7463_APOSTILA_Matematica_Prof_Roberto.pdf

2012
Professor
Roberto Bayestorff
atendimento.ecp@gmail.com
MATEMÁTICA
EXTENSIVO

____________ _____________________________ MATEMÁTICA _________________________________ Prof. Roberto
__________________________________________________________________________________________________________________________
ATUALIZADO ATÉ MAIO/2012 www.CARREIRAPUBLICA.com.br (48) 4141-3220 4141-3222
1
MATEMÁTICA
Prof. Roberto Bayestorff
1 Conjunto
Trata-se de uma coletânea de qualquer coisa. É um conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O
mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos, ou seja, sendo x um
elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
1.1 Relação de pertinência
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x ∈
∈
∈
∈ A , onde o símbolo ∈
∈
∈
∈ significa "pertence a".
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y ∉
∉
∉
∉ A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por φ ou por { }..
Com o mesmo raciocínio, e, opostamente, ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os
elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.
Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
∅
∅
∅
∅ = { x; x ≠
≠
≠
≠ x} e U = {x; x = x}.
1.2 Subconjunto
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A ⊂
⊂
⊂
⊂ B.
Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A ⊂
⊂
⊂
⊂ A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (∅
∅
∅
∅ ⊂
⊂
⊂
⊂ A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2
m
subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das
partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {φ
φ
φ
φ , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
1.3 Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos
numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Obs: é evidente que N ⊂ Z.
Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p ∈ Z , q ∈ Z e q ≠ 0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números
inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais:

__________________________________________________________________________________________________________________________
2
2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.
Notas:
a) é evidente que N ⊂
⊂
⊂
⊂ Z ⊂
⊂
⊂
⊂ Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de
uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9
Conjunto dos números irracionais
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais:
π = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
√ 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
Conjunto dos números reais
R = { x; x é racional ou x é irracional}.
Notas:
a) é óbvio que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
b) I ⊂ R
c) I ∪ Q = R
d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!
1.4 Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p
e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do
intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo.
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO
INTERVALO FECHADO [p;q] = {x ∈
∈
∈
∈ R; p ≤
≤
≤
≤ x ≤
≤
≤
≤ q} inclui os limites p e q
INTERVALO ABERTO (p;q) = { x ∈
∈
∈
∈ R; p <
<
<
< x <
<
<
< q} exclui os limites p e q
INTERVALO FECHADO A ESQUERDA [p;q) = { x ∈
∈
∈
∈ R; p ≤
≤
≤
≤ x <
<
<
< q} inclui p e exclui q
INTERVALO FECHADO À DIREITA (p;q] = {x ∈
∈
∈
∈ R; p <
<
<
< x ≤
≤
≤
≤ q} exclui p e inclui q
INTERVALO SEMI-FECHADO [p;∞
∞
∞
∞ ) = {x ∈
∈
∈
∈ R; x ≥
≥
≥
≥ p} valores maiores ou iguais a p.
INTERVALO SEMI-FECHADO (- ∞
∞
∞
∞ ; q] = { x ∈
∈
∈
∈ R; x ≤
≤
≤
≤ q} valores menores ou iguais a q.
INTERVALO SEMI-ABERTO (-∞
∞
∞
∞ ; q) = { x ∈
∈
∈
∈ R; x <
<
<
< q} valores menores do que q.
INTERVALO SEMI-ABERTO (p; ∞
∞
∞
∞ ) = { x >
>
>
> p } valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo
como R = ( -∞
∞
∞
∞ ; + ∞
∞
∞
∞ ).
1.5 Operações com conjuntos
1.5.1 União ( ∪
∪
∪
∪ )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A ∪
∪
∪
∪ B = { x; x ∈
∈
∈
∈ A ou x ∈
∈
∈
∈ B}.
Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}.
Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A ∪ A = A
b) A ∪ φ = A

__________________________________________________________________________________________________________________________
3
c) A ∪ B = B ∪ A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A ∪ U = U , onde U é o conjunto universo.
1.5.2 Interseção ( ∩
∩
∩
∩ )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A ∩
∩
∩
∩ B = {x; x ∈
∈
∈
∈ A e x ∈
∈
∈
∈ B}.
Exemplo: {0,2,4,5} ∩ { 4,6,7} = {4}.
Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
a) A ∩ A = A
b) A ∩ ∅ = ∅
c) A ∩ B = B ∩ A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A ∩ U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) (propriedade distributiva)
P2. A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C) (propriedade distributiva)
P3. A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção)
P4. A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A ∩ B = φ , então dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.
1.5.3 Diferença
A - B = {x ; x ∈ A e x ∉ B}
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao
segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
a) A - φ = A
b) φ - A = φ
c) A - A = ∅
d) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
1.5.3.1 Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a
condição de que B ⊂
⊂
⊂
⊂ A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B'
.Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B' = {x; x ∉
∉
∉
∉ B}. É óbvio, então, que:
a) B ∩ B' = φ
b) B ∪ B' = U
c) φ' = U
d) U' = φ
1.6 Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do
conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A), que satisfaz simultaneamente, às seguintes
condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.

__________________________________________________________________________________________________________________________
4
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} ∩ {3, 5} = Ø
c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto N dos números
naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} ∩ {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N .
1.7 Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja
n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A ∩
∩
∩
∩ B por n(A ∩
∩
∩
∩ B) e o número de elementos da união A ∪
∪
∪
∪ B
por n(A ∪ B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A ∪
∪
∪
∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩
∩
∩
∩ B)
2 Frações
O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.
Chamamos:
de fração; a de numerador b de denominador.
Se a é múltiplo de b, então é um número natural.
Veja um exemplo:
A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2,
obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois
começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de
número fracionário.
2.1 O significado de uma fração

__________________________________________________________________________________________________________________________
5
Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de
?
Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou
algumas, conforme nosso interesse.
Exemplo: Monique comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais,
Monique teria comido 3 partes:
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Monique, e a parte branca é a parte que sobrou
do chocolate.
2.2 Classificação das frações
Fração própria: o numerador é menor que o denominador:
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.
2.3 Frações equivalentes
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.
Exemplo: são equivalentes
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número
natural, diferente de zero.
Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

__________________________________________________________________________________________________________________________
6
Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .
2.4 Simplificação de frações
Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da
fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de .
A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser
simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum
2.5 Números fracionários
Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?
5 . X = 1
Substituindo X, temos:
X por 0 temos: 5.0 = 0
X por 1 temos: 5.1 = 5.
Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse
problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.
Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.
Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número
fracionário .
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .
2.6 Adição e subtração de números fracionários
Temos que analisar dois casos:
1º) denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:

__________________________________________________________________________________________________________________________
7
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de
denominadores iguais ao m.m.c dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .
Obtendo o m.m.c dos denominadores temos m.m.c(5,2) = 10.
(10:5).4 = 8
(10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o m.m.c para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações,
que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.
2.7 Multiplicação e divisão de números fracionários
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por
denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é
mostrado no exemplo abaixo:
2.8 Potenciação e radiciação de números fracionários
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o
numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

__________________________________________________________________________________________________________________________
8
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao
numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:
2.9 Dízimas periódicas
Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:
1/3 = 0,333333..... 19/90 = 0,211111...
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de
numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.
Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa
dízima.
As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:
(período: 5) (período: 3) (período: 12)
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.
São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.
Observações:
Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos portanto da
parte não periódica o inteiro.
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:
2.10 Geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta
fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
2.10.1 Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos
noves quantos forem os algarismos do período.

