Apostila geometria

ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO
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ÍNDICE
(GEOMETRIA PLANA)

CAPÍTULO 01- Elementos Primitivos Pag. 06

CAPÍTULO 02- Triângulos Pag. 14

CAPÍTULO 03- Quadriláteros Pag. 22

CAPÍTULO 04- Polígonos Regulares Pag. 28

CAPÍTULO 05- Ângulos Relacionados a Arcos Pag. 32

CAPÍTULO 06- Relações Métricas na Circunferência Pag. 39

CAPÍTULO 07- Teorema de Tales Pag. 42

CAPÍTULO 08- Semelhança de Triângulos Pag. 44

CAPÍTULO 09- Relações Métricas no Triângulo Retângulo Pag. 51

CAPÍTULO 10- Àreas de Figuras Planas Pag. 54

CAPÍTULO 11- Àreas de Figuras Circulares Pag. 64

CAPÍTULO 12- Questões de Vestibulares Pag. 70

GABARITO DAS QUESTÕES Pag. 84

Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 5

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Capítulo 1
Elementos Primitivos
1) DEFINIÇÕES DE ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA

1.1) PONTO: É a menor unidade de medida da Geometria. Não existe nada menor do
que o ponto na Geometria Plana.
1.2) RETA: É formado por infinitos pontos colineares ( isto é, em uma mesma linha).
Uma reta não possui origem e destino, portanto é um ente geométrico infinito.
1.3) PLANO: É formado por infinitas retas e consequentemente é também formado por
infinitos pontos.

r
•
P Plano α
Ponto P

Reta r α

1.4) SEMI–RETA: É uma reta que possui um ponto de origem mas não possuí um
ponto de destino.

semi − reta AB

•
A
1.5) SEGMENTO DE RETA: É uma reta que possui um ponto de origem e outro ponto
de destino.
•
B segmento AB

•
A


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2) ÂNGULOS

2.1) REGIÃO CONVEXA : Uma região é convexa se, se somente se, o segmento
determinado por dois pontos quaisquer dessa região estiver contido nela.

2.2) REGIÃO CÔNCAVA: Uma região é côncava se, e somente se, existir algum
segmento de reta cujas extremidades pertence a ela, mas não esteja contido nela.

2.3) ÂNGULOS

A união de duas semi-retas distintas não opostas de mesma origem chamamos
ângulo. Considere as semi-retas PA e PB não colineares da figura. O conjunto união
dessas duas semi-retas é chamado ângulo. As semi-retas PA e PB são chamadas lados
desse ângulo. O ponto P é chamado vértice desse ângulo.


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2.3.1) EXTERIOR E INTERIOR DE UM ÂNGULO

Dois semi-planos abertos (semi-plano menos a reta que é a origem)
determinados pelas retas que contém os lados do ângulo, considere aqueles que não
contém pontos do ângulo. O conjunto união desses dois semi-planos é chamado exterior
do ângulo. O conjunto complementar, em relação ao plano do ângulo, da união desse
ângulo com seu exterior é chamado interior do ângulo.

2.3.2) SEMI-RETA INTERNA A UM ÂNGULO

Uma semi-reta é interna a um ângulo quando tem origem no vértice do ângulo e
pontos internos do ângulo pertencem a ele

2.3.3) ÂNGULOS CONSECUTIVOS

Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo vértice e têm um lado em
comum.

ˆ ˆ
APB e BPC são consecutivos (têm o lado PB comum). Note que neste caso
eles têm apenas os pontos de um lado comum.
ˆ ˆ
RDT e RDS são consecutivos (têm o lado RD comum). Note que neste caso
eles têm também pontos internos em comum.


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2.3.4) ÂNGULOS ADJACENTES

Dois ângulos são chamados adjacentes se são consecutivos e não têm pontos
internos em comum.

ˆ ˆ
APB e BPC são adjacentes.
ˆ ˆ
APB e APC são consecutivos e não são adjacentes.

2.3.5) ÂNGULOS CONGRUENTES

Dois ângulos são congruentes se, e somente se, têm a mesma medida.

2.3.6) BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

É uma semi-reta interna a esse ângulo que o divide em duas partes iguais.


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2.3.7) ÂNGULO RETO

É o ângulo que tem a sua medida valendo 90o e sua representação é dada por
duas semi-retas perpendiculares.

2.3.8) ÂNGULO AGUDO E OBTUSO

Se um ângulo não nulo for menor que um ângulo reto, ele é chamado ângulo
agudo e se um ângulo não raso (180o ) for maior que um ângulo reto ele é chamado
ângulo obtuso.

2.3.9) ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTARES

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for 90º.
Cada um deles é chamado complemento do outro.
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for 180º.
Cada um deles é chamado suplemento do outro.
Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas for 360º.
Cada um deles é chamado replemento do outro.


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2.3.10) ÂNGULOS NULO, COMPLETO, RASO E RETO

Ângulo nulo é aquele que tem medida igual a 0º.
Ângulo completo é aquele que tem medida igual a 360º.
Ângulo raso é aquele que tem medida igual a 180o .
Ângulo reto é aquele que tem medida igual a 90o .

2.3.11) ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

É um par de ângulos formados por duas retas concorrentes e por sua vez ,
possuem a mesma medida.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Q1. Sejam AB e BC segmentos adjacentes e sejam M e N pontos médios de AB e AC,
respectivamente. Se AB = 4 cm e BC = 10 cm, a medida de MN, em centímetros, é:

a) 2
b) 5
c) 7
d) 9
e) 14

Q2. Sejam A, M, B e N pontos colineares nesta ordem. Sabendo que AB = 12 e que
MA NA
= = 3 , a medida de MN é:
MB NB

a) 6
b) 8
c) 9
d) 15
e) 18

Q3. Seja O o ponto médio de um segmento AB e seja M um ponto qualquer situado em um
dos prolongamentos de segmento AB. Assinale a alternativa VERDADEIRA.

1 1 3
a) OM = ( MA + MB) c) OM = ( MA + MB) e) OM = ( MA + MB)
2 4 4
1 2
b) OM = ( MA + MB) d) OM = ( MA + MB)
3 3


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Q4. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 60o . Se um dos
ângulos mede 36o, a medida do outro é:

a) 72o
b) 84o
c) 86o
d) 94o
e) 100o

Q5. O suplemento de um ângulo excede o próprio ângulo em 50o . o complemento desse
ângulo mede em graus:

a) 65
b) 50
c) 45
d) 35
e) 25

Q6. A diferença entre o complemento de um ângulo e a nona parte de seu suplemento é de
6o . A medida desse ângulo, em graus, é:

a) 36
b) 45
c) 67
d) 72
e) 80

Q7. (UFMG) Na figura, BE ⊥ ED , AE ⊥ EC e AED = 144o . O ângulo BEC , em graus, mede;
ˆ ˆ

a) 30o
b) 32o
c) 34o
d) 36o
e) 54o


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Q8. Classifique em verdadeira ou falsa as seguintes sentenças.

a) ( ) Dois ângulos consecutivos são adjacentes.
b) ( ) Dois ângulos adjacentes são consecutivos.
c) ( ) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice.
d) ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes.
e) ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos
f) ( ) Dois ângulos suplementares são adjacentes.
g) ( ) Dois ângulos complementares são adjacentes
h) ( ) Dois ângulos adjacentes são complementares
i) ( ) Os ângulos de medida 10o, 20o e 60o são complementares
j) ( ) Os ângulos de medidas 30o, 60o, 90o são suplementares

Q9. O suplemento de um ângulo excede este ângulo em 120o . Determine este ângulo.

Q10. O complemento da terça parte de um ângulo excede o complemento desse ângulo em
30o . Determine esse ângulo.

Q11. O suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo é igual ao triplo do
complemento desse ângulo. Determine esse ângulo.

Q12. O suplemento do complemento de um ângulo excede a terça parte do complemento do
dobro desse ângulo em 85o . Determine esse ângulo.

Q13. Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento
do outro, nesta ordem, é 1/8 . Determine esses ângulos.


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Capítulo 2

Triângulos

1) DEFINIÇÃO

Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta ( não alinhados ou não colineares )
a união dos segmentos AB, AC e BC chamamos triângulo ABC e indicamos por ∆ABC .

2) ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO

VÉRTICES : são os pontos A, B e C

LADOS: são os segmentos AB, AC e BC

ˆ ˆ ˆ
ÂNGULOS INTERNOS: são os ângulos BAC , ABC e ACB

ÂNGULOS EXTERNOS: Os ângulos adjacentes
suplementares dos ângulos internos de um triângulo.
α , β e γ são ângulos externos do triângulo

Perímetro: é a soma das medidas dos lados.

