O documento introduz conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos, definições clássica e frequentista de probabilidade, probabilidade condicional, teoremas da soma e da probabilidade total e teorema de Bayes.

1. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
No¸c˜oes sobre Probabilidade
Jos´e Waldemar da Silva
FAMAT - UFU
29 de junho de 2013
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2. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Introdu¸c˜ao
Exemplo
Suponha que um casal deseja ter dois filhos. O primeiro pode
ser masculino (M) ou feminino (F) e o segundo tamb´em. Que
chance existe deste casal ter dois filhos do sexo masculino?
O problema acima pode ser sintetizado pela nota¸c˜ao
P(M e M) =?
As diversas situa¸c˜oes que envolvem incertezas s˜ao denominadas
de fenˆomenos ou experimentos aleat´orios.
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3. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Introdu¸c˜ao
Espa¸co amostral
O conjunto de todos os resultados poss´ıveis de um experimento
ou fenˆomeno aleat´orio ´e dito espa¸co amostral e ´e representado
por Ω (Alguns autores usam S para represent´a-lo).
Evento
Qualquer subconjunto A, de Ω ´e dito evento.
No exemplo apresentado anteriormente sobre o sexo dos dois
filhos, poderia ocorrer as seguintes situa¸c˜oes:
Ω = {(M, M); (M, F); (F, M); (F, F)} (espa¸co
amostral)
e assim, A = {(M, M)} ´e um evento deste espa¸co amostral.
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4. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Defini¸c˜ao cl´assica
P(A) = N´umero de resultados favor´aveis `a ocorrˆencia do evento A
N´umero de resultados poss´ıveis ou
P(A) =
n(A)
n(Ω)
com 0 ≤ P(A) ≤ 1
Exemplo
Qual a probabilidade de se obter n´umero par no lan¸camento de
um dado?
Solu¸c˜ao
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} =⇒ n(Ω) = 6 e
A = {2, 4, 6} =⇒ n(A) = 3 logo
P(A) =
n(A)
n(Ω)
=
3
6
=
1
2
= 0, 5
Contra-exemplo para a defini¸c˜ao cl´assica: Qual a
probabilidade de uma pessoa ser atingida por um raio, num dia
chuvoso? A realidade mostra que n˜ao ´e 0,5.
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5. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Defini¸c˜ao frequentista
Seja n o n´umero de ensaios (n´umero de vezes) independentes
em que um experimento foi repetido e n(A) o n´umero de vezes
em que ocorreu o evento A. Para n suficientemente grande,
P(A) ´e como segue:
P(A) = lim
n→+∞
n(A)
n(Ω)
com 0 ≤ P(A) ≤ 1
Exemplos - Aplica¸c˜oes
1 - Observar se uma moeda ´e viciada. Para tal lan¸ca-se a
moeda um n´umero de vezes suficiente para que a frequˆencia
relativa de ocorrˆencia do evento desejado (cara por exemplo) se
estabilize.
2 - Idem para um dado.
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6. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Defini¸c˜ao axiom´atica
A fun¸c˜ao P ´e uma fun¸c˜ao probabilidade se:
P(A) ≥ 0 ∀ A;
P(Ω) = 1;
Se os Ais s˜ao disjuntos ent˜ao P( ∞
i=1 Ai ) =
∞
n=1
P(Ai )
Eventos imposs´ıvel e certo
Evento imposs´ıvel - φ e P(φ) = 0
Evento certo - Ω e P(Ω) = 1
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7. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Probabilidade condicional
P(A|B) =
P(A e B)
P(B)
=
P(A, B)
P(B)
=
P(A ∩ B)
P(B)
Exemplo
No lan¸camento de um dados qual ´e a probabilidade de ter
ocorrido um cinco sabendo que ocorreu um n´umero ´ımpar?
A probabilidade de ocorrer o n´umero 5 ´e
1
6
por´em, com a
informa¸c˜ao adicional de que ocorreu um n´umero ´ımpar o
espa¸co amostral deve ser “refeito” e as probabilidades
“ajustadas”, isto ´e, a nova probabilidade ser´a
1
3
.
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8. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Eventos independentes
Se dois eventos s˜ao independentes ent˜ao,
P(A|B) = P(A) e por consequˆencia
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Voltando ao exemplo dos filhos
Suponha que um casal deseja ter dois filhos. O primeiro pode
ser masculino (M) ou feminino (F) e o segundo tamb´em. Que
chance existe deste casal ter dois filhos do sexo masculino?
P(A ∩ B) =
1
2
×
1
2
=
1
4
= 0, 25 ou
P(M e M) =
1
2
×
1
2
=
1
4
= 0, 25
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9. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Teorema do produto
P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B) de A e B s˜ao dependentes ou
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) de A e B s˜ao independentes
Obs
O teorema ou regra do produto de probabilidades ´e uma
consequˆencia da defini¸c˜ao de probabilidade condicional.
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10. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Teorema da soma
P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ou
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Exemplo
sorteando ao acaso um carta de um baralho de 52 cartas, qual
a probabilidade de sair um carta de espadas ou um ´as?
P(A ou B) =
13
52
+
4
52
−
1
52
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11. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Teorema da probabilidade total
Exemplo
Uma empresa de produ¸c˜ao de refrigerantes possui duas f´abricas
(f´abricas A e B) e sabe-se que 40% da produ¸c˜ao ´e feita na
f´abrica A e por complementa¸c˜ao 60% ´e feita na f´abrica B.
Sabe-se ainda, que a probabilidade das embalagens terem
defeitos s˜ao, respectivamente 0,05 e 0,10 para as f´abricas A e
B. Qual a probabilidade de um garrafa de refrigerante
selecionada ao acaso ter defeito?
Seja D o evento defeito ent˜ao,
P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) =
0, 4 × 0, 05 + 0, 6 × 0, 10 = 0, 08
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12. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Teorema da probabilidade total
Teorema da probabilidade total
Considere os eventos A1, A2, · · · An uma parti¸c˜ao de Ω e
que s˜ao conhecidas as probabilidades
P(A1), P(A2), · · · P(An) e
P(B|A1), P(B|A2), · · · P(B|An) ent˜ao P(B) ´e dado por
P(B) =
n
i=1
P(Ai )P(B|Ai )
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13. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Teorema de Bayes
Suponha que no exemplo dos refrigerantes tem-se um lote com
frascos ou garrafas das duas f´abricas por´em, n˜ao identificados.
Selecionado uma garrafa ao acaso e verificado que a mesma
tem defeito, qual a probabilidade dela ser oriunda da f´abrica A?
P(A|D) =
P(A)P(D|A)
P(D)
P(A|D) =
0, 4 × 0, 05
0, 08
= 0, 25
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14. No¸c˜oes sobre
Probabilidade
Jos´e
Waldemar da
Silva
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Considere os eventos A1, A2, · · · An uma parti¸c˜ao de Ω e
que s˜ao conhecidas as probabilidades
P(A1), P(A2), · · · P(An),
P(B|A1), P(B|A2), · · · P(B|An) e
P(B) =
n
i=1
P(Ai )P(B|Ai ) ent˜ao,
P(Ai |B) =
P(Ai )P(B|Ai )
P(B)
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