__________________________________________________________________________________________________________________________
9
Exemplos:
2.10.2 Dízima Composta
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde
n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.
d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da
parte não periódica.
Exemplos:
2.11 Múltiplos e divisores naturais
2.11.1 Múltiplo e divisor de um número natural
Dizemos que um número natural n divide um número natural m, quando m : n não deixa resto, ou seja, a divisão é
exata. Representamos simbolicamente: n|m. Nestas condições, n é um divisor de m e m é um múltiplo de n.
Exemplos:
2 divide 16 ou seja, 2|16 porque 16:2 = 8 e resto = zero. Portanto, 2 é divisor de 16 e 16 é múltiplo de 2.
Observações:
a) O conjunto dos divisores naturais de n será representado por D(n).
Exemplos:
D(3) = {1,2,3}
D(20) = {1,2,4,5,10,20}
D(6) = {1,2,3,6}
b) O conjunto dos múltiplos naturais de n será representado por M(n).
Exemplos:
M(2) = {0,2, 4, 6, 8, ...}
M(5) = {0,5,10,15, ...}
c) Os múltiplos de 2 são denominados números pares. Os demais números naturais são denominados números
ímpares. Assim, denotando por P o conjunto dos números pares e por I o conjunto dos números ímpares, poderemos
escrever:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }

__________________________________________________________________________________________________________________________
10
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... }
Observa-se que ambos os conjuntos são infinitos.
2.11.2 Propriedades imediatas
P1) A unidade (ou seja, o número 1) divide qualquer número natural ou seja, n/1, para todo n natural.
P2) Zero não divide nenhum número natural, ou seja, não existe divisão por zero. Imagine se você tivesse que dividir
dez objetos por zero pessoas. Claro que isto não seria possível. Grave bem isto: a divisão por zero não existe.
P3) Todo número natural diferente de zero, divide o número zero, ou seja, para
n ≠ 0, 0/n, para todo n não nulo.
P4) Todo número natural diferente de zero, divide a si próprio, ou seja, para n ≠ 0, n / n para todo n não nulo. Esta
propriedade é conhecida como propriedade reflexiva.
P5) Sendo m, n e p três números naturais, se m/ p e p / n então m/ n. Esta propriedade é conhecida com
propriedade transitiva.
Exemplo:
2 divide 6 pois 6 : 2 = 3 (divisão exata).
6 divide 42 pois 42 : 6 = 7 (divisão exata). Logo,
2 divide 42. Realmente, 42 :2 = 21 (divisão exata).
P6) Todo número natural não nulo, é múltiplo de si mesmo. Isto decorre da propriedade P4.
P7) Zero é múltiplo de todo número natural não nulo. Isto decorre da propriedade P3.
( p ≠ 1) é primo quando ele só possui dois divisores: ele próprio e a unidade. Caso contrário, o número é
composto.
Assim, se o conjunto dos divisores naturais de p, representado por D(p), for igual a
D(p) = {1, p}, p é um número primo.
Ora, os divisores de 2, são apenas a unidade (1) e ele mesmo (2). Logo, 2 é um número primo. Portanto, 2 é o único
número natural primo que é par.
Sendo ℘ o conjunto dos números primos, poderemos escrever:
℘ = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57, 59, 61, ..., 359, ... , }
O conjunto dos números primos é infinito.
Todo número composto pode ser escrito como um produto de números primos. Isto é conhecido como Teorema
Fundamental da Aritmética – TFA.
Exemplos:
12 = 3.2.2
15 = 3.5
49 = 7.7
105 = 7.5.3
240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.2
4
.3
Na prática, podemos usar o seguinte esquema:
Seja o caso de 240 acima. Teremos:
240 |2
120 |2
60 |2
30 |2
15 |3
5|5
1|

__________________________________________________________________________________________________________________________
11
Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24
.3.5
A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração , já que o número é decomposto em
fatores de uma multiplicação.
3 m.d.c. – Máximo divisor comum
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6.
Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) =
6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum
desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
3.1 Cálculo do m.d.c.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores
primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 2
2
x 3
2
90 = 2 x 3
2
x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 3
2
= 18.
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles,
cada um elevado ao menor expoente.
3.1.1 Cálculo do m.d.c. pelo processo das divisões sucessivas
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.
Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).
Regra prática:
1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)

__________________________________________________________________________________________________________________________
12
2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim
sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)
18 / 12 = 1 (com resto 6)
12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.
3.1.2 Números primos entre si
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum
desses números é 1.
Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
3.2 Propriedade do m.d.c.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6 = 2 x 3
18 = 2 x 3
2
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o
m.d.c. dos números dados.
Dados dois números naturais a e b não nulos, define-se o máximo divisor comum – m.d.c. como sendo o maior
natural que divide simultaneamente a e b.
O m.d.c. de dois números será indicado por (a, b).
Óbvio que se tivermos o m.d.c. de n números naturais a1, a2, a3, ... , an , indicaremos por
(a1, a2, a3, ... , an)
Exemplos:
Determine o m.d.c. dos naturais 10 e 14, ou seja, determine (10, 14).
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10.
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14.
Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.
Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos: (10, 14) = 2.
Pode-se indicar também como: m.d.c.(10,14) = 2. Preferimos a primeira forma, por ser mais sintética.
Determine (4, 10, 14, 60), ou seja, o m.d.c. dos números naturais 4,10,14 e 60.
Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14
Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60

__________________________________________________________________________________________________________________________
13
Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.
Portanto o m.d.c é igual a 2, ou seja: (4, 10, 14, 60) = 2
O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova forma para o cálculo do
m.d.c. de dois números naturais não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de (a,b).
Assim, seja calcular o m.d.c. de 408 e 240.
Como já vimos acima, temos:
408 = 2.2.2.3.17 = 2
3
.3.17
240 = 2.2.2.2.3.5 = 2
4
.3.5
Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:
(408, 240) = 2
3
.3 = 8.3 = 24 , que é o m.d.c. procurado.
Portanto, (408, 240) = 24.
O m.d.c. do exemplo anterior, poderia ser também determinado pelo método das divisões sucessivas, cujo dispositivo
prático é mostrado a seguir:
1 1 2 3
408 240 168 72 24
168 72 24 0
Para entender o dispositivo prático, basta observar que:
408:240 = 1 com resto 168
240:168 = 1 com resto 72
168:72 = 2 com resto 24
72:24 = 3 com resto zero.
Portanto o m.d.c. procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes.
Nota: Se o m.d.c. de dois números naturais a e b for igual à unidade, ou seja,
(a,b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si, ou que a e b são co-primos.
Ou seja:
(a, b) = 1 ⇔
⇔
⇔
⇔ a e b são primos entre si (co-primos).
Exemplo: (7, 5) = 1 ∴ 5 e 7 são primos entre si.
4 m.m.c. – Mínimo múltiplo comum
4.1 Múltiplo de um número natural
Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é
múltiplo desse outro.

__________________________________________________________________________________________________________________________
14
Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.
Exemplo: os múltiplos de 7 são:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
Observações importantes:
1) Um número tem infinitos múltiplos
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural
4.2 Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo
comum de 4 e 6.
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo
comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.
Cálculo do m.m.c.
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c.
de 12 e 30:
1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 2
2
x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2
2
x 3 x 5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e
não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
Processo da decomposição simultânea
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como
mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o
m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
4.2.1 Propriedade do m.m.c.
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30).
Observe:

__________________________________________________________________________________________________________________________
15
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o
m.m.c. dos números dados.
Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por
15. Observe:
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.
5 Potência de expoente natural
Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2, definimos a n-ésima (enésima) potência de a
como sendo:
an
= a.a.a.a.a. ^ .a
onde o fator a é repetido n vezes, ou seja, o produto possui n fatores.
Denominamos o fator a de base e n de expoente; a
n
é a n-ésima potência de a.
Portanto, potência é um produto de n fatores iguais.
A operação através da qual se obtém uma potência, é denominada potenciação.
Exemplos:
7
2
= 7.7 = 49
2
5
= 2.2.2.2.2 = 32
6
3
= 6.6.6 = 216
10
7
= 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 (dez milhões)
10
6
= 10.10.10.10.10.10 = 1000000 (um milhão)
Nota:
Observe que a potência 10
n
é igual a 1 seguido de n zeros.
Assim, por exemplo, 10
10
= 10000000000 (dez bilhões).
5.1 Convenções
a) potência de expoente zero: a0
= 1
Exemplos: 4567
0
= 1; 243
0
= 1; (- 2001)
0
= 1

