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FACULDADE DE ENGENHARIA 
ARQUITETURA E TECNOLOGIA 
NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A 
DISCIPLINA DE CÁLCULO III 
Prof ª. Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
Marília - SP 
1º Semestre de 2011
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
2 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANTON, H. Cálculo – um novo horizonte. V. 1. 6 ª ed. Bookman: Porto Alegre. 2.000. 
EDWARDS JR., C.H. & PENNEY, D.E. Cálculo com geometria analítica. V. 1 e 2. 4ª ed. 
Prentice Hall: Rio de Janeiro. 1997. 
FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo A. 5ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1992. 
FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo B. 2ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1999. 
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 1. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987. 
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 2. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987. 
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 3. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. Harbra: São Paulo. 1986. 
P I S K U N O V , N . C á l c u l o d i f e r e n c i a l e i n t e g r a l . V . 1 e 2 . 6 ª e d . M I R : 
Mo s c o u . 1 9 7 7 . 
SWOKOWSKI. Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. McGraw-Hill: São 
Paulo. 1984. 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
- Aplicações da Integral Definida 
Cálculo da área em coordenadas cartesianas 
Cálculo de comprimento de arco 
Cálculo da área de um sólido de revolução 
Cálculo do volume de um sólido de revolução 
Coordenadas polares: gráficos 
Cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares 
Cálculo de áreas planas em coordenadas polares 
- Funções de várias variáveis 
Definição 
Representação geométrica de uma função de duas variáveis 
Derivadas parciais da função de várias variáveis 
Interpretação geométrica da função de várias variáveis 
Derivação da função composta. Derivada total 
Derivada parcial de ordem superior 
- Integrais múltiplas 
Integral dupla 
Cálculo da integral dupla 
Cálculo de áreas e volumes utilizando integrais duplas 
Integral dupla em coordenadas polares 
Substituição de variáveis em uma integral dupla 
Integral tripla 
Cálculo da integral tripla 
Mudança de variáveis em uma integral tripla
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
b 
2 L 1 f ' x dx 
d 
2 L 1 g' y dy 
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
3 
1. Aplicações da Integral Definida 
Estudamos a integral definida e analisamos uma importante aplicação que é o cálculo 
de Área de regiões planas. 
Agora, outras aplicações da integral definida serão discutidas. 
1.1 Comprimento de arco em coordenadas cartesianas 
Seja f uma função suave (f e sua derivada f ’ são contínuas) em [a,b]. O comprimento de 
arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por: 
      
a 
Obs: Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = g(y) em vez de y = f(x). Neste 
caso, o comprimento do arco da curva de A(g(c),c) até B(g(d),d) é dado por: 
      
c
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
 
 
x  
x(t) 
0 1 y y(t), t t , t 
y'(t) 
dy 
f '(x)   Segue então, através de uma substituição, que: 
 
 
1 
y' t 
L 1 f ' x dx 1 , 
1 
2 2 L x'(t) y' t dt . 
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4 
Exercícios 
1) Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8]. 
(Resp. L  9,0734 u.c.) 
2) Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4). 
(Resp. L  7,6 u.c.) 
3) Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x -2 do ponto onde x = 1 ao ponto x = 2. 
(Resp. L = 33/16 u.c) 
1.2 Comprimento de arco uma curva plana dada por suas Equações Paramétricas 
Vamos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma paramétrica 
pelas equações. 
 
  
  onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas contínuas e x’(t)  0 para todo   1 0 t , t t  
Neste caso, conforme vimos, estas equações definem uma função y = f(x), cuja 
derivada é dada por . 
x'(t) 
dx 
   
  
   
 
 
 
    
0 
t 
t 
2 
b 
a 
2 x' (t) dt 
x' (t) 
onde t0 = a e t1 = b. 
Portanto, 
        
0 
t 
t 
Exercícios 
1) Ache o comprimento de arco da curva paramétrica x = t³/3 e y = t²/2 no intervalo [0,1]. 
(Resp. L = (2.2 – 1)/3  0,61 u.c.) 
2) Calcular o comprimento de arco da hipociclóide x = 2.sen³t e y = 2.cos³t. 
(Resp. L = 12 u.c.)
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
b 
A f (x) dx y dx . 
1 
A y(t).x'(t) dt . 
x  
2.cost 
x  
2.cost 
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5 
1.3 Área de uma região plana 
Vamos calcular área de uma região plana, sendo que as curvas que delimitam a região 
são dadas na forma paramétrica. 
Conforme vimos anteriormente, a área é dada por: 
    
a 
b 
a 
Fazendo a substituição x = x(t) e dx = x’ (t) dt, obtemos: 
  
