Este documento discute concavidade de funções e fornece exemplos resolvidos. Explica que se a segunda derivada de uma função contínua e diferenciável for positiva no intervalo, a concavidade é para cima, e se for negativa, é para baixo. Resolve dois exemplos: a função cos(x) tem concavidade para baixo em alguns intervalos e para cima em outros, e a função x4 - 4x3 tem concavidade para cima em dois intervalos e para baixo em um intervalo. O autor oferece aulas particulares de matemática e

1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Concavidade
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 26/05/2015 - Atualizado em 24/09/2017
Seja ƒ() : R → R uma função continua e diferenciável num intervalo (, b), com
 e b ∈ R e ƒ () = 0, então:
ƒ() tem concavidade para cima no intervalo (, b) se ƒ () > 0;
ƒ() tem concavidade para baixo no intervalo (, b) se ƒ () < 0;
Exemplo 1: Estude o sentido da concavidade da função ƒ() = cos() para  ∈
(0, 2π)?
Solução:
Observe que:
A função cos() é contínua e diferenciável em [0, 2π], logo, também é contínua
e diferenciável no intervalo (0, 2π).
A segunda derivada da função (escreve-se ƒ ()) é diferente de zero.
Com a ocorrência das duas condições acima podemos aplicar o teste da derivada
segunda.
Note que a segunda derivada de ƒ() é −cos().
ƒ() = cos()
⇒ ƒ () = −sen()
⇒ ƒ () = −cos()
Olhando o círculo trigonométrico
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cosseno
seno
0π
π/2
3π/2
percebe-se que a inequação: −cos() < 0 ocorre apenas para  ∈ 0,
π
2
e
3π
2
, 2π .
e −cos() > 0 ocorre para  ∈
π
2
,
3π
2
.
Concluímos então que nos intervalos (0, π/2) e (3π/2, 2π) a concavidade é
voltada para baixo. Já no intervalo (π/2, 3π/2) a concavidade é voltada para cima.
Exemplo 2: Estude o sentido da concavidade da função ƒ() = 4 − 43.
Solução:
Como a função é polinomial ela é contínua e diferenciável em todo o R e como
ƒ () = 0 , então podemos usar o teste da derivada segunda.
ƒ() = 4 − 43
⇒ ƒ () = 43 − 122
⇒ ƒ () = 122 − 24
Finalmente resolvemos ƒ () > 0 e ƒ () < 0.
Resolvendo a inequação 122 − 24 > 0 chega-se à:  ∈ (−∞, 0) e
 ∈ (2, ∞).
Resolvendo a inequação 122 − 24 < 0 chega-se à:  ∈ (0, 2).
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3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Assim, nos intervalos (−∞, 0) e (2, ∞) a concavidade da função ƒ() é voltada
para cima. Já no intervalo (0, 2) a concavidade é voltada para baixo.
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