__________________________________________________________________________________________________________________________
16
b) potência de expoente unitário : a1
= a
Exemplos: 23
1
= 23; 2001
1
= 2001.
As potências de expoente 2 e 3 recebem nomes especiais, a saber:
a
2
= a.a, é lido como a ao quadrado.
a
3
= a.a.a, é lido como a ao cubo.
5.2 Propriedades das potências
São válidas as seguintes propriedades das potências de expoentes naturais, facilmente demonstráveis:
P1) a
m
. a
n
= a
m+n
Exemplo: 2
5
.2
3
= 2
5+3
= 2
8
= 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256
P2) a
m
: a
n
= a
m-n
Exemplo: 5
7
:5
4
= 5
7-4
= 5
3
= 5.5.5 = 125
P3) (a
m
)
n
= a
m.n
Exemplo: (4
2
)
3
= 4
2.3
= 4
6
= 4.4.4.4.4.4 = 4096
P4) a
m
.b
m
= (a.b)
m
Exemplo: 2
3
.4
3
= (2.4)
3
= 8
3
= 8.8.8 = 512
P5) a
m
:b
m
= (a:b)
m
Exemplo: 12
4
:3
4
= (12:3)
4
= 4
4
= 4.4.4.4 = 256
P6) a
-n
= 1/a
n
Exemplo: 5
-2
= 1/5
2
= 1/5.5 = 1/25
Esta propriedade decorre de P2, ou seja: a
-n
= a
0
/a
n
= a
0-n
= a
-n
.
Nota: estas propriedades também são válidas para expoentes reais.
Exercício:
Calcule o valor da expressão a seguir:
A = {[(2
3
.2
4
: 4
3
)]
5
}
-2
Desenvolvimento:
A = {[(2
7
: (2
2
)
3
)]
5
}
-2
= {[2
7
: 2
6
]
5
}
-2
= {[2
1
]
5
}
-2
= 2
-10
= 1/2
10
= 1/1024
6 Radicais
A forma mais genérica de um radical é:
onde c = coeficiente, n = índice e A = radicando.
O radical acima é lido como: c raiz n-ésima (enésima) de A.
Se n = 2, costuma-se não representar o número 2 e lê-se como c raiz quadrada de A.

__________________________________________________________________________________________________________________________
17
Se n = 3, lê-se o radical como c raiz cúbica de A.
Exemplos:
que é lido com 5 raiz cúbica de 25, onde 5 é o coeficiente, 3 é o índice e 25, o radicando.
3√
√
√
√10 que é lido como 3 raiz quadrada de 10, onde 3 é o coeficiente, 2 (não indicado, por convenção) é o índice e 10,
o radicando.
6.1 Potência de expoente fracionário
Exemplo:
A propriedade acima decorre de:
Seja x = a
m/n
. Podemos escrever: x
n
= (a
m/n
)
n
e, daí, x
n
= a
m
de onde vem, extraindo-se a raiz n-ésima de ambos os
membros:
6.2 Introduzindo o coeficiente num radical
Uma importante propriedade dos radicais é a seguinte:
Exemplo:
Portanto, para introduzir um coeficiente num radical, basta elevar este coeficiente a um expoente igual ao seu
índice.
Esta propriedade é bastante útil também, para a simplificação de radicais, pois às vezes, a depender do tipo de
problema que está sendo abordado, pode tornar-se necessário percorrer o caminho inverso. Assim, por exemplo,
6.3 Raiz de raiz
Outra propriedade muito importante dos radicais é a que segue:
Exemplo:

__________________________________________________________________________________________________________________________
18
A operação com radicais é denominada radiciação e, esta operação é a inversa da potenciação.
Isto decorre de:
Exemplos:
Como 2 elevado a 4 é igual a 16, dizemos que 2 é uma raiz quarta de 16.
Como 3 elevado a 2 é igual a 9, dizemos que 3 é uma raiz quadrada de 9.
Como 5 elevado a 3 é igual a 125, dizemos que 5 é uma raiz cúbica de 125, etc
6.4 Radiciação
6.4.1 Potenciação de Radicais
Observando as potencias, temos que:
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente.
Exemplos:
6.4.2 Divisão de Radicais
Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:
: =
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:
6.4.3 Racionalização de denominadores
Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.

__________________________________________________________________________________________________________________________
19
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:
Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional,
equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com
radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem
radical.
6.4.4 Principais casos de racionalização
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:
é o fator racionalizante de , pois . = = a
2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:
é o fator racionalizante de
6.5 Exercícios
01. Determine o m.m.c. entre 24 e 40
02. Determine o m.d.c. entre 24 e 40

__________________________________________________________________________________________________________________________
20
03. (CORREIOS – 2006) O mínimo múltiplo comum entre os números 6 e 8, elevado ao quadrado é:
a) 1.024 b) 576 c) 324 d) 256 e) 144.
04. ( B.B– 007) A proposição funcional “existem números que são divisível por 2 e por 3 “ é verdadeira para todos os
elementos do conjunto { 2 , 3 , 9 , 10 , 15 , 16 }
05. Quanto aos números pares 0, 2, 4 e 8, é CORRETO afirmar que:
a) estão em progressão aritmética de razão 2.
b) estão em progressão geométrica de razão de 2.
c) são potências consecutivas da base 2.
d) são múltiplos consecutivos de 2.
e) têm máximo divisor comum igual a 2.
06. ( CORREIOS – 2006 ) O máximo divisor comum de 6 e 9, elevado à quarta potência é.
a) 81 b) 71 c) 61 d) 51 e) 27
07. O número 18900 apresenta n divisores naturais, onde n é igual a:
a) 12 b) 36 c) 72 d) 18 e) 24
08. O número 2
4
. 3
a
. 5
3
tem 120 divisores. Qual é o valor de a?
09. (UFSC) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o
desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia
03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se
os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então
o número de dias para o próximo alinhamento é:
10. Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4min, 2,0min e 1,6min para completar
uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo, os três atletas se
encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse momento, o atleta MAIS VELOZ estará completando:
a) 12 voltas. b) 15 voltas. c) 18 voltas. d) 10 voltas.
11. Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser vistos
bem próximos um do outro quando avistados da Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do Sol
aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos estiveram em
conjunção no céu da Terra?
a) 1840 b) 1852 c) 1864 d) 1922 e) 960
12. Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A
exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três
viajantes estejam juntos novamente na cidade A é:
a) 144. b) 240. c) 360. d) 480. e) 720.
13. Considere dois rolos de barbante, um com 96 m e outro com 150 m de comprimento. Pretende-se cortar todo
o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo comprimento. O menor número de pedaços que poderá ser obtido é
a) 38 b) 41 c) 43 d) 52 e) 55
14. Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa
distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o
mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de
qualquer material. Nesse caso, o número de CADERNOS que cada família ganhou foi:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9
15. Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que tenham iguais quantidades de
alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1.350 rapazes e 1.224
garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, o número mínimo de professores necessários
para acompanhar todos os grupos nessa visita é:
a) 18 b) 68 c) 75 d) 126 e) 143

