Sucessões: Exercícios Resolvidos

1. numerosnamente 1
Sucessões
-Exercícios resolvidos-
1- Estude a monotonia das sucessões:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
a) ;
, 
A sucessão (sentido estrito)
b)

A sucessão é monótona decrescente (sentido estrito)
c) ;
, 
, 
, 
A sucessão não é monótona
d)
Podemos fazer o estudo para o expoente
{
; ;
a sucessão não é monotona

2. numerosnamente 2
e) Podemos fazer o estudo através do expoente
{
Assim:
; ;
a sucessão não é monótona.
2- Verifique se as sucessões são limitadas:
a)
b)
c)
d) {
Resolução:
a)
3
vamos agora fazer o estudo da sucessão passo a passo:

, 

, 
, 
, 
A sucessão é limitada; .
b)
 ; ,  ; , 
, 

3. numerosnamente 3
A sucessão é limitada; 2 é o minorante e 5 o majorante.
c)
{
Para par:
,  ; ,  ; , 
Para impar:
,  ; ,  ; , 
, 
Conclui-se que:
A sucessão é limitada, sendo o seu minorante e o seu
majorante.
d) {
Para par:
,  ; ,  ; , 
,  ; , 
Para impar:
,  ; ,  ; , 
A sucessão é limitada.
3- Dá exemplos de uma sucessão que satisfaça as condições:
a) Decrescente e de termos positivos;
b) Crescente e de termos negativos;
c) Crescente e 
d) Decrescente e 
e) Não limitada e 
Resolução:
a) Por exemplo,
b) Por exemplo
c) Por exemplo,
d) Por exemplo,
e) Por exemplo,

4. numerosnamente 4
4- Considere a sucessão . Determine uma ordem a partir da qual se tem
.
Resolução:
A partir da ordem todos os termos de .
5- Mostre que a sucessão √ é um infinitamente grande positivo.
Resolução:
Por comparação  √ √ , 
Como √ , conclui-se então que √
6- Prove, aplicando a definição de infinitamente grande positivo que
Resolução:

, para , existe uma ordem que é igual ao
maior número natural e que satisfaz .
7- Mostre que , aplicando a definição de infinitésimo.
Resolução:
 | |
| | , para existe uma
ordem a partir da qual todos os termos da sucessão satisfazem a condição | | .
Assim é um infinitésimo.
8- Considere a família de sucessões definidas por:
, . Determine para que valores de
a) é um infinitésimo;

5. numerosnamente 5
b) é um infinitamente grande positivo.
Resolução:
a) | |<1
| |  
b)
9- Considere a sucessão . Mostre que
Resolução:
 | |
| | | | | |
Para existe uma ordem onde a condição é satisfeita. Então .
10- Calcule o limite quando das sucessões:
a)
b)
c)
d)
e)
f) √
g)
h)
Resolução:
a) = (indeterminação)
b) (indeterminação)
(indeterminação)
( ) ( )

6. numerosnamente 6
c) (indeterminação)
( ) ( )
d) (indeterminação)
( ) ( ) ( )
e) (indeterminação) ( ) ( )
0.( )
f) √ (indeterminação)
(√ )
√
√ √
(indeterminação)
√
(
√
)
(
√
) (
√
)
g) (indeterminação) ( )
h) {
Para :
(indeterminação) ( ) ( )
Para :
(indeterminação) ( ) ( )
A sucessão não tem limite.
11- Considere a sucessão .
a) Calcule .
b) Classifique quando à monotonia.
c) Mostre que é limitada.