0 
t 
t 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercícios 
1) Determine a área da região compreendida entre a curva paramétrica x = t³, y = 2t² + 1, 
- 1  t  1 e o eixo x. (Resp. A = 22/5 u.a.) 
2) Calcular a área entre as elipses 
 
 
 
 
 
 
 
 
y sent 
e 
y 4sent 
. (Resp. A = 6 u.a.) 
1.4 Volume de um Sólido de Revolução 
Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é 
chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado 
eixo de revolução. 
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do 
eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone.
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
b 
2 V . f x dx . (*) 
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6 
Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo 
dos y, obtemos um cilindro. 
Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação 
em torno do eixo dos x, da região plana R. 
Seja f contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da 
região delimitada pelos gráficos de f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por: 
      
a 
A fórmula (*) pode ser generalizada para outras situações:
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
b 
2 2 V . f x g x dx . 
d 
2 V . g y dy . 
b 
2 V . f x L dx . 
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7 
I – A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b. 
Supondo f(x)  g(x),  x  [a,b], o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em 
torno do eixo dos x, é dado por: 
         
a 
II – Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y. 
Neste caso, temos: 
      
c 
III – A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. 
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos: 
       
a
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d 
2 V . g y M dy . 
1 
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8 
Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: 
       
c 
Exercícios 
1) A região R, limitada pela curva y = 2 x 
4 
, o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno 
do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. (Resp. V = 1023  /80 u.v.) 
Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
1 
 
 e até 
3 
1 2  e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em 
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9 
2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada 
1 
pela parábola y =  2  13 x 
4 
 e pela reta y = (x 5) 
2 
 .(Resp. V = 64  /5 u. v.) 
Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o 
gráfico da função y = senx e o eixo dos x, de 
2 
2 
. (Resp. V =  ² u.v.) 
Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
4) A região R, delimitada pela parábola x = 1 y 
2 
torno da reta x = -1. Desenhe e determinar o volume do sólido de revolução obtido. 
(Resp. V = 448  /15 u.v.) 
1.5 Área de uma Superfície de Revolução 
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície 
de revolução. 
Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S, obtida 
quando uma curva C, de equação y = f (x), x  [a,b], gira em torno do eixo dos x (ver Figura a 
seguir).
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
b 
2 A 2 . f (x). 1 f ' x dx . 
d 
2 A 2 . g(y). 1 g' y dy 
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10 
Definição: Seja C uma curva de equação y = f (x), onde f e f ’ são funções contínuas em [a,b] e 
f (x)  0,  x  [a,b]. A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C 
ao redor do eixo dos x, é definida por 
       
a 
OBS: Se a curva girar em torno do eixo dos y, a área será dada por: 
       
c 
Exercícios 
1) Ache a área do parabolóide, obtido pela revolução do arco de parábola y = x², 0  x  2, em 
torno do eixo do x. 
(Resp. A = 13 / 3 u.a.) 
2) Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0  x  9, em torno do 
eixo do y. 
(Resp. A  258,8468 u.a.) 
1.6 Coordenadas Polares 
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da 
medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. 
A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares.
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
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11 
O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. 
O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r,), onde r representa a 
distância entre a origem e o ponto P, e  representa a medida, em radianos do ângulo 
orientado AÔP. 
OBS: (i)  > 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário. 
(ii)  < 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido horário. 
(iii) (0, ), , representa o pólo ou origem. 
As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma 
grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semi-retas partindo de O:
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
5 
, 4 (c)  
 
  
, 3 (b)  
 
5 
4 
 
  
, 4 (d)  
y 
co 
 
x 
 e sen  = 
y 
y 
co 
 
 
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12 
Exercício Marque o ponto tendo o conjunto dado de coordenadas polares: 
 