__________________________________________________________________________________________________________________________
21
16. Ônibus da linha 572 passam pelo Largo do Machado de 7 em 7 minutos. Se um ônibus passou às 15h 42min,
quem chegar ao Largo do Machado às 18h 3min esperará quantos minutos pelo próximo ônibus?
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
17. ( CORREIOS – 2006 ) Um carpinteiro adquiriu seis dúzias de pregos e quatro dezenas de tachas. A quantidade
total de peças adquiridas é igual a
a) 110. b) 100. c) 112. d) 122. e) 132.
18. Um trem faz o percurso da estação A até a estação B em 2 horas, 22 minutos e 35 segundos. Se o trem chegou
na estação B exatamente às 10 horas, o seu horário de partida da estação A foi:
a) 6 horas, 38 minutos e 35 segundos
b) 6 horas, 37 minutos e 25 segundos
c) 7 horas, 37 minutos e 25 segundos
d) 7 horas, 38 minutos e 35 segundos
e) 7 horas, 22 minutos e 25 segundos
19. Uma pessoa tem 36 moedas. Um quarto dessas moedas é de 25 centavos, um terço é de 5 centavos, e as
restantes são de 10 centavos. Essas moedas totalizam a quantia de:
a) 8,75 b) 7,35 c) 5,45 d) 4,35
20. ( FEPESE-2006) Assinale a alternativa correta. As cidades A e B são ligadas por uma única rodovia. Entre
as cidades A e B tem-se o acesso para a cidade C. De A até B são 131 quilômetros; de A até o acesso para C são 25
quilômetros. Quantos são os quilômetros de B até o acesso para C, usando-se a mesma rodovia?
a) 10 km b) 25 km c) 106km d)131km e) 156km
21. ( CORREIOS–2006 ) Calcule o valor da expressão matemática ( 0,48 ÷ 2 ) × 10 + ( 3,6 ÷ 4 ) e assinale a
alternativa que contém o resultado.
a) 4,6. b) 2,6. c) 3. d) 3,3. e) 3,6.
22. Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o auditor deparou-se com a seguinte
situação:
Não era possível ver o número de metros vendidos, mas sabia-se que era um número inteiro. No valor total, só
apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira.
Com as informações anteriores, o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa nota foi:
a) 16 b) 26 c) 36 d) 46
23. A escada representada na figura tem sete degraus e altura 1,54m. A altura de cada degrau, em cm, é:
a) 18 b) 22 c) 25 d) 28
24. (ACAFE) Suponha que uma companhia de água cobre o consumo residencial pela seguinte tabela:

__________________________________________________________________________________________________________________________
22
Faixa de consumo
por m
3
Valor em reais
por m
3
0 - 10 1,20
11 - 25 2,00
mais de 25 2,50
O proprietário de uma residência, que num determinado mês consumiu 27m
3
de água, pagará, em reais:
a) 55,00 b) 67,50 c) 54,00 d) 45,00 e) 47,00
25. (UFSC) Suponha que em uma determinada espécie de animais os indivíduos tenham seus primeiros filhotes aos
8 meses, e que a partir de então para cada adulto da população nasçam, em média, 3 filhotes a cada 3 meses. Se no
início de janeiro nascerem os primeiros 12 filhotes de 4 indivíduos com os quais se esteja iniciando uma criação, qual
será o número provável de indivíduos que a população atingirá no início de outubro, não havendo mortes?
26. Visando evitar o desperdício de água, uma Companhia de Saneamento estipulou várias faixas de consumo para
cobrar do usuário. Vejamos:
O cálculo do valor a ser pago é efetuado distribuindo-se o volume de água gasto por faixa de consumo. Os primeiros
10 m
3
são calculados segundo a 1º faixa. O excedente, ou seja, os próximos 10 m
3
são cobrados pela segunda faixa,
o excedente pela 3º faixa e assim sucessivamente. Se uma família consumir 30 m
3
, vai pagar:
a) R$ 22,07
b) R$ 29,77
c) R$ 42,62
d) R$ 53,85
e) R$ 77,10
27. ( FEPESE– 2006) Observe os dois anúncios de duas lojas de eletrodomésticos:
Assinale a resposta correta:
a ) A loja B tem a melhor oferta pois ao comparar os dois valores é a que apresenta o menor valor total.
b ) A loja A tem a melhor oferta pois ao comparar os dois valores é a que apresenta o menor valor total.
c ) As duas lojas apresentam ofertas iguais.
e ) Para comprar dois celulares na loja A vai ser necessário pagar o valor total de R$ 265,00
d ) O valor da mensalidade do celular da loja B é de R$ 12,00.
28. Antônio possui um carro a álcool que consome 1 litro de combustível a cada 8km percorridos, enquanto José
possui um carro a gasolina cujo consumo é de 12km por litro. Sabendo-se que o litro de álcool custa R$ 1,14 e o litro
de gasolina R$ 1,60, e que José e Antônio dispõem da mesma quantidade de dinheiro, quantos quilômetros irá
percorrer José, tendo em vista que Antônio percorreu 320km?

__________________________________________________________________________________________________________________________
23
29. (UFSC) No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local onde o corpo de Jacques Sauniere é encontrado,
alguns números estão escritos no chão. Estes números fazem parte da Seqüência de Fibonacci, que é uma
seqüência infinita de números em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos que
imediatamente o antecedem. Assim, o décimo primeiro termo da Seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... é o
número:
30. Em certo país, o limite legal para que uma pessoa, após consumo de bebida alcóolica, possa conduzir um carro
é de 80 miligramas de álcool para cada 100 mililitros de sangue.
A tabela a seguir mostra a quantidade de álcool que ainda permanece no sangue de uma pessoa a cada hora após o
consumo, em função da quantidade retida inicialmente. Todos os valores são dados em mg de álcool/100mL de
sangue.
a) Sabe-se que o consumo de uma garrafa de cerveja provoca uma retenção inicial de 30mg de álcool/100 mL de
sangue. Suponha que Luiz beba três garrafas de cerveja.
Determine a quantidade de álcool no sangue de Luiz três horas após o consumo.
b) Sabe-se que o consumo de uma dose de licor provoca uma retenção inicial de 25mg de álcool/100mL de sangue.
Suponha que Virgínia deseja dirigir seu carro, sem infringir a lei, duas horas após consumir algumas doses de licor.
Determine o número máximo de doses de licor que Virgínia poderá tomar.
31. ( ENEM) No quadro a seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar,
cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m
3
) e de eletricidade (em kWh). Observe
que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe
uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.
Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor da conta será de:
a) R$ 55,23 b) R$ 106,46 c) R$ 802,00
d) R$ 100,00 e) R$ 22,90
32. O REAL ENFERRUJOU
"(...) as moedas 1 e 5 centavos oxidam antes do previsto (...) Até agora, apenas 116 milhões entre os sete bilhões de
moedas em circulação têm nova
roupagem lançada pelo governo no dia 1Ž julho (...)"
(ISTO É, 09/09/98)

__________________________________________________________________________________________________________________________
24
Desses 116 milhões de moedas, metade é de R$0,50, a metade do número restante é de R$0,10, a metade do que
sobrou é de R$0,05 e as últimas moedas são de R$0,01.
O total de moedas de R$0,01 corresponde, em reais, a:
a) 14.500 b) 29.000 c) 145.000 d) 290.000
33. Desejo enviar uma mercadoria para Buenos Aires e consultei uma transportadora sobre preços de transporte
aéreo de cargas. Recebi como resposta o fax a seguir.
Destino: Buenos Aires/Argentina
Cia Aérea: VIASUL
Material: Bagagem desacompanhada
Frete aéreo:
até 45kg R$ 2,60 por quilo
mais de 45kg, até 100kg R$ 2,30 por quilo
mais de 100kg R$ 2,10 por quilo
Despesas adicionais obrigatórias:
Agentes de Cargas: R$ 100,00
INFRAERO: R$ 10,00
Obs.: Os Agentes de Cargas são os encarregados do embarque e desembarque das mercadorias nos respectivos
aeroportos.
Se a mercadoria que desejo enviar tem 78,5kg, quanto deverei desembolsar?
a) R$ 310,10 b) R$ 290,55 c) R$ 264,65 d) R$ 201,10 e) R$ 180,55
34. (ENEM) No gráfico estão representados os gols marcados e os gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez
primeiras partidas de um determinado campeonato
Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3 pontos para cada vitória, 1 ponto por
empate e 0 ponto em caso de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida, terá acumulado um número
de pontos igual a
a) 15. b) 17. c) 18. d) 20. e) 24.
35. Observe as figuras 1 e 2. Todos os robôs são formados por estrelinhas iguais a da figura 1.
O robô 1 não tem pernas. Todos os outros têm pernas, além de pés, tronco e cabeça, como você pode ver na figura
3.
Veja a tabela.
Apesar do robô 4 não estar desenhado, foi possível completar a tabela com o número de estrelinhas necessárias.
Isso, porque existe uma regra para construção dos robôs.
Descubra que regra é essa e faça os itens a seguir.
a) Na tabela, complete quantas estrelinhas serão usadas para formar, no robô 5, cada pé, cada perna, a altura do
tronco, a largura do tronco e a cabeça.
b) Quantas estrelinhas serão necessárias para formar cada pé do robô 21?
c) Quantas estrelinhas serão necessárias para formar cada perna do robô 10?
d) Quantas estrelinhas serão necessárias para formar a altura do tronco do robô 11?
e) Quantas estrelinhas serão necessárias para formar a largura do tronco do robô 11?

