Este documento fornece notas de aula para a disciplina de Cálculo III ministrada pela Professora Fátima Ahmad Rabah Abido na Faculdade de Engenharia, Arquitetura e Tecnologia. O documento apresenta o conteúdo programático da disciplina, que inclui aplicações da integral definida, funções de várias variáveis e integrais múltiplas, além de referências bibliográficas sobre o assunto.
O documento discute o momento de inércia de figuras planas. Define o momento de inércia como a soma dos momentos de segunda ordem de cada área infinitesimal da figura em relação a um eixo de referência. Apresenta fórmulas para calcular o momento de inércia de formas básicas como retângulos e círculos. Também introduz o Teorema de Steiner, que relaciona o momento de inércia em relação a um eixo de referência com o momento de inércia em relação ao eixo baricênt
O documento apresenta os conceitos de momento de primeira ordem e centróide de áreas simples e compostas no plano, além de centróide de curvas e o teorema de Pappus-Guldinus. Inclui também exemplos de cálculo de centróides de diversas formas geométricas e exercícios para aplicação dos conceitos.
Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2Douglas Alves
Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
Este documento apresenta 12 exercícios de trigonometria do 11o ano que incluem: 1) cálculo de áreas de triângulos e polígonos regulares usando funções trigonométricas; 2) cálculo de horas de nascer e pôr do sol com funções seno; 3) determinação de distâncias em órbitas elípticas; 4) cálculo de áreas de figuras planas usando funções trigonométricas.
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O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo ângulos, arcos, ciclo trigonométrico, funções seno e cosseno, quadrantes e suas propriedades, e exercícios de cálculo de valores trigonométricos e análise de períodos de funções.
I. As funções trigonométricas são utilizadas para modelar fenômenos periódicos na natureza, com conceitos como amplitude e período permitindo aplicações em diversas áreas.
II. O documento descreve as funções seno, cosseno e tangente, definindo-as geometricamente e explicando suas propriedades gráficas como intervalo de variação, período e deslocamentos.
III. Variações nos parâmetros de uma função trigonométrica geral influenciam seu gráfico, modificando amplitude, período ou deslocando
1) Uma circunferência trigonométrica é uma circunferência unitária centrada na origem de um sistema cartesiano.
2) Ela define convenções para a medição de arcos, como o ponto A como origem dos arcos e os quadrantes.
3) A função seno e cosseno são periódicas e mapeiam ângulos para valores entre -1 e 1 baseado na ordenada e abscissa dos pontos na circunferência.
O documento discute o momento de inércia de figuras planas. Define o momento de inércia como a soma dos momentos de segunda ordem de cada área infinitesimal da figura em relação a um eixo de referência. Apresenta fórmulas para calcular o momento de inércia de formas básicas como retângulos e círculos. Também introduz o Teorema de Steiner, que relaciona o momento de inércia em relação a um eixo de referência com o momento de inércia em relação ao eixo baricênt
O documento apresenta os conceitos de momento de primeira ordem e centróide de áreas simples e compostas no plano, além de centróide de curvas e o teorema de Pappus-Guldinus. Inclui também exemplos de cálculo de centróides de diversas formas geométricas e exercícios para aplicação dos conceitos.
Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2Douglas Alves
Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
Este documento apresenta 12 exercícios de trigonometria do 11o ano que incluem: 1) cálculo de áreas de triângulos e polígonos regulares usando funções trigonométricas; 2) cálculo de horas de nascer e pôr do sol com funções seno; 3) determinação de distâncias em órbitas elípticas; 4) cálculo de áreas de figuras planas usando funções trigonométricas.
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O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo ângulos, arcos, ciclo trigonométrico, funções seno e cosseno, quadrantes e suas propriedades, e exercícios de cálculo de valores trigonométricos e análise de períodos de funções.
I. As funções trigonométricas são utilizadas para modelar fenômenos periódicos na natureza, com conceitos como amplitude e período permitindo aplicações em diversas áreas.
II. O documento descreve as funções seno, cosseno e tangente, definindo-as geometricamente e explicando suas propriedades gráficas como intervalo de variação, período e deslocamentos.
III. Variações nos parâmetros de uma função trigonométrica geral influenciam seu gráfico, modificando amplitude, período ou deslocando
1) Uma circunferência trigonométrica é uma circunferência unitária centrada na origem de um sistema cartesiano.