2p = a+ b+ c ( perímetro )


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3) CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

3.1) QUANTO AOS LADOS

Triângulo Equilátero: Possui todos os lados congruentes.
Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes.
Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes.

3.2) QUANTO AOS ÂNGULOS

Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são agudos.
Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto.
Triângulo Obtusângulo: um de seus ângulos é obtuso.

4) MEDIANA, BISSETRIZ, ALTURA E MEDIATRIZ

4.1) Mediana : É o segmento cujas extremidades são um vértice e o ponto médio do lado
oposto a esse vértice.

AM é a mediana relativa ao lado BC ou mediana relativa ao vértice A.
As três medianas de um triângulo concorrem num mesmo ponto G que é chamado
baricentro do triângulo.
Propriedade do BARICENTRO:
“O baricentro divide cada mediana na proporção 2 : 1”

4.2) Bissetriz: É o segmento contido na bissetriz de um ângulo interno do triângulo, cujas
extremidades são um vértice e o ponto de intercecção da bissetriz com o lado oposto.


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AS é a bissetriz relativa ao lado BC ou bissetriz relativa ao vértice A.
As três bissetrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto O que é chamado
incentro do triângulo.
Propriedade do INCENTRO:
“O incentro é o centro de uma circunferência inscrita no triângulo”

4.3) Altura : É o segmento contido numa reta perpendicular, por um vértice, à reta que
contém o lado posto a esse vértice, cujas extremidades são esse vértice e o ponto de
intersecção dessas retas.

AH é a altura relativa ao lado BC ou altura relativa ao vértice A.
As três alturas de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado
ortocentro do triângulo.
Propriedade do ORTOCENTRO:
“O ortocentro é o vértice do ângulo reto no triângulo retângulo”

4.4) Mediatriz: É a reta perpendicular a cada um de seus lados pelo seu ponto médio.

As três mediatrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado
circuncentro do triângulo.
Propriedade do CIRCUNCENTRO:
“O circuncentro é o centro de uma circunferência circunscrita ao
triângulo”


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5) SOMA DOS ÂNGULOS DO TRIÂNGULO.

5.1) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
“A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o”.

Conseqüência: Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.

5.2) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
“A soma dos ângulos externos de um triângulo, é igual a soma dos dois
ângulos internos opostos.

OBSERVAÇÕES:

Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.
Em um triângulo equilátero os seus ângulos são congruentes e iguais a 60o .

Ângulos de Duas Paralelas Cortadas por uma Transversal

Dadas duas retas r e s paralelas cortadas por
uma transversal, os ângulos determinados por
elas são assim determinados:

ALTERNOS INTERNOS: (a e f) e ( d e e) esses pares de ângulos são congruentes.
ALTERNOS EXTERNOS: (b e g) e ( c e h) esses pares de ângulos são congruentes.
COLATERAIS INTERNOS: (a e e) e ( d e f) esses pares de ângulos são suplementares.
COLATERAIS EXTERNOS: (b e h) e (c e g) esses pares de ângulos são
suplementares.
CORRESPONDENTES: (b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f) esses pares de ângulos são
congruentes.


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Q1. Observe a figura. Nela, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus é:

a) 110o
b) 120o
c) 130o
d) 140o
e) 150o

Q2. (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular à reta t. a
medida, em graus, do ângulo α é:

a) 36o
b) 32o
c) 24o
d) 20o
e) 18o

Q3. (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:

a) 20o
b) 80o
c) 100o
d) 120o
e) 130o

Q4. O ângulo B, no vértice de um triângulo isósceles ABC, é metade do ângulo A. A medida
do ângulo C, em graus, é:

a) 30o
b) 36o
c) 45o
d) 60o
e) 72o


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ˆ ˆ ˆ ˆ
Q5. (UFMG) Na figura, BD é bissetriz de ABC , ECB = 2 ( EAB) e a medida do ângulo ECB é
80o . A medida do ângulo CDB é:
ˆ

a) 40o
b) 50o
c) 55o
d) 60o
e) 65o

Q6. (UFMG) Na figura, AC = CB = BD = e Â = 25o . O ângulo x mede:

a) 50o
b) 60o
c) 70o
d) 75o
e) 80o

Q7. (UFMG) Observe a figura. Nessa Figura, AD = DB, C = 60o e DÂC é o dobro de B . A
ˆ ˆ
razão AC/BC é igual a:
A
a) 1/3
b) 1/2
c) 3 3
d) 2 2
d) 3/2
B D C
o
Q8. Em um triângulo retângulo, um ângulo agudo mede 20 . O ângulo formado pela bissetriz
do ângulo reto com a mediana relativa à hipotenusa mede, em graus:

a) 22o30’
b) 25o
c) 20o
d) 30o
e) 40o

Q9. (UFMG) Num triângulo ABC, o ângulo interno C mede π
ˆ radianos. Se a bissetriz
6
interna do ângulo A corta o lado BC no ponto D tal que AD = DC, então o ângulo interno b
mede:

a) π /2 c) π /6 e) n.d.a
b) π /3 d) π /4


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Q10. Num triângulo retângulo, as bissetrizes dos ângulos agudos se interceptam formando
um ângulo obtuso de:

a) 100o
b) 120o
c) 130o
d) 135o
e) 150o

Q11. (UFMG) Num triângulo ABC, o ângulo Â mede π /7 radianos. A medida do ângulo
ˆ ˆ
agudo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos B e C , em radianos é:

a) π /7
b) 2 π /7
c) 3 π /7
d) 4 π /7
e) 5 π /7

ˆ
Q12. (UFMG) Num triângulo ABC, tem-se : AB = AC e Â = 124o 22’ 50”. O ângulo B mede:

a) 27o 18’ 5”
b) 27o 47’ 35”
c) 27o 48’ 5”
d) 27o 48’ 25”
e) 27o 48’ 35”

Q13. Observe a figura. Nela os triângulos são formados com os prolongamentos dos lados
do heptágono, não regular, ABCDEFG. A soma A1+A2+ ... + A14, em graus mede:

a) 180o
b) 240o
c) 360o
d) 540o

Q14. Observe a figura. Nela AB = AC e AD = DE = EF = FB = BC. A medida do ângulo Â, em
graus é:

a) 20º
b) 30o
c) 36o
d) 45o
e) 60o


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Q15. Num triângulo ABC, escaleno, AB = 3m, BC = 5m e o perímetro, em metros, é um
número inteiro. A soma dos possíveis valores do lado AC é:

a) 35
b) 27
c) 25
d) 17
e) 15

Q16. Um Triângulo escaleno ABC tem os lados AB=6, AC=10 e o lado BC é medido por um
número inteiro. Sendo Â o maior ângulo do triângulo. A diferença entre a maior e a menor
medida do lado BC é:

a) 4
b) 5
c) 8
d) 9
e) 10


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Capítulo 3
Quadriláteros
2) DEFINIÇÃO

Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares distintos, três a três não colineares (não
alinhados), de modo que os segmentos AB , BC , CD e AD interceptam-se apenas nas
extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero.

1.1) PROPRIEDADES DE UM QUADRILÁTERO

“A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360o “
“A soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo é igual a 360o

1.2) TRAPÉZIO

Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem dois lados paralelos.
Os lados paralelos são chamados de bases.

1.2.1) CLASSIFICAÇÃO DO TRAPÉZIO

TRAPÉZIO ISÓSCELES: é o trapézio cujos lados que não são bases são
congruentes.

TRAPÉZIO ESCALENO: É o trapézio cujos lados que não são bases, não são
congruentes

TRAPÉZIO RETÂNGULO: É o trapézio que tem um lado não base perpendicular
às bases e o outro oblíquo às bases.


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1.3) PARALELOGRAMO

Um quadrilátero que possui os lados opostos respectivamente paralelos.

