O documento discute probabilidade condicional e espaço amostral infinito, apresentando exemplos de cálculo de probabilidades condicionais e a definição formal de probabilidade condicional. Também apresenta o método da máxima verossimilhança para estimar parâmetros e o princípio da preservação das chances relativas para jogos repetidos até que haja um vencedor.

1. Sum´ario
PROBABILIDADE
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Col´egio Pedro II
29 de maio de 2015

2. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
Sum´ario
1 Probabildade Condicional
2 Espac¸o Amostral Infinito

3. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
Outline
1 Probabildade Condicional
2 Espac¸o Amostral Infinito

4. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
Probabildade Condicional
Exemplo 8: Consideremos a experiˆencia que consiste em
jogar um dado n˜ao viciado e observar a face de cima
B = {o resultado ´e par}
P(B) =
3
6
= 0, 5
Essa ´e a probabilidade de B a priori, isto ´e, antes que a
experiˆencia se realize

5. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
Probabildade Condicional
Suponhamos que, realizada a experiˆencia, algu´em nos informe que o
resultado n˜ao foi o n´umero 1
B = {o resultado ´e diferente de 1}
P(B|A) =
3
5
= 0, 6
Essa ´e uma probabilidade a posteriori, ou probabilidade de B na
certeza de A
Os casos poss´ıveis n˜ao s˜ao mais todos os elementos do espac¸o
amostral S e sim os elementos de A e que os casos favor´aveis `a
ocorrˆencia de B n˜ao s˜ao mais todos os elementos de B e sim os
elementos de A ∩ B pois s´o os elementos que pertencem a A podem
ocorrer.

6. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
Probabildade Condicional
Exemplo 9: A tabela abaixo d´a a distribuic¸ ˜ao dos alunos de
uma turma por sexo e por carreira pretendida.
masculino feminino total
cient´ıfica 15 5 20
human´ıstica 3 7 10
total 18 12 30
P(H) = 10
30, P(H|M) = 3
18, P(H|F) = 7
12, P(F|H) = 7
10

7. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
Probabildade Condicional
Definic¸ ˜ao: Dados dois eventos A e B, com P(A) = 0, a
probabilidade condicional de B na certeza de A ´e o n´umero
P(B|A) =
P(A ∩ B)
P(A)
Poucas vezes a f´ormula acima ´e usada para calcular uma
probabilidade condicional. Ser´a mais usada para o c´alculo de
P(A ∩ B) = P(A).P(B|A)

8. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
Probabildade Condicional
Exemplo 10: Uma urna cont´em 4 bolas brancas e 6 bolas pretas.
Sacam-se, sucessivamente e sem reposic¸ ˜ao, duas bolas dessa urna.
Determine a probabilidade de ambas serem brancas
Calcular probabilidades de coisas futuras na certeza de coisas
passadas
Exemplo 11: Uma urna cont´em 4 bolas brancas e 6 bolas pretas.
Sacam-se, sucessivamente e sem reposic¸ ˜ao, duas bolas dessa urna.
Determine a probabilidade da primeira bola ser branca, sabendo que
a segunda bola ´e branca

9. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
O M´etodo da M´axima Verossimilhanc¸a
Exemplo 13: Em certa cidade, os t´axis s˜ao numerados de 1 a N.
Para estimar o n´umero N de t´axis da cidade, um turista anotou os
n´umeros de todos os t´axis que pegou: 47, 12, 33 e 25. Determine a
probabilidade do turista ter tomado os t´axis que tˆem esses n´umeros
e determine o valor de N para o qual essa probabilidade ´e m´axima.
Exemplo 14: Para estimar a proporc¸ ˜ao p de usu´arios de drogas em
certa comunidade, pede-se ao entrevistado que, longe das vistas do
entrevistador, jogue uma moeda: se o resultado for cara, responda a
“vocˆe usa drogas?” e, se o resultado for coroa, responda a “sua
idade ´e um n´umero par?”

10. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
Outline
1 Probabildade Condicional
2 Espac¸o Amostral Infinito

11. Probabildade Condicional Espac¸o Amostral Infinito
Espac¸o Amostral Infinito
Exemplo 15: Selecionam-se ao acaso dois pontos em um segmento
de tamanho 1, dividindo-o em trˆes partes. Determine a probabilidade
de que se possa formar um triˆangulo com essas partes
Exemplo 16: A e B lanc¸am sucessivamente um par de dados at´e
que um deles obtenha soma de pontos 7, caso em que a disputa
termina e o vencedor ´e o jogador que obteve soma 7. Se A ´e o
primeiro a jogar, qual ´e a probabilidade de A ser o vencedor?
Princ´ıpio de preservac¸ ˜ao das chances relativas
Em um jogo em que pode haver empates, e ´e repetido at´e que
algu´em venc¸a, a raz˜ao entre as probabilidades de vit´oria dos dois
jogadores ´e igual `a raz˜ao de suas probabilidades de vit´oria em uma
´unica partida