2) Ela define convenções para a medição de arcos, como o ponto A como origem dos arcos e os quadrantes.
3) A função seno e cosseno são periódicas e mapeiam ângulos para valores entre -1 e 1 baseado na ordenada e abscissa dos pontos na circunferência.
Este documento apresenta os principais conceitos matemáticos necessários para o estudo do eletromagnetismo, incluindo sistemas de coordenadas, cálculo integral em Rn, e exemplos de aplicação destes conceitos.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, equações de retas e suas representações gráficas.
2) É introduzido o conceito de coeficiente angular para representar a inclinação de uma reta no plano cartesiano.
3) São explicadas as principais equações para representar retas no plano cartesiano, como a equação geral, segmentária, paramétrica e reduzida.
1) O documento discute escalas em topografia e conversão de unidades, incluindo unidades lineares, angulares, de área e volume. 2) É revisada a trigonometria plana, incluindo relações trigonométricas no triângulo retângulo e não retângulo. 3) São apresentadas as principais unidades de medida usadas em topografia e seus exercícios de conversão.
Método da ação efetiva em Teoria Quântica de CamposLeandro Seixas
Este documento discute o método da ação efetiva na teoria quântica de campos. Introduz o conceito de ação efetiva e potencial efetivo, e mostra como expandir a ação em loop para obter a ação efetiva. Também discute problemas como a divergência quadrática que surgem nesta abordagem.
O documento descreve conceitos fundamentais de cálculo como tangentes, velocidades e taxas de variação. Explica como calcular a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto, o que é equivalente à velocidade instantânea ou taxa de variação instantânea nesse ponto. Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos e sua aplicação em problemas de queda livre.
Este documento fornece soluções comentadas para questões de matemática de vestibulares da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. As soluções abordam tópicos como meia-vida de isótopos radioativos, progressões aritméticas, probabilidades e geometria plana.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) conceitos como eixos, bissetrizes e distância entre pontos. Além disso, apresenta exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de diferentes figuras planas como triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, trapézio e losango. Exemplos numéricos são fornecidos para demonstrar como aplicar as fórmulas para calcular áreas.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
O documento apresenta fórmulas e conceitos para calcular distâncias e ângulos entre objetos vetoriais como pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Inclui definições de distância entre dois pontos, um ponto e uma reta, um ponto e um plano, entre duas retas, dois planos e uma reta e um plano. Também apresenta fórmulas para calcular ângulos entre vetores, retas, planos e entre uma reta e um plano. Exemplos ilustram o cálculo destas grandezas.
O documento descreve os conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) razões trigonométricas no triângulo retângulo como seno, cosseno e tangente; 2) conversão entre graus e radianos; 3) comprimento de arcos.
Este anexo apresenta fórmulas para calcular propriedades geométricas de massas como centro de gravidade, momentos estáticos e de inércia. Inclui tabelas com valores destas propriedades para seções transversais comuns como retângulos, círculos e perfis metálicos.
Este documento discute geometria analítica e equações de retas no plano cartesiano. Ele fornece a equação geral de uma reta, explica como calcular o coeficiente angular de uma reta que passa por um ponto, e dá exemplos de como escrever equações de retas com base em pontos e coeficientes angulares.
O documento discute o cálculo de áreas de figuras planas, incluindo triângulos, círculos. Fornece a fórmula para calcular a área de um círculo, que é πr2, onde r é o raio. Fornece um exemplo numérico de calcular a área de um círculo com raio de 8 cm.
1) O documento é uma lista de exercícios de geometria para o 1o ano com 22 questões sobre trigonometria.
2) A lista inclui exercícios sobre adição e subtração de arcos, multiplicação de arcos e relações trigonométricas.
3) Um dos exercícios descreve mergulhadores cortando árvores submersas na represa de Tucuruí no Brasil.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
1) O documento apresenta exercícios de trigonometria sobre arcos, redução ao primeiro quadrante e relações trigonométricas.
2) Os exercícios envolvem cálculos de arcos, seno, cosseno e tangente para ângulos em graus e radianos.
3) As questões abordam conceitos como relógio, pista circular, sombras e expressões trigonométricas.