__________________________________________________________________________________________________________________________
25
36. Calcule:
a) 5
3
2
+ b)
4
1
2
3
− c)
3
1
2
3
5 −
+
37. Determine:
a)
3
4
.
5
2
c)
4
3
:
2
5
d)
5
1
:
3
2
3 −
38. Efetuando-se
30
23
30
1
5
2
3
1
+
+
tem-se:
a)
900
529
b)
23
21
c)
30
23
d) 1 e)
23
7
39. Ache o valor numérico de 5
2
1
,
3
1
−
=
=
+
−
b
e
a
b
a
a) 0 b)
4
1
− c)
4
1
d)1 e) –2
40. O IDH procura refletir a qualidade de vida dos cidadãos. No entanto, através de sua análise não é possível
averiguar algumas desigualdades como é o caso, por exemplo, dos dados sobre trabalho feminino divulgados pela
OIT (Organização Internacional do Trabalho). Segundo a organização, na década de 90 do século XX, o trabalho
feminino correspondeu a 2/3 do total de horas trabalhadas no planeta enquanto o trabalho masculino apenas 1/3.
Com base nesses dados é válido afirmar que, em termos de horas trabalhadas, as mulheres trabalharam em relação
aos homens
a) a terça parte. b) menos da metade. c) a metade. d) o dobro. e) o triplo.
41. ( B.B – 2007) A proposição funcional “ para qualquer x tem – se x
2
> x “ é verdadeira para todos os valores de x
que estão no conjunto






2
1
,
2
,
2
3
,
3
,
2
5
,
5
42. Em julho de 2007, serão realizados os XV Jogos Pan-Americanos na cidade do Rio de Janeiro. Durante o
período dos jogos, o Centro Aquático Nacional, que está sendo construído na Barra da Tijuca, com capacidade para
10 mil pessoas, será utilizado do seguinte modo:
Em 1/6 do período ocorrerão apenas competições de saltos ornamentais;
Em 2/9 do período ocorrerão as competições de nado sincronizado;
Em 1/3 do período ocorrerão as competições de natação;
Nos demais dias, não haverá atividades no centro aquático.

__________________________________________________________________________________________________________________________
26
Sendo assim, responda:
a) Que atividade esportiva ocupará por mais tempo o Centro Aquático Nacional durante os jogos: nado sincronizado
ou natação? Por quê?
b) Em que fração do período dos jogos não haverá atividades no centro aquático?
c) A tabela abaixo apresenta os dias dos XV Jogos Pan-Americanos em que ocorrerão as competições de dois dos
seguintes esportes: saltos ornamentais, nado sincronizado ou natação.
Descubra quais são esses dois esportes e use-os para completar, adequadamente, os espaços em branco na tabela.
43. Sônia coleciona papéis de carta. Sabendo que 2/7 das folhas ela ganhou de sua mãe, 3/5 ela ganhou de suas
avós e outras 4 folhas restantes ela ganhou de suas amigas, determine o número de folhas da coleção de Sônia.
44. Claudete leu 3/5 de um livro e ainda faltam 48 páginas para ela terminar de ler o livro todo. Quantas páginas
desse livro ela já leu? Qual é o total de folhas que tem esse livro?
45. ( CORREIOS – 2006 ) Se dividirmos 0,144 por 1,2 obteremos o valor:
a) 1,21. b) 0,2. c) 0,12. d) 12,1. e) 11.
46. ( FEPESE – 2006) Assinale a operação que está com a resposta correta.
a) 0,5 + 0,34 = 0,74 b) 25
,
0
4
1
4
1
=
+
c)
6
2
2
1
4
1
=
+ d) 5
,
12
2
1
12 =
+ e) 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,8
47. ( PRF-1998) A distância entre duas cidades A e B é de 265 metros e o único posto de gasolina entre elas
encontra-se a 3/5 desta distância, partindo de A. O total de quilômetros a serem percorridos da cidade B até este
posto é de:
a) 57 b) 106 c) 110 d) 159 e) 212
48. (FGV) No orçamento da Prefeitura de uma determinada cidade, a verba mensal total de R$ 24.000.000,00 é
destinada à Educação. Sabe-se que 1/8 deste montante é dirigido à Educação Infantil e 3/8 ao Ensino Fundamental.
Sabe-se também que 1/3 dos recursos dirigidos à Educação Infantil são destinados ao pagamento de salários e o
restante para outras despesas. Sabe-se ainda que 2/5 dos recursos dirigidos ao Ensino Fundamental destinam-se ao
pagamento de salários e o restante para outras despesas. Pede-se:
a) Quais são, em reais, os recursos destinados para a Educação Infantil e para o Ensino Fundamental?
b) Quais são as frações da verba total correspondentes aos recursos para pagamento de salários em cada um dos
dois níveis de Ensino?
c) Qual é a fração da verba total correspondente a outras despesas para a Educação Infantil?
d) Mantidos os números do enunciado, exceto a última fração (2/5) referente aos recursos dirigidos para o pagamento
de salários do Ensino Fundamental, pergunta-se qual deverá ser o novo valor desta última fração para que os
recursos para pagamento de salários sejam iguais nos dois níveis de Ensino?
49. Em uma cidade, 5/8 da população torce pelo time A e, entre esses torcedores, 2/5 são mulheres. Se o número
de torcedores do sexo masculino, do time A, é igual a 120.000, a população dessa cidade é constituída por
a) 340.000 habitantes. b) 320.000 habitantes.
c) 300.000 habitantes. d) 280.000 habitantes.
e) 260.000 habitantes.