ˆ ˆ
Q1. No paralelogramo ABCD da figura, ABC é o dobro de AMD e AM = MB. Se o perímetro
de ABCD é 24 cm, então o lado BC, em centímetros, é:

a) 4 cm
b) 5 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 9 cm

Q2. (UNESP) Considere as seguintes proposições:

todo quadrado é um losango
todo retângulo é um paralelogramo
todo quadrado é um retângulo
todo triângulo equilátero é isósceles

Pode-se afirmar que:

a) só uma é verdadeira b) todas são verdadeiras c) só uma é falsa
d) duas são verdadeiras e) todas são falsas


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Q3. (UFMG) Seja P o conjunto de todos os paralelogramos. Seja R o conjunto de todos os
retângulos. Seja L o conjunto de todos os losangos. Seja Q o conjunto de todos os
quadrados. Marque a alternativa ERRADA.

a) R⊂P
b) L⊂P
c) R∩L =Q
d) Q − R =∅
e) R∪L = P

Q4. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor em graus de α + β é:

a) 50
b) 90
c) 120
d) 130
e) 220

Q5. Na figura, ABCD é um quadrado e DCE um triângulo equilátero. A medida do ângulo
ˆ
AEB , em graus é:

a) 150
b) 120
c) 110
d) 75

Q6. Observe a figura. Nela ABCD é um retângulo e o triângulo DEC é equilátero. Se AB = 12
cm, então , o segmento EF, em centímetros, mede

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5

Q7. Num quadrilátero convexo ABCD, as diagonais AC e BC medem, respectivamente, 12
cm e 8 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD, obtemos um novo
quadrilátero cujo perímetro, em centímetros, é:

a) 10
b) 15
c) 20
d) 24


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Q8. Na figura. M e N são pontos médios de AB e AC, respectivamente. Assinale a afirmativa
FALSA.

a) MN // BC
b) AC + BC = 2 CM
c) BC = 2 MN
d) PC = 2PM
e) PB = 2 PN

Q9. Na figura abaixo, o ponto Q é médio de AB, e o segmento PQ é paralelo ao lado BC.
Sendo AC = 30, a medida do segmento PM é:

a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25

Q10. (UFMG) NA figura, ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de DC.
Se AM = 6 , a medida de AO, em cm, é:

3
a) 3
4
5
b) 6
9
2
c) 6
3
7
d) 6
9
e) 2

Q11. Observe a figura abaixo. Nela, AB = 3 cm, AC = 9 cm, BÂD = CÂD, BDA = 1 reto ,e M é
ˆ
ponto médio de BC. O valor do segmento DM, em centímetros é:

a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6


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Q12. Na figura, ABCD é um paralelogramo, EF ⊥ AD e AE = ED. Se BÂF = 40o, então BCD ,
ˆ
em graus, mede:

a) 100o
b) 110o
c) 120o
d) 130o

ˆ
Q13. No trapézio isósceles da figura, DB é bissetriz de D e é perpendicular a BC. O ângulo x
mede:

a) 30o
b) 35o
c) 40o
d) 45o
e) 50o

Q14 (FUVEST) No trapézio ARTP da figura, RB e AB estão contidos nas bissetrizes de R e
A. Se B = 70o , o valor de P + T é:

a) 140o
b) 130o
c) 120o
d) 110o
e) 100o

Q15. (UFMG) O trapézio ABCD é isósceles, com AB // DC, AD = BC. A diagonal AC é
perpendicular ao lado BC. Os ângulos agudos do trapézio são a metade dos seus ângulos
obtusos. A base menor mede 2 cm. A medida de AD, em cm. É:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5


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Q16. Na figura, M e P são , respectivamente, pontos médios de AB e MB. Se MN = 8, PQ
mede:

a) 10
b) 12
c) 16
d) 18
e) 24

Q17. (FAAP) No trapézio abaixo, o segmento MN que une os pontos médios M e N das
diagonais e a base AB têm ambos 7 cm de comprimento. Calcular o comprimento l da base
DC.

a) 7
b) 10
c) 12
d) 21


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Capítulo 4
Polígonos Quaisquer e Polígonos regulares
1) DEFINIÇÃO

Um polígono simples é um polígono convexo, se e somente se, a reta determinada por
dois vértices consecutivos quaisquer deixa todas os demais (n-2) vértices num mesmo
semiplano dos dois que ela determina. Se um polígono não é polígono convexo, diremos que
ele é um plano côncavo.

1.1) NOMENCLATURA

De acordo com o número n de lados, alguns polígonos convexos recebem
nomes especiais. Isto é:

Observação: O número de vértices de um polígono é igual ao número de lados

1.2) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados
é dada pela expressão a seguir:

Si = ( n − 2)180 o


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1.3) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados
é dada por:

Se = 360o

1.4) NÚMERO DE DIAGONAIS

O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado pela
expressão a seguir:

n(n − 3)
d=
2

2) POLÍGONOS REGULARES

Quando se trata de polígonos regulares podemos verificar as seguintes definições:

2.1) Ângulo Interno ( Ai ) e Ângulo Externo ( Ae )

Como um polígono regular de n lados tem n ângulos internos congruentes entre
si, temos:

Si (n − 2)180o Se 360o
Ai = = e Ae = =
n n n n


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Q1. Se em um polígono convexo, o número de diagonais é quatro vezes o número de lados,
então, a quantidade de ângulos retos que cabem na soma de seus ângulos internos, é:

a) 9
b) 11
c) 12
d) 16
e) 18

Q2. De um dos vértices de um polígono convexo podemos conduzir, no máximo 9 diagonais.
A soma de seus ângulos internos, em graus, é:

a) 720o
b) 1080o
c) 1440o
d) 1800o
e) 2160o

Q3. O número de lados de dois polígonos convexos são números pares consecutivos e um
deles possui 11 diagonais a mais do que o outro. A soma do número de lados desse
polígono é:

a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20

Q4. (PUC-MG) Qual polígono regular possui ângulo interno de 108o ?

a) Pentágono
b) Hexágono
c) Heptágono
d) Octógono
e) Dodecágono

Q5. (PUC) O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um
polígono regular de 20 lados, em graus, é:

a) 80
b) 72
c) 36
d) 20
e) 18

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Q6. Dados dois polígonos com n e n+6 lados, respectivamente, calcule n, sabendo que um
dos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro.

Q7. Três polígonos convexos têm n, n+1, n+2 lados, respectivamente. Sendo 2700o a soma
de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de n.

Q8. Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n-3, n, n+3.
Determine o número de diagonais de cada um dos polígonos, sabendo que a soma de todos
os seus ângulos internos vale 3240o .

Q9. Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos,
sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine o
polígono com maior número de diagonais.


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Capítulo 5
Ângulos Relacionados a Arcos
3) DEFINIÇÕES BÁSICAS

CORDA: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferência.
DIÂMETRO: Qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência.
ARCO: Qualquer uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois
quaisquer de seus pontos. Esses dois pontos são as extremidades dos arcos.

4) ÂNGULO CENTRAL

Dada uma circunferência de centro O, ângulo central é qualquer ângulo que tem
vértice em O

AÔB é ângulo central

Os lados do ângulo central determinam na
circunferência dois pontos, no caso, A e B. A medida do
menor arco AB já foi definida como a medida do ângulo
AÔB.

Então, sendo a a medida do arco AB, sabemos que a é
também a medida de AÔB.

A medida do ângulo central é igual a medida do arco
compreendido entre seus lados:

m(AÔB) = m(AB)

Para simplificar: AÔB = a


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3) ÂNGULO INSCRITO

Dada uma circunferência, dizemos que um ângulo é inscrito nessa circunferência se o
seu vértice é um ponto dela e os seus lados contém, cada um deles, uma corda.

AB
α=
2

4) ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR

B
C
V
α
AB + CD
α=
D A 2
O

A medida de um ângulo de vértice interno à circunferência é igual à semi-soma das medidas
dos arcos determinados pelo seus lados

5) ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR

B
C
AB − CD
α=
2
V α

D
A
A medida de um ângulo de vértice externo à circunferência é igual à semi-diferença dos
arcos determinados pelo seus lados.


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6) ÂNGULO DE SEGMENTO

AB
V=B α=
A 2
α
O

A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por ele determinado.

7) SEGMENTOS TANGENTES

Toda reta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos tangentes a uma
circunferência, com A e B na circunferência então
PA = PB.

8) QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO

Um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados
são tangentes à circunferência. Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma
circunferência, a soma de dois dos seus lados opostos é igual à soma dos outros dois
lados.

