O documento discute o ciclo trigonométrico, definindo como ângulos podem ser medidos em radianos e como as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) são definidas para ângulos entre 0° e 360°. Ele também apresenta exemplos de como aplicar essas noções para resolver problemas geométricos e de triângulos.

1. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA
O que você deve saber sobre
A inscrição de ângulos em circunferências possibilita estender a aplicação
das relações trigonométricas, obtidas inicialmente para os ângulos agudos
no triângulo retângulo, a qualquer ângulo compreendido entre 0o e 360o.
Ampliamos, assim, nosso conhecimento sobre triângulos não retângulos.

2. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA
I. Ângulos e arcos
Na figura abaixo, o ângulo  está inscrito em uma circunferência,
na qual o vértice V coincide com o centro. Esse ângulo é
denominado central.

3. A partir da figura, vemos que a razão entre o comprimento do arco
e a medida do respectivo raio da circunferência é constante.
Essa constante indica a medida do ângulo central, em radianos.
I. Ângulos e arcos
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA
Sendo K uma constante real.
      K
VB
B
A
VB
B
A
VB
AB



"
"
"
med
'
'
'
med
med

4. O arco correspondente a uma volta completa,
numa circunferência qualquer, mede:
I. Ângulos e arcos
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

5. Correspondência de alguns valores de ângulos em graus e radianos:
Tal correspondência é feita a partir de uma regra de três simples:
360º = 2 rad.
I. Ângulos e arcos
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

6. II. O ciclo trigonométrico
• É uma circunferência de raio unitário e cujo centro coincide com a
origem de um plano cartesiano.
• OBC é retângulo em B, e a hipotenusa OC mede 1 (raio da
circunferência unitário). As coordenadas (xC, yC) do ponto C são
numérica (e respectivamente) iguais a cos  e sen .
• Os sinais de seno e cosseno dos ângulos inscritos no ciclo
trigonométrico dependem do quadrante no qual a extremidade do arco
associado está localizada.
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

7. II. O ciclo trigonométrico
1. Como vimos, se 0o <  < 90o, o ponto extremo pertence
ao primeiro quadrante, então sen  e cos  são positivos.
2. Se 90º <  < 180o, então sen  > 0 e cos  < 0.
3. Se 180º <  < 270o, então sen  < 0 e cos  < 0.
4. Se 270º <  < 360o, então cos  > 0 e sen  < 0.
Note ainda que:
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

8. III. A tangente no ciclo trigonométrico
Sobre a circunferência trigonométrica, tomamos um eixo paralelo a Oy
e que passa pelo ponto A(1, 0). Todos os pontos sobre esse eixo serão
do tipo T(1, t).
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

9. CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA
Círculo Trigonométrico
Clique na imagem abaixo para ver a animação.

10. A tg  não é limitada, e tg  e tg 3 não existem, pois, quando se
2 2
prolonga o raio do ciclo trigonométrico associado a esses ângulos
centrais, esse prolongamento não cruza o eixo das tangentes.
O sinal da tangente dos ângulos inscritos no ciclo trigonométrico
depende do quadrante no qual o ponto T, associado ao ângulo α,
está localizado:
III. A tangente no ciclo trigonométrico
1. Se 0o <  < 90o ou 180o <  < 270o, a coordenada t estará
localizada no semiplano positivo, portanto a tg  é positiva.
2. Se 90o <  < 180o ou 270o <  < 360o, a coordenada t estará
localizada no semiplano negativo, então a tg  é negativa.
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

11. IV. Outras relações trigonométricas
No quadro, os valores de seno, cosseno, tangente, secante, cossecante
e cotangente dos pontos críticos da 1a volta (0o, 90º, 180º, 270º e 360º).
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

12. (Unesp)
Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular
de raio 1 cm, como mostra a figura.
A parte que falta do círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de
abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é:
2
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA: E
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

13. (Unesp)
Considere um plano sobre o qual estão localizados os pontos X, Y, Z e W, de forma que:
I. X, Y e Z são colineares;
II. as retas WX e YZ são perpendiculares;
III. X é um ponto exterior ao segmento YZ;
IV. a distância YZ é de 90 cm;
V. os ângulos WZX e WYX medem, respectivamente, 45º e 60º.
4
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
^ ^
RESPOSTA:
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

14. (UEG-GO)
Duas importantes cidades estão localizadas sobre a linha do Equador: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital do
Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são, respectivamente, 78º oeste e 52º oeste.
Considerando que a Terra é uma esfera de raio 6.400 km, qual é a
distância entre essas duas cidades?
6
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA:
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

15. (Unesp)
Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a
uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo , conforme a figura:
a) Admitindo-se que sen  = , calcule a distância x.
b) Assumindo-se que o barco se
aproximou do farol e que uma nova
observação foi realizada, na qual o
ângulo  passou exatamente para
2, calcule a nova distância x’ a
que o barco se encontrará da
base do farol.
10
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA:
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA
5
3

16. (UFC-CE)
Calcule o valor numérico da expressão:
em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a tangente
do ângulo.
11
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA:
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

17. (UFG-GO)
A figura ao lado representa uma quadra retangular
inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m.
Nessas condições,
a) expresse a área da quadra
em função do ângulo ;
b) determine as dimensões da
quadra que possui área máxima.
13
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA:
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA

18. Determine:
a) a altura h do satélite quando
este se encontra no perigeu
e também quando se encontra
no apogeu.
b) os valores de , quando a
altura h do satélite é de 1.580 km.
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EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA:
(Unesp)
A figura mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do
planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos: o ponto
A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da
Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais
próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e
o ângulo PÔS tem medida , com 0º ≤  ≤ 360º.
CICLO TRIGONOMÉTRICO – 1a VOLTA