Teoria dos Conjuntos

1.127 visualizações

Publicada em

Matemática Discreta. Teoria Dos Conjuntos

Publicada em: Educação
0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.127
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
29
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Teoria dos Conjuntos

  1. 1. Teoria dos Conjuntos
  2. 2. Sumário • Conceitos básicos • Relações entre conjuntos • Conjuntos de conjuntos • Operações em conjuntos • Identidades envolvendo conjuntos • Conjuntos contáveis e não contáveis
  3. 3. Definições Intuitivas • Um conjunto é uma coleção de objetos ‣ os elementos de um conjunto podem ser determinados por alguma propriedade ‣ não existe uma ordem entre os objetos
  4. 4. Exemplo • Seja C o conjunto dos números naturais menores que 7 ‣ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ‣ 2 ∈ C ‣ 8 ∉ C
  5. 5. Igualdade • Dois conjuntos são iguais se eles contêm os mesmos elementos • A = B significa ‣ (∀x) [(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)]
  6. 6. Descrevendo um Conjunto • Listar (ou listar parcialmente) os elementos ‣ C = {2, 4, 6, 8, 10, ...} • Usar uma definição recorrente ‣ 2 ∈ C; ‣ Se x ∈ C, então x+2 ∈ C. • Definir uma propriedade que caracteriza os elementos ‣ C = {x | P(x)}, P(x): x é um inteiro positivo par
  7. 7. ConjuntoVazio • O conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. ‣ Símbolo do conjunto vazio: ∅ ‣ ∅ = {} ‣ ∅ ≠ {∅}
  8. 8. Exemplos • A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] } • B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) } • C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }
  9. 9. Exemplos • A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] } • B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) } • C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) } ‣ A = {0, 1, 8}
  10. 10. Exemplos • A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] } • B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) } • C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) } ‣ A = {0, 1, 8} ‣ B = ℕ
  11. 11. Exemplos • A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] } • B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) } • C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) } ‣ A = {0, 1, 8} ‣ B = ℕ ‣ C = {0}
  12. 12. Relações entre Conjuntos • A é um subconjunto de B se todo elemento de A é também um elemento de B. ‣ A ⊆ B se (∀x)(x ∈ A → x ∈ B) • A é um subconjunto próprio de B se A é subconjunto de B, mas existe pelo menos um elemento de B que não pertence a A. ‣ A ⊂ B se [(∀x)(x ∈ A→x ∈ B)∧(∃y)((y ∈ B)∧(y ∉ A))]
  13. 13. Exemplos • Sejam os conjuntos R={7,9} e S={7,9,15,20} ‣ R ⊆ S ‣ R ⊂ S ‣ ∅ ⊆ R ‣ 15 ∈ S ‣ {15} ⊆ S ‣ {7,9} ⊆ R
  14. 14. Exemplo • Considere os conjuntos A e B a seguir: ‣ A = {x | x ∈ ℝ e x2 - 4x + 3 = 0} ‣ B = {x | x ∈ ℕ e 1 ≤ x ≤ 4} • Prove que A ⊂ B.
  15. 15. Conjuntos de Conjuntos • Dado um conjunto S, o conjunto das partes de S, denotado por ℘(S), é o conjunto formado pelos subconjuntos de S. ‣ os elementos de ℘(S) são conjuntos ‣ se S tem n elementos, então ℘(S) tem 2n • Seja S = {0, 1}, então ‣ ℘(S) = { ∅, {0}, {1}, {0, 1}}
  16. 16. Tipos de Operações • Binárias ‣ envolve exatamente dois operandos • Unárias ‣ envolve um único operando
  17. 17. Operação Binária • ⊚ é uma operação binária em um conjunto S se x⊚y existe, é único e pertence a S ‣ para todo par ordenado (x,y) de elementos de S ‣ ⊚ é bem definida se x⊚y existe e é único ‣ S é fechado em relação a ⊚ se x⊚y pertence a S
  18. 18. Exemplos • A adição (+) é uma operação binária em ℤ ‣ x+y existe, é único e pertence a ℤ, ∀ x,y ∈ ℤ • A conjunção (∧) é uma operação binária no conjunto das FBFs proposicionais. • A subtração (-) não é uma operação binária em ℕ ‣ ℕ não é fechada em relação a - (3-5 ∉ ℕ)