Logo AB+CD = AD + BC


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Q1. Observe a figura. Nela AB = OD e Â = 25º . Sabendo que O é o centro da circunferência
ˆ
a medida de CBE , em graus, é:

f) 30o
g) 37o 30’
h) 45o
i) 60o
j) 75o

Q2. Observe a figura. Nela, A, B e C são pontos da circunferência de centro O. Sabendo que,
OÂC = a , OBC = b , ACB = c , podemos afirmar que
ˆ ˆ

f) a=b+c
g) b=a+c
h) c=a+b
i) 2b = a - c
j) 2a = b - c

Q3. Observe a figura. Nela A, B, C ,D e E são pontos da circunferência de centro O,
EPA = 25o e AO = PD. Medida de DBE , em graus é:
ˆ ˆ

f) 25o
g) 30o
h) 35o
i) 40o
j) 45o

Q4. Na figura AB e CD são respectivamente os lados do quadrado e triângulo equilátero
inscrito no círculo. A diferença α − β , em graus, é:

f) 85o
g) 95o
h) 100o
i) 105o
j) 80o


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Q5. Numa circunfer6encia de centro O, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo
equilátero. Seja D um quarto ponto da circunferência não coincidente com os demais. Sobre
ˆ
a medida x do ângulo ADC , podemos afirmar que

f) 60o
g) 120o
h) 60o ou 120o
i) 45o
j) 45o ou 150o

Q6. Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC. Seu lado BC igual ao raio da
ˆ
circunferência. O ângulo BAC mede:

a) 15o
b) 30o
c) 36o
d) 45o
e) 60o

Q7. Na figura temos O como o centro do círculo, AB = AC , BH = HC e AM = MC. A relação
α e β é:

β
a) α =
2
b) α = 2 β
c) α = β
β
d) α =
3
e) α + β = 90o

Q8. Observe a figura. Nela, os pontos B, C, D e E pertencem à circunferência. Se ADE = 40o
ˆ
ˆ
e DCE = 50o , então a medida do ângulo DÂE, em graus é:

a) 10o
b) 20o
c) 30o
d) 40o
e) 50o


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Q9. Na figura, O é o centro de uma circunferência cujo raio é igual a PA.. O ângulo central x
mede:

k) 80o
l) 40o
m) 35o
n) 30o
o) 20o

Q10. Na figura abaixo, AP é tangente e AB é secante à circunferência. Se o arco b = 100o e
Â = 50o, a medida do arco a, em graus, é igual a:

k) 50o
l) 60o
m) 65o
n) 75o
o) 80o

Q11. Na figura, APB = α e AEB = θ . O ângulo PÂD = x, em função de α eθ , é:
ˆ ˆ

2θ − α
k)
2
θ −α
l)
2
θ +α
m)
3
n) θ + α

Q12. Observe a figura. Nela, o quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência de centro
O. Se ADC = 112o , a medida de EBC é:
ˆ ˆ

k) 68o
l) 72o
m) 108o
n) 112o
o) 120o


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Q13. Observe a figura. Nessa figura D é um ponto da circunferência de centro C e diâmetro
AB, e M e N são pontos médios dos segmentos AC e AD, respectivamente. A medida MN em
função do diâmetro AB é:

AB
k)
5
2
l) AB
5
AB
m)
4
AB
n)
3
AB
o)
2

Q14. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo ABC cujos lados medem AB = 9 cm, BC =
8 cm e AC = 5 cm e M é o ponto de tangência. A medida de MB é:

f) 5 cm
g) 5,5 cm
h) 6 cm
i) 6,5 cm
j) 7 cm

Q15. Se AB = 10 cm, então o perímetro hachurado vale (E, B e T são pontos de tangência)

f) 10 cm
g) 15 cm
h) 20 cm
i) 30 cm
j) N.D.A


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Capítulo 6
Relações Métricas na Circunferência

1) Relação entre duas cordas – Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo,
o produto das medidas dos dois segmentos determinados sobre essas cordas é igual ao
produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra.

A D
P PA ⋅ PB = PC ⋅ PD

C O
B

2) Relação métrica das secantes– Quando duas secantes se cortam externamente a um
círculo, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é igual
ao produto da medida da outra secante pela medida de sua parte externa.

A B
P
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD
O D

C

3) Relação métrica entre secante e tangente – Quando, de um ponto exterior, traçamos
uma tangente e uma secante a um círculo, a medida da tangente é a média proporcional
entre a medida da secante inteira e a medida da sua parte externa.

t A
P
R
PA 2 = PB ⋅ PC em que t ⊥ OA
O B

C


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Q1. Observe a figura. Nela DP > PC, AP = 9 cm, BP = 4 cm e CD = 15 cm. O comprimento
de segmento DP, em cm, é:

a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 14

Q2. Observe a figura. Nela , O é o centro do círculo, OC = 5 cm, AB = 12 cm e BC = 2 cm. O
raio do círculo, em centímetros, é:

a) 3 5
b) 3 6
c) 3 3
d) 5 3
e) 6

Q3. Observe a figura. Nela C é o centro da circunferência, AB = 10 cm, PB = 8 cm e PC = 16
cm. O raio da circunferência, em centímetros, mede:

a) 10
b) 11
c) 4 7
d) 6 3

Q4. Ne figura, AB é tangente ao círculo e AE é secante passando pelo centro C. Se AB = 15
cm e AD = 9 cm, então o raio do círculo, em cm, mede;

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8


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Q5. Na figura, o diâmetro AB é perpendicular à corda CD no ponto E. Se AE x EB = 2, então
a corda CD mede:

p) 2
q) 2
r) 5
s) 8
t) N.R.A.

Q6. Numa circunferência de raio 13 metros, traça-se uma corda de 24 metros. A distância da
corda ao centro da circunferência é, em metros:

a) 5
b) 8
c) 11
d) 20
e) 25

Q7. Na figura, PB = 25 cm e BC = 144 cm. Se PA é tangente à circunferência, então PA
mede:

a) 13
b) 50
c) 60
d) 65
e) 70

Q8. Na figura, O é o centro da circunferência; AB = a, AC = b e AO = x. O valor de x, em
função de a e b, é:

a+b
a)
2
b) a − b
c) 2 a 2 − b 2
a2 b
d) −
2b 2
e) é impossível calcular por falta de dados


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Capítulo 7
Teorema de Talles
1) DEFINIÇÕES

• Feixe de Paralelas : É um conjunto de retas pertencentes a um mesmo plano
( coplanares ) paralelas entre si.
• Transversal do feixe de retas paralelas: É uma reta do plano do feixe que concorre
com todas as retas do feixe.
• Pontos correspondentes de duas transversais: São pontos destas transversais que
estão numa mesma reta do feixe.
• Segmentos correspondentes de duas transversais: São segmentos cujas
extremidades são os respectivos pontos correspondentes.

A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos correspondentes

AB e A’B’, CD e C’D’ são segmentos correspondentes

2) TEOREMA DE TALLES

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois
segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos
correspondentes da outra. No caso da figura acima, podemos dizer que:

AB BC CD AD
= = = = ... ou seja, os segmentos correspondentes formam um proporção.
A' B' B ' C ' C ' D' A' D'


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Q1. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AB = 6 cm, BC = x, DE = 4 cm e
DF = x+3. A medida de x, em centímetros é

a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 9

Q2. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF = 6
cm. A medida do segmento BE, em centímetros, é:

a) 4,8
b) 6
c) 7,2
d) 8,8
e) 9,6

Q3. Os triângulos ABE e ACD são retângulos em B e C, respectivamente. Sabendo-se que
AB = 3 cm, BC = 2 cm e AE = 4 cm, a medida de AD é:

a) 7 cm
15
b) cm
4
20
c) cm
3
15
d) cm
5
e) N.D.A


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Capítulo 8
Semelhança de Triângulos
1) DEFINIÇÕES

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos

ordenadamente congruentes e os lados homólogos ( correspondentes ) proporcionais.

Dois lados homólogos são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos
são opostos a ângulos congruentes.

2) RAZÃO DE SEMELHANÇA

a b c
Sendo k a razão entre os lados homólogos, = = = k , k é chamado razão de
a ' b' c '
semelhança dos triângulos.

Se k = 1, os triângulos são congruentes.

3) CASOS OU CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA.

• 1O CASO (AA)

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são
semelhantes.


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• 2O CASO (LAL)

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os
ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

• 3O CASO (LLL)

Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

4) CONSEQUÊNCIAS DOS CASOS DE SEMELHANÇA:

Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então:

• A razão entre lados homólogos é k;

• A razão entre os perímetros é k;

• A razão entre as alturas homólogas é k;

• A razão entre as medianas homólogas é k;

• A razão entre as bissetrizes internas homólogas é k;

• A razão entre os raios dos círculos inscritos é k;

• A razão entre os raio dos círculos circunscritos é k;

• A razão entre dois elementos lineares homólogos é k;

E os ângulos homólogos são congruentes.