Compilação de exercicios topografia altimetriaCleide Soares
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre nivelamento geométrico e trigonométrico. Os exercícios abordam conceitos como declividade, cálculo de cotas, métodos de nivelamento e preenchimento de planilhas de campo.
O documento discute transporte adiabático de um pêndulo em uma esfera e conceitos relacionados como evolução adiabática, fase geométrica, conexão de Berry, curvatura de Berry e número de Chern. Apresenta exemplos como o caso de um diabolo e sistemas periódicos descritos por uma zona de Brillouin em forma de toro.
O documento apresenta os conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, representação de pontos, teorema de Pitágoras e a fórmula para calcular a distância entre dois pontos no plano. Também fornece um breve histórico sobre René Descartes e sua contribuição para a geometria analítica.
O documento discute a função s = 3t2 + 2t e pede para completar uma tabela com os valores de s para diferentes valores de t. Também apresenta uma equação para calcular a área da superfície corporal de uma pessoa e pede para identificar qual o valor correto dessa área para uma pessoa específica.
questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011)Ataíde Brandão
1. O documento apresenta 25 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências, retas e regiões planas.
2. As questões abordam tópicos como equações de circunferências e retas, pontos de interseção, tangência, áreas de regiões e triângulos.
3. São solicitados cálculos, identificação e representação gráfica de elementos geométricos no plano cartesiano.
Este documento apresenta os principais conceitos matemáticos necessários para o estudo do eletromagnetismo, incluindo sistemas de coordenadas, cálculo integral em Rn, e exemplos de aplicação destes conceitos.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, equações de retas e suas representações gráficas.
2) É introduzido o conceito de coeficiente angular para representar a inclinação de uma reta no plano cartesiano.
3) São explicadas as principais equações para representar retas no plano cartesiano, como a equação geral, segmentária, paramétrica e reduzida.
1) O documento discute escalas em topografia e conversão de unidades, incluindo unidades lineares, angulares, de área e volume. 2) É revisada a trigonometria plana, incluindo relações trigonométricas no triângulo retângulo e não retângulo. 3) São apresentadas as principais unidades de medida usadas em topografia e seus exercícios de conversão.
Método da ação efetiva em Teoria Quântica de CamposLeandro Seixas
Este documento discute o método da ação efetiva na teoria quântica de campos. Introduz o conceito de ação efetiva e potencial efetivo, e mostra como expandir a ação em loop para obter a ação efetiva. Também discute problemas como a divergência quadrática que surgem nesta abordagem.
O documento descreve conceitos fundamentais de cálculo como tangentes, velocidades e taxas de variação. Explica como calcular a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto, o que é equivalente à velocidade instantânea ou taxa de variação instantânea nesse ponto. Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos e sua aplicação em problemas de queda livre.
Este documento fornece soluções comentadas para questões de matemática de vestibulares da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. As soluções abordam tópicos como meia-vida de isótopos radioativos, progressões aritméticas, probabilidades e geometria plana.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) conceitos como eixos, bissetrizes e distância entre pontos. Além disso, apresenta exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de diferentes figuras planas como triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, trapézio e losango. Exemplos numéricos são fornecidos para demonstrar como aplicar as fórmulas para calcular áreas.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
O documento apresenta fórmulas e conceitos para calcular distâncias e ângulos entre objetos vetoriais como pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Inclui definições de distância entre dois pontos, um ponto e uma reta, um ponto e um plano, entre duas retas, dois planos e uma reta e um plano. Também apresenta fórmulas para calcular ângulos entre vetores, retas, planos e entre uma reta e um plano. Exemplos ilustram o cálculo destas grandezas.
O documento descreve os conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) razões trigonométricas no triângulo retângulo como seno, cosseno e tangente; 2) conversão entre graus e radianos; 3) comprimento de arcos.
Este anexo apresenta fórmulas para calcular propriedades geométricas de massas como centro de gravidade, momentos estáticos e de inércia. Inclui tabelas com valores destas propriedades para seções transversais comuns como retângulos, círculos e perfis metálicos.
Este documento discute geometria analítica e equações de retas no plano cartesiano. Ele fornece a equação geral de uma reta, explica como calcular o coeficiente angular de uma reta que passa por um ponto, e dá exemplos de como escrever equações de retas com base em pontos e coeficientes angulares.