7. numerosnamente 7
d) Que conclui sobre a convergência?
Resolução:
a) ;
b)

A sucessão é monótona decrescente (sentido estrito).
c)
 ,  , 
, 
A sucessão é limitada; minorante= e o majorante=0
d) Como estamos em presença de uma sucessão monótona decrescente e limitada com
limite = 0, então ela converge para o seu limite.
12- Considere a progressão aritmética em que . Determine:
a) O seu termo geral
b) Verifique se 299 é termo da progressão e em caso afirmativo indique a sua ordem.
c) Calcule a soma de 6 termos consecutivos a partir de 12º termo.
d) Calcule a soma de 6 termos consecutivos a partir do 12º termo inclusive.
Resolução:
a)
b) É termo e é o 100º termo
c) ;
d) ;

8. numerosnamente 8
13- Considere a sucessão
a) Mostre que se trata de uma progressão aritmética.
b) Calcule .
Resolução:
a) ( )
;
c.q.d
É uma progressão aritmética decrescente
b) ;
14- Numa progressão geométrica, o 2º termo é 16 e o 4º termo é 256. Determine:
a) O seu termo geral e classifique a progressão quanto à sua monotonia.
b) Calcule a soma de 4 termos consecutivos a partir de 3º termo.
Resolução:
a) e
b) ; ; ;
15- Considere a progressão geométrica . Calcule:
a) e classifique a progressão quanto à sua monotonia.
b) Calcule a soma de cinco termos consecutivos a partir do 2º termo.
c) Calcule a soma dos termos da progressão geométrica.
Resolução:
a) ;
e
, a progressão é monótona decrescente e limitada.
b) ;

9. numerosnamente 9
c)
note que , então:
16- Seja a sucessão {

Escreva o seu termo geral e determine o termo de ordem 10.
Resolução:
Estamos na presença de uma progressão geométrica.
; ;
17- Considere a sucessão {
Escreva o seu termo geral e calcule o termo de ordem 100.
Resolução:
Estamos na presença de uma progressão aritmética.
; ;
;
18- De uma progressão aritmética sabe-se que e
a) Qual é o 5º termo da sucessão?
b) Determine o termo geral.
c) Verifique se 50 é termo da sucessão.
d) Determine a soma de todos os termos entre o 15º e o 37º, inclusive.
Resolução:
a)

10. numerosnamente 10
b)
c) (é termo, é o 61º)
d) ;
; ;
19- Considere e a sucessão tal que:
{ 
a) Determine os valores de para os quais é estritamente decrescente.
b) Considere e calcule o termo geral da progressão aritmética.
Resolução:
a)
Estritamente decrescente:
b)
20- Admita que uma sucessão satisfaz a condição ,  .
a) Justifique que é monótona e limitada.
b) Mostre que o termo geral de
Resolução:
a)
A razão sucessão estritamente decrescente.
É limitada pois , 
b) e assim neste termo geral temos uma sucessão
estritamente crescente e a nossa sucessão é estritamente decrescente. Logo não
é o termo geral da sucessão.

11. numerosnamente 11
21- Considere a figura:
A figura 1 tem 1 triângulo ; A figura 2 tem 4 triângulos; A figura 3 tem 16 triângulos. Diga
quantos triângulos terá a figura 7
Resolução:
Estamos na presença de uma progressão geométrica:
; ,
22- Considere a figura que representa uma progressão aritmética.
a) Calcule seu termo geral
b) Calcule a soma dos primeiros 5 termos.
Resolução:
a) ;
b)

12. numerosnamente 12
23 – Calcule √ √
Resolução:
√ √
√ √
√ √
√ √ √ √
(
√ √
)
24- Considere a sucessão
a) Verifique se é termo da sucessão.
b) Estude a sucessão quanto à monotonia.
c) Verifique se é uma sucessão limitada.
d) O que se pode concluir quanto à convergência?
e) Determine a ordem a partir da qual os termos da sucessão pertencem a 2,98 ; 3,02 .
Resolução:
a) é termo e é o 18º termo.
b)
,  .
Monótona crescente (sentido estrito).
c)
8

 ,  
A sucessão é limitada. Minorante= e Majorante=3.
d) A sucessão é convergente pois é estritamente crescente e limitada. Ela converge para
, que é o valor do seu limite.
e) Como temos limite =3, então
| | | | | |
. Então (inclusive)