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Q1. Os lados de um triângulo ABC são AB = 15 cm, BC = 10 cm e AC = 20 cm. Se AM = 3
cm, MN // AC e MP // BC, o perímetro do paralelogramo MNCP, em centímetros é:

a) 26
b) 30
c) 32
d) 36
e) 40

Q2. Se a altura de um triângulo escaleno é 10,2 metros, o baricentro dista da base:

a) 2,5 m
b) 5,1 m
c) 3,6 m
d) 3,7 m
e) 3,4 m

Q3. Na figura AC // BD e BC // DE. Então:

a) OB = (3OA)(OE )
OA + OE
b) OB =
2
c) OB = 2 (OA)(OE )
d) OB = (OA)(OE )
e) OB = (OA)(OE )

Q4. Num triângulo ABC, AB = 6 cm e BC = 3 cm. Se a bissetriz NA determina sobre o lado
BC o segmento BN =1,8 cm, a medida do lado AC, em centímetros, é:

a) 1,2
b) 3,8
c) 4
d) 4,2
e) 5,6


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Q5. No triângulo ABC, de perímetro igual a 88 cm, a bissetriz do ângulo A determina sobre o
lado BC, que mede 22 cm. Segmentos de 12 cm e 10 cm. Calcule os outros dois lados do
triângulo.

a) 28 e 38
b) 26 e 40
c) 22 e 44
d) 30 e 36
e) n.d.a

Q6. Num triângulo isósceles ABC, de 15 cm de perímetro, a base AC = 3 cm. Se AM e AN
são respectivamente, mediana e bissetriz, então, o segmento MN, em centímetros, mede;

a) 1
b) 1,6
c) 2
d) 2,4
e) n.d.a

Q7. Na figura, os ângulos assinalados são retos, temos, necessariamente,

x p
a) =
y m
x m
b) =
y p
c) xy = pm
d) x2 + y 2 = p2 + m2
1 1 1 1
e) + = +
x y m p

Q8. Na figura ABCD é paralelogramo BE é perpendicular a CD e BF é perpendicular a CD.
Se BE = 12 , BF = 6 e BC = 8, então AB mede:

a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16


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Q9. O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 m, BC
= 8 cm e AC = 6 m, o lado l do losango mede:

a) 5m
b) 3m
c) 2m
d) 4m
e) 8m

Q10. No paralelogramo ABCD da figura, AB = 4 3 m, AD = 3 m e BM = 2 m. O segmento CN
mede:

3
a)
2
b) 3
c) 2 3
5 3
d)
2
e) 3 3

Q11. Na figura ADEF é um quadrado e ABC, um triângulo cujos catetos AB e AC mede 1 cm
e 3 cm , respectivamente. O lado do quadrado, em cm , é:

1
a)
4
1
b)
3
1
c)
2
3
d)
4
2
e)
3


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Q12. No trapézio ABCD, MN é paralelo a AB. Se AB = 36 cm, DC = 12 cm e as alturas dos
trapézios ABCD e MNCD são, respectivamente, 15 cm e 10 cm, pode-se afirmar que a
medida de MN, em cm, é:

a) 16
b) 24
c) 28
d) 36
e) 48

Q13. Na pirâmide regular de base quadrada da figura, M é o ponto médio de DE, CM
pertence ao plano da base, CM é perpendicular a DE e AB é perpendicular a CM. Se DE =
200 m, AB = 5 m, AC = 7 m e AM = 75 m, então a altura da pirâmide, em metros é:

a) 150
b) 145
c) 140
d) 135
e) 130

Q14. Observe a figura. Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD = 8, AB = 3 e
BC = 7. Sendo P o ponto de interseção das retas AB e DC, a medida do segmento BP é:

a) 22
b) 21
c) 24
d) 23

Q15. O triângulo ABC da figura ( BC = 3m ) sofre um deslocamento lateral de 2 m ocupando
a posição do triângulo A’B’C’. Sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 16 cm, então o
perímetro do triângulo B’CD é em metros:

a) 16
b) 16/3
c) 8
d) 6
e) 4/3


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Q16. O triângulo ABC é equilátero, AD=DE=EF=FB, DG // EH // FI // BC , DG+EH+FI+= 18. O
perímetro do triângulo ABC é:

a) 12
b) 24
c) 36
d) 48
e) 54

Q17. O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE :

a) 76/11
b) 78/11
c) 80/11
d) 77/11
e) 79/11

Q18. Na figura, CD = 30 e a razão entre os raios CP = R e QD = r é 5. Sendo A e B pontos
de tangência, então, MD é:

a) 1/6
b) 1/5
c) 5
d) 6
e) 15

Q19. Dois círculos de raios 6 cm e 4 cm têm centro na altura relativa à base do triângulo
isósceles da figura e são tangentes exteriormente. A altura do triângulo relativa à base, em
centímetros, é:

a) 16
b) 26
c) 30
d) 32
e) 36

Q20. O lado do quadrado inscrito no triângulo ABC de base AC = 8 m e altura BH = 2 m é:

a) 1m
b) 1,2 m
c) 1,5 m
d) 1,6 m


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Capítulo 9
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
5) ELEMENTOS

Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD perpendicular a BC,
com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes:

6) RELAÇÕES MÉTRICAS

Com base nas semelhanças dos triângulos abaixo e com os elementos já caracterizados

acima, temos:

RELAÇÕES MÉTRICAS

1) b2 = n a
2) c2 = a m
3) h2 = m n
4) bc=ah
5) Teorema de Pitágoras : a2 = b2 + c2

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Q1. Um triângulo tem catetos AB = 4 m e AC = 3 m. A soma da hipotenusa com a altura
relativa a ela é:

a) 2,4
b) 5
c) 5,2
d) 7,4
e) 8

Q2. Em um trapézio isósceles, as bases medem 14 m e 10 m e a altura mede 5 m. O valor
da diagonal, em metros, é:

a) 10
b) 12
c) 11
d) 13
e) 15

Q3. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o dobro do produto dos catetos.
Então, um dos ângulos agudos vale;

a) 75o
b) 60o
c) 45o
d) 15o
e) 10o

Q4. Uma folha de papel quadrada ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o
ponto M médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é:

a) 0,3
b) 0,325
c) 0,375
d) 0,45
e) 0,5


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Q5. Na figura, OAB, OBC e OCD são triângulos retângulos em A, B e C, respectivamente e
AO = AB = BC = CD = 1. o segmento OD mede:

a) 2 m
b) 3 m
c) 2 m
d) 5 m
e) 4 m

Q6. Essa figura representa um trecho retilíneo de estrada entre os quilômetros 148 e 150. Os
pontos A e B representam duas escolas que estão a uma distância de 200 m e 100 m,
respectivamente da estrada. A quantos metros do quilômetro 148 deve ser construída uma
passarela que seja eqüidistante das duas escolas?

a) 500
b) 800
c) 850,3
d) 992,5
e) 1000

Q7. Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b, então a medida do
raio do círculo inscrito nesse losango é, em metros:

ab ab a 2b 2 2ab 2a 2 b 2
a) b) c) d) e)
2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

Q8. No triângulo retângulo ABC da figura, a hipotenusa a mede 3 m e b/c = 2. A altura AH
mede:

a) 1
b) 6/5
c) 7/5
d) 8/5
e) 9/5

Q10. Observe a figura. No triângulo retângulo isósceles ABC, Â é o ângulo reto. O ponto D
pertence à reta AB. Se CD = 13 cm e BC = 2 2 cm, a medida do segmento BD em cm é:

a) 1
b) 3/2
c) 2
d) 21
e) 5


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Capítulo 10
Áreas de figuras planas
7) INTRODUÇÃO

Assim como as medidas de segmentos e as medidas de ângulos, a forma rigorosa para se

conceituar áreas é vista em um curso de terceiro grau.

Vamos aqui enunciar algumas propriedades que nos leva às fórmulas de algumas regiões
poligonais. Para simplificar os enunciados muitas vezes quando falarmos polígono estaremos
querendo dizer região poligonal: área de um polígono vai significar, de agora em diante, área
da região poligonal que ele determina.

8) ÁREA DO TRIÂNGULO

A área do triângulo é dada pela formula:

Aqui, é importante saber que qualquer
lado do triângulo pode ser tomado como
BASE x ALTURA base, desde que se utilize a altura
2 relativa ao respectivo lado na aplicação
da fórmula

Veja as figuras:


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3) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E DO ÂNGULO

Caso seja fornecido apenas dois lados de um triângulo e o ângulo compreendido por estes
lados, podemos calcular a sua área pelas expressões abaixo:

4) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS

Caso seja fornecido apenas os lados do triângulo, a sua área pode ser calculada através da fórmula de HERÃO.