 
2 
(a)  
 
  
3 
 
 
6 
 
 
 
  
4 
 
 
3 
2, 
1.6.1 Conversão de coordenadas polares 
y 
x 
Ás vezes pode ser necessário converter a representação cartesiana para a polar; ou 
vice-versa. Para visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do 
segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual 
 
  com o eixo 
2 
positivo y. 
Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas 
polares (r, ), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante. 
Observemos que: 
1) r > 0  cos  = 
x 
r 
ca 
h 
 e sen  = 
r 
h 
 
x r.cos 
  
 (*) 
y r.sen 
   
  
2) r < 0  cos  = 
r 
x 
r 
ca 
h 
 
 
r 
r 
h 
 
 
(x,y) : coordenadas cartesianas 
(r,) : coordenadas polares
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
3 
2 
3 
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13 
Elevando (*) ao quadrado e somando ambos temos: 
x² + y² = r².cos² + r².sen² = r².(cos² + sen²) = r². 
 r =  2 2 x  y . 
OBS : tg  = y / x   = arct (y/x). 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercícios 
1) Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes pontos cujas 
coordenadas polares são dadas: 
1 
(a) (4,  
6 
) (b) (2,   
4 
) (c) (- 4,  
3 
7 
) (d) (- 2,  
4 
) 
Resp. (23, 2) Resp. (-1,-1) Resp. (2, -23) Resp. (- 2, 22) 
2) Encontre um conjunto de coordenadas polares para cada um dos seguintes pontos cujas 
coordenadas cartesianas retangulares são dadas. Tome r > 0 e 0   < 2. 
(a) (1, - 1) (b) (- 3, 1) (c) (2,2) (d) (- 2,- 23 ) 
Resp. (2, 315º) Resp. (2, 150º) Resp. (22, 45º) Resp. (4, 240º) 
1 
3) Marque o ponto (2,  
2 
) tendo o conjunto dado de coordenadas polares; depois encontre 
outro conjunto de coordenadas polares para o mesmo ponto, tal que: 
(a) r < 0 e 0   < 2 (b) r > 0 e - 2 <   0 (c) r < 0 e - 2 <   0 
3 
Resp. (-2,  
2 
) Resp. (2,   
2 
1 
) Resp. (-2,   
2 
) 
4) Obtenha uma equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar r² = 2.sen2. 
(Resp. (x² + y²)² = 4xy) 
5) Encontre a equação polar do gráfico tendo a equação cartesiana (x² + y²)² = 4.( x² - y²). 
(Resp. r² = 4.cos2 )
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
 , 
 , 
 , 
 
L  f '()  f  d 2 2 
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14 
1.6.2 Gráficos de Equações com Coordenadas Polares 
O gráfico de F(r, ) = 0 é formada por todos os pontos cujas coordenadas polares 
satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita; isto é, 
r = f (). 
Os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do gráfico: 
(i) Construir uma tabela a partir de valores de  (0, 
6 
4 
3 
 , ... ) selecionados; 
2 
(ii) Encontrar os valores de  para os quais a curva passa pelo pólo; 
(iii) Verificar simetria. A simetria do gráfico de uma equação polar pode ser freqüentemente 
constatada fazendo-se substituições convenientes na equação e testando para ver se a nova 
equação é equivalente à original. A tabela seguinte mostra algumas substituições que 
acarretam a simetria indicada. 
Substituições Simetria 
(r, ) por (r, - ) Eixo - x 
(r, ) por (- r, ) Origem 
(r, ) por (r,  - ) Eixo - y 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercícios Esboçar o gráfico das seguintes funções: 
1) r = 2 4) r = 1- 2.cos 
6 
2) r = 1 +  
 
5) r = 4.cos2 
3) r = 3 + 2.sen 
1.6.3 Comprimento de arco em coordenadas polares 
O comprimento de arco da curva por r = f () entre  =  e  =  é dado por 
      
 
desde que f ’ exista e seja contínua no intervalo [,].
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 
 
df . 
2 
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
15 
Exercícios 
1) Encontre o comprimento de arco de  = 0 a  =  da cardióide r = 2.(1 - cos ). 
(Resp. L = 16 u.c.) 
2) Determine o comprimento da espiral de equação r = e/2, de  = 1 a  = 2. 
(Resp. L  2,4 u.c.) 
1.6.4 Áreas em Coordenadas Polares 
Queremos encontrar a área A, da Figura delimitada pelas retas  =  e  =  e ela 
curva r = f (), que é dada por: 
    