__________________________________________________________________________________________________________________________
27
50. (FEPESE – 2006) Um operário levou três dias para fazer um serviço de manutenção. No primeiro dia, concluiu
4
1
do trabalho total e no segundo dia, concluiu
5
3
do trabalho total. Assinale a alternativa que indica a fração do
trabalho total que foi realizado no terceiro dia.
a)
30
3
b)
20
17
c)
9
4
d)
20
8
e)
20
3
51. Numa escola foi feito um levantamento para saber quais os tipos de calçados mais usados pelas crianças. Foi
obtido o seguinte resultado: um terço usa sandálias; um quarto usa tênis; um quinto usa sapatos, e os 52 restantes
usam outros tipos de calçados.
Pode-se concluir que, pelos tipos de calçados encontrados, há nessa escola um total de
a) 240 crianças. b) 250 crianças. c) 260 crianças. d) 270 crianças. e) 280 crianças.
52. ( FEPESE – 2006) Um avião decola em Florianópolis, com destino a Salvador, às 8h, num vôo que tem a
duração total de 4 horas. Supondo que o avião precise reabastecer após
5
3
do tempo total de duração do vôo,
assinale a alternativa que indica o horário em que o avião deverá pousar para reabastecimento.
a) 10 h 40 min. b) 11 h. c) 10 h 24 mim. d) 10 h 44 min. e) 09 h 44 min.
53. (FEPESE – 2006) Um grupo de pessoas saiu para caminhar em um parque, aproveitando o sol
do outono. Utilizando uma equação, pode-se dizer que o número de pessoas que iniciou a caminhada é igual ao
quadrado da metade do número de pessoas que iniciou a caminhada. Após uma parada,
12
9
do número de pessoas
que iniciou a caminhada continuou até o final da aventura. Assinale a alternativa que indique a razão entre o número
de pessoas que iniciou a caminhada e o número
de pessoas que chegou ao final da aventura.
a)
12
3
b) 3 c)
4
3
d)
3
4
e) 4
54. (FEPESE – 2006) Uma construtora está executando uma obra e prevê a sua realização em quatro etapas. A
tabela abaixo relaciona a fração do serviço total que foi executado, após a conclusão de cada uma das três primeiras
etapas:
ETAPAS Fração do serviço total executado
Etapa 1
5
2
Etapa 2
3
1
Etapa 3
5
1
Assinale a alternativa que indica a fração do serviço total de execução da obra que deve ser realizada na etapa 4
para que a obra seja concluída.
a)
15
14
b)
13
4
c)
13
9
d)
15
1
e)
75
2
55. Uma pessoa tem 36 moedas. Um quarto dessas moedas é de 25 centavos, um terço é de 5 centavos, e as
restantes são de 10 centavos. Essas moedas totalizam a quantia de:
a) 8,75 b) 7,35 c) 5,45 d) 4,35
56. Um pai tem o triplo da idade de seu filho que está com 10 anos. A soma das idades dos dois, em anos, quando o
filho tiver a idade atual do pai será
a) 70 b) 80 c) 90 d) 100
57. ( CORREIOS – 2006 ) Assinale a alternativa correta para o resultado do número 12 elevado ao expoente zero:
a) -12 b) 12 c) 0 d) -1 e) 1

__________________________________________________________________________________________________________________________
28
58. ( CORREIOS – 2006 ) O valor da expressão [(-2)³-(-3)³]+[(-2)
4
+(-2)³] é igual a
a) -8. b) 8. c) 16. d) -27. e) 27.
59. Calcule: a) 5
2
b) ( -5 )
2
c) ( -2 )
3
d) 3
0
e) 243
1
f) 1
7
g)
2
3
2
−






h) ( ) 1
5
,
0
−
i) ( )3
2
2
60. O valor da expressão 6
6
+ 6
6
+ 6
6
+ 6
6
+ 6
6
+ 6
6
é:
a) 6
6
b) 6
7
c) 7
6
d) 6
36
e) 36
6
61. Qual a metade de 2
22
?
a) 2
11
b) 1
22
c) 1
11
d) 2
21
e) n.d.a
62. Calcule
5
,
0
3
2
9
8 +
63. Uma calculadora apresentava, em sua tela, o resultado da soma dos gastos do mês realizados por um pai
"coruja" que permitiu a seu filho apertar algumas teclas, alterando esse resultado. O pai observou que o menino
havia apertado as teclas, uma única vez, na ordem mostrada na figura 1.
Para recuperar o resultado que estava na tela, o pai deverá apertar as teclas.
64. Calcule as seguintes raízes:
a) 81 b) 400 c) 3
216
d) 4
256
65. Simplifique as seguintes raízes:
a) 12 b) 192
c) 3
108 d) 4
48
66. A expressão 12
3
27
48
2
75
3 +
−
− vale:
a) 3
10 b) 3
12 c) 3
6
d) 3
4 e) 15
67. Simplifique a expressão: 6
24
2
150
54 +
+
−
68. Efetue: 1445
125
20
2
1
5
4 −
+
−
69. Racionalize os denominadores.
a)
2
3
b)
2
2
8
c)
5
2
5

__________________________________________________________________________________________________________________________
29
d)
2
5
2
−
70. Uma indústria consegue modelar a função do número de produtos montados em um dia, por um grupo de
funcionários, da seguinte forma: P(t) =
4
3
.
1000 t sendo P o número de produtos montados e t o número de horas
trabalhadas. Determine a alternativa que representa o número de produtos montados em 90 minutos.
a) 4
5
,
1
1000x b) 4
5
,
2
,
2
1000x
c) 3
375
,
3
1000x d) 4
375
,
3
1000x
e) 4
3
90
1000 x
71. Calculando o valor da expressão: ( ) 





−
⋅
+
−
÷ 75
,
0
4
1
2
1
7
,
0
1
5
2
obtemos:
a)
12
13
b)
100
13
− c)
3
10
− d)
12
19
e)
3
4
72. Resolvendo a expressão


















−
⋅
−
÷








−






−
3
1
2
2
1
4
9
5
1
3
1
6
5
2
obtemos:
a)
12
17
b)
17
5
c)
85
3
d)
17
12
e)
8
3
73. O valor da expressão
0
3
2
7
3
2
4
3
2
1
30
35
12
5
1
7 +






⋅






+






⋅
−
÷






+ é:
a)
6
17
b)
6
27
c)
6
34
d)
6
23
e)
6
43
74. Calcule:
1
1
2
1
2
1
2
2
3
5
2
9
4
4
1
2
1
3
2
−
−
−
−
−
−






+






−
−












−
+






−
−






a)
3
140
b)
56
243
c)
35
1
d)
4
81
e) 1
75. Escreva a fração decimal equivalente a cada numeral decimal a seguir:
a) 12,4 b) 7,52 c) 0,003 d) 10,8 e) 1,887
76. Quais dos seguintes números são racionais e quais são irracionais:
a) 0,2222... d)–7,212121... g) 16
3 +
b) 7,1317... e) 6 h) 9
1+

__________________________________________________________________________________________________________________________
30
c) 0,123456... f) 64 i) 3
27
77. Escreva sob a forma de fração:
a) 0,555...
b) 0,373737...
c) 1,3333...
78. Resolva as expressões:
a) ...
444
,
0
5 −
b) 0,3 . 0,333...
c)
...
666
,
0
3
1
2
+
+
d)
...
121212
,
0
...
60606
,
0
79. Se a = 0,444... e b = 0,333... , então b. a é igual a:
a)
9
1
b)
9
2
c)
3
2
d)
9
7
e)
3
5
80. Sendo : A = { 1 , 2 , 5 , 6 } e B = { 1 , 4 , 5 , 6, 7 } , determine:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A – B
d) ( A ∩ B ) – B
e) (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B )
81. Coloque V ou F , considerando-se os conjuntos
A = { x ∈ IN, x < 4 },
B = { x ∈ Z, 2x + 3 = 7 },
C = { x ∈ IR, x
2
+ 5x + 6 = 0 },
( ) A ∪ B = A
( ) A ∩ B = { 2 , 3 }
( ) A – B = { 0 , 1 , 3 }
( ) A ∪ C = IR
82. Uma prova com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Após a correção, constatou-se que 10
alunos acertaram as duas questões, 25 alunos acertaram a primeira questão e 20 alunos acertaram a segunda
questão.
O número de alunos que erraram as duas questões é:
a) 5 b) 15 c) 10 d) 20 e) 30
83. Sejam A e B dois conjuntos, onde (A ∪ B) possui 134 elementos e (A ∩ B) possui 49 elementos. Se A possui
15 elementos a mais do que B, então o número de elementos de A é:
84. Numa pesquisa de preferência pelas disciplinas de Matemática (M), Física (F), e Português (P), feitas aos alunos
de um colégio, foram colhidos os seguintes resultados:
O número total de alunos entrevistados foi de:
a) 900 b) 690 c) 650 d) 500 e) 140
85. Dos 540 alunos inscritos em uma academia, 200 fazem musculação, 250 natação e o restante, de 240, fazem
outras modalidades de esportes.
Assinale a alternativa correta.
Disciplina M F P M e F M e P F e P M, F e P
Alunos 400 300 200 150 50 30 20