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4) CÁLCULO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA

4.1) Circunferência inscrita

Seja I o incentro de um triângulo ABC qualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices
do triângulo, este fica decomposto nos triângulos BIC, AIC e AIB. Logo:

5) ÁREA DO PARALELOGRAMO

A área do paralelogramo qualquer é dada pela fórmula:

Do mesmo modo que ocorre com o triângulo, também no
BASE x ALTURA paralelogramo qualquer lado pode ser tomado como base.
A altura será a distância desse lado ao lado oposto.

‘


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6) ÁREAS DOS PARALELOGRAMOS NOTÁVEIS

Os paralelogramos notáveis são o retângulo, o losango e o quadrado. Suas áreas também
são dadas pela fórmula:

BASE x ALTURA

Porém, como as diagonais do losângo são perpendiculares, é possível expressar sua área
em função de suas diagonais.


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7) ÁREAS DO TRAPÉZIO

A área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula:

( BASE MAIOR + BASE MENOR ) x ALTURA
2

Essa fórmula pode ser obtida facilmente decompondo o trapézio em dois triângulos.

Q1. Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. Sabendo-se que AE = 4 cm e EB = 2 cm, a
área do quadrado EFGH é:

a) 4 cm2
b) 12 cm2
c) 16 cm2
d) 18 cm2
e) 20 cm2

Q2. Observe a figura. Nessa figura, está representado um canteiro retangular de 6 metros de
largura por 10 metros de comprimento, cercado por um passeio de largura constante. Se a
área do passeio é de 36 m2 a medida de sua largura é:

a) 1
b) 0,5
c) 2
d) 1,5


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Q3. Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB é perpendicular a AD, BC é
perpendicular a CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno
é:

f) 1500 m2
g) 1600 m2
h) 1700 m2
i) 1800 m2
j) 2000 m2

Q4. Lucas, proprietário do terreno sombreado na figura, cujo preço era de R$ 1000,00 o
metro quadrado, trocou-o por outro, do mesmo valor, situado numa região onde o metro
quadrado valia R$ 900,00. A área do novo terreno é de:

e) 3600 m2
f) 9000 m2 40 m
g) 12600 m2
h) 14000 m2
i) 16200 m2

Q5. A área do paralelogramo ABCD é a. Então a área de um triângulo ABE, onde E pertence
à reta suporte de DC é:

a) a/4
b) a/3
c) a/2
d) 2a/3
e) a

Q6. Considere NQ = MP = MN/3, sendo MN a base do retângulo KNML. Se a soma das
áreas dos triângulos NQL e PLM é 16, a área do retângulo KMNL é:

a) 24
b) 32
c) 48
d) 72
e) 96


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Q7. No paralelogramo ABCD, AB = BD = CD, AD= (1/2 ) AB. Se AB = 4 cm, então a área do
paralelogramo, em cm2, é:

a) 8
b) 4 2
c) 6 2
d) 6 3
e) 2 15

Q8. Considere o triângulo ABC tal que AB = 8 cm, ABC = 60o e área 16 3 cm2. Então, o lado
ˆ
ˆ
oposto ao ângulo ABC mede, em cm:

a) 2 2
b) 4 2
c) 4 3
d) 4
e) 8

Q9. Num triângulo retângulo, um dos ângulos mede 30o . A área desse triângulo em função
do comprimento a de sua hipotenusa é dada por:

a2
a)
2
a2 3
b)
8
2
a
c)
4
3a 2
d)
8
a2 3
e)
4

Q10. Num triângulo retângulo de 14 cm2 de área, a hipotenusa mede 65 cm. A soma dos
comprimentos dos catetos, em centímetros, é:

a) 9
b) 11
c) 13
d) 15
e) 17


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Q11. Se a área de um triângulo retângulo isósceles é 9 m2, o seu perímetro, em metros, é:

a) 3 + 3
b) 3 + 2 3
c) 3 + 6 3
d) 6 + 3
e) 6 + 6 2

Q12. A área do trapézio ABCD é 7 cm2 e a do quadrado CDEF é 4 cm2 . a medida de base
AB é:

a) 4,5
b) 5
c) 5,5
d) 6
e) n.d.a

Q13. Considere um trapézio isósceles ABCD, em que AB = BC = CD = 4 cm. Se AD = 8 cm,
pode-se afirmar que a área do trapézio, em cm2, é:

a) 4 3
b) 6 3
c) 8 3
d) 12 3
e) 24 3

Q14. Num trapézio de área 48 cm2, o segmento cujos extremos são pontos médios dos lados
não paralelos mede 36 cm. Então, a altura desse trapézio, em cm, é:

a) 2/3
b) 3/4
c) 4/3
d) 3/2
e) 12


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Q15. Na figura, ABCD é um trapézio de altura 8 cm e EF é paralelo a AB. Se AB = 12 cm,
CD = 6 cm e AE = ED, então a área do trapézio ABFE é:

a) 21 cm2
b) 36 cm2
c) 38 cm2
d) 42 cm2
e) 84 cm2

Q16. Um hexágono regular de área 12 3 m2 está inscrito num círculo cujo raio, em metros
mede:

a) 2
b) 2 2
c) 2 3
d) 3
e) 3 2

Q17. Observe a figura. BC é a hipotenusa do triângulo ABC, AE = (1/4)AB, FC = (1/4) AC e a
área do quadrilátero BCFE é igual a 30. A área do triângulo AEF é igual a:

a) 10
b) 20
c) 60/13
d) 80/13
e) 90/13

Q18.Nessa figura, os pontos M. N. P. Q são pontos médios dos lados do quadrado ABCD,
cuja área mede 16 cm2. A área do quadrado RSTV, em cm2, mede:

a) 4
b) 8
c) 10
d) 16/3
e) 16/5


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Q19. Na figura, o hexágono regular ABCDEF está inscrito no circulo de centro O. Se AB = 4
cm, a área do quadrilátero ABOF é:

a) 8 2 cm2
b) 8 3 cm2
c) 16 cm2
d) 16 2 cm2
e) 16 3 cm2

Q20. A área de um losango é 120 m2 e uma de suas diagonais mede 10 m. O lado do
losango, em metros, é:

a) 9
b) 11
c) 13
d) 15
e) 16


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Capítulo 11
Áreas de figuras circulares
1) ÁREA DO CÍRCULO

A área do círculo de raio r é dada pela fórmula:

2) ÁREA DA COROA CIRCULAR

Considere dois círculos concêntricos, isto é, de mesmo centro, de raios R e r, R > r.

Chama-se coroa circular o conjunto de todos os pontos que pertencem ao circulo maior e

que não estão no interior do círculo menor.


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3) ÁREA DO SETOR CIRCULAR

Chama-se setor circular a intersecção de um círculo qualquer com um ângulo também

qualquer que tenha seu vértice no centro do círculo.

O setor circular é uma fração do círculo. Desse modo, para calcular a área de um setor
circular basta descobrir qual é a fração que ele representa do círculo.

4) ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR

Chama-se segmento circular qualquer uma das partes em que um círculo fica dividido por

uma corda qualquer.


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Q1. Na figura, o triângulo ABC está inscrito na semicircunferência e o comprimento do arco
menor AB é 1/6 do comprimento da circunferência. Então, a razão entre as áreas do triângulo
do ABC e do disco mostrado na figura é:

3
f)
2π
π
g)
6
h) π 3
i) 6π
6
j)
π

Q2. Na figura, o triângulo OPA é equilátero e PB é perpendicular à reta que tangencia o
círculo no ponto A. Se a área do triângulo PBA é 2 3 m2, então o raio da circunferência é,
em metros:

f) 1
g) 4
h) 4 3
i) 8
j) 8 3

Q3. Observe a figura. Nessa figura, há um quadrado, uma circunferência de raio 1 e quatro
triângulos equiláteros. Cada triângulo tem um vértice na circunferência. A área da região
hachurada é:

f) 2(3 3 − 4)
1+ 3
g)
4
1+ 3
h)
2
i) 2( 3 − 1)


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Q4. Se os lados de um triângulo ABC medem, respectivamente, 30 cm, 40 cm e 50 cm,
então a área do círculo inscrito neste triângulo mede:

f) 10π cm 2
g) 5π 2 cm 2
h) 5π cm 2
i) 100π cm 2
j) 25π cm 2

Q5. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo equilátero de lado 3 metros. A área
hachurada é, em m2:

9 3 −π
f)
12
3 3 −π
g)
12
3 3 −π
h)
4
2 3 −π
i)
4
9 3 −π
j)
4

Q6. Na figura abaixo, o ângulo Â mede 30o e o lado BC = 2 cm. A área hachurada é, em cm2:

2π − 3 3
f)
3
2π − 3 3
g)
12
2π + 4 3
h)
3
2π − 3
i)
6
2π + 3
j)
3


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Q7. Na figura, o triângulo ABC está inscrito na semicircunferência de centro O e raio a. Se
BÂC = 30o , a medida da área hachurada é:

a2
b) (π − 3 ) b) a 2 (π − 3 )
2
a2 3
c) (π − 1) d) a 2 (π − )
2 2
e) a 2 (π − 1)

Q8. Observe a figura. Nela a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das
circunferências menores, C1, C2, C3 e C4, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito.
Os centros de C1, C2, C3 e C4 estão em diâmetro de C perpendiculares a lados do quadrado.
A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é:

f) 8π (3 + 2 2 )
g) π (3 + 2 2 )
h) π (3 − 2 2 )
i) 2π (3 − 2 2 )

Q9. A figura representa os quadrados ABCD e EFGH circunscrito e inscrito na circunferência
de centro O . Sendo o lado maior do quadrado igual a 4, a área hachurada, é:

f) 4π − 4
g) 4π − 8
h) 4π + 8
i) 2π + 8
j) 16π − 8

Q10. Observe a figura. Nela, a circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE,
EF, FG, GH e HÁ congruentes. O valor da área sombreada em função de r, é:

a) r 2 (π − 2)
b) 2r 2 (π − 1)
c) 2r 2
d) r 2 (π − 2)


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Q11. A área de uma coroa circular de raios r e R, sendo R>r, é:

a) π ( R − r ) 2
b) π ( R + r ) 2
c) π ( R 2 − r 2 )
d) π ( R − r )( R + r )
e) 2π ( R − r )

Q12. Seja d a distância entre os centros de dois discos de raios r1 e r2, com r1 < r2. A
diferença de suas áreas é de πd (r1 − r2 ) . Sobre as posições relativas de suas circunferências,
conclui-se que:

a) não têm pontos comuns
b) são concêntricas
c) são tangentes interiormente
d) são tangentes exteriormente
e) têm dois pontos em comum.

Q13. Nessa figura, o triângulo ABC é equilátero DF e EF são arcos de circunferência de raio
a e centros em A e C respectivamente. Então, a área da região sombreada é:

a2
a) ( 3 −π )
2
a2
b) π 3
6
a2
c) π
3
d) a 2 ( 3 − π )
a2
e) (3 3 − π )
3


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Capítulo 12
Questões de vestibulares

QUESTÃO 01 (UFSM – RS)

A soma de dois ângulos é igual a 100º. Um deles é o dobro do complemento do outro. A
razão do maior para o menor é:

a( )6 b( )5 c( )4 d( )3 e( )2

QUESTÃO 02 (UFMG)

Na figura, OM é a bissetriz do ângulo AÔB, ON é a bissetriz do ângulo BÔC e OP é a
bissetriz do ângulo CÔD. A soma PÔD + MÔN é igual a:

π
a. ( ) rad
2
π
b. ( ) rad
4
π
c. ( ) rad
6
π
d. ( ) rad
3
e. ( ) π rad

QUESTÃO 03 (UFES)

Se as retas r e s da figura são paralelas, então 3α + β vale:

a ( ) 225º b( ) 195º c ( ) 215º d( ) 175º e ( ) 185º


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QUESTÃO 04 (Fuvest - SP)

No quadrilátero ABCD abaixo, ABC = 150º, AD = AB = 4cm, BC = 10cm, MN = 2cm , sendo M e N,
ˆ
respectivamente, os pontos médios de CD e BC . A medida, em cm2, da área do triângulo
BCD é:

a. ( ) 10 b( ) 15 c( ) 20 d( ) 30 e( ) 40

QUESTÃO 05 (UFU-MG)

Do ponto P partem duas semi-retas que encontram as paralelas r e t, nos pontos indicados
na figura. Sabendo-se que MR = 6cm; MS = 20cm; RQ = 32cm; PQ = 24cm; os valores dos segmentos
PM, PS e QS são, respectivamente:

a. ( ) 9cm, 15cm, 10cm
b. ( ) 15cm, 10cm, 9cm
c. ( ) 10cm, 15cm, 9cm
d. ( ) 10cm, 9cm, 15cm
e. ( ) 9cm, 10cm, 15cm

QUESTÃO 06 (FEI - SP)

O ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3 o número
de lados é:

a( ) 60º b( ) 72º c( ) 108º d.( ) 150º e. ( ) 120º


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QUESTÃO 07 (Unifor - CE)

A moldura de um retrato é formada por trapézios congruentes, como está representado na
figura abaixo. A moldura dá uma vota completa em torno do retrato. Quantos trapézios
formam essa moldura?

a( )7 b( )8 c( )9 d.( ) 10 e. ( ) 11

QUESTÃO 08 (UFJF - MG)

Em um pentágono convexo, os ângulos internos formam uma P.A. de razão r. O valor de r
tal que o maior ângulo desse pentágono meça 128º é:

a( ) 10º b( ) 15º c( ) 20º d.( ) 27º e. ( ) 36º

QUESTÃO 09 (ITA - SP)

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2 160º. Então o número
de diagonais deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o
circunscreve, é

a( ) 50 b( ) 60 c( ) 70 d.( ) 80 e. ( ) 90

QUESTÃO 10 (PUC - SP)

O ângulo interno de um polígono regular de 170 diagonais é igual a:

a( ) 80º b( ) 170º c ( ) 162º d.( ) 135º e. ( ) 81º


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QUESTÃO 11 (Fac.Fed. Odont. Diamantina - MG)

Considere um triângulo ABC isósceles,retângulo em Â e cujo perímetro é igual a
4(2 + 2 ) m. O valor da hipotenusa BC , em m, é :

a( )4 b( ) 3 2 c( )5 d.( )4 2 e. ( ) 2

QUESTÃO 12 (UFU - MG)

ˆ
Na figura abaixo, OA e OB são perpendiculares. BC é a bissetriz do ângulo DBA e AC é a
ˆ
bissetriz do ângulo EÂB. A medida do ângulo BCA é:

π
a. ( )
4
π
b. ( )
3
π
c. ( )
6
π
d. ( )
12
π
e. ( )
2


Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo Â mede 40º então o ângulo XYZ mede:
ˆ

a( ) 40º b( )50º c( ) 60º d.( )70º e. ( )90º


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QUESTÃO 14 (PUC – SP)

Na figura, BC = CA = AD = DE . O ângulo CÂD mede:

a( ) 10º b( )20º c( ) 30º d.( )40º e. ( )60º

QUESTÃO 15 (UCMG)

ˆ ˆ
Na figura, o ângulo ADC é reto. O valor, em graus, do ângulo CBD é:

a( ) 95º b( )100º c( ) 105º d.( )110º e. ( )120º

QUESTÃO 16 (FATEC - SP)

Na figura, r é a bissetriz do ângulo ABC . Se α = 40º e β = 30º, então:
ˆ

a. ( ) γ = 0º
b. ( ) γ = 5º
c. ( ) γ = 35º
d. ( ) γ = 15º
e. ( ) os dados são insuficientes para a determinação de γ.


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QUESTÃO 17 (UFMG)

Na figura AC = CB = BD e Â = 25º. O ângulo x mede:

a( ) 50º b( ) 60º c( ) 70º d.( )75º e. ( )80º

QUESTÃO 18 (FEI - SP)

Na figura dada, a soma 1 + 2 + 3 + ... + 8 vale:
ˆ ˆ ˆ ˆ

a( ) 180º b ( ) 270º c ( ) 360º d.( )720º e. ( )n.r.a.