 
1 
A 2 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercícios 
1) Encontre a área da região limitada pela cardióide r = 2 + 2 cos. 
(Resp. A = 6 u.a.) 
2) Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3. 
(Resp. A  3 /4 u.a.) 
3) Encontrar a área da região entre os laços interno e externo da limaçon r = 1 - 2.sen. 
(Resp. A  8,34 u.a.) 
4) Encontre a área da região comum limitadas pelo círculo r = - 6.cos e pela cardióide 
r = 2- 2.cos. 
(Resp. A = 5 u.a.)

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Apostila 2011

  • 1. FACULDADE DE ENGENHARIA ARQUITETURA E TECNOLOGIA NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A DISCIPLINA DE CÁLCULO III Prof ª. Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido Marília - SP 1º Semestre de 2011
  • 2. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H. Cálculo – um novo horizonte. V. 1. 6 ª ed. Bookman: Porto Alegre. 2.000. EDWARDS JR., C.H. & PENNEY, D.E. Cálculo com geometria analítica. V. 1 e 2. 4ª ed. Prentice Hall: Rio de Janeiro. 1997. FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo A. 5ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1992. FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo B. 2ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1999. GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 1. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987. GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 2. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987. GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 3. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. Harbra: São Paulo. 1986. P I S K U N O V , N . C á l c u l o d i f e r e n c i a l e i n t e g r a l . V . 1 e 2 . 6 ª e d . M I R : Mo s c o u . 1 9 7 7 . SWOKOWSKI. Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. McGraw-Hill: São Paulo. 1984. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO - Aplicações da Integral Definida Cálculo da área em coordenadas cartesianas Cálculo de comprimento de arco Cálculo da área de um sólido de revolução Cálculo do volume de um sólido de revolução Coordenadas polares: gráficos Cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares Cálculo de áreas planas em coordenadas polares - Funções de várias variáveis Definição Representação geométrica de uma função de duas variáveis Derivadas parciais da função de várias variáveis Interpretação geométrica da função de várias variáveis Derivação da função composta. Derivada total Derivada parcial de ordem superior - Integrais múltiplas Integral dupla Cálculo da integral dupla Cálculo de áreas e volumes utilizando integrais duplas Integral dupla em coordenadas polares Substituição de variáveis em uma integral dupla Integral tripla Cálculo da integral tripla Mudança de variáveis em uma integral tripla
  • 3. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 b 2 L 1 f ' x dx d 2 L 1 g' y dy Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 3 1. Aplicações da Integral Definida Estudamos a integral definida e analisamos uma importante aplicação que é o cálculo de Área de regiões planas. Agora, outras aplicações da integral definida serão discutidas. 1.1 Comprimento de arco em coordenadas cartesianas Seja f uma função suave (f e sua derivada f ’ são contínuas) em [a,b]. O comprimento de arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por:       a Obs: Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = g(y) em vez de y = f(x). Neste caso, o comprimento do arco da curva de A(g(c),c) até B(g(d),d) é dado por:       c
  • 4. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011   x  x(t) 0 1 y y(t), t t , t y'(t) dy f '(x)   Segue então, através de uma substituição, que:   1 y' t L 1 f ' x dx 1 , 1 2 2 L x'(t) y' t dt . Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 4 Exercícios 1) Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8]. (Resp. L  9,0734 u.c.) 2) Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4). (Resp. L  7,6 u.c.) 3) Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x -2 do ponto onde x = 1 ao ponto x = 2. (Resp. L = 33/16 u.c) 1.2 Comprimento de arco uma curva plana dada por suas Equações Paramétricas Vamos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma paramétrica pelas equações.      onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas contínuas e x’(t)  0 para todo   1 0 t , t t  Neste caso, conforme vimos, estas equações definem uma função y = f(x), cuja derivada é dada por . x'(t) dx                0 t t 2 b a 2 x' (t) dt x' (t) onde t0 = a e t1 = b. Portanto,         0 t t Exercícios 1) Ache o comprimento de arco da curva paramétrica x = t³/3 e y = t²/2 no intervalo [0,1]. (Resp. L = (2.2 – 1)/3  0,61 u.c.) 2) Calcular o comprimento de arco da hipociclóide x = 2.sen³t e y = 2.cos³t. (Resp. L = 12 u.c.)