  19. 19. Operação Unária • ⊚ é uma operação unária em um conjunto S se ⊚x existe, é único e pertence a S ‣ para todo elemento x de S ‣ ⊚ é bem definida se ⊚x existe e é único ‣ S é fechado em relação a ⊚ se ⊚x pertence a S
  20. 20. Exemplos • O negação lógica (′) é uma operação unária no conjunto das FBFs proposicionais • O oposto de um número (-) é uma operação unária ℤ, mas não em ℕ ‣ ℕ não é fechado em relação a -
  21. 21. Operações em Conjuntos • Dada um conjunto arbitrário S, podemos definir operações no conjunto ℘(S) então denominado conjunto universo ‣ União ‣ Interseção ‣ Complemento ‣ Diferença ‣ Produto Cartesiano
  22. 22. União • Sejam A, B ∈ ℘(S).A união de A e B, denotada por A ∪ B, é {x | x ∈ A ou x ∈ B} • Exemplo: ‣ Sejam S = ℕ;A = {1,2,5}; B = {1,3,9};A,B ∈ ℘(ℕ) ‣ A ∪ B = {1,2,3,5,9}
  23. 23. Interseção • Sejam A, B ∈ ℘(S).A interseção de A e B, denotada por A ∩ B, é {x | x ∈ A e x ∈ B} • Exemplo: ‣ Sejam S=ℕ;A = {1,2,5}; B = {1,3,5,8};A,B ∈ ℘(ℕ) ‣ A ∩ B = {1,5}
  24. 24. Complemento • Dado um conjunto A ∈ ℘(S), o complemento do conjunto A, denotado por A′, é o conjunto {x | x ∈ S e x ∉ A}
  25. 25. Diferença • Dados os conjuntos A, B ∈ ℘(S).A diferença entre A e B, denotada por A - B, é o conjunto {x | x ∈ A e x ∉ B} • Exemplo: ‣ Sejam S=ℕ;A = {1,2,5,8}; B = {1,3,5};A,B ∈ ℘(ℕ) ‣ A - B = {2,8}
  26. 26. Diagramas deVenn • Representação gráfica de propriedades e operações envolvendo conjuntos
  27. 27. Produto Cartesiano • Sejam A, B subconjuntos de S. O produto cartesiano de A e B, denotado por A×B, é o conjunto {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B} • Exemplo: ‣ Sejam A={1,2} e B={3,4} ‣ A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
  28. 28. Exemplo • Considere os seguintes conjuntos ‣ A = {1,2,3,5,10} ‣ B={2,4,7,8,9} ‣ C={5,8,10} ‣ subconjuntos de S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} • Determine A∪B,A-C e B′∩(A∪C)
  29. 29. Identidades entre Conjuntos A∪B = B∪A A∩B = B∩A Comutatividade (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Associatividade A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributividade A∪∅ = A A∩S = A Existência de elemento neutro A∪A´=S A∩A´=∅ Propriedades do complemento
  30. 30. Exemplo • Prove que ‣ [A∪(B∩C)] ∩ [(A´∪(B∩C)) ∩ (B∩C)´] = ∅
  31. 31. Dica • Para provar que A = B, mostre que: ‣ A ⊆ B e B ⊆ A
  32. 32. Conjuntos Enumeráveis • Enumerar os elementos de um conjunto consiste em designar um elemento do conjunto como sendo o primeiro elemento, s1, um outro elemento como sendo o segundo, s2, e assim por diante. • Para provar que um conjunto é enumerável basta exibir um modo de enumerar todos os seus elementos.
  33. 33. Conjuntos Finitos • Os conjuntos finitos são enumeráveis • Para um conjunto S finito com k elementos, podemos enumerar os elementos em uma determinada ordem ‣ s1, s2, ... , sk ‣ k é a cardinalidade do conjunto
  34. 34. Conjuntos Infinitos • Alguns conjuntos infinitos são enumeráveis. • Podemos determinar uma forma de enumerar os elementos de um conjunto infinito ‣ s1, s2, s3, ...
  35. 35. Conjuntos Infinitos • Exemplos de conjuntos infinitos enumeráveis: ‣ Podemos enumerar os elementos de ℕ definindo uma seqüência recorrente: 0, 1, 2, 3, ... ‣ Podemos enumerar os elementos de ℚ+ *
  36. 36. Conjuntos Contáveis • São os conjuntos finitos e os conjuntos infinitos enumeráveis. • Ser contável não significa que podemos determinar o número total de elementos do conjunto. ‣ significa que podemos determinar a posição de qualquer elemento
  37. 37. Existem conjuntos infinitos não-enumeráveis! Exemplo: o conjunto dos números reais entre 0 e 1.
  38. 38. Exemplos • Prove que o cojunto dos números inteiros positivos pares é enumerável. • Prove que o conjunto do números racionais positivos é enumerável. • Prove que o conjunto de todos os números reais entre 0 e 1 não é enumerável.

×