__________________________________________________________________________________________________________________________
31
a) O número de alunos que fazem apenas musculação é 100.
b ) O número de alunos que fazem apenas natação é 50.
c ) 450 alunos fazem natação ou musculação.
d ) 150 alunos fazem natação e musculação.
e ) 300 fazem apenas uma modalidade de esporte.
GABARITO
01. 120
02. 8
03. b
04. Falso
05. e
06. a
07. c
08. 5
09. 90
10. b
11. d
12. e
13. b
14. b
15. e
16. e
17. c
18. c
19. d
20. c
21. d
22. c
23. b
24. e
25. 88
26. c
27. a
28. 342 km
29. 89
30. a) 75 mg/mL b) 3 doses
31. b
32. c
33. b
34. c
35.
Observe a tabela a seguir:

__________________________________________________________________________________________________________________________
32
b) 2 estrelinhas. c) 9 estrelinhas.
d) 11 estrelinhas. e) 13 estrelinhas.
36. a) 17/3 b) 5/4 c) 37/6
37. a) 8/15 b) 10/3 c) -1/3
38. d
39. c
40. d
41. Falso
42. a) Natação: 1/3 = 3/9 Nado Sincronizado: 2/9 Natação, pois 3/9 > 2/9. b) 5/18 c) Natação; Nado
Sincronizado
43. 35
44. 72 e 120
45. c
46. d
47. b
48. a) 3 milhões de reais para a Educação Infantil e 9 milhões de reais para o Ensino Fundamental. b) 1/24 e 3/20
da verba total, respectivamente, para a Educação Infantil e para o Ensino Fundamental. c) 1/12 da verba total. d) 1/9
dos recursos dirigidos ao ensino fundamental.
49. b
50. e
51. a
52. c
53. d
54. d
55. d
56. b
57. e
58. e
59. a) 25 b) 25 c) -8 d) 1 e) 243 f) 1 g) 9/4 h) 2 i) 64
60. b
61. d
62. 7
63. b
64. a) 9 b) 20 c) 6 d) 4
65. a) 3
2 b) 3
8 c)
3
4
3 d)
4
3
2
66. a
67. 6
3
68. 5
9
−
69. 2
2
3
b) 2
2 c) 2
5
d) 4
5
2 +
70. d
71. a
72. c
73. e
74. b
75. a) 124/100 b) 752/100 c) 3/1000 d) 108/10 e) 1887/1000
76. a) Q b) I c) I d) Q e) I f) Q g) I h) Q i) Q
77. a) 5/9 b) 37/99 c) 4/3
78. a) 13/3 b) 1/10 c) 25/11 d) 5
79. b
80. a) { 1, 2, 4, 5, 6, 7 } b) { 1, 5, 6 } c) { 2 } d) { } ou ∅ e) { 1, 5, 6 }
81. V , F , V , F
82. a

__________________________________________________________________________________________________________________________
33
83. Desafio
84. Desafio
85. Desafio
7 Produtos Notáveis
Vamos relembrar aqui, identidades especiais, conhecidas particularmente como Produtos Notáveis.
7.1 Quadrado da soma e da diferença
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
Das duas anteriores, poderemos concluir que também é válido que:
(a+b)
2
+ (a-b)
2
= 2(a
2
+b
2
) ou escrevendo de uma forma conveniente:
7.2 Diferença de quadrados
(a + b).(a – b) = a
2
– b
2
7.3 Cubo de uma soma e de uma diferença
(a + b)
3
= a
3
+ 3.a
2
.b + 3.a.b
2
+ b
3
Para determinar o cubo da diferença, basta substituir na identidade acima, b por -b, obtendo:
(a – b)
3
= a
3
– 3.a
2
.b + 3.a.b
2
– b
3
Uma forma mais conveniente de apresentar o cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se a expressão como segue:
(a + b)
3
= a
3
+ 3.a.b(a+b) + b
3
Ou:
(a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
Esta forma de apresentação, é bastante útil.
Exemplos:
1 – A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus cubos é igual a 100. Qual o valor do produto desses
números?
Solução:
Temos: a + b = 10 e a
3
+ b
3
= 100. Substituindo diretamente na fórmula anterior, fica:
10
3
= 100 + 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.ab
Daí, vem: 900 = 30.ab, de onde concluímos finalmente que ab = 30, que é a resposta solicitada.
Nota: os números a e b que satisfazem à condição do problema acima, não são números reais e sim, números
complexos. Você pode verificar isto, resolvendo o sistema formado pelas igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique
como exercício!
Alerto para o fato de que é muito trabalhoso. Mas, vá lá, faça! É um bom treinamento sobre as operações com
números complexos. Pelo menos, fica caracterizada a importância de saber a fórmula acima. Sem ela, a solução
DESTE PROBLEMA SIMPLES, seria bastante penosa!

__________________________________________________________________________________________________________________________
34
2 - Calcule o valor de F na expressão abaixo, para:
a = -700, b = - 33 , x = 23,48 e y = 9,14345.
Solução: Com a substituição direta dos valores dados, os cálculos seriam tantos que seria inviável! Vamos
desenvolver os produtos notáveis indicados:
Se você observar cuidadosamente a expressão acima, verá que o numerador e o denominador da fração são
IGUAIS, e, portanto, F = 1, independente dos valores de a, b, x e y.
Portanto, a resposta é igual a 1, independente dos valores atribuídos às variáveis a, b, x e y.
Resp: 1
8 Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2
3
x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24
é 2
3
x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua
decomposição num produto de fatores primos.
8.1 Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse
dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor
divisor primo desse quociente e assim sucessivamente
até obter o quociente 1.
A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 3
2
x 5 x 7.
8.2 Números Primos

__________________________________________________________________________________________________________________________
35
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
8.3 Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que
tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é
primo.
Exemplos:
1) O número 161:
• não é par, portanto não é divisível por 2;
• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
• não é par, portanto não é divisível por 2;
• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
• por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é
diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
8.4 Determinação dos divisores de um número
Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
1º) decompomos o número em fatores primos;
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto,
porque ele é divisor de qualquer número;

__________________________________________________________________________________________________________________________
36
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos
divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de
cada fator primo;
4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
9 Sistemas de Medidas
9.1 Medidas de comprimento
9.1.1 Sistema Métrico Decimal
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias
unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as
negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para
cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se
para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
9.1.2 Metro
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do
metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No
Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.
9.1.3 Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos
nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

__________________________________________________________________________________________________________________________
37
km hm dam m dm cm mm
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas
distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10
-6
m angströn (Å) = 10
-10
m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 — 10
12
km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em
países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
Pé = 30,48 cm
Polegada = 2,54 cm
Jarda = 91,44 cm
Milha terrestre = 1.609 m
Milha marítima = 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés
9.1.4 Leitura das Medidas de Comprimento
A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a
seguinte medida: 15,048 m.
Seqüência prática
1º) Escrever o quadro de unidades:
2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua
respectiva.
1 5, 0 4 8
3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal
acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.
15 metros e 48 milímetros
Outros exemplos:
6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"

__________________________________________________________________________________________________________________________
38
82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".
0,003 mm
lê-se "três milímetros".
9.1.5 Transformação de Unidades
Observe as seguintes transformações:
Transforme 16,584hm em m.
Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
16,584 x 100 = 1.658,4
Ou seja:
16,584hm = 1.658,4m
Transforme 1,463 dam em cm.
Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).
1,463 x 1.000 = 1,463
Ou seja:
1,463dam = 1.463cm.
Transforme 176,9m em dam.
Para transformar dam em cm (três posições à esquerda) devemos dividir por 10.
176,9 : 10 = 17,69
Ou seja:
176,9m = 17,69dam