O documento discute o cálculo de áreas de figuras planas, incluindo triângulos, círculos. Fornece a fórmula para calcular a área de um círculo, que é πr2, onde r é o raio. Fornece um exemplo numérico de calcular a área de um círculo com raio de 8 cm.
1) O documento é uma lista de exercícios de geometria para o 1o ano com 22 questões sobre trigonometria.
2) A lista inclui exercícios sobre adição e subtração de arcos, multiplicação de arcos e relações trigonométricas.
3) Um dos exercícios descreve mergulhadores cortando árvores submersas na represa de Tucuruí no Brasil.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
1) O documento apresenta exercícios de trigonometria sobre arcos, redução ao primeiro quadrante e relações trigonométricas.
2) Os exercícios envolvem cálculos de arcos, seno, cosseno e tangente para ângulos em graus e radianos.
3) As questões abordam conceitos como relógio, pista circular, sombras e expressões trigonométricas.
Compilação de exercicios topografia altimetriaCleide Soares
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre nivelamento geométrico e trigonométrico. Os exercícios abordam conceitos como declividade, cálculo de cotas, métodos de nivelamento e preenchimento de planilhas de campo.
O documento discute transporte adiabático de um pêndulo em uma esfera e conceitos relacionados como evolução adiabática, fase geométrica, conexão de Berry, curvatura de Berry e número de Chern. Apresenta exemplos como o caso de um diabolo e sistemas periódicos descritos por uma zona de Brillouin em forma de toro.
O documento apresenta os conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, representação de pontos, teorema de Pitágoras e a fórmula para calcular a distância entre dois pontos no plano. Também fornece um breve histórico sobre René Descartes e sua contribuição para a geometria analítica.
O documento discute a função s = 3t2 + 2t e pede para completar uma tabela com os valores de s para diferentes valores de t. Também apresenta uma equação para calcular a área da superfície corporal de uma pessoa e pede para identificar qual o valor correto dessa área para uma pessoa específica.
questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011)Ataíde Brandão
1. O documento apresenta 25 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências, retas e regiões planas.
2. As questões abordam tópicos como equações de circunferências e retas, pontos de interseção, tangência, áreas de regiões e triângulos.
3. São solicitados cálculos, identificação e representação gráfica de elementos geométricos no plano cartesiano.
Lista de Exercícios - Integrais duplas em coordenadas polaresIzabela Marques
1) O documento apresenta 5 exercícios sobre cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Os exercícios envolvem calcular massa, carga elétrica e áreas sobre diferentes regiões planas delimitadas por curvas.
2) Adicionalmente, são apresentados 4 exercícios extras sobre cálculo de integrais duplas em coordenadas polares, envolvendo determinar carga elétrica total, área de regiões delimitadas por cardioides e calcular integral sobre região limitada por círculo.
3) Os exercí
Este documento apresenta 20 exercícios de geometria envolvendo circunferências, como determinar equações de circunferências tangentes ou secantes a retas, pontos de interseção, centros e raios. As respostas são fornecidas no "Gabarito".
1) O documento descreve um capítulo sobre a história da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até seu desenvolvimento nos séculos posteriores por matemáticos indianos, árabes e europeus.
2) Hiparco da Niceia é considerado o fundador da trigonometria no século II a.C. ao introduzir medidas sexagesimais em astronomia e elaborar a primeira tabela trigonométrica.
3) A trigonometria esférica foi introduzida pelos matemáticos indianos e árab
Slides da aula sobre Coordenadas Polares e Integrais Duplas em Coordenadas Po...Izabela Marques
O documento apresenta os conceitos de coordenadas polares e como transformar entre coordenadas polares e cartesianas. Apresenta também como calcular integrais duplas em coordenadas polares, transformando a região de integração do plano cartesiano para o plano polar. Fornece vários exemplos de cálculo de integrais duplas em coordenadas polares.
A população humana cresce rapidamente, gerando grande pressão sobre os recursos naturais e meio ambiente. Isso exige desmatamento em larga escala para produção de alimentos, além de grande geração de lixo e poluição do ar, rios e mares, levando ao surgimento de novas doenças. As políticas ambientais ajudam, mas não conseguem deter a destruição causada pela superpopulação.