  • 5. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 b A f (x) dx y dx . 1 A y(t).x'(t) dt . x  2.cost x  2.cost Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 5 1.3 Área de uma região plana Vamos calcular área de uma região plana, sendo que as curvas que delimitam a região são dadas na forma paramétrica. Conforme vimos anteriormente, a área é dada por:     a b a Fazendo a substituição x = x(t) e dx = x’ (t) dt, obtemos:   0 t t ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios 1) Determine a área da região compreendida entre a curva paramétrica x = t³, y = 2t² + 1, - 1  t  1 e o eixo x. (Resp. A = 22/5 u.a.) 2) Calcular a área entre as elipses         y sent e y 4sent . (Resp. A = 6 u.a.) 1.4 Volume de um Sólido de Revolução Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado eixo de revolução. Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone.
  • 6. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 b 2 V . f x dx . (*) Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 6 Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y, obtemos um cilindro. Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região plana R. Seja f contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por:       a A fórmula (*) pode ser generalizada para outras situações:
  • 7. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 b 2 2 V . f x g x dx . d 2 V . g y dy . b 2 V . f x L dx . Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 7 I – A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b. Supondo f(x)  g(x),  x  [a,b], o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x, é dado por:          a II – Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y. Neste caso, temos:       c III – A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos:        a
  • 8. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 d 2 V . g y M dy . 1 Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 8 Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos:        c Exercícios 1) A região R, limitada pela curva y = 2 x 4 , o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. (Resp. V = 1023  /80 u.v.) Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.
  • 9. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 1   e até 3 1 2  e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 9 2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada 1 pela parábola y =  2  13 x 4  e pela reta y = (x 5) 2  .(Resp. V = 64  /5 u. v.) Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o gráfico da função y = senx e o eixo dos x, de 2 2 . (Resp. V =  ² u.v.) Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 4) A região R, delimitada pela parábola x = 1 y 2 torno da reta x = -1. Desenhe e determinar o volume do sólido de revolução obtido. (Resp. V = 448  /15 u.v.) 1.5 Área de uma Superfície de Revolução Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície de revolução. Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S, obtida quando uma curva C, de equação y = f (x), x  [a,b], gira em torno do eixo dos x (ver Figura a seguir).
  • 10. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 b 2 A 2 . f (x). 1 f ' x dx . d 2 A 2 . g(y). 1 g' y dy Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 10 Definição: Seja C uma curva de equação y = f (x), onde f e f ’ são funções contínuas em [a,b] e f (x)  0,  x  [a,b]. A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C ao redor do eixo dos x, é definida por        a OBS: Se a curva girar em torno do eixo dos y, a área será dada por:        c Exercícios 1) Ache a área do parabolóide, obtido pela revolução do arco de parábola y = x², 0  x  2, em torno do eixo do x. (Resp. A = 13 / 3 u.a.) 2) Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0  x  9, em torno do eixo do y. (Resp. A  258,8468 u.a.) 1.6 Coordenadas Polares No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares.
  • 11. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 11 O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r,), onde r representa a distância entre a origem e o ponto P, e  representa a medida, em radianos do ângulo orientado AÔP. OBS: (i)  > 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário. (ii)  < 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido horário. (iii) (0, ), , representa o pólo ou origem. As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semi-retas partindo de O:
  • 12. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 5 , 4 (c)     , 3 (b)   5 4    , 4 (d)  y co  x  e sen  = y y co   Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 12 Exercício Marque o ponto tendo o conjunto dado de coordenadas polares:   2 (a)     3   6      4   3 2, 1.6.1 Conversão de coordenadas polares y x Ás vezes pode ser necessário converter a representação cartesiana para a polar; ou vice-versa. Para visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual    com o eixo 2 positivo y. Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, ), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante. Observemos que: 1) r > 0  cos  = x r ca h  e sen  = r h  x r.cos    (*) y r.sen      2) r < 0  cos  = r x r ca h   r r h   (x,y) : coordenadas cartesianas (r,) : coordenadas polares
  • 13. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011 3 2 3 Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 13 Elevando (*) ao quadrado e somando ambos temos: x² + y² = r².cos² + r².sen² = r².(cos² + sen²) = r².  r =  2 2 x  y . OBS : tg  = y / x   = arct (y/x). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios 1) Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes pontos cujas coordenadas polares são dadas: 1 (a) (4,  6 ) (b) (2,   4 ) (c) (- 4,  3 7 ) (d) (- 2,  4 ) Resp. (23, 2) Resp. (-1,-1) Resp. (2, -23) Resp. (- 2, 22) 2) Encontre um conjunto de coordenadas polares para cada um dos seguintes pontos cujas coordenadas cartesianas retangulares são dadas. Tome r > 0 e 0   < 2. (a) (1, - 1) (b) (- 3, 1) (c) (2,2) (d) (- 2,- 23 ) Resp. (2, 315º) Resp. (2, 150º) Resp. (22, 45º) Resp. (4, 240º) 1 3) Marque o ponto (2,  2 ) tendo o conjunto dado de coordenadas polares; depois encontre outro conjunto de coordenadas polares para o mesmo ponto, tal que: (a) r < 0 e 0   < 2 (b) r > 0 e - 2 <   0 (c) r < 0 e - 2 <   0 3 Resp. (-2,  2 ) Resp. (2,   2 1 ) Resp. (-2,   2 ) 4) Obtenha uma equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar r² = 2.sen2. (Resp. (x² + y²)² = 4xy) 5) Encontre a equação polar do gráfico tendo a equação cartesiana (x² + y²)² = 4.( x² - y²). (Resp. r² = 4.cos2 )
  • 14. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011  ,  ,  ,  L  f '()  f  d 2 2 Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 14 1.6.2 Gráficos de Equações com Coordenadas Polares O gráfico de F(r, ) = 0 é formada por todos os pontos cujas coordenadas polares satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita; isto é, r = f (). Os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do gráfico: (i) Construir uma tabela a partir de valores de  (0, 6 4 3  , ... ) selecionados; 2 (ii) Encontrar os valores de  para os quais a curva passa pelo pólo; (iii) Verificar simetria. A simetria do gráfico de uma equação polar pode ser freqüentemente constatada fazendo-se substituições convenientes na equação e testando para ver se a nova equação é equivalente à original. A tabela seguinte mostra algumas substituições que acarretam a simetria indicada. Substituições Simetria (r, ) por (r, - ) Eixo - x (r, ) por (- r, ) Origem (r, ) por (r,  - ) Eixo - y ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios Esboçar o gráfico das seguintes funções: 1) r = 2 4) r = 1- 2.cos 6 2) r = 1 +   5) r = 4.cos2 3) r = 3 + 2.sen 1.6.3 Comprimento de arco em coordenadas polares O comprimento de arco da curva por r = f () entre  =  e  =  é dado por        desde que f ’ exista e seja contínua no intervalo [,].
  • 15. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011  df . 2 Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 15 Exercícios 1) Encontre o comprimento de arco de  = 0 a  =  da cardióide r = 2.(1 - cos ). (Resp. L = 16 u.c.) 2) Determine o comprimento da espiral de equação r = e/2, de  = 1 a  = 2. (Resp. L  2,4 u.c.) 1.6.4 Áreas em Coordenadas Polares Queremos encontrar a área A, da Figura delimitada pelas retas  =  e  =  e ela curva r = f (), que é dada por:      1 A 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercícios 1) Encontre a área da região limitada pela cardióide r = 2 + 2 cos. (Resp. A = 6 u.a.) 2) Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3. (Resp. A  3 /4 u.a.) 3) Encontrar a área da região entre os laços interno e externo da limaçon r = 1 - 2.sen. (Resp. A  8,34 u.a.) 4) Encontre a área da região comum limitadas pelo círculo r = - 6.cos e pela cardióide r = 2- 2.cos. (Resp. A = 5 u.a.)