__________________________________________________________________________________________________________________________
39
Transforme 978m em km.
Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.
978 : 1.000 = 0,978
Ou seja:
978m = 0,978km.
Observação:
Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar
todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.
9.2 Medidas de superfície
9.2.1 Introdução
As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do
cotidiano:
• Qual a área desta sala?
• Qual a área desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina?
• Qual a área dessa quadra de futebol de salão?
• Qual a área pintada dessa parede?
9.2.2 Superfície e área
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
9.2.3 Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m
2
) é a medida
correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetros
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
km
2
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
1.000.000m
2
10.000m
2
100m
2
1m
2
0,01m
2
0,0001m
2
0,000001m
2
O dam
2
, o hm
2
e km
2
sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm
2
, o cm
2
e o mm
2
são utilizados
para pequenas superfícies.
Exemplos:
1) Leia a seguinte medida: 12,56m
2
km
2
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
12, 56

__________________________________________________________________________________________________________________________
40
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade
de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m
2
km
2
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
1 78, 30
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam
2
km
2
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
0, 91 70
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
9.3 Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal
unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária
hectare (ha) are (a) centiare (ca)
Equivalência
de valor
100a 1a 0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm
2
1a = 1 dam
2
1ca = 1m
2
9.3.1 Transformação de unidades
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de
superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:
Observe as seguintes transformações:
Transformar 2,36 m
2
em mm
2
.
km
2
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2

__________________________________________________________________________________________________________________________
41
Para transformar m
2
em mm
2
(três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm
2
Transformar 580,2 dam
2
em km
2
.
km
2
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
Para transformar dam
2
em km
2
(duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).
580,2 : 10.000 = 0,05802 km
2
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,37 dm
2
em mm
2
(R: 83.700 mm
2
)
2) Transforme 3,1416 m
2
em cm
2
(R: 31.416 cm
2
)
3) Transforme 2,14 m
2
em dam
2
(R: 0,0214 dam
2
)
4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m
2
)
9.4 Medidas de volume
9.4.1 Introdução
Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e
altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.
9.4.2 Metro cúbico
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m
3
) é medida correspondente ao
espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
9.4.3 Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro cúbico
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
1.000.000.000m
3
1.000.000 m
3
1.000m
3
1m
3
0,001m
3
0,000001m
3
0,000000001 m
3
9.4.4 Leitura das medidas de volume
A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar
porem, três algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com
zero(s). Exemplos.
Leia a seguinte medida: 75,84m
3

__________________________________________________________________________________________________________________________
42
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
75, 840
Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".
Leia a medida: 0,0064dm
3
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
0, 006 400
Lê-se "6400 centímetros cúbicos
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de
volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
Transformar 2,45 m
3
para dm
3
.
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
Para transformar m
3
em dm
3
(uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
2,45 x 1.000 = 2.450 dm
3
1) Transforme 8,132 km
3
em hm
3
(R: 8.132 hm
3
)
2) Transforme 180 hm
3
em km
3
(R: 0,18 km
3
)
3) Transforme 1 dm
3
em dam
3
(R: 0,000001 dam
3
)
4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm
3
+ 340.000cm
3
(R: 3,88 m
3
)
9.5 Medidas de capacidade
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o
líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.
A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.
9.5.1 Litro
É a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
1l = 1dm
3
9.5.2 Múltiplos e submúltiplos do litro

__________________________________________________________________________________________________________________________
43
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl hl dal l dl cl ml
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Relações
1l = 1dm
3
1ml = 1cm
3
1kl = 1m
3
9.5.3 Leitura das medidas de capacidade
Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal
2, 4 7 8
Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".
Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de
capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
Transformar 3,19 l para ml.
Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10).
3,19 x 1.000 = 3.190 ml
1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl)
2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l)
3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l)
4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m
3
+ 10 dal + 1hl (R: 800 l)
9.6 Medidas de massa

__________________________________________________________________________________________________________________________
44
9.6.1 Introdução
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
9.6.2 Massa
É a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.
9.6.3 Peso
É a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o
corpo se encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do
que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo
masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".
9.6.4 Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (Kg) é a massa de 1dm
3
de água destilada à temperatura
de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade
principal de massa.
9.6.5 Múltiplos e Submúltiplos do grama
Múltiplos
Unidade
principal
Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
9.6.6 Medidas de massa
Relações Importantes
Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.
Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:
1 kg <=> 1dm
3
<=> 1l

__________________________________________________________________________________________________________________________
45
São válidas também as relações:
1m
3
<=> 1 Kl <=> 1t 1cm
3
<=> 1ml <=> 1g
Observação:
Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais:
1 arroba = 15 kg
1 tonelada (t) = 1.000 kg
1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg
9.6.7 Leitura das Medidas de Massa
A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:
Leia a seguinte medida: 83,732 hg
8 3, 7 3 1
Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".
Leia a medida: 0,043g
0, 0 4 3
Lê-se " 43 miligramas".
9.6.8 Transformação de Unidades
Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente
inferior.
Observe as Seguintes transformações:
Transforme 4,627 kg em dag.

__________________________________________________________________________________________________________________________
46
Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
4,627 x 100 = 462,7
Ou seja: 4,627 kg = 462,7 dag
Observação:
Peso bruto: peso do produto com a embalagem.
Peso líquido: peso somente do produto.
9.8 Medidas de tempo
9.8.1 Introdução
É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol?
Qual o tempo dessa viagem?
Qual a duração desse curso?
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
9.8.2 Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol
sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
9.8.3 Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
• décimo de segundo
• centésimo de segundo

__________________________________________________________________________________________________________________________
47
• milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é
decimal.
Observe:
10 Equações do primeiro grau
10.1 Introdução
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo
equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

__________________________________________________________________________________________________________________________
48
Considere a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que
sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b
números racionais, com a diferente de zero.
10.2 Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação
Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.
Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o
conjunto verdade dessa mesma equação.
Daí, concluímos que:
Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se
por U.
Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-

__________________________________________________________________________________________________________________________
49
se por V.
Observações:
O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.
Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números
racionais.
O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.
10.3 Raízes de uma equação
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.
Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:
• Substituir a incógnita por esse número.
• Determinar o valor de cada membro da equação.
• Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.
Exemplos:
Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em
cada caso o conjunto verdade.
• Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.
Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)
Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)
Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)
Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)
Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.
• Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

__________________________________________________________________________________________________________________________
50
Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)
Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)
A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.
10.4 Resolução de uma equação
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações
equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade
ou as raízes da equação. Resumindo:
Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do
conjunto universo considerado.
Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das
igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:
Sendo , resolva a equação
.
m.m.c. (4, 6) = 12
-9x = 10 => Multiplicador por (-1)
9x = -10
Como , então .
Sendo , resolva a equação
2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).
Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:
2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8

__________________________________________________________________________________________________________________________
51
2x + 3x -2
x = - 8 + 4 + 3
3x = -1
Como , então
10.5 Equações impossíveis e identidades
• Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).
Observe, agora, a sua resolução:
2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1 12x - 8 = 12x - 3 12x - 12x = - 3 + 8
0 . x = 5
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem
solução. Logo, V = Ø.
Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e
Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.
Observe a sua resolução:
-3x + 3x = 2 - 10 + 8
0 . x = 0
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções.
Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas
identidades.
10.7 Pares ordenados
Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.
Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

__________________________________________________________________________________________________________________________
52
Assim:
Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º
elemento e y é o 2º elemento.
Observações
1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos:
. Exemplos
2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.
10.8 Representação gráfica de um Par Ordenado
Podemos representar um par ordenado através de um ponto num plano.
Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.
10.9 Coordenadas Cartesianas
Os números do par ordenados são chamados de coordenadas cartesianas. Exemplos:
A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.
Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:
10.10 Plano Cartesiano

7463_APOSTILA_Matematica_Prof_Roberto.pdf

7463_APOSTILA_Matematica_Prof_Roberto.pdf

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a 7463_APOSTILA_Matematica_Prof_Roberto.pdf

Semelhante a 7463_APOSTILA_Matematica_Prof_Roberto.pdf (20)

Último

Último (20)

7463_APOSTILA_Matematica_Prof_Roberto.pdf