Trabalho de geometria analítica - SUPERIORPamella Rayely
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre circunferências em geometria analítica, incluindo definições, equações e determinações. É descrita a equação geral e reduzida da circunferência, bem como exemplos de resolução de sistemas de equações e inequações envolvendo circunferências. Posições relativas entre circunferências e retas também são explicadas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria para o 3o ano com questões sobre circunferências, triângulos e suas propriedades.
2) As questões envolvem cálculo de áreas de triângulos, equações de circunferências circunscritas e inscritas, pontos internos e externos a circunferências e tangência entre circunferências e retas.
3) A lista contém 16 exercícios com diferentes níveis de complexidade sobre os principais conceitos geométricos estudados no 3o ano.
O autor argumenta que as touradas, a Farra do Boi e outras festividades que maltratam animais devem ser proibidas, pois os animais sentem dor como os humanos e submetê-los a sofrimento apenas para diversão é insano.
1) O documento descreve como calcular a área entre curvas e o volume de sólidos de revolução usando integrais.
2) A área entre duas curvas f(x) e g(x) é calculada como a integral de |f(x)-g(x)| no intervalo considerado.
3) O volume de um sólido de revolução é calculado como a integral da área da seção transversal A(x) em relação ao eixo de rotação.
1. O documento discute integrais de linha, que podem ser usadas para calcular trabalho realizado por forças variáveis ou calor em transformações termodinâmicas.
2. São introduzidos os conceitos de integrais de linha de funções de duas variáveis e campos vetoriais no plano, que podem ser transformadas em integrais simples.
3. Exemplos mostram como calcular integrais de linha para curvas no plano e no espaço, tanto em forma cartesiana quanto paramétrica.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo integral e suas aplicações com 13 questões contendo vários itens cada. Os exercícios envolvem cálculo de áreas, volumes de revolução, deslocamentos, trabalhos e comprimentos de arcos.
1. O documento apresenta questões de matemática do 10o ano sobre geometria, álgebra e funções. 2. Aborda temas como hexágonos regulares, interseção de superfícies, áreas de triângulos, funções e suas propriedades gráficas. 3. Inclui também exercícios sobre representação de regiões planas, esferas, propriedades de funções e interpretação de gráficos.
1) O documento discute o cálculo da área de figuras circulares como círculos, setores circulares e coroas circulares. É apresentada a fórmula para calcular a área de um círculo (A=πr2) e exemplos de seu uso.
2) A área de um setor circular é calculada usando a proporção entre o ângulo central do setor e o ângulo total de um círculo. A fórmula para coroa circular é A = π(R2 - r2), onde R e r são os raios das circ
1. O documento apresenta as definições e fórmulas fundamentais para geometria analítica, incluindo equações de circunferências, distâncias entre pontos e posições relativas de pontos e retas em relação a circunferências.
2. São listados 10 exercícios para a prova sobre esses conceitos, como determinar pontos de interseção de retas e circunferências e equações de circunferências tangentes a retas.
3. As respostas aos exercícios são fornecidas.
A Trigonometria estuda as relações entre os lados e ângulos de triângulos. Ela surgiu da necessidade de calcular distâncias inacessíveis e é utilizada em diversas áreas como astronomia, agrimensura e navegação. A Trigonometria se desenvolveu a partir dos estudos de povos antigos e ganhou forma definitiva com o cálculo diferencial e integral.
Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman. Fornece exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman.
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Arthur Lima
O documento apresenta a resolução de três questões de engenharia de petróleo. A primeira questão trata de autovalores de matrizes. A segunda questão envolve sistemas de equações lineares. A terceira questão calcula a área de uma região delimitada por uma função e uma reta tangente.
Os nanomateriais são materiais com dimensões na escala nanométrica, apresentando propriedades únicas devido ao seu tamanho reduzido. Eles são amplamente explorados em áreas como eletrônica, medicina e energia, promovendo avanços tecnológicos e aplicações inovadoras.
