u) + b cos(u) em
Asin(u − u0) ou Acos(u − u0).
a cos(u).). Tome u0 tal que tan(u0) = −b
a .
Consideremos a sin(u)+b cos(u) = a(sin(u)+b
Logo,
a sin(u) + b cos(u) = a(sin(u) +
b
a
cos(u))
= a(sin(u) − tan(u0) cos(u))
a
=
cos(u0)
[sin(u) cos(u0) − sin(u0) cos(u)] .
18. c
KIT - Cálculo Diferencial e Integral 18
Seja A = A
cos(u0) . Então,
a sin(u) + b cos(u) =
a
cos(u0)
[sin(u) cos(u0) − sin(u0) cos(u)]
= Asin(u − u0)
= Acos(
2
− u + u0)
= cos(u − u′
0).
Com esta redução podemos resolver a equação a sin(u) + b cos(u) = c.
18.3 Exemplo 3
Resolver 3 sin(2x) + 4 cos(2x) = 2. Ou equivalentemente, sin(2x) + 4
3 cos(2x) = 2
3 . Seja
3 . Então,
tan(t) = 4
sin(2x) +
4
3
cos(2x) =
2
3
sin(2x) + tan(t) cos(2x) =
2
3
sin(2x) cos(t) + cos(2x) sin(t) =
2
3
cos(t)
sin(2x + t) =
2
3
cos(t).
Como 2
3 cos(t) = 0.4, segue que sin(2x + 0.927) = sin(0.39), se e somente se,
2x + 0.927 = 0.39 + 2k ou 2x + 0.927 = − 0.39 + 2k′.
Ou equivalentemente,
x =
(−0.927 + 0.39 + 2k)
2
ou x =
(−0.927 + − 0.39 + 2.k′)
2
.
Sugestões: envie para doherty@uem.br
Referências
[1] www.dma.uem.br/kit.