QUESTÃO 19 (Mack - SP)

O triângulo ABC da figura é equilátero AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE é
76
a. ( )
11
77
b. ( )
11
78
c. ( )
11
79
d. ( )
11
80
e. ( )
11


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QUESTÃO 20 (Fatec – SP)

Na figura, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é:

a( ) 0,8 b( )1,4 c( ) 2,6 d.( )3,2 e. ( )3,8

QUESTÃO 21 (Cesgranrio - RJ)

No triângulo retângulo ABC da figura, os seis quadrados têm o lado igual a 2cm. A
hipotenusa BC mede:

a( )6 5 b( ) 12cm c ( ) 12 2 cm d.( ) 12 3 cm e. ( )18cm


O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares pressas
1 6
ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem e , a distância do lampião ao teto é:
2 5
a. ( ) 1,69
b. ( ) 1,3
c. ( ) 0,6
1
d. ( )
2
6
e. ( )
13


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A figura mostra um hexágono regular de lado a. A diagonal AB mede:

a 3 2a 2
a( ) 2a b( )a 2 c( ) d.( )a 3 e. ( )
2 3

Os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 2p são vértices de um quadrado
de perímetro:

p 2 p 2
a( ) b( ) c( )p 2 d.( )2p 2 e. ( )4p 2
4 2

QUESTÃO 25 (UFSC)

No teste abaixo dê o somatório das afirmações corretas. Dada a circunferência de centro O,
onde AB é uma corda e t é uma tangente no ponto B, então, com base na figura abaixo, é
correto afirmar:

01. OB é perpendicular a t.
ˆ
02. O ângulo ABC (γ) é um ângulo de segmento, e o ângulo
AVˆ B (α) é um ângulo inscrito.
04. γ + θ = 90º
08. α = γ
1
16. α = β
2
1
32. α = γ = β
2


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QUESTÃO 26 (Unisantos - SP)

Na figura abaixo, o valor de x é:

a( ) 31º
b( ) 38º
c( ) 48º
d.( )50º

QUESTÃO 27 (UCBA)

A medida do ângulo x, representado na figura, é:

a( ) 10º
b( ) 15º
c( ) 20º
d.( )25º
e. ( ) 30º

QUESTÃO 28 (Mack - SP)

ˆ
Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então AMB é igual a:

a. ( ) 50º
b. ( ) 45º
c. ( ) 60º
d. ( ) 22º30’
e. ( ) 30º


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QUESTÃO 29 (FESP - SP)
Os valores dos ângulos a, b e c são, respectivamente:

a. ( ) 58º, 32º, 116º
b. ( ) 32º, 58º, 64º
c. ( ) 58º, 32º, 64º
d. ( ) 32º, 58º, 116º
e. ( ) n.r.a.

QUESTÃO 30 (EPCAR - SP)

De um ponto P, traça-se uma tangente e uma secante a um círculo. Se o segmento PT da

tangente mede 8m e o segmento PB da secante mede 16m, qual deve ser, em m2, a área do

círculo, se a secante contém o diâmetro do mesmo?

a. ( ) 12π
b. ( ) 18π
c. ( ) 24π
d. ( ) 30π
e. ( ) 36π


A área da figura hachurada, no diagrama, vale:

a. ( ) 4,0
b. ( ) 3,5
c. ( ) 3,0
d. ( ) 4,5
e. ( ) 5,0


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Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e 2,80m de altura, as portas e janelas

ocupam uma área de 4m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra

de 10% a mais da metragem a ladrilhar, A metragem de ladrilhos a comprar é:

2 2 2 2 2
a( ) 24,40m b( ) 24,80m c( ) 25,50m d( )26,40m 26,80m

QUESTÃO 33 (UFMG)

ˆ
Na figura, os ângulos ABC , ACD e CÊD são retos. Se AB = 2 3m e CE = 3m , a razão entre
ˆ

as áreas dos triângulos ABC e CDE é:

a. ( ) 6
b. ( ) 4
c. ( ) 3
d. ( ) 2
e. ( ) 3

QUESTÃO 34 (UCMG)

A área hachurada é:

a. ( ) a–b
2 2
b. ( a –b
)
c. ( ) a + b
2
d. ( ) (a + b)
a 2 + b2
e. ( )
2


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QUESTÃO 35 (UCMG)

Na figura, AB = 6, BC = 10, BM = 5, BR = 2,5 e MN é paralelo a RS e a AB . Então a área do trapézio

RSNM;

a. ( vale 7,5
)
b. ( ) vale 10,5
c. ( ) vale 13,5
2
d. ( ) é da área do triângulo ABC
3
e. ( ) é a metade da área do triângulo ABC

QUESTÃO 36 (UFSM - RS)

Um marceneiro deseja fazer uma mesa na forma de um octogono regular. Para isso, dispõe

de uma tábua na forma de um quadrado de lado x cm, do qual fará o tampo da mesa,

retirando os cantos, conforme indica a figura. O comprimento de cada lado da mesa, em cm,

será:

2x
a. ( )
2 +2
x
b. ( )
2+ 2
2x
c. ( )
2
x
d. ( )
3 2
x
e. ( )
3


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A secção transversal de um maço de cigarros é um retângulo que acomoda exatamente os

cigarros como na figura. Se o raio dos cigarros é R, as dimensões do retângulo são:

a. ( ) 14R e 2R (1 + 3 )
b. ( ) 7R e 3R
c. ( ) 14R e 6R
d. ( ) 14R e 3R
e. ( ) (2 + 3 3 )R e 2R 3


Se A for a área de um quadrado inscrito em uma circunferência, então a área do quadrado

circunscrito à mesma circunferência é equivalente a:

4 7
a( ) A b( ) 2A c( ) A d( )2 2 A e ( )3 2A
3 3


Na figura, tem-se um hexágono regular inscrito em um círculo de raio r. Tem-se também 6

arcos de círculo com centros nos vértices do hexágono e cujos raios são iguais ao lado do

hexágono. Calcule a superfície da região sombreada.

2
a. ( ) (π – 3 )r
2
b. ( ) (2π – 3 )r
2
c. ( ) (2π – 3 3 )r
2
d. ( ) (π – 3 3 )r
2
e. ( ) (3π – 2 3 )r


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Na figura, contém semicírculos de raio a e centro nos vértices do quadrado menor. Calcule a

área da região sombreada.

2
a. ( ) 2a
2
b. ( ) πa
2
c. ( ) 2πa
2
d. ( ) a (4 – π)
2
e. ( ) a (π – 2)


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GABARITO – GEOMETRIA PLANA
Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 Capítulo 4 Capítulo 5

1) b 1) b 1) a 1) e 1) b
2) c 2) e 2) b 2) d 2) b
3) a 3) c 3) e 3) b 3) d
4) b 4) e 4) d 4) a 4) b
5) e 5) d 5) a 5) e 5) c
6) d 6) d 6) c 6) 5 6) b
7) d 7) b 7) c 7) 6 7) c
8) a) F 8) b 8) b 8) 5,20,44 8) a
b) V 9) a 9) a 9) d
c) F 10) d 10) c 10) e
d) F 11) c 11) b Capítulo 10 11) b
e) F 12) e 12) b 12) d
f) F 13) c 13) a 1) e 13) c
g) F 14) a 14) a 2) a 14) c
h) F 15) d 15) b 3) d 15) c
i) F 16) a 16) b 4) d
J) F 17) d 5) c
9) 30o Capítulo 11
Capítulo 7 6) c
10) 45o 7) e
11) 80o Capítulo 9 1) a
1) b 8) e
12) 15o 9) b 2) b
2) d
13) 80o e 100o 1) d 10) b 3) d
3) c
2) d 11) e 4) d
3) c 12) b 5) c
Capítulo 6 Capítulo 8 6) a
4) c 13) d
5) c 7) a
1) d 1) d 15)b 14) c
6) d 8) d
2) a 2) e 16)c 15) d
7) a 9) b
3) c 3) d 17)c 16) b
8) b 17) e 10) a
4) e 4) c 18)c 11) d
5) d 9) a 18) e
5) d 19)e 12) c
6) a 6) a 20) d 19) b
20) c 13) e
7) d 7) b
8) d 8) e Capítulo 12 – Questões de Vestibulares
9) d
10) c 1) C 2) A 3) B 4) C 5) C 6) E 7) D 8) A 9)C 10)C
11) d 11) D 12) A 13) D 14) B 15) B 16) B 17) D 18) C
12) c 19) E 20) B 21) A 22) E 23) D 24) C 25) 63 26) C
13) e 27) C 28) E 29) A 30) E 31) D 32) D 33) B 34) E
14) b 35) A 36) A 37) A 38) B 39) C 40) A


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Referências Bibliográficas:
Fundamentos de Matemática Elementar
Odvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo

Exercícios de Geometria Plana
Manoel Benedito Rodrigues e Álvaro Zimmermann Aranha

Matemática
Manoel Jairo Bezerra e José Carlos Putnoki

De Olho no Vestibular
Giovanni & Bonjorno

Vestibulares de Universidades Brasileiras


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