Sobre os nanomateriais, analise as afirmativas a seguir:
-6
I. Os nanomateriais são aqueles que estão na escala manométrica, ou seja, 10 do metro.
II. O Fumo negro é um exemplo de nanomaterial.
III. Os nanotubos de carbono e o grafeno são exemplos de nanomateriais, e possuem apenas carbono emsua composição.
IV. O fulereno é um exemplo de nanomaterial que possuí carbono e silício em sua composição.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I, II e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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Estruturas de Madeiras: Dimensionamento e formas de classificaçãocaduelaia
Apresentação completa sobre origem da madeira até os critérios de dimensionamento de acordo com as normas de mercado. Nesse material tem as formas e regras de dimensionamento
Introdução ao GNSS Sistema Global de PosicionamentoGeraldoGouveia2
Este arquivo descreve sobre o GNSS - Globas NavigationSatellite System falando sobre os sistemas de satélites globais e explicando suas características
O presente trabalho consiste em realizar um estudo de caso de um transportador horizontal contínuo com correia plana utilizado em uma empresa do ramo alimentício, a generalização é feita em reserva do setor, condições técnicas e culturais da organização
Workshop Gerdau 2023 - Soluções em Aço - Resumo.pptx
Apostila 2011
1. FACULDADE DE ENGENHARIA
ARQUITETURA E TECNOLOGIA
NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A
DISCIPLINA DE CÁLCULO III
Prof ª. Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
Marília - SP
1º Semestre de 2011
2. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
2
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTON, H. Cálculo – um novo horizonte. V. 1. 6 ª ed. Bookman: Porto Alegre. 2.000.
EDWARDS JR., C.H. & PENNEY, D.E. Cálculo com geometria analítica. V. 1 e 2. 4ª ed.
Prentice Hall: Rio de Janeiro. 1997.
FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo A. 5ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1992.
FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo B. 2ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1999.
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 1. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 2. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 3. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. Harbra: São Paulo. 1986.
P I S K U N O V , N . C á l c u l o d i f e r e n c i a l e i n t e g r a l . V . 1 e 2 . 6 ª e d . M I R :
Mo s c o u . 1 9 7 7 .
SWOKOWSKI. Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. McGraw-Hill: São
Paulo. 1984.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
- Aplicações da Integral Definida
Cálculo da área em coordenadas cartesianas
Cálculo de comprimento de arco
Cálculo da área de um sólido de revolução
Cálculo do volume de um sólido de revolução
Coordenadas polares: gráficos
Cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares
Cálculo de áreas planas em coordenadas polares
- Funções de várias variáveis
Definição
Representação geométrica de uma função de duas variáveis
Derivadas parciais da função de várias variáveis
Interpretação geométrica da função de várias variáveis
Derivação da função composta. Derivada total
Derivada parcial de ordem superior
- Integrais múltiplas
Integral dupla
Cálculo da integral dupla
Cálculo de áreas e volumes utilizando integrais duplas
Integral dupla em coordenadas polares
Substituição de variáveis em uma integral dupla
Integral tripla
Cálculo da integral tripla
Mudança de variáveis em uma integral tripla
3. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
b
2 L 1 f ' x dx
d
2 L 1 g' y dy
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
3
1. Aplicações da Integral Definida
Estudamos a integral definida e analisamos uma importante aplicação que é o cálculo
de Área de regiões planas.
Agora, outras aplicações da integral definida serão discutidas.
1.1 Comprimento de arco em coordenadas cartesianas
Seja f uma função suave (f e sua derivada f ’ são contínuas) em [a,b]. O comprimento de
arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por:
a
Obs: Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = g(y) em vez de y = f(x). Neste
caso, o comprimento do arco da curva de A(g(c),c) até B(g(d),d) é dado por:
c
4. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
x
x(t)
0 1 y y(t), t t , t
y'(t)
dy
f '(x) Segue então, através de uma substituição, que:
1
y' t
L 1 f ' x dx 1 ,
1
2 2 L x'(t) y' t dt .
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
4
Exercícios
1) Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8].
(Resp. L 9,0734 u.c.)
2) Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4).
(Resp. L 7,6 u.c.)
3) Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x -2 do ponto onde x = 1 ao ponto x = 2.
(Resp. L = 33/16 u.c)
1.2 Comprimento de arco uma curva plana dada por suas Equações Paramétricas
Vamos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma paramétrica
pelas equações.
onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas contínuas e x’(t) 0 para todo 1 0 t , t t
Neste caso, conforme vimos, estas equações definem uma função y = f(x), cuja
derivada é dada por .
x'(t)
dx
0
t
t
2
b
a
2 x' (t) dt
x' (t)
onde t0 = a e t1 = b.
Portanto,
0
t
t
Exercícios
1) Ache o comprimento de arco da curva paramétrica x = t³/3 e y = t²/2 no intervalo [0,1].
(Resp. L = (2.2 – 1)/3 0,61 u.c.)
2) Calcular o comprimento de arco da hipociclóide x = 2.sen³t e y = 2.cos³t.
(Resp. L = 12 u.c.)
5. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
b
A f (x) dx y dx .
1
A y(t).x'(t) dt .
x
2.cost
x
2.cost
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
5
1.3 Área de uma região plana
Vamos calcular área de uma região plana, sendo que as curvas que delimitam a região
são dadas na forma paramétrica.
Conforme vimos anteriormente, a área é dada por:
a
b
a
Fazendo a substituição x = x(t) e dx = x’ (t) dt, obtemos:
0
t
t
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercícios
1) Determine a área da região compreendida entre a curva paramétrica x = t³, y = 2t² + 1,
- 1 t 1 e o eixo x. (Resp. A = 22/5 u.a.)
2) Calcular a área entre as elipses
y sent
e
y 4sent
. (Resp. A = 6 u.a.)
1.4 Volume de um Sólido de Revolução
Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é
chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado
eixo de revolução.
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do
eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone.
6. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
b
2 V . f x dx . (*)
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
6
Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo
dos y, obtemos um cilindro.
Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação
em torno do eixo dos x, da região plana R.
Seja f contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da
região delimitada pelos gráficos de f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por:
a
A fórmula (*) pode ser generalizada para outras situações:
7. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
b
2 2 V . f x g x dx .
d
2 V . g y dy .
b
2 V . f x L dx .
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
7
I – A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b.
Supondo f(x) g(x), x [a,b], o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em
torno do eixo dos x, é dado por:
a
II – Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y.
Neste caso, temos:
c
III – A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos:
a
8. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
d
2 V . g y M dy .
1
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
8
Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos:
c
Exercícios
1) A região R, limitada pela curva y = 2 x
4
, o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno
do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. (Resp. V = 1023 /80 u.v.)
Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.
9. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
1
e até
3
1 2 e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
9
2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada
1
pela parábola y = 2 13 x
4
e pela reta y = (x 5)
2
.(Resp. V = 64 /5 u. v.)
Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.
3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o
gráfico da função y = senx e o eixo dos x, de
2
2
. (Resp. V = ² u.v.)
Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.
4) A região R, delimitada pela parábola x = 1 y
2
torno da reta x = -1. Desenhe e determinar o volume do sólido de revolução obtido.
(Resp. V = 448 /15 u.v.)
1.5 Área de uma Superfície de Revolução
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície
de revolução.
Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S, obtida
quando uma curva C, de equação y = f (x), x [a,b], gira em torno do eixo dos x (ver Figura a
seguir).
10. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
b
2 A 2 . f (x). 1 f ' x dx .
d
2 A 2 . g(y). 1 g' y dy
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
10
Definição: Seja C uma curva de equação y = f (x), onde f e f ’ são funções contínuas em [a,b] e
f (x) 0, x [a,b]. A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C
ao redor do eixo dos x, é definida por
a
OBS: Se a curva girar em torno do eixo dos y, a área será dada por:
c
Exercícios
1) Ache a área do parabolóide, obtido pela revolução do arco de parábola y = x², 0 x 2, em
torno do eixo do x.
(Resp. A = 13 / 3 u.a.)
2) Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0 x 9, em torno do
eixo do y.
(Resp. A 258,8468 u.a.)
1.6 Coordenadas Polares
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da
medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa.
A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares.
11. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
11
O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem.
O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r,), onde r representa a
distância entre a origem e o ponto P, e representa a medida, em radianos do ângulo
orientado AÔP.
OBS: (i) > 0 o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário.
(ii) < 0 o ângulo AÔP está descrito no sentido horário.
(iii) (0, ), , representa o pólo ou origem.
As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma
grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semi-retas partindo de O:
12. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
5
, 4 (c)
, 3 (b)
5
4
, 4 (d)
y
co
x
e sen =
y
y
co
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
12
Exercício Marque o ponto tendo o conjunto dado de coordenadas polares:
2
(a)
3
6
4
3
2,
1.6.1 Conversão de coordenadas polares
y
x
Ás vezes pode ser necessário converter a representação cartesiana para a polar; ou
vice-versa. Para visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do
segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual
com o eixo
2
positivo y.
Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas
polares (r, ), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante.
Observemos que:
1) r > 0 cos =
x
r
ca
h
e sen =
r
h
x r.cos
(*)
y r.sen
2) r < 0 cos =
r
x
r
ca
h
r
r
h
(x,y) : coordenadas cartesianas
(r,) : coordenadas polares
13. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
3
2
3
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
13
Elevando (*) ao quadrado e somando ambos temos:
x² + y² = r².cos² + r².sen² = r².(cos² + sen²) = r².
r = 2 2 x y .
OBS : tg = y / x = arct (y/x).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercícios
1) Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes pontos cujas
coordenadas polares são dadas:
1
(a) (4,
6
) (b) (2,
4
) (c) (- 4,
3
7
) (d) (- 2,
4
)
Resp. (23, 2) Resp. (-1,-1) Resp. (2, -23) Resp. (- 2, 22)
2) Encontre um conjunto de coordenadas polares para cada um dos seguintes pontos cujas
coordenadas cartesianas retangulares são dadas. Tome r > 0 e 0 < 2.
(a) (1, - 1) (b) (- 3, 1) (c) (2,2) (d) (- 2,- 23 )
Resp. (2, 315º) Resp. (2, 150º) Resp. (22, 45º) Resp. (4, 240º)
1
3) Marque o ponto (2,
2
) tendo o conjunto dado de coordenadas polares; depois encontre
outro conjunto de coordenadas polares para o mesmo ponto, tal que:
(a) r < 0 e 0 < 2 (b) r > 0 e - 2 < 0 (c) r < 0 e - 2 < 0
3
Resp. (-2,
2
) Resp. (2,
2
1
) Resp. (-2,
2
)
4) Obtenha uma equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar r² = 2.sen2.
(Resp. (x² + y²)² = 4xy)
5) Encontre a equação polar do gráfico tendo a equação cartesiana (x² + y²)² = 4.( x² - y²).
(Resp. r² = 4.cos2 )
14. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
,
,
,
L f '() f d 2 2
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
14
1.6.2 Gráficos de Equações com Coordenadas Polares
O gráfico de F(r, ) = 0 é formada por todos os pontos cujas coordenadas polares
satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita; isto é,
r = f ().
Os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do gráfico:
(i) Construir uma tabela a partir de valores de (0,
6
4
3
, ... ) selecionados;
2
(ii) Encontrar os valores de para os quais a curva passa pelo pólo;
(iii) Verificar simetria. A simetria do gráfico de uma equação polar pode ser freqüentemente
constatada fazendo-se substituições convenientes na equação e testando para ver se a nova
equação é equivalente à original. A tabela seguinte mostra algumas substituições que
acarretam a simetria indicada.
Substituições Simetria
(r, ) por (r, - ) Eixo - x
(r, ) por (- r, ) Origem
(r, ) por (r, - ) Eixo - y
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercícios Esboçar o gráfico das seguintes funções:
1) r = 2 4) r = 1- 2.cos
6
2) r = 1 +
5) r = 4.cos2
3) r = 3 + 2.sen
1.6.3 Comprimento de arco em coordenadas polares
O comprimento de arco da curva por r = f () entre = e = é dado por
desde que f ’ exista e seja contínua no intervalo [,].
15. Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
df .
2
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
15
Exercícios
1) Encontre o comprimento de arco de = 0 a = da cardióide r = 2.(1 - cos ).
(Resp. L = 16 u.c.)
2) Determine o comprimento da espiral de equação r = e/2, de = 1 a = 2.
(Resp. L 2,4 u.c.)
1.6.4 Áreas em Coordenadas Polares
Queremos encontrar a área A, da Figura delimitada pelas retas = e = e ela
curva r = f (), que é dada por:
1
A 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercícios
1) Encontre a área da região limitada pela cardióide r = 2 + 2 cos.
(Resp. A = 6 u.a.)
2) Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3.
(Resp. A 3 /4 u.a.)
3) Encontrar a área da região entre os laços interno e externo da limaçon r = 1 - 2.sen.
(Resp. A 8,34 u.a.)
4) Encontre a área da região comum limitadas pelo círculo r = - 6.cos e pela cardióide
r = 2- 2.cos.
(Resp. A